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22.1 二次函数的图象和性质
【提升训练】
一、单选题
1．二次函数
的部分图象如图所示，对称轴为
，且经过点
．下列说法：①
；②
；③
；④若
，
是抛物线上的两点，则
；
⑤
（其中
）．正确的结论有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】
先根据抛物线开口向下、与
轴的交点位于
轴正半轴
，再根据对称轴可得
，由此
可判断结论①；将点
代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，
由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【详解】
解：
抛物线的开口向下，与
轴的交点位于
轴正半轴，
，
抛物线的对称轴为
，
，
，则结论①正确；
将点
代入二次函数的解析式得：
，则结论③错误；
将
代入得：
，则结论②正确；
抛物线的对称轴为
，
和
时的函数值相等，即都为
，
又
当
时，
随
的增大而减小，且
，
，则结论④错误；
由函数图象可知，当
时，
取得最大值，最大值为
，
，
，
即
，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3 个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
2．如图，抛物线
与y 轴交于点C，与x 轴交于点
、点
．下列结论：
①
；②
；③
；④
．正确的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】B
【分析】
把A、B 两个点的坐标分别代入
中，求得b=-2a 及c=-3a，由图象知a<0，从而可分别对前
3 个结论作出判断；根据抛物线在顶点处取得最大值，从而可对最后一个结论作出判断．
【详解】
∵抛物线
分别过点A、B
∴
解得：
由图象知：a<0
∴b>0，c>0
∴abc<0
故①错误
b-2a=-2a-2a=-4a>0，
故②③均正确
∵
，且a<0
∴当x=1 时，函数取得最大值，且最大值为a+b+c=-4a
对于任意x=n，当n≠1 时，则必有
即
故④正确
所以正确的结论有②③④
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向、最值、二次函数图
象上点的坐标特征，关键是根据抛物线过点A、B 得到b、c 关于a 的表达式，本题涉及到数形结合思想．
3．如图，二次函数
的图象与
轴交于
，
两点，与
轴正半轴交于点
，它的
对称轴为直线
．则下列选项中①
；②
；③
；④
：⑤当
（
为实数）时，
，其中正确的有（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】
由图象开口向上，可知a＞0，与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得
到abc＞0，故①错误；根据二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x 轴的交点，得到b2-4ac＞0，求得4ac-
b2＜0，故②错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=-1 时，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故③错误；当
x=1 时，y=a+b+c>0，故④正确；当x=-n2-2（n 为实数）时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a（-n2-2）
2+b（-
n2-2）+c=an2（n2+2）+c，于是得到y=an2（n2+2）+c≥c，故⑤正确．
【详解】
解：①由图象与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c＞0，
又对称轴方程为x=-1，所以-
=-1，所以b=2a，
∵
∴
∴abc＞0，故①错误；
②∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x 轴交于A，B 两点，
∴b2-4ac＞0，
∴4ac-b2＜0，故②错误；
③∵-
=-1，
∴b=2a，
∵当x=-1 时，y=a-b+c＜0，
∴a-2a+c＜0，
∴c-a＜0，故③错误；
④当x=1 时，y=a+b+c>0，故④正确；
⑤当x=-n2-2（n 为实数）时，y=ax2+bx+c=a（-n2-2）
2+b（-n2-2）+c=an2（n2+2）+c，
∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，
∴y=an2（n2+2）+c≥c，故⑤正确，
∴正确的结论有：④⑤，共2 个
故选：A．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关
键．
4．已知二次函数
（
、
是常数，
）的图象经过点
和
，且当
时，函数
的最小值为
，最大值为1，则
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
求出二次函数的解析式，确定函数取得最大值时，
的值；再解出函数值为
时，
的值，即可得出答案．
【详解】
解
二次函数
（
、
是常数，
）的图象经过点
和
，
，
解得：
，
，
当
时，函数
的最小值为
，最大值为1，
当
时，
；
时，
，
解得：
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数，解题的关键是：理解题意，求出函数的解析式，利用函数的对称性、开口方向，研
究最值．
5．将二次函数
位于x 轴下方的图像沿x 轴向上翻折，与原二次函数位于x 轴
上方的部分组成一个新图像，这个新图像对应的函数最大值与最小值之差为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】
根据题意作出图形，最大值为新函数
时的函数值，最小值为0．
【详解】
如图，根据题意：
位于x 轴下方的图像沿x 轴向上翻折后的图像为：
的图像
则新函数的最大值为
时的函数值
最小值为0．
函数最大值与最小值之差为：
故选D
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，对称，注意函数图像的取值范围，数形结合是解题的关键．
6．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．b＞0
B．b2-4ac＜0
C．a+b+c＞0
D．点A 的坐标为（﹣2，0）
【答案】D
【分析】
抛物线的开口向下，对称轴在y 轴的左侧（左同右异），可得到a，b 的取值范围，可对A 作出判断；抛物
线与x 轴有两个不同的交点，可得到b2-4ac＞0，可对B 作出判断；抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过
点（0，0），可确定a+b+c 的取值范围，可对C 作出判断；利用二次函数的对称性，可得到点A 的坐标，
可对D 作出判断．
【详解】
解：A、∵抛物线的开口向下，对称轴在y 轴的左侧，
∴a＜0，
，
∴b＜0，故A 不符合题意；
B、∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，
∴ b2-4ac＞0 ，故B 不符合题意；
C、抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过点（0，0），
∴当x=1 时y＜0 即a+b+c＜0，故C 不符合题意；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=-1，图象经过点（0，0），
∴点A 和点O 关于对称轴对称，
∴点A（-2，0），故D 符合题意；
故答案为：D．
【点睛】
此题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数与不等式（组）的综
合应用．
7．如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b 的不同取值，所找点M 的个数，三
个同学的说法如下，
小明：若b＝-3，则点M 的个数为0；
小云：若b ＝ 1，则点M 的个数为1；
小朵：若b ＝ 3，则点M 的个数为2．
下列判断正确的是（ ）．
A．小云错，小朵对
B．小明，小云都错
C．小云对，小朵错
D．小明错，小朵对
【答案】C
【分析】
根据题意，分
、
、
三种情况，结合二次函数、一元二次方程判别式的性质计算，即可得
到答案．
【详解】
∵点
，
当
时，则
，整理得
，
∵
，
∴有两个不相等的值，
∴点
的个数为2；
当
时，则
，整理得
，
∵
，
∴
有两个相同的值，
∴点
的个数为1；
当
时，则
，整理得
，
∵
，
∴点
的个数为0；
∴小明错，小云对，小朵错
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一元二次方程判别式的性
质，从而完成求解．
8．二次函数
的图象如图所示，有下列结论：①
，②
，③
，④
，正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】
根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴交点可得a，b，c 的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称
性，与x 轴的交点可得当x=-2 时，y＞0，可判断②；再根据x=-1 时，y 取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，从
而判断③；最后根据x=1 时，y=a+b+c，结合b=2a，可判断④．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-1，即
，
∴b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x 轴的一个交点横坐标在0 和1 之间，
