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21.3 实际问题与一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．某口罩厂六月份的口罩产量为
万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到
万只，则该厂
七八月份的口罩产量的月平均减少率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，根据该厂六月份及八月份的口罩产量，即可得出关于x
的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设该厂七八月份的口罩产量月平均减少率为x，
根据题意得，
，
解得
，
（不合题意，舍去）．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．秋冬季节为流感得高发期，有一人患了流感，经过两轮传染后共有81 人患了流感，每轮传染中平均一
个人传染的人数为（ ）
A．7 人
B．8 人
C．9 人
D．10 人
【答案】B
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染的人数为x 人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81 人患了流感”，
即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x 人，
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依题意，得：
，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握传播问题的列式方法．
3．某小区
年屋顶绿化面积为
，计划
年屋顶绿化面积要达到
．设该小区
年至
年屋顶绿化面积的年平均增长率为
，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积的年平均增长率为x，根据题意即可列出
方程．
【详解】
解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：
2000（1+x）
2=2880．
故选：D．
【点睛】
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率
问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）
2=b（a＜b）；平均降低率问题，在理解的基础上，可归结为a
（1-x）
2=b（a＞b）．
4．有一人患流感，经过两轮传染后，共有49 人患了流感．如果不及时控制，第三轮被传染的人数为（
）
A．234
B．264
C．284
D．294
【答案】D
【分析】
设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据已知列出x 的方程，然后求出x 值，进而可求出第三轮被传染的
人数．
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【详解】
解：设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据题意，
得：1+x+x(1+x)=49，
解得：x=6 或x=﹣8（舍去），
∴每轮传染中平均每人传染了6 人，
则第三轮被传染的人数为49×6=294（人），
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染的人数是解答的关键．
5．某厂今年7 月份的产值为200 万元，第三季度总产值为950 万元，这两个月的平均增长的百分率是多少？
若设平均每月增长的百分率为x，则列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），关系式为：7 月份的产值+8 月份的产值+9 月
份的产值=950，把相关数值代入即可求解．
【详解】
解：8 月份的产值为200×（1+x），
9 月份的产值在8 月份产值的基础上增加x，为200×（1+x）×（1+x），
则列出的方程是200+200（1+x）+200（1+x）
2=950，
故选：D．
【点睛】
考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的
数量关系为a（1±x）
2=b；注意本题是根据3 个月的总产值得到相应等量关系．
6．某厂一月份的总产量为500 吨，三月份的总产量达到为720 吨，若平均每月增长率是x，则可以列方程
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【分析】
主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设平均每月增率是x，那么根
据三月份的产量可以列出方程．
【详解】
解：设平均每月增率是x，
二月份的产量为：500×（1+x）；
三月份的产量为：500（1+x）
2=720；
故选：D．
【点睛】
本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化
后的数量关系为a（1±x）
2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“-”） ；找到关
键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
7．日历中含有丰富的数学知识，如在图1 所示的日历中用阴影圈出9 个数，这9 个数的大小之间存在着某
种规律.小慧在2020 年某月的日历中也按图1 所示方式圈出9 个数（如图2），发现这9 个数中最大的数与
最小的数乘积是297，则这9 个数中，中间的数是（ ）
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
图1
图2
A．17
B．18
C．19
D．20
【答案】C
【分析】
根据日历的特点得到
，
，列出一元二次方程解出e 的值．
【详解】
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解：根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前后两个数相差1，
则
，
，
，
，
∵最大的数与最小的数乘积是297，
∴
，解得
，取正数，
．
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程进行求解．
8．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程
的两根，则该等腰三角形的底边长为（
）
A．4
B．2
C．6
D．2 或4
【答案】B
【分析】
解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
【详解】
解：x2-6x+8=0
（x-4）（x-2）=0
解得：x=4 或x=2，
当等腰三角形的三边为2，2，4 时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4 时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长
