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2021 年湖北省荆州市中考数学试卷
一、选择题(本大题共有10 个小题，每小题3 分，共30 分)
1．在实数﹣1，0，
，
中，无理数是（ ）
A．﹣1
B．0
C．
D．
2．如图是由一个圆柱和一个长方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若等式2a2•a+□＝3a3成立，则□填写单项式可以是（ ）
A．a
B．a2
C．a3
D．a4
4．阅读下列材料，其①～④步中数学依据错误的是（ ）
如图：已知直线b∥c，a⊥b，求证：a⊥c．
证明：①∵a⊥b（已知）
∴∠1＝90°（垂直的定义）
②又∵b∥c（已知）
∴∠1＝∠2（同位角相等，两直线平行）
③∴∠2＝∠1＝90°（等量代换）
④∴a⊥c（垂直的定义）
A．①
B．②
C．③
D．④
5．若点P（a+1，2﹣2a）关于x 轴的对称点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知：如图，直线y1＝kx+1 与双曲线y2＝
在第一象限交于点P（1，t），与x 轴、y
轴分别交于A，B 两点，则下列结论错误的是（ ）
A．t＝2
B．△AOB 是等腰直角三角形
C．k＝1
D．当x＞1 时，y2＞y1
7．如图，矩形OABC 的边OA，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 的延长线上，
若A（2，0），D（4，0），以O 为圆心、OD 长为半径的弧经过点B，交y 轴正半轴于
点E，连接DE，BE，则∠BED 的度数是（ ）
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A．15°
B．22.5°
C．30°
D．45°
8．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，点D，P 分别是图中所作直线和射线与AB，
CD 的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．AD＝CD
B．∠ABP＝∠CBP
C．∠BPC＝115°
D．∠PBC＝∠A
9．如图，在菱形ABCD 中，∠D＝60°，AB＝2，以B 为圆心、BC 长为半径画
，点P 为
菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC 为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积
为（ ）
A．
B．
C．2π
D．
10．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右
边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x 的方程
[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0 有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）
A．k＜
且k≠0
B．k
C．k
且k≠0
D．k≥
二、填空题(本大题共6 个小题，每小题3 分，共18 分)
11．已知：a＝（
）﹣1+（﹣
）0，b＝（
+
）（
﹣
），则
＝ ．
12．有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，另外两把钥匙不能
打开这两把锁．随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是
．
13．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，OD⊥AC 于D，连接OC，过点D 作
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DF∥OC 交AB 于F，过点B 的切线交AC 的延长线于E．若AD＝4，DF＝
，则BE＝
．
14．如图1 是一台手机支架，图2 是其侧面示意图，AB，BC 可分别绕点A，B 转动，测量
知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC 转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C 到AE
的距离为 cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，
≈1.73）
15．若关于x 的方程
+
＝3 的解是正数，则m 的取值范围为 ．
16．如图，过反比例函数y＝
（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x 轴的
垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4 分别作y 轴，P1A1，P2A2，
P3A3 的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，
S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为 ．
三、解答题(本大题共有8 个小题，共72 分)
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17．（8 分）先化简，再求值：
÷（1+
），其中a＝2
．
18．（8 分）已知：a 是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7 的最小整数解，请用配方法解
关于x 的方程x2+2ax+a+1＝0．
19．（8 分）如图，在5×5 的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED 与AD
的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．
请在网格图形中画图：
（1）以线段AD 为边画正方形ABCD，再以线段DE 为斜边画等腰直角三角形DEF，其
中顶点F 在正方形ABCD 外；
（2）在（1）中所画图形基础上，以点B 为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形
的面积为正方形ABCD 和△DEF 面积之和，其它顶点也在格点上．
20．（8 分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以启智增慧，拓展视野，…
为了解学生寒假阅读情况，开学初学校进行了问卷调查，并对部分学生假期（24 天）的
阅读总时间作了随机抽样分析．设被抽样的每位同学寒假阅读的总时间为t（小时），
阅读总时间分为四个类别：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D
（t≥36），将分类结果制成两幅统计图（尚不完整）．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样的样本容量为 ；
（2）补全条形统计图；
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（3）扇形统计图中a 的值为 ，圆心角β 的度数为 ；
（4）若该校有2000 名学生，估计寒假阅读的总时间少于24 小时的学生有多少名？对
这些学生用一句话提一条阅读方面的建议．
21．（8 分）小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、
描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质： ；
②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1 的解为： ；
③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a 有四个实数根，则a 的取值范围是 ．
（2）延伸思考：
将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3 的图
象？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3 时，自变量x 的取值范围．
22．（10 分）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买
2 支百合和1 支康乃馨共需花费14 元，3 支康乃馨的价格比2 支百合的价格多2 元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11 支，且百合不少于2 支．设买这束鲜花所需费用为
w 元，康乃馨有x 支，求w 与x 之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，
写出最少费用．
23．（10 分）在矩形ABCD 中，AB＝2，AD＝4，F 是对角线AC 上不与点A，C 重合的一
点，过F 作FE⊥AD 于E，将△AEF 沿EF 翻折得到△GEF，点G 在射线AD 上，连接
CG．
（1）如图1，若点A 的对称点G 落在AD 上，∠FGC＝90°，延长GF 交AB 于H，连接
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CH．
①求证：△CDG∽△GAH；
②求tan∠GHC．
（2）如图2，若点A 的对称点G 落在AD 延长线上，∠GCF＝90°，判断△GCF 与
△AEF 是否全等，并说明理由．
24．（12 分）已知：直线y＝﹣x+1 与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，点C 为直线AB 上一
动点，连接OC，∠AOC 为锐角，在OC 上方以OC 为边作正方形OCDE，连接BE，设
BE＝t．
（1）如图1，当点C 在线段AB 上时，判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由；
（2）直接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；
（3）若tan∠AOC＝k，经过点A 的抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）顶点为P，且有
6a+3b+2c＝0，△POA 的面积为
，当t＝
时，求抛物线的解析式．
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