则与x 轴的另一个交点在-2 和-3 之间，
∴当x=-2 时，y=4a-2b+c＞0，故②错误；
∵x=-1 时，y=ax2+bx+c 的最大值是a-b+c，
∴a-b+c≥ax2+bx+c，
∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确；
∵当x=1 时，y=a+b+c＜0，b=2a，
∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a
决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；②一次项系
数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b
异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线
与y 轴交于（0，c）．
9．在“探索函数
的系数
，
，
与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四
个点：
，
，
，
，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，
发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中
的值最大为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
分四种情况讨论，利用待定系数法，求过
，
，
，
中的三个点的二次函数解
析式，继而解题．
【详解】
解：设过三个点
，
，
的抛物线解析式为：
分别代入
，
，
得
解得
；
设过三个点
，
，
的抛物线解析式为：
分别代入
，
，
得
解得
；
设过三个点
，
，
的抛物线解析式为：
分别代入
，
，
得
解得
；
设过三个点
，
，
的抛物线解析式为：
分别代入
，
，
得
解得
；
最大为
，
故选：A．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数的解析式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
10．二次函数
的图像如图所示，点
在
轴的正半轴上，且
，设
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由图像可得
，
，当
，
，并与
轴交于
之间，得
，据悉可得
，据此求解即可．
【详解】
解：由图像可知，图像开口向下，并与
轴相交于正半轴，
∴
，
，
当
，
，
∵
，并由图像可得，二次函数
与
轴交于
之间，
∴
∴
，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．
11．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提
出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记
，则其面积
．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若
，则此三角形面积的
最大值为（ ）
A．
B．4
C．
D．5
【答案】C
【分析】
由已知可得a+b=6，
，把b=6-a 代入S 的表达式中得：
，由被开方数是二次函数可得其最大值，从而可求得S 的最大值．
【详解】
∵p=5，c=4，
∴a+b=2p-c=6
∴
由a+b=6，得b=6-a，代入上式，得：
设
，当
取得最大值时，S 也取得最大值
∵
∴当a=3 时，
取得最大值4
∴S 的最大值为
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，关键是由已知得出a+b=6，把面积最大值问题转化为二次函数的最大值问题．
12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交x 轴于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，与x 轴的另一个交点
为B，点C 为抛物线顶点．下列结论：①abc＜0；②4a＋2b＋c＞0；③a＋b＞0；④c＜4b；⑤若△ABC
是等腰三角形时，a＝
．其中结论正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】
根据二次函数的图象分析出基本信息，然后逐项判断即可．
【详解】
由函数图象可知，
，
，
，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，A（-1，0）、B 关于对称轴对称，
∴B 的坐标为（3，0），
∴当
时，函数值
，
即：4a＋2b＋c＞0，故②正确；
∵对称轴为直线x＝1，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，故③正确；
由A 点坐标可得：
，
将
代入可得：
，
∴
，
即：
，故④正确；
由题意，A、B 是关于对称轴对称的，C 为顶点，
∴△ABC 始终为等腰三角形，无论
取何值，也不会影响△ABC 是等腰三角形的结论，
∴△ABC 为等腰三角形时，不一定只能推出
，也可能是其他结果，故⑤错误；
∴正确的有：①②③④，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，能够准确根据图像信息分析出基本式子的结果，并灵活变形是解题
关键．
13．已知二次函数
的图象经过第一象限的点
，则一次函数
的图
象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】
根据直角坐标系和象限的性质，得
；根据二次函数的性质，得
，从而得
，通过计算即可得到答案．
【详解】
∵点
在第一象限
∴
∴
∵二次函数
的图象经过第一象限的点
∴
∴
∴
当
时，
，即
和y 轴交点为：
当
时，
，即
和x 轴交点为：
∵
，
∴一次函数
的图象不经过第三象限
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数、一次函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、直角
坐标系的性质，从而完成求解．
14．设
，
分别是函数
，
图象上的点，当
时，总有
恒成
立，则称函数
，
在
上是“逼近函数”，
为“逼近区间”．则下列结论：
①函数
，
在
上是“逼近函数”；
②函数
，
在
上是“逼近函数”；
③
是函数
，
的“逼近区间”；
④
是函数
，
的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③
B．①④
C．①③
D．②④
【答案】A
【分析】
分别求出
的函数表达式，再在各个x 所在的范围内，求出
的范围，逐一判断各个选项，即
可求解．
【详解】
解：①∵
，
，
∴
，当
时，
，
∴函数
，
在
上不是“逼近函数”；
②∵
，
，
∴
，当
时，
，
函数
，
在
上是“逼近函数”；
③∵
，
，
∴
，当
时，
，
∴
是函数
，
的“逼近区间”；
④∵
，
，
∴
，当
时，
，
∴
不是函数
，
的“逼近区间”．
故选A
【点睛】
本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键．
15．一次函数
与二次函数
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y 轴的位置关系，即可得出a、b 的正负性，
由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】
A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题
的关键．
16．二次函数
的图象过
四个点，下列说
法一定正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】
求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小
关系，从而可以求解．
【详解】
解：
二次函数
的对称轴为：
，且开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
，
A，若
，则
不一定成立，故选项错误，不符合题意；
B,若
，则
不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C，若
，所以
，则
一定成立，故选项正确，符合题意；
D，若
，则
不一定成立，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质及不等式，解题的关键是：根据二次函数的对称轴及开口方向，确定各
点纵坐标值的大小关系，再进行分论讨论判断即可．
17．若关于x 的二次函数y＝ax2+bx 的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1 时y 随x 的增大而减小，则a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意开口向上，且对称轴−
≥−1，a＋b＝1，即可得到−
≥−1，从而求解．
【详解】
由二次函数y＝ax2+bx 可知抛物线过原点，
∵抛物线定点（1，1），且当x＜-1 时，y 随x 的增大而减小，
∴抛物线开口向上，且对称轴−
≥−1，a＋b＝1，
∴a＞0，b＝1﹣a，
∴﹣
≥﹣1，
∴
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得关于a 的不等式组是
解题的关键．
18．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学
画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（
）
①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
②当﹣1＜x＜1 或x＞3 时，函数值随x 值的增大而增大；