为2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形
三边存在的条件是解此题的关键．
9．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81 人患病，设每轮传染中平
均一个人传染了x 个人，下列列式正确是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【分析】
平均一人传染了x 人，根据有一人患病，第一轮有（x+1）人患病，第二轮共有x+1+（x+1）x 人，即81
人患病，由此列方程求解．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得，
x+1+（x+1）x=81
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
10．如图是－张长12cm，宽10cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分
（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】
根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．
【详解】
设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,
由题意得:
,
解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24 中得: (10－2x)(6－x)=24,
整理得:2x2－11x+18=0．
解得x=2 或x=9(舍去)．
∴正方形边长为2cm，
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故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用,关键在于正确的设多个未知数,利用代数表示列出方程．
11．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100 元降到每件64 元，则平均每次降价的百分率为（
）
A．15%
B．40%
C．25%
D．20%
【答案】D
【分析】
设平均每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次
方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意，得：100（1-x）
2=64，
解得：x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．某中学举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间只比赛1 场，共比赛10 场，则参加此次比赛的球队数是
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【分析】
根据球赛问题模型列出方程即可求解．
【详解】
解：设参加此次比赛的球队数为x 队，根据题意得：
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x（x-1）=10，
化简，得x2-x-20=0，
解得x1=5，x2=-4（舍去），
∴参加此次比赛的球队数是5 队．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题．
13．用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？设矩形的一边为x 米，根据题意，可列方程
为（ ）
A．x（40－x）＝75
B．x（20－x）＝75
C．x（x＋40）＝75
D．x（x＋20）＝7
【答案】B
【分析】
根据长方形的周长可以用x 表示另一边，然后根据面积公式即可列出方程.
【详解】
解：设矩形的一边为x 米，则另一边为（20-x）米，
∴x（20－x）＝75，
故选：B.
【点睛】
此题考查一元二次方程的实际应用，根据题意抽象出一元二次方程是解题的关键.
14．为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统
计4 月份的销售额为
万元，接下来5 月，6 月的月增长率相同，6 月份的销售额为
万元，若设5 月、
6 月每月的增长率为
，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据“4 月份的销售额为200 万元，接下来5 月，6 月的月增长率相同，6 月份的销售额为500 万元”，可
以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
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【详解】
解：由题意可得，
200（1+x）
2＝500，
故选：C．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型
的增长率问题，是中考常考题．
15．在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡
张，则参加活动的同学有（ ）
A．6 人
B．7 人
C．8 人
D．9 人
【答案】B
【分析】
设参加活动的同学有
人，从而可得每位同学赠送的贺卡张数为
张，再根据“共送贺卡
张”建立方
程，然后解方程即可得．
【详解】
设参加活动的同学有
人，
由题意得：
，
解得
或
（不符题意，舍去），
即参加活动的同学有7 人，
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
16．有1 人患了流感，经过两轮传染后共有81 人患流感，则每轮传染中平均一个人传染了（ ）人．
A．40
B．10
C．9
D．8
【答案】D
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则一轮传染后共有（1+x）人被传染，两轮传染后共有[（1+x）
+x(1+x)]人被传染，由题意列方程计算即可．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，
由题意，得：（1+x）+x(1+x)=81，
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即x2+2x﹣80=0，
解得：x1=8，x2=﹣10（不符合题意，舍去），
故每轮传染中平均一个人传染了8 人，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
17．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛（这样的比赛叫做双循环比赛），共要比赛90 场．设有
个球队参加比赛，根据题意，列出方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
有x 个球队参加比赛，每两队之间都进行两场比赛即每个队伍都要进行(x－1)场比赛，共进行x(x－1)场比
赛，根据题意列方程即可．
【详解】
由题意可得：
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系列方程是解题关键．
18．在一幅长80cm，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果
要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x 满足的方程是（ ）
A．x2+65x-350=0
B．x2+130x-1400=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
【答案】A
【分析】
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本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可．
【详解】
解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400，
即4000+260x+4x2=5400，
化简为：4x2+260x-1400=0，
即x2+65x-350=0．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．
19．某口罩加工厂今年一月口罩产值达80 万元，第一季度总产值达340 万元，问二、三月份的月平均增长
率是多少？设月平均增长率为
，则根据题意可得方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由一月份口罩产值以及月平均增长率分别求出二月份、三月份的口罩产值，再根据第一季度总产值达340
万元列方程即可．
【详解】
二月份口罩产值：
万元，
三月份口罩产值：
万元，
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，理解增长率的概念并灵活运用是解题关键．
20．如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的篱笆围成，
为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门，花圃面积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm，则
可以列出关于x 的方程是（ ）
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A．x（26﹣2x）=80
B．x（24﹣2x）=80
C．（x﹣1）（26﹣2x）=80
D．（x-1）（25﹣2x）=80
【答案】A
【分析】
设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，然后根据花圃面积为80m2列关于x 的一
元一次方程即可．
【详解】
解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m
由题意得：x（26-2x）=80．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了根据题意列一元二次方程，理解题意、设出未知数、表示出相关的量、找到等量关系列方程是
解答本题的关键．
21．有一人感染上新冠状肺炎，经过两轮传染后有100 人患这种肺炎．则每一轮传染中平均一个人传染了
（ ）
A．8 人
B．9 人
C．10 人
D．11 人
【答案】B
【分析】
由1 个人患了新冠且经过两轮传染后共有100 个人患新冠，每轮传染中平均一个人传染m 人，即可得出关
于m 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】
解：每轮传染中平均一个人传染m 人，
依题意，得：1+m+m（m+1）=100，
解得：m1=9，m2=
11（不合题意，舍去）．
∴每轮传染中平均一个人传染9 个人．
故选：B．
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【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．中秋节那天初三某班学生通过微信互送祝福，若每名学生都给全班其他同学发一条，全班共发送了
2450 条祝福，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝2450
B．
x（x﹣1）＝2450
C．2x（x﹣1）＝2450
D．x（x﹣1）＝2450
【答案】D
【分析】
根据题意得：每人要发（x﹣1）条微信祝福，有x 个人，然后根据全班共发送了2450 条祝福列方程即可．
【详解】
根据题意得：每人要发（x﹣1）条微信祝福，全班有x 名学生，
所以（x﹣1）x＝2450．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，设未知数，根据等量关系列方程是解题关键．
23．某企业五月份的利润是25 万元，预计七月份的利润将达到49 万元．设平均月增长率为x，根据题意
可列方程是（ ）
A．25(1+ x %)2=49
B．25(1+x)2=49
C．25(1+ x2) =49
D．25(1- x)2=49
【答案】B
【分析】
主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设利润的年平均增长率为x，
然后根据已知条件可得出方程．
【详解】
解：依题意得七月份的利润为25（1+x）
2，
∴25（1+x）
2=49．
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意
增长率问题的一般规律．
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24．某商场销售一种新文具，进价为20 元/件，市场调查发现，每件售价35 元，每天可销售此文具250 件，
在此基础上，若销售单价每上涨1 元，每天销售量将减少10 件，针对这种文具的销售情况，若销售单价定
为
元时，每天可获得4000 元的销售利润，则
应满足的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由题意可知，当获得4000 元利润时，
＞35；根据题意列出
＞35 时的方程即可．
【详解】
由题意知：销售单价定为
元，
∵进价为20 元/件，每件售价35 元，每天可销售此文具250 件，
∴销售利润=（35-20）×250=3750＜4000
∴销售利润为4000 时，
＞35，
又∵销售单价每上涨1 元，每天销售量将减少10 件
∴可得方程为
．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的概念及性质是解题的关键．
25．如图1，有一张长
，宽
的长方形硬纸片，裁去角上2 个小正方形和2 个小长方形（图中阴
影部分）之后，恰好折成如图2 所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是
，则纸盒的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
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设当纸盒的高为xcm 时，纸盒的底面积是130cm2，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积，即可得出关
于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】