③当x＝﹣1 或x＝3 时，函数的最小值是0；
④当x＝1 时，函数的最大值是4
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】
观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x 轴的交点坐标，结合图象逐个分析判断即可．
【详解】
解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线
，故①正确；
令|x2-2x-3|=0 可得x2-2x-3=0，
∴（x+1）（x-3）=0，
∴x1=-1，x2=3，
∴（-1，0）和（3，0）是函数图象与x 轴的交点坐标，
又对称轴是直线x=1，
∴当-1＜x＜1 或x＞3 时，函数值y 随x 值的增大而增大，故②正确；
由图象可知（-1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x=-1 或x=3 时，函数最小值是0，故③正确；
由图象可知，当x＜-1 时，函数值随x 的减小而增大，当x＞3 时，函数值随x 的增大而增大，均存在大于
顶点纵坐标的函数值，
故当x=1 时的函数值4 并非最大值，故④错误．
综上，只有④错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数在新定义函数中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．二次函数
的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．若
，
是图象上的两点，则
B．
C．方程
有两个不相等的实数根
D．当
时，
随
的增大而减小
【答案】D
【分析】
根据二次函数的图象和性质分别对各个选项进行判断即可．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，a＜0，
∴点（-1，0）关于直线x=1 的对称点为（3，0），
则抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0），点（-2，y1）与（4，y1）是对称点，
当x＞1 时，函数y 随x 增大而减小，
故A 选项不符合题意；
把点（-1，0），（3，0）代入y=ax2+bx+c 得：a-b+c=0①，9a+3b+c=0②，
①×3+②得：12a+4c=0，
∴3a+c=0，
故B 选项不符合题意；
当y=-2 时，y=ax2+bx+c=-2，
由图象得：纵坐标为-2 的点有2 个，
∴方程ax2+bx+c=-2 有两个不相等的实数根，
故C 选项不符合题意；
∵二次函数图象的对称轴为x=1，a＜0，
∴当x≤1 时，y 随x 的增大而增大；
当x≥1 时，y 随x 的增大而减小；
故D 选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识；熟练掌握二次函数的图象和性
质是解题的关键．
20．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x 轴交于点A，B．与y 轴交于点C．连接AC、BC．已知
△ABC 的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y 随着x 的增大而增大的部分
为H．当直线BC 与H 没有公共点时，h 的取值范围是（ ）
A．h＞
B．0＜h≤
C．h＞2
D．0＜h＜2
【答案】C
【分析】
先根据抛物线的解析式可得点
的坐标，从而可得
长，再利用三角形的面积公式可得
的长，从
而可得点
的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式和一次函数的解析式，然后根据二次函数图象
的平移规律、增减性求解即可得．
【详解】
解：对于抛物线
，
当
时，
，解得
或
，
则
，
的面积为3，
，即
，解得
，
，
将点
代入抛物线解析式得：
，解得
，
则抛物线的解析式为
，
将抛物线向左平移
个单位所得抛物线为
，
当
时，
随
的增大而增大，
设直线
的函数解析式
，
将点
代入得：
，解得
，
则直线
的函数解析式
，
当直线
与
没有公共点时，则只需
时，直线
的函数值大于抛物线
的函数值，
即
，
解得
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
21．已知二次函数
，其中
，当
时，y 的最大值与最小值的差为16，则
m 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】
根据题意和二次函数的性质，可以求得m 的值．
【详解】
解：∵二次函数
，
∴该函数图象开口向下，
∵
∴当x＝1 时，y 取得最大值=
，当x＝3 时，y 取得最小值=
，
∵y 的最大值与最小值的差为16
∴
解得：
，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22．已知函数
，若函数在0≤x≤1 上的最大值是2，则a 的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣6
C．﹣2 或3
D．﹣6 或
【答案】D
【分析】
先求得其对称轴为x＝
a，再分
a＜0、0≤
a≤1 和
a＞1 根据二次函数的单调性分别求得其最大值，
由最大值为2，可求得a 的值．
【详解】
∵
，
∴其对称轴为x＝
a，开口向下，
当
a＜0 即a＜0 时，在0≤x≤1 上y 随x 的增大而减小，
∴当x＝0 时有最大值，最大值＝﹣
a+
＝2，
解得a＝﹣6＜0，符合题意；
当0≤
a≤1 即0≤a≤2 时，y 的最大值＝﹣
a2+
a2﹣
a+
＝2，
∴a＝3（不合题意，舍去），或a＝﹣2（舍去）；
当
a＞1 即a＞2 时，在0≤x≤1 上y 随x 的增大而增大，
∴当x＝1 时，有最大值＝﹣1+a﹣
a+
＝2，
∴a＝
，
综上可知a 的值为﹣6 或
．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图像与性质，分类讨论是解题的关键.
23．已知抛物线
经过点A（1，0），B（5，0）两点，
，
是关于x 的一元二次方程
的两根，则
的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】
先把
整理成一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得x1+x2=
+2，再
根据对称轴公式求出
代入即可．
【详解】
解：抛物线
经过点A（1，0），B（5，0）两点，
∵
，
是关于x 的一元二次方程
的两根，
∴
，
∴x1+x2=
+2，
∵抛物线
经过点
、
两点，
∴
，
∴
=6，
∴x1+x2=6+2=8．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
24．如图，正三角形
和正三角形
的边
，
在同一条直线上，将
向右平移，直到
点
与点
重合为止，设点
平移的距离为
，
，
．两个三角形重合部分的面积为
，现
有一个正方形
的面积为
，已知
，则S 关于
的函数图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
分0≤x≤2、2＜x＜4、4≤x≤6 三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【详解】
解：∵
，
∴
，
①当0≤x≤2 时，则两个三角形重合部分为边长x 的正三角形，则：
，
故
，为二次函数，图象开口向上，
当x=2 时，S=2；
②当2＜x＜4 时，两个三角形重合部分为边长为2 的正三角形，故S=2；
③当4≤x≤6 时，同理可得：
，图象开口向上，当x=4 时，S=2；
当x=6 时，S=0；
故选：A．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，分类求出函数表达式，是解决本题的关键．
25．如图，已知抛物线
（
，
，
为常数，
）经过点
，且对称轴为直线
，有下列结论：①
；②
；③
；④无论
，
，
取何值，抛物线
一定经过
；⑤
．其中正确结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】
①根据图像开口向上，对称轴位置，与y 轴交点分别判断出a,b,c 的正负
②根据对称轴公式
，
判断
的大小关系
③根据
时，
，比较
与0 的大小；
④根据抛物线的对称性，得到
与
时的函数值相等结合②的结论判断即可
⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可
判断结论．
【详解】
①图像开口朝上，故
，根据对称轴“左同右异”可知
，
图像与y 轴交点位于x 轴下方，可知c<0
故①正确；
②
得
故②错误；
③
经过
又由①得c<0
故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到
与
时的函数值相等
当
时
，即
即
经过
，即经过
故④正确；
⑤当
时,
, 当
时,
函数有最小值
化简得
，
故⑤正确．
综上所述：①③④⑤正确．
故选D．
【点睛】
本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出
结论是解题的关键．
26．已知抛物线
的对称轴在
轴右侧，现将该抛物线先向右平移3 个单位长度，再向上平
移1 个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则
的值是（ ）
A．
或2
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】
解：函数
向右平移3 个单位，得：
；
再向上平移1 个单位，得：
+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴
+1 即
解得：
或
∵抛物线
的对称轴在
轴右侧
∴
＞0
∴
＜0
∴
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
27．已知二次函数
，当
时，