依题意，得
，
化简，得
，
解得
．
当
时，
，不符合题意，舍去．
故纸盒的高为
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26．如图，这是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1 个点，第二行有2 个点…，第
行有
个点…，前
行的点数和不能是以下哪个结果 （ ）
A．741
B．600
C．465
D．300
【答案】B
【分析】
由于第一行有1 个点，第二行有2 个点…第n 行有n 个点…，则前五行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，前10
行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，前n 行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝n（n＋1）个点，
然后根据选项分别求出n 的数值，即可作出判断．
【详解】
解：通过观察图形可知：
第一行有1 个点，第二行有2 个点…第n 行有n 个点，
则前5 行共有（1＋2＋3＋4＋5）个点，
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前10 行共有（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）个点，
前n 行共有1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＝
n（n＋1）个点，
其中n 为正整数，
∴当
n（n＋1）=741 时，解得：
（舍），
，
当
n（n＋1）=600 时，解得：
（舍），
当
n（n＋1）=465 时，解得：
（舍），
，
当
n（n＋1）=300 时，解得：
（舍），
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推
广到一般情况．
27．一个矩形内放入两个边长分别为3cm 和4cm 的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正
方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆
盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部
分的面积为（ ）
A．6cm2
B．7 cm2
C．12cm2
D．19 cm2
【答案】B
【分析】
设矩形的长为x cm，宽为y cm，根据矩形的面积公式结合按图①②两种放置时未覆盖部分的面积，即可得
出关于x、y 的方程组，利用(②-①)÷3 可得出x=y+1③，将③代入②中可得出关于y 的一元二次方程，解之
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取其正值，即可得到y 值，进而得出x 的值，再利用矩形面积公式得出图③摆放位置时未覆盖的面积即可
得出答案．
【详解】
解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，
依题意，得：
，
（②-①）÷3，得：y-x+1=0，
x=y+1
∴
③．
将③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11，
整理，得：y2-2y-15=0，
解得：y1=5，y2=-3（舍去），
x=6
∴
．
∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：（x-4）（y-3）+
（x-3）（y-4）=2×2+3×1=7．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
28．如图，在
中，
，
，
，点
从点
开始沿
边向点
以
的速度移动，同时另一个点
从点
开始沿
以
的速度移动，当
的面积等于
时，经过的时间是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】
本题已知了
、
的速度，设
秒后，
的面积等于
，根据路程 =速度
时间，可用时间
表示出
和
的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符
合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值．
【详解】
解：设
秒后，
的面积等于
，
依题意得：
，
∴
，
∴
，
，
当
时，
，即
不合题意，舍去．
所以10 秒后，
的面积等于
．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；解题的关键是准确表示出AP、PC、
BQ、CQ 关于时间x 的代数式，再根据等量关系列出方程来求解．
29．如图，在正方形
中，边长为
的等边三角形
的顶点
分别在
和
上，下列结论：
，其中正确的序号是( )
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A．①②④
B．①②C．②③④
D．①③④
【答案】A
【分析】
根据正方形的性质可得∠BAD=∠B=∠D=90°，AB=AD=BC=CD，然后等边三角形的性质可得AE=AF，
∠EAF=60°，然后利用HL 即可证出Rt△ABE≌Rt△ADF，从而证出BE=DF，∠BAE=∠DAF，即可判断①；
先求出∠BAE，根据直角三角形的性质即可判断②；证出AE≠2BE，即可判断③；设正方形的边长为x，
求出CE，最后利用勾股定理列出方程即可求出x，从而判断④．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为正方形
∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AB=AD=BC=CD
∵△AEF 为等边三角形
∴AE=AF，∠EAF=60°
在Rt△ABE 和Rt△ADF 中
∴Rt△ABE≌Rt△ADF
∴BE=DF，∠BAE=∠DAF
∴BC－BE=CD－DF
∴CE=CF，故①正确；
∴∠BAE=∠DAF=
（∠BAC－∠EAF）=15°
∴∠AEB=90°－∠BAE=75°，故②正确；
在Rt△ABE 中，∠BAE≠30°
∴AE≠2BE
∴EF≠BE＋DF，故③错误；
设正方形的边长为x，
∵CE=CF，∠C=90°，EF=2
∴△CEF 为等腰直角三角形
∴∠CEF=45°
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∴CE=
则BE=BC－CE=x－
在Rt△ABE 中，AB2＋BE2=AE2
∴x2＋（x－
）
2=22
解得：x1=
，x2=
（不符合实际，舍去）
∴
=
，故④正确．
综上：正确的有①②④．
故选A．
【点睛】
此题考查的是正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和勾股定
理，掌握正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和勾股定理解
直角三角形是解决此题的关键．
30．方程
的整数解有（ ）
A．3 组
B．4 组
C．5 组
D．6 组
【答案】D
【解析】
【分析】
将y 看作未知数，运用一元二次方程的判别式，确定x 的取值范围，从而确定一元二次方程解的情况.
【详解】
解：
∵x 是整数解
∴x=-1，y2-4y+4=0，解得y=2；
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x=0，y2-3y=0，解得y=0 或y=3；
x=1，y2-2y-2=0，y 没有整数解；
x=2，y2-y-2=0，解得y=-1 或y=2；
x=3，y2=0，解得y=0.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了非一次不定方程（组），方程和不等式的相关性质，关键寻求并缩小某个字母的取值范围，
通过验算获得全部解答.
二、填空题
31．某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样树木的小分支，主干、支干、和小分支的
总数是91，每个支干长出x 个小分支，则x=______________．
【答案】9
【分析】
根据主干+支干数目+支干数目×支干数目=91，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结
论．
【详解】
解：∵主干为1，每个支干长出x 个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，
∴小分支的个数为：x×x=x2，
∴可列方程为：1+x+x2=91．
解得：x1=9，x2=-10（舍去）．
答：每个支干长出9 个小分支．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程求解．
32．某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45 场，设参
加比赛的球队有
支，根据题意，可列方程为______．
【答案】
【分析】
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根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x 个球队比赛总场数为
，即可列方程．
【详解】
解：设一共有x 个球队参赛，每个队都要赛（x-1）场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得：
故答案为：
．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
33．如图，在
中，
，
，
，点P，Q 分别同时从A，B 出发，点
P 沿线段AC 以
的速度向点C 移动，点Q 沿线段BC 以
的速度向点C 移动，当P，Q 其中一点
到达点C 时，两点即停止运动，设运动时间为t 秒，则当四边形APQB 的面积是
时，t 的值为
__________________.
【答案】2
【分析】
求出△ABC 的面积，用之减去四边形APQB 的面积，得到△PCQ 的面积，再据题意用t 表示出△PCQ 的面
积，列方程求解．
【详解】
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解：在RT△ABC 中，由勾股定理得
∴△ABC 的面积是
㎝
2；
由题意得PC=AC-2t㎝=(16-2t)㎝，QC=BC-t㎝=(12-t) ㎝，由题意列方程为
解得
（舍去），
；
答：当t=2 时，四边形APQB 的面积是
．
故答案为：2．
【点睛】
此题考查列一元二次方程解与图形面积有关的问题．其关键是运用所设量和相关面积公式表示出图形的面
积．列方程解决问题时，一定要检验解的合理性．
34．要为一幅长
，宽
的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照
片面积的四分之一，设相框边的宽度为
，则可列出关于
的一元二次方程_______．
【答案】（29-2x）（22-2x）=
×29×22．
【分析】
根据题意表示出去掉相框的面积进而得出等式即可．
【详解】
解：设相框边的宽度为xcm，则可列方程为：
（29-2x）（22-2x）=
×29×22．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出去掉相框的面积是解题关键．
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35．如图，一块长方形绿地的长为100 米，宽为50 米，在绿地中开辟两条相同宽度的道路后剩余绿地面积
为4559 平方米，如果设道路宽度为
米，则根据题意可列出方程___________．
【答案】
【分析】
由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4559 平方米，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：依题意，得：
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题
36．李师傅去年开了一家商店，今年开始盈利，1 月份盈利2400 元，到三月末统计前三个月共计盈利8736
元，且从1 月到3 月，每月盈利的平均增长率都相同．求每月盈利的平均增长率．
【答案】20%．
【分析】
先设出未知数表示平均增长率，再分别表示出2 月和3 月的盈利，将三个月的盈利相加建立方程即可求解．
【详解】
解：设每月盈利的平均增长率为x.