，则m 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得该函数的开口方向为向上，对称轴为x=1，且当x=1
时，该函数取得最小值2-a．又由当y＝2 时，x＝2 或x＝0，结合题意即可求出m 的取值范围．
【详解】
解：二次函数
，
∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x=1 时，该函数取得最小值-a+2，
∵当
时，
，且当y＝2 时，x＝2 或x＝0，
∴
，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
28．二次函数
的图象如图所示，对称轴为
，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据二次函数的图象与性质得到
的符号，再逐一进行判断．
【详解】
解：由图知，二次函数的图象开口向上，即
，
与
轴交于正半轴，即
，
对称轴
同号，即
，故A 正确；
由图知，当
时，
，
，故B 正确；
由图知，二次函数图象与轴有两个不同的交点，
即
，故C 正确；
无法判断
，故D 错误，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
29．如图是二次函数
在平面直角坐标系中的图象，根据图象判断：①
；②
；③
；④
，其中正确的是（ ）
A．①③
B．②③
C．②④
D．②③④
【答案】C
【分析】
首先根据图象中抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y 轴交点来判断a、b、c 的符号，进而判断各结论
是否正确．
【详解】
解：根据二次函数的图象知：抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；
由图知：当x=1 时，y<0，即a+b+c<0，故②正确；
∵对称轴-
，开口向上，
，
∴
，
所以2a-b＞0，故③错误；
∵由于抛物线与x 轴有两个不同的交点，
∴△=b2-4ac＞0，即b2＞4ac，
∵a＞0，∴4a＞0，
由图知，
时，
，
∴
，
∴b2＞4a +4ac，
∴b2-4a＞4ac，故④正确；
所以正确的结论为②④，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，由图象找出有关a，b，c 的相关信息以及抛物线的交点坐标，会
利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a-b+c，然后根据图象判断其值．
30．已知抛物线
，当
时，y 的最大值为2，则当
时，y 的最
小值为（ ）
A．1
B．0
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线的解析式可得其对称轴为直线x=1，从而当x=1 时，y 有最大值2，此时可求得a 的值，再根据
抛物线的增减的性质求得y 在所给范围内的最小值．
【详解】
∵
，即抛物线的对称轴为直线x=1
∴当x=1 时，y 有最大值，且1 在
范围内
∴a-2a+1=2
解得：a=-1
即
当
时，函数值y 随x 的增大而增大，此时函数在x=-1 处取得最小值，且最小值为
当
时，函数值y 随x 的增大而减小，此时函数在x=2 处取得最小值，且最小值为
∵-2<1
∴当
时，y 的最小值为−2
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性质、求函数解析式，关键是确定抛物线的对称轴，根据对称轴的位置便可确
定函数的增减的范围，解答函数在某个自变量的范围的最值问题时，最好借助图象，利用数形结合的思想
能帮助解决问题．
二、填空题
31．如图，抛物线的解析式为
，点
的坐标为
，连接
：过A1作
，分别交y 轴、
抛物线于点
、
：过
作
，分别交y 轴、抛物线于点
、
；过
作
，分
别交y 轴、抛物线于点
、
…：按照如此规律进行下去，则点
（n 为正整数）的坐标是_________．
【答案】
【分析】
根据待定系数法分别求出直线
、
、
、
……的解析式，即可求得
、P2、P3……的坐标，
得出规律，从而求得点Pn的坐标．
【详解】
解：∵点
的坐标为
，
∴直线
的解析式为
，
∵
，
∴
，
∴
，
设
的解析式为
，
∴
，解得
，
所以直线
的解析式为
，
解
，求得
，
∵
，
设
的解析式为
，
∴
，
∴
，
∴
，
解
求得
，
设
的解析式为
，
∴
，
∴
，
∴
，
．．．
∴
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函
数图像上点的坐标特征得出规律是解题的关键．
32．如图，在平面直角坐标系中，点
在抛物线
上，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一
点B，点C、D 在线段AB 上，分别过点C、D 作x 轴的垂线交抛物线于E、F 两点．当四边形CDFE 为正
方形时，线段CD 的长为_________．
【答案】
【分析】
点
代入抛物线中求出解析式为
，再设CD=2x，进而求得E 点坐标为(x,4-2x)，代入
中
即可求解．
【详解】
解：将点
代入抛物线
中，解得
，
∴抛物线解析式为
，
设CD、EF 分别与
轴交于点M 和点N，
当四边形CDFE 为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x，
此时E 点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线
中，
得到：
，
解得
，
(负值舍去)，
∴
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及
性质是解决本题的关键．
33．如图为二次函数
的图象，则下列说法：①
；②
；③
；④当
时，
．其中正确的是________（填写序号）．
【答案】②③④
【分析】
由抛物线的开口方向判断a 与0 的关系，由x=1 时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b 与0
的关系，根据图象判断-1＜x＜3 时，y 的符号．
【详解】
解：①图象开口向下，能得到a＜0，①错误；
②对称轴在y 轴右侧，x=
=1，则有-
=1，即2a+b=0，②正确；
③当x=1 时，y＞0，则a+b+c＞0，③正确；
④由图可知，当-1＜x＜3 时，y＞0，④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程
之间的转换，根的判别式的熟练运用．
34．如图，二次函数
的图象与
轴的正半轴交于点A，对称轴为直线
，下面结论：
①
；
②
；
③
；
④方程
必有一个根大于
且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
【答案】①②④．
【分析】
根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．
【详解】
解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵-
=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵函数图象与x 轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1，
∴函数图象与x 轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；
∴当x=-1 时，y=a-b+c＜0，
∴y=a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点，解答本题
的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
35．如图，二次函数
（
）的图象与
轴交于
，对称轴为直线
，与
轴的交点
在2 和3 之间（不包括这两个点），下列结论：①当
时，
；②
；
③对于任意实数
，
始终成立；④
，其中正确的结论的序号是
________．
【答案】①②③④
【分析】
利用抛物线的对称性得到抛物线与
轴的另一个交点坐标为
，利用函数图象得到在
轴上方所对应的
自变量的范围，从而可对①进行判断；利用
，
，
得到
，
，而
，所以
，则可利用不等式的性质可对②进行判断；根据二次函数的性质得到二次函
数的最大值为
，则
，于是可对③进行判断；利用
，
可对④进行判断．
【详解】
解：
抛物线与
轴交于
，对称轴为直线
，
抛物线与
轴的另一个交点坐标为
，
抛物线开口向下，
当
，
，所以①正确；
抛物线与
轴交于
，对称轴为直线
，
，
，
，
，
抛物线与
轴的交点坐标为
，
而抛物线与
轴的交点
在
和
之间（不包括这两个点），
，
，
，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线
，
二次函数的最大值为
，
，所以③正确；
，
，
，所以④正确．
故答案为①②③④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数
，二次项系数
决定抛物线
的开口方向和大小．当
时，抛物线向上开口；当
时，抛物线向下开口；一次项系数
和二次项
系数
共同决定对称轴的位置．当
与
同号时（即
，对称轴在
轴左； 当
与
异号时（即
，对称轴在
轴右．常数项
决定抛物线与
轴交点位置：抛物线与
轴交于
．抛物线与
轴
交点个数由△决定：△
时，抛物线与
轴有2 个交点；△
时，抛物线与
轴有
1 个交点；△
时，抛物线与
轴没有交点．
三、解答题
36．如图，抛物线
经过点
，与
轴交于点
和点
（点
在点
的右边），
且
．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，点
、
在直线
上的两个动点，且
，点
在点
的上方，求四边形
的
周长的最小值；
（3）如图2，点
为抛物线上一点，连接
，直线
把四边形
的面积分为3：5 两部分，求点
的坐标．
【答案】（1）
，顶点坐标为（1，4）； （2）四边形
的周长的最小值为
；（3）点
的坐标为（4，－5）或（8，－45）.