根据题意，得 2400+2400（1+x）+2400(1+x)2=8736
解这个方程，得
=0.2，
=－3.2（不符合题意，舍去）
所以x=0.2
答：每月盈利的平均增长率为20%．
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【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用和平均增长率的问题，学生需牢记公式，并建立方程求解即可，考查了学
生对一元二次方程的应用能力以及对公式的理解与应用能力．
37．列方程解应用题
①如图，我县某单位要在长为40 米，宽为24 米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形
观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的
，若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池面积的
，求道路的宽．
②某校九年级一班的一个数学综合实践小组去超市调查某种商品“十一”期间的销售情况，下面是调查后小
阳与其他两位同学交流的情况：
小阳：据调查，该商品的进价为12 元／件．
小佳：该商品定价为20 元时，每天可售240 件．
小欣：在定价为20 元的基础上，涨价1 元，每天少售20 件；降价1 元，则每天多售出40 件．
根据他们的对话，若销售的商品每天能获利1920 元时，应该怎样定价更合理？
【答案】①道路的宽为2 米；②定价为18 元更合理．
【分析】
①设道路的宽为x 米． 根据道路的宽为正方形边长的
，得出正方形的边长以及道路与正方形的面积进
而得出答案．
②设定价为x 元，则有（x﹣进价）[每天售出的数量﹣（x﹣20）×20]＝每天利润；解方程求解即可．
【详解】
①解：设道路的宽为x 米．
列方程x（24-4x）+x（40-4x）+16x2=
×40×24，
整理得x2+8x-20=0 ，
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解得x1=2，x2=-10（舍去），
答：道路的宽为2 米．
②解：当涨价时，设每件商品定价为x 元，则每件商品的销售利润为（x-12）元.根据题意，得（x-12）
〔240-20（x-20）〕=1920，
整理得x2-44x+480=0 解得x1=20， x2=24，
当降价时，设每件商品定价为y 元，则每件商品的销售利润为（y-12）元．
根据题意，得（y-12）〔240+40（y-20）〕=1920，
整理得x2-38x+360=0 ，
解得y1=20，y2=18，
综上两种方案后，定价为18 元更合理．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，解题关键是找准数量关系，正确列出方程．
38．吉水县中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米6000 元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产
的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米4335 元的价格销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调10%，再下调20%，这样更有吸引力，请问房产销售经理
的方案对购房者是否更优惠？为什么？
【答案】（1）15%；（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠，理由见解析．
【分析】
（1）设出平均每次下调的百分率为x，利用原每平方米销售价格×（1﹣每次下调的百分率）
2＝经过两次
下调每平方米销售价格列方程解答即可；
（2）求出先下调10%，再下调20%，是原来价格的百分率，与开发商的方案比较，即可求解．
【详解】
解：（1）设平均每次下调的百分率是x，根据题意列方程得，
6000（1﹣x）
2＝4335，
解得：x1＝15%，x2＝185%（不合题意，舍去）；
答：平均每次下调的百分率为15%．
（2）（1﹣10%）×（1﹣20%）
＝90%×80%
＝72%，
（1﹣x）
2＝（1﹣15%）
2＝72.25%．
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∵72%＜72.25%，
∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用（增长率问题），理解题意找准等量关系列方程计算是解题关键．
39．某商场一种商品的进价为每件30 元，售价为每件40 元．每天可以销售48 件，为尽快减少库存，商场
决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至32.4 元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价1 元，每天可多销售8 件，那么每天要想获得510 元的利润，每件应降价多
少元？
【答案】（1）10%；（2）2.5 元
【分析】
（1）设每次降价的百分率为x，（1-x）
2为两次降价的百分率，根据题意列出方程求解即可；
（2）设每天要想获得510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y 元，由销售问题的数量关
系建立方程求出其解即可．
【详解】
解：（1）设每次降价的百分率为x，由题意，得
40×（1-x）
2=32.4，
解得，x1=10%，x2=190%（不符合题意，舍去）．
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4 元，两次下降的百分率为10%；
（2）设每件商品降价y 元，由题意，得
（40-30-y）（48+8y）=510．
解得
．
有利于减少库存，
y=2.5
答：每天要想获得510 元的利润，每件应降价2.5 元
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等量关系，这种价格问题主要解决价格变化前后
的关系，列出方程，解答即可．
40．某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工
作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2求：该工
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程队第二天第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数．
【答案】20%．
【分析】
先设该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是x，根据增长后的量=增长前的量×
（1+增长率），列出方程，再求解即可．
【详解】
解：设该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是x，根据题意得：
1250（1
20%）（1+x）
2=1440，
解得：x1=0.2=20%，x2=
2.2（舍去）．
则该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是20%．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，关键是读懂题意，找出关键描述语，列出方程，注意舍去不符合题意的
解．
41．某超市销售一种商品，平均每天可售出20 件，每件盈利40 元．为了扩大销售、增加盈利，超市采取
了降价措施，在每件盈利不少于24 元的前提下，经过一段时间发现销售单价每降低1 元，平均每天可多售
出2 件．
（1）若每件降价5 元，则平均每天销售量为_______件；
（2）当每件降价多少元时，该超市每天销售此商品利润为1200 元？
【答案】（1）30；（2）每件商品应降价10 元时，该商店每天销售利润为1200 元
【分析】
（1）利用平均每天销售量=20+2×每件降价钱数，即可求出结论；
（2）设每件降价x 元，则每件盈利（40-x）元，平均每天销售量为（20+2x）件，根据该超市每天销售此
商品的利润=每件的利润×平均每天销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出x 的值，再结
合每件盈利不少于24 元，即可确定x 的值．
【详解】
解：（1）平均每天的销售量=20+5×2=30 件．
故答案为：30；
（2）设每件商品应降价
元时，该商店每天销售利润为1200 元．
由题意得
，
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∴
，
∴
，
，
∵要求每件盈利不少于24 元．
∴
应舍去，
∴
．
答：每件商品应降价10 元时，该商店每天销售利润为1200 元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
42．第十五届中国上海国际艺术节期间，瑞士日内瓦大歌剧院芭蕾舞团芭蕾舞剧《吉赛尔》在市内的城市
剧院演出，主办方工作人员准备利用一边靠墙（墙26 米）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为300 平
方米的封闭型长方形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出两个宽各为1 米的出入口，共用去隔
栏绳48 米．请问，工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？
【答案】AB 为15 米，BC 为20 米
【分析】
设封闭型长方形等候区的边AB 为x 米，根据面积为300 平方米的封闭型长方形等候区可得（48+2﹣2x）x
＝300，再解一元二次方程即可．
【详解】
解：设封闭型长方形等候区的边AB 为x 米，
由题意得：x（48﹣2x+2）＝300，
整理，得
﹣25x+150＝0，
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解得
＝10，
＝15，
当x＝10 时，BC＝30＞26；
当x＝15 时，BC＝20＜26，
∴x＝10 不合题意，应舍去．
答：封闭型长方形等候区的边AB 为15 米，BC 为20 米．
【点睛】
本题考查了栅栏围长方形问题，一元二次方程的解法，方程根的意义，根据题意，正确列出方程，并正确
判断根的取舍是解题的关键．
43．如图，在一块长
米，宽
米的矩形空地
上修建两条水平和一条铅直道路，已
知水平道路和铅直道路的宽之比为
，剩余空地面积为3456 平方米．
（1）请你计算水平和铅直道路的宽分别是多少米．
（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，宽度也随之改变为铅直道路的宽度，也能保证剩余空地面积
为3456 平方米，你能说明理由吗？
【答案】（1）水平道路的宽是6 米，铅直道路的宽是8 米；（2）见解析
【分析】
（1）分别设出水平道路和铅直道路的宽，依据面积列出等量关系计算即可．
（2）依据题意计算出剩余空地面积然后和3456 平方米比较即可．
【详解】
解：（1）设水平道路和铅直道路的宽分别为
米和
米，依题意，得
，
解得
，
．
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∵
，
∴
不符合题意，应舍去，
∴
，
∴水平道路的宽是3
=6 米，铅直道路的宽是4
=8 米．
（2）若将其中一条水平道路改为铅直道路，依题意，得
剩余空地面积为（80-8-8）×（60-6）=64×56=3584（平方米）＞3456（平方米）
∴将水平道路改为铅直道路，也可以保证剩余空地面积为3456 平方米
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出正确的等量