【分析】
（1）根据待定系数法求得a、b、c 的值即可确定抛物线的解析式，再利用配方法得出顶点坐标．
（2）把
向下移1 个单位得点
，再作
关于抛物线的对称轴的对称点
，连接
，与对称轴交于
点
，再在对称轴上
点上方取点
，使得
，连接
，此时四边形
的周长最小，根据
勾股定理即可得出．
（3）分
或
两种情况讨论即可．
【详解】
解：（1）∵点
，
，
∴
,
把
、
、
三点坐标代入
，得
，解得
，
∴抛物线的解析式为：
，
∵
，
∴顶点坐标为（1，4）；
（2）把
向下移1 个单位得点
，再作
关于抛物线的对称轴的对称点
，连接
，与对称轴交于
点
，再在对称轴上
点上方取点
，使得
，连接
，此时四边形
的周长最小，
则
,
∵
,
∴
,
∵对称轴是直线
，
∴
,
∵
,
∴
,
,
∴四边形
的周长的最小值为
；
（3）如图，设直线
交
轴于点
，
直线
把四边形
的面积分为3：5 两部分，
又∵
，
则
或5:3，
则
或1.5，
即点
的坐标为（1.5，0）或（0.5，0），
将点
的坐标代入直线
的表达式：
，
解得：
或－2，
故直线
的表达式为：
或
，
联立方程组
解得：
（不合题意值已舍去），
解
，
解得：
8（不合题意值已舍去），
故点
的坐标为（4，－5）或（8，－45）.
【点睛】
本题考查二次函数综合题、涉及待定系数法求一次函数和二次函数解析式，二次函数图象与性质，勾股定
理、轴对称、一次函数等知识，灵活掌握相关知识是解题的关键
37．二次函数
．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）过动点
作直线
轴，当直线
与抛物线只有一个公共点时，求
关于
的函数表达式；
（3）若对于每一个
值，它所对应的函数值都不小于1，求整数
的值．
【答案】（1）
；（2）
；（3）1
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴方程即可求解；
（2）由题意知直线
经过顶点时，直线
与抛物线只有一个交点，据此可得；
（3）根据题意可知抛物线开口向下，且顶点的纵坐标不小于1，依此得到不等式组，解之即可．
【详解】
解：（1）∵
∴二次函数的对称轴为直线
（2）由题意知直线
的解析式为
∵直线
与抛物线只有一个公共交点
∴
（3）∵拋物线
的顶点坐标为
由题意可知
解得
∴整数m 的值为1
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征及解不等式组的能力，理解题意得出对应方程
或不等式组是解题的关键．
38．如图，在平面直角坐标系中，直线
与坐标轴交于
两点，点
在
轴上，点
在
轴上，
点的坐标为
，抛物线
经过点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式
的解集；
（3）点
是抛物线上的一动点，过点
作直线
的垂线段，垂足为
点,当
时，求P 点的坐
标．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
坐标有
或
或
【分析】
(1)先求出A、B 两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；
(2)将不等式
变形为
,进而得到二次函数图像在一次函数图像上方
即可求解；
(3)先证明△PDQ 为等腰直角三角形，进而求出
，再分类讨论P 点在直线AB 上方或下方
进而求解．
【详解】
解：(1)当
时，
，解得
，
当
时，
，
则点
，点
，
把
，
，
，分别代入
得
解得：
，
，
，
∴该抛物线的解析式为
．
(2)由不等式
，
得
，
由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方，
则不等式
的解集为
；
(3)如图，作
轴于点
，交
于点
，
在
中，∵
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∴
，
设点
，则点
，
当点
在直线
上方时，
，
即
，解得
，
则
，
∴
点的坐标为：
．
当点
在直线
下方时，
，
即
解得
，
∴
，
∴
或
，
综上所述，符合条件的点
坐标有
或
或
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图像法解不等式及等腰直角三角形的性质等，第(3)问中需要
分类讨论P 点位于直线AB 上方或下方的情况．
39．小爱同学学习二次函数后，对函数
进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得
到如
下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：__________；
②方程
的解为：__________；
③若方程
有四个实数根，则
的取值范围是__________．
（2）延伸思考：
将函数
的图象经过怎样的平移可得到函数
的图象？写出平移过程，
并直接写出当
时，自变量
的取值范围．
【答案】（1）①关于y 轴对称；②
；③
；（2）将函数
的
图象先向右平移2 个单位长度，再向上平移3 个单位长度可得到函数
的图象，当
时，自变量
的取值范围为
或
．
【分析】
（1）①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当y=-1 时，自变量x 的值，则可看作直
线y=-1 与函数
的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线y=a 与函数
的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；
（2）由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x 的范围问题．
【详解】
解：（1）①由图象可得：该函数的一条性质为关于y 轴对称，（答案不唯一）；
故答案为关于y 轴对称；
②由题意及图象可看作直线y=-1 与函数
的图象交点问题，如图所示：
∴方程
的解为
；
故答案为
；
③由题意可看作直线y=a 与函数
的图象有四个交点的问题，如图所示：
∴由图象可得若方程
有四个实数根，则
的取值范围是
；
故答案为
；
（2）由题意得：将函数
的图象先向右平移2 个单位长度，再向上平移3 个单位长度可得到
函数
的图象，则平移后的函数图象如图所示：
∴由图象可得：当
时，自变量x 的取值范围为
或
．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
40．如图，抛物线
交x 轴于
，
两点，交y 轴于点C，动点P 在抛物线的
对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C 为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及
的周长；
（3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q 为顶点的四边形是菱
形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
；(2) P 点坐标为(1,2)，
的周长最小值为
；(3) Q 点坐标
存在，为(2，2)或(4，
)或(4，
)或(
，
)或(
，
)
【分析】
(1)将
，
代入即可求解；
(2)连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，当C、P、A 三点共线时，
△PBC 的周长最小，由此求出AC 解析式，将P 点横坐标代入解析式中即可求解；
(3)设P 点坐标为(1，t)，Q 点坐标为(m，n)，按AC 为对角线，AP 为对角线，AQ 为对角线分三种情况讨论
即可求解．
【详解】
解：(1)将
，
代入二次函数表达式中，
∴
，解得
，
∴二次函数的表达式为：
；
(2)连接BP、CP、AP，如下图所示：
由二次函数对称性可知，BP=AP，
∴BP+CP=AP+CP，
BC 为定直线，当C、P、A 三点共线时，
有最小值为
，
此时
的周长也最小，
设直线AC 的解析式为：
，代入
，
∴
，解得
，
∴直线AC 的解析式为：
，
二次函数的对称轴为
，代入
，得到
，
∴P 点坐标为(1,2)，
此时
的周长最小值=
；
(3)
设P 点坐标为(1，t)，Q 点坐标为(m，n)，
分类讨论：
情况一：AC 为菱形对角线时，另一对角线为PQ，
此时由菱形对角互相平分知：AC 的中点也必定是PQ 的中点，
由菱形对角线互相垂直知：
，
∴
，解得
，
∴P 点坐标为(1，1)，对应的Q 点坐标为(2，2)；
情况二：AP 为菱形对角线时，另一对角线为CQ，
同理有：
，解得
或
，
∴P 点坐标为(1，
)或(1，
)，对应的Q 点坐标为(4，
)或(4，
)；
情况三：AQ 为菱形对角线时，另一对角线为CP，
设P 点坐标为(1，t)，Q 点坐标为(m，n)，
同理有：
，解得
或
，
∴P 点坐标为(1，
)或(1，
)，对应的Q 点坐标为(-2，
)或(-2，
)；
纵上所示，Q 点坐标存在，为(2，2)或(4，
)或(4，
)或(
，
)或(
，
)．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第
三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键．
41．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过
程．以下是我们研究函数
性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣4
﹣
3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
7
5
3
﹣1
﹣
1
3
…
（1）如表是y 与x 的几组对应值，则a＝ ，k＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已描出了部分点并绘制了部分图象，请把该函数的图象补充完整，并
写出该函数的一条性质： ；
（3）如图，在平面直角坐标系中作出了函数y＝﹣x＋2 的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式
x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0 的解集（结果保留1 位小数，误差不超0.2）
【答案】（1）
，
；
（2）见解析；当
时，函数取值最小值
或当
，
时，函数
随
的增大而减小，
当
时，函数
随
的增大而增大；
（3）
或
【分析】
（1）表格中找2 组值代入解析式，待定系数法求解即可；
（2）描点、连线，根据函数图像，写出一条性质即可；
（3）通过图像求得交点坐标，根据不等式x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0，结合图像写出解集．
【详解】
（1）把
，
代入
得：
解得
，
；
（2）描点、连线，如图：
性质：①当
时，函数取值最小值
；
②当
时，函数
随
的增大而减小，
当
时，函数
随
的增大而增大．
（3）设
＝﹣x＋2 和
＝ x|x＋2|＋x2
1
﹣
由（2）的图象可知,x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0
即：当
的解集
根据图像，它们有两个交点,其横坐标一个在-3,另一个在0 与1 之间,分别约为-3 和0.7(可将单位长十等分,确
定其近似值).
或
时
．
不等式x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0 的解集为
或
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像的画法，二次函数图像的性质，二次函数与一
次函数结合的相关问题，正确的理解题意，按要求作出图形是解题的关键．
42．已知二次函数y＝ax2－4ax＋3a（a 为常数，且a≠0）
（1）求证：不论a 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．
（2）当1≤x≤4 时，y＜5，直接写出a 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）0＜a＜
或－5＜a＜0
【分析】
（1）由
恒成立得到结论；
（2）求出抛物线与x 轴的交点坐标和对称轴，然后在1≤x≤4 范围内分a＞0 与a＜0 两种情况确定函数的最
大值，从而得到结果.
【详解】
（1）证明： ∵a≠0
∴
∴无论a 为何值，该函数图像与x 轴总有两个交点；
（2）∵令ax2－4ax＋3a=0，解得：
，
，
∴抛物线与x 轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），
抛物线的对称轴为直线
，
①当a＞0 时，
∵1≤x≤4，
∴当x=4 时，
，
∴0＜a＜
，
②当a＜0 时，
∵1≤x≤4，对称轴为直线x=2，
∴抛物线在顶点处取得最大值，
，
∴－5＜a＜0
∴a 的取值范围：0＜a＜
或－5＜a＜0.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，关键是x 在某一范围时函数值的最大值的确定.
43．如图，在直角坐标系中，二次函数
的图象与x 轴相交于点
和点
，与y
轴交于点C．
（1）求
的值；
（2）点
为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线
于点Q．
①当
时，求当P 点到直线
的距离最大时m 的值；
②是否存在m，使得以点
为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求
出m 的值．
【答案】（1）b=
，c=
；（2）①
；②不存在，理由见解析
【分析】
（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；
（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；
②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于点A（-1，0），B（3，0），
∴
，
解得：
，
∴b=
，c=
；
（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2
，
设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵0<m<3，
∴PQ=m-( m2-2m-3)=-m2+3m+3=-
+
，
∵-1<0，
∴当
时，PQ 有最大值，最大值为
；
②∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3，
∴C（0，-3），
∴OB=OC=3，
由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），
∵PQ∥OC，
当OC 为菱形的边，则PQ=OC=3，
当点Q 在点P 上方时，
∴PQ=
，即
，
∴
，
解得
或
，
当
时，点P 与点O 重合，菱形不存在，
当
时，点P 与点B 重合，此时BC=
，菱形也不存在；
当点Q 在点P 下方时，
若点Q 在第三象限，如图，
∵∠COQ=45°，
根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P 与点A 重合，
此时OA=1
OC=3，菱形不存在，
若点Q 在第一象限，如图，
同理，菱形不存在，
综上，不存在以点O、C、P、Q 为顶点的四边形是菱形．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思
想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．
44．如图，抛物线
与直线
交于点A(2，0)和点
．
（1）求
和
的值；
（2）求点
的坐标，并结合图象写出不等式
的解集；
（3）点
是直线
上的一个动点，将点
向左平移
个单位长度得到点
，若线段
与抛物线只
有一个公共点，直接写出点
的横坐标
的取值范围．
【答案】（1）
，
；（2）不等式
>
的解集为
或
；（3）点M 的横
坐标
的取值范围是：
或
．
【分析】
（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得
和
的值；
（2）解方程
求得点B 的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
【详解】
解：（1）∵点A(2，0)同时在
与
上，
∴
，
，
解得：
，
；
（2）由（1）得抛物线的解析式为
，直线的解析式为
，
解方程
，得：
．
∴点B 的横坐标为
，纵坐标为
，
∴点B 的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当
或
时，抛物线在直线的上方，
∴不等式
>
的解集为
或
；
（3）如图，设A、B 向左移3 个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴A A1
BB1
3，且A A1∥BB1，即MN 为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线
，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线
只有一个公共点，
此时
，
当线段MN 经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN 与抛物线
也只有一个公共点，
此时点M1的纵坐标为-1，则
，解得
，
综上，点M 的横坐标
的取值范围是：
或
．
．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．
45．在平面直角坐标系中，抛物线
的顶点为A．
（1）求顶点A 的坐标（用含有字母m 的代数式表示）；
（2）若点
，
在抛物线上，且
，则m 的取值范围是 ；（直接写出结
果即可）
（3）当
时，函数y 的最小值等于6，求m 的值．
【答案】(1)顶点A 的坐标为
；(2)
；(3)
或
【分析】
(1)将抛物线解析式化成
的形式，即可求得顶点A 的坐标；
(2)将
，
代入抛物线中求得
和
的值，然后再解不等式即可求解；
(3)分类讨论，分对称轴在1 的左侧、对称轴在3 的右侧、对称轴在1,3 之间共三种情况分别求出函数的最
小值，进而求出m 的值．
【详解】
解：(1)由题意可知：
抛物线
，
∴顶点A 的坐标为
；
(2)将
代入
中，
得到
，
将
代入
中，
得到
，
由已知条件知：
，
∴
，
整理得到：
，
解得：
，
故m 的取值范围是：
；
(3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为
，
分类讨论：
①当
，即
时，
时二次函数取得最小值为
，
又已知二次函数最小值为6，
∴
，解得
或
，
又
，故
符合题意；
②当
，即
时，
时二次函数取得最小值为
，
又已知二次函数最小值为6，
∴
，解得
或
，
又
，故
或
都不符合题意；
③当
，即
时，
时二次函数取得最小值为
，
又已知二次函数最小值为6，
∴
，解得
或
，
又
，故
符合题意；
综上所述，
或
．
【点睛】
本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练
掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．
46．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线
，顶点为P，直线
与抛物线交于
点A，点B．
（1）求抛物线顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当
时，求抛物线与直线AB 围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标．
②当抛物线与直线AB 围成的封闭区域内有且只有1 个整点时，求a 的取值范围．
【答案】（1）P（1，1-a）；（2）①（1，1）；②0＜a＜
或a＜0
【分析】
（1）直接根据抛物线的顶点坐标可得；
（2）①根据a 值得到抛物线和直线的表达式，联立，求出A，B，P 的坐标，可得整点坐标；
②联立抛物线和直线表达式，用a 表示出A，B，P 的坐标，根据只有一个整点得到（2，2）在y=ax+1 上
方，或（3，1）在
上方，得到不等式，解之可得a 的范围．
【详解】
解：（1）
=
，
∴当x=1 时，y=1-a，
即P（1，1-a）；
（2）①当
时，
抛物线
，直线
，
联立得：
，解得：
或
，
∴A（0，1），B（3，0），P（1，
），
∴整点坐标只有（1，1）；
②当a＞0 时，
，解得
或
，
∴P（1，1-a），A（0，1），B（3，3a+1），
∵只有一个整点，
∴（2，2）在y=ax+1 上方，
∴2＞2a+1，解得：a＜
，
∴0＜a＜
；
若（3，1）在
上方，
∴
，
解得：a＜0，
综上：a 的范围是0＜a＜
或a＜0．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质等，这种探究性题目，通常按照题设的顺序
逐次求解，一般较为容易得出正确的结论．
47．已知二次函数
（其中m 为常数）．
（1）当
时，求该二次函数图象的对称轴．
（2）求证：:无论m 为何值，该函数的图象与x 轴一定有两个公共点．
（3）当
时，该函数有最大值3，求m 的值．
【答案】（1）直线x=-1；（2）见解析；（3）-2 或3
【分析】
（1）令m=0，根据对称轴的公式直接计算即可；
（2）把（x-m）看作一个整体，令y=0，利用根的判别式进行判断即可；
（3）抛物线的对称轴为直线x=m-1，讨论：当m-1＜-2 时，当-2≤m-1≤1 时，当m-1＞1 时，根据二次函数
的增减性，得到关于m 的方程，解之即可．
【详解】
解：（1）当m=0 时，
，
则对称轴为直线x=
=-1；
（2）在
中，
令y=0，则
，
，
∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴一定有两个公共点；
（3）
，
∴对称轴为直线x=m-1，
当m-1＜-2 时，y 随x 增大而减小，故当x=-2 时，y 有最大值3，
则
，
解得：m=-2 或m=0（舍）；
当-2≤m-1≤1 时，当x=m-1 时，y 有最大值3，
则
，
此时方程无解；
当m-1＞1 时，y 随x 增大而增大，故当x=1 时，y 有最大值3，
则
，
解得：m=3 或m=1（舍）；
综上：m 的值为-2 或3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点，利用一元二次方程的根的判别式．也考查了二次函数的最值．
48．已知关于
的一元二次方程
（
为常数）．
（1）若它的一个实数根是方程
的根，则
_____，方程的另一个根为_____；
（2）若它的一个实数根是关于
的方程
的根，求
的值；
（3）若它的一个实数根是关于
的方程
的根，求
的最小值．
【答案】（1）1，
；（2）
，
；（3）当
时，
有最小值为-2．
【分析】
(1)求方程2(x-1)-4=0 的根，代入（x-1）(x-2)=m+1 中，确定m 的值；解（x-1）(x-2)=m+1，得到另一个根；
（2）求方程2(x-m)-4=0 的根，代入（x-1）(x-2)=m+1 中，确定m 的值；
（3）求方程
的根，代入（x-1）(x-2)=m+1 中，用含n 的代数式表示m，构造m+n 与n 的
二次函数，利用二次函数的性质确定最值.
【详解】
（1）∵2(x-1)-4=0，
∴x=3，
∴（3-1）(3-2)=m+1，
解得m=1，
∴（x-1）(x-2)=2，
∴
-3x=0，
∴
，
故答案为：1，
．
（2）由
，得
．
则
∴
，
∴
，
∴
，
．
（3）由
，得
．
则
．
即
．
∴
；
∴当
时，
有最小值-2．
【点睛】
本题考查了一元一次方程，一元二次方程，二次函数的最值，熟练掌握方程的解法，二次函数的最值是解
题的关键．
49．如图，抛物线
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，且点B 与点C 的坐标分别为
，
，点M 是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是线段MB 上一个动点，且点P 的横坐标为m，过点P 作
轴于点D，交抛物线于点E，
求线段PE 的最大值，并求出此时点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，若在线段MB 上存在点P，使得
为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．
【答案】（1）
；（2）最大值为1，E
；（3）
或
【分析】
（1）将B、C 坐标滴入抛物线的解析式求解b、c 即可；
（2）先求出顶点M 坐标，再利用待定系数法求得直线BM 的表达式，用m 表示点P、E 坐标，由
和二次函数求最值方法求解即可；
（3）根据题意可得
不可能为
，分（i）当
时；（ii）当
时进行求解
即可．
【详解】
解：（1）将点
，
分别代入抛物线
中，
得
，解得
，
∴抛物线的解析式为
；
（2）∵
，∴
，
设直线BM 的解析式为
，
把点
，
分别代入，
得
，解得
，
∴直线BM 的解析式为
．
∵点P 的横坐标为m，
∴
，
，
∴
，
∴当
时，PE 有最大值，最大值为1，
此时点E 的坐标为
；
（3）点P 的坐标为
或
，
根据题意可得
不可能为
；
（i）当
时，则
，即
，
解得
，此时点P 的坐标为
；
（ii）当
时，则
，
即
整理得：
，
解得：
（舍去）或
，
当
时，
，
此时点P 的坐标为
，
综上，满足题意的点P 的坐标为
或
．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，涉及待定系数法求函数解析式、求二次函数的最值、坐标与图形、两点间的
距离公式、三角形的面积公式、解一元二次方程等知识，解答的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，
会运用分类讨论和数形结合法等数学思想解决数学问题．
50．如图，二次函数
的图象与x 轴交于O，A 两点．
（1）求点A 的坐标和此二次函数的对称轴．
（2）若P，Q 在抛物线上且
．当
时，
．求m 的取值范围．
【答案】（1）
，
；（2）
．
【分析】
（1）先计算二次函数的对称轴，再利用抛物线的对称性解题即可；
（2）把
分别代入二次函数
中，由
得到
，再结合图象知
，整理得
，结合已知条件
，
代入解题即可．
【详解】
解：（1）二次函数图象的对称轴为：
二次函数
的图象与x 轴交于O，A 两点，
由对称性可知
；
（2）把
分别代入二次函数
中得，
整理得，
由抛物线开口向下得
．
【点睛】
本题考查二次函数的图像与性质、一元一次不等式的解法、整体思想等知识，是重要考点，难度一般，掌
握相关知识是解题关键．
51．在平面直角坐标系
中，抛物线
（
）．
（1） 求抛物线的对称轴及抛物线与y 轴交点坐标．
（2） 已知点B（3，4），将点B 向左平移3 个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，
结合函数的图象，求a 的取值范围．
备用图
【答案】（1）
，（0，－3a）；（2）
，或a=－1
【分析】
（1）运用公式x=-
求出对称轴，令x=0，得y=-3a，即可求得抛物线与y 轴的交点坐标；
（2）分三种情况：①当a＞0 时，②当a＜0 时，抛物线的顶点在线段BC 上，③当a＜0 时，若抛物线的顶
点不在线段BC 上，分别进行讨论即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=ax2-2ax-3a，
∴x=−
，
∴抛物线的对称轴是直线x=1，
令x=0，y=-3a，
∴抛物线与y 轴交点坐标为E（0，-3a）；
（2）y=ax2-2ax-3a=a(x2-2x-3)=a(x+1)(x-3)，
∴抛物线与x 轴交于点A（-1，0），D（3，0），与y 轴交于点E（0，-3a），顶点坐标是（1，-4a）．
由题意得点C（0，4），又B（3，4），
①当a＞0 时，如图1，显然抛物线与线段BC 无公共点；
②当a＜0 时，若抛物线的顶点在线段BC 上，如图2，
则顶点坐标为（1，4），
∴-4a=4，
∴a=-1；
③当a＜0 时，若抛物线的顶点不在线段BC 上，如图3，由抛物线与线段BC 恰有一个公共点，
得-3a＞4，
∴a＜−
，
综上，a 的取值范围是a＜−
，或a=-1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形
变换-平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合思想解答．
52．如图，二次函数
的图象与
轴分别交于点
（点
在点
的左侧），与
轴交
于点
，且经过点
．
（1）求
的值．
（2）将点
向下平移
个单位至点
，过点
作
轴于点
，交抛物线于点
．若
，求
的值．
【答案】（1）b=-2，c=-3；（2）
【分析】
（1）把两已知点的坐标代入
中，通过解方程组得到
、
的值；
（2）根据题意设
，
，
，
，利用
得到
，则
、
为方程
的两根，利用根与系数的关系得到
，
，然后利用
可求
出
的值．
【详解】
解：（1）把
，
代入
得
，
解得
；
（2）抛物线的解析式为
，
点
向下平移
个单位至点
，作
轴于点
，
点
、
的纵坐标都为
，
点的横坐标为3，
，
，即
，
设
，
，
，
，
、
为方程
的两根，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问
题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了根与系数的关系．
53．二次函数
的顶点
是直线
和直线
的交点．
（1）当
时，
的值均随
的增大而增大，求
的取值范围．
（2）若直线
与
交于点
．
①当
时，二次函数的最小值为
，求的取值范围．
②
和
为二次函数上的两个点，当
时，求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）①
；②
．
【分析】
（1）通过
求得顶点
，再根据二次函数的性质可知对称轴为直线
，
进而即可求得
的取值范围；
（2）①将
代入
即可得到交点坐标及二次函数解析式为
，再根据二次函
数的最小值问题即可求得的取值范围；②由
可求得
，再由
，求得
或1，再根
据二次函数图像的性质可知当
时，
和
为二次函数上的两个点，即可求得
的取值
范围．
【详解】
（1）
，得
∴顶点
∴二次函数的对称轴为直线
∵当
时，
的值均随
的增大而增大
∴
，解得
∴
的取值范围为
；
（2）将
代入
，解得
所以交点坐标为
, 二次函数解析式为
∴当
时，二次函数的最小值为
①根据题意知
，所以的取值范围为
；
②由
令
得
当
时，
或1，
∵
和
为二次函数上的两个点，且
∴
．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像与性质，以及一次函数的交点求解，熟练掌握二次函数的图像与性质是解
决本题的关键．
54．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象交x 轴于点A（2，0），B（4，0），交y 轴于点
C．
（1）求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x＜0 时y 的取值范围；
（2）将线段OB 向右平移m 个单位，向上平移n 个单位至O′B′（m，n 均为正数），若点O′，B′均落在此
二次函数图象上，求m，n 的值．
【答案】（1）
；
；（2）m=1；
【分析】
（1）利用交点式写出抛物线解析式，再求出C 点坐标，然后写出在y 轴左侧的二次函数值的范围即可；
（2）利用点平移的坐标变换规律写出O′（m，n），B′（4+m，n），把它们代入抛物线解析式得到
，然后解方程组即可．
【详解】
解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c 的图象交x 轴于点A（2，0），B（4，0），
∴抛物线解析式为y=（x-2）（x-4），
即y=x2-6x+8，
当x=0 时，y=x2-6x+8=8，即C（0，8），
所以当x＜0 时，y＞8；
（2）∵线段OB 向右平移m 个单位，向上平移n 个单位至O′B′，
∴O′（m，n），B′（4+m，n），
∵点O′，B′均落在此二次函数图象上，
∴
，
解得
，
即m 的值为1，n 的值为3．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问
题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
55．如图1，抛物线
与
轴交于点
，
，点
为抛物线顶点，连接
，
，
与
轴交于点
，连接
．
（1）求该抛物线解析式，并写出顶点
的坐标；
（2）判断
的形状，并说明理由；
（3）如图2，连接
，抛物线上是否存在点
，使
，当
时，请直接写
出点
的横坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
，顶点
的坐标为
；（2）等腰直角三角形，理由见解析；（3）
存在，
或
【分析】
（1）①把点A（-1，0），C（3，0）代入抛物线
中，列方程组，解出即可求得结论；再
进行配方后可得顶点B 的坐标；
（2）利用两点的距离分别计算AB2，AC2，BC2的值，根据勾股定理的逆定理可得：△ABC 是等腰直角三角
形；
（3）分两种情况讨论：①当点Q 在x 轴下方时，如图1，先确定CF 的解析式，利用抛物线与直线CF 的
解析式列方程，解出可得Q 的横坐标；②当Q 在x 轴下方时，如图2，同理可得结论．
【详解】
解：（1）把点
，
代入抛物线
，得
解得：
抛物线的解析式为
．
顶点
的坐标为
（2）
的形状是等腰直角三角形．
理由：
，
，
，
，
，
的形状是等腰直角三角形．
（3）分两种情况：①当
在
轴的下方时，如图1，延长
，
交于点
，过
作
轴于
，
，且
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
设直线CF 的解析式为：y=kx+n（k≠0），
∵
，
，
∴
，
解得：
，
∴直线
的解析式为
．
，即
解得：
，
，
点
的横坐标为
；
②当
在
轴的上方时，如图2，
，
，
由对称得：
经过点
，
的解析式为
，
，
解得：
，
点
的横坐标为
．
综上，点
的横坐标为
或
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求解析式，利用配方法求最大值，列方程可得交点坐标等知识，涉及知识点较多，
综合性强，有较大难度．