关系，列出方程再求解，注意道路面积重叠的部分．
44．某商场购进一批每盒40 元的月饼销售，根据销售经验，应季销售每盒月饼的售价为60 元时，每天可
售出400 盒．当售价每提高1 元时，销量就相应减少10 盒．
（1）若商场要每天获得9000 元的利润，每盒月饼的售价应定为多少元？
（2）过季处理时，经过两次打折商品每盒售价为29.4 元，商场平均每次打几折？
【答案】（1）每盒月饼的售价应定为70 元，每天获得9000 元的利可润；（2）商场平均每次打七折
【分析】
（1）设每盒月饼的售价应提高x 元，每天获得9000 元的利可润，由题意可列出一元二次方程，解方程可
得出答案；
（2）设每次打y 折，根据题意可得出一元二次方程，则可得出答案．
【详解】
解：（1）设每盒月饼的售价应提高x 元，每天获得9000 元的利可润，
根据题意得：(60+x﹣40)(400﹣10x)=9000，
解得：x=10，
∴60+x=70．
答：每盒月饼的售价应定为70 元，每天获得9000 元的利可润．
（2）设每次打y 折，根据题意可得：
，
解得：y1=7，y2=-7（不合题意舍去）．
答：商场平均每次打七折．
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【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据每盒月饼的利润×每天的销售量=每天的利润，列出关于x 的一
元二次方程是解题的关键．
45．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1 次．
（1）若参加聚会的人数为3，则共握手______次；若参加聚会的人数为6，则共握手____次；
（2）若参加聚会的人数为n（n 为正整数），则共握手______次；
（3）若参加聚会的人共握手45 次，请求出参加聚会的人数．
拓展：
嘉嘉给琪琪出题：“若在直角∠AOB 的内部由顶点O 引出m 条射线（不含OA、OB 边），角的总数为
20，求m 的值．”
琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20．”琪琪的思考对吗？若对，请求出m 的值；若不对，
请说明理由．
【答案】（1）3；15；（2）
n（n﹣1）；（3）参加聚会的有10 人；拓展：琪琪的思考对，理由见解析．
【分析】
探究：（1）根据握手次数=参会人数×（参会人数-1）÷2，即可求出结论；
（2）由（1）的结论结合参会人数为n，即可得出结论；
（3）由（2）的结论结合共握手45 次，即可得出关于n 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
拓展：根据题意即可得出关于m 的一元二次方程，解之由该方程的解均不为整数可得出琪琪的思考对．
【详解】
解：（1）参加聚会的人数为3，则共握手
×3×2＝3（次）；
若参加聚会的人数为6，则共握手
×6×5＝15（次）；
故答案为：3，15；
（2）参加聚会的人数为n（n 为正整数），则共握手
n（n﹣1）次．
故答案为：
n（n﹣1）；
（3）设有x 人参加聚会，根据题意得，
x（x﹣1）=45，
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解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去），
答：参加聚会的有10 人．
拓展：解：琪琪的思考对，理由如下：
设从点O 共引出m 条射线，若共有20 个角，
则有：
，
解得：m＝
，（负值舍去），
∴m=
，与m 为正整数矛盾，
所以不可能有20 个角．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各
数量之间的关系，用含n 的代数式表示出握手总数；（3）（拓展）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
46．2020 年3 月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，
将对全球造成巨大影响．世界卫生组织提出：如果1 人传播10 人以上而且被传染的人已经确定为新冠肺炎，
那么这个传播者就可以称为”超级传播者”．如果某地区有1 人不幸成为新冠肺炎病毒的携带者，假设一
个病毒携带者每轮传染的人数相同，经过两轮传染后共有81 人成为新冠肺炎病毒的携带者．
（1）请判断最初的这名病毒携带者是”超级传播者”吗？求他每轮传染的人数；
（2）若不加以控制传染渠道，经过3 轮传染，新冠肺炎病毒的携带者共有多少人？
【答案】（1）不是；8 人；（2）729 人
【分析】
（1）设每人每轮传染
人，根据经过两轮传染后共有81 人成为新冠肺炎病毒的携带者，即可得出关于
的一元二次方程；解之，可得出
的值，将其正值与10 比较后即可得出结论；
（2）根据经过3 轮传染后病毒携带者的人数＝经过两轮传染后病毒携带者的人数×（1＋每人每轮传染的
人数），即可求出结论．
【详解】
（1）设每人每轮传染
人，
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依题意，得：
，得：
，
（不合题意，舍去），
又∵ 8＜10，∴最初的这名病毒携带者不是“超级传播者”；
所以最初这名病毒携带者不是“超级传播者”；他每轮传染的人数8 人；
（2）81×（1＋8）＝729（人），
所以若不加以控制传染渠道，经过3 轮传染，共有729 人成为新冠肺炎病毒的携带者．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，重点在求解方程和实际问题进行结合解决问题；
47．江西赣南脐橙和重庆奉节脐橙是两种优质的脐橙品种，都是中国国家地理标志产品，享有“中华名
果”之美誉．11 月份，某水果经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙共7000 千克，总销售额为62000 元，已知
赣南脐橙单价为每千克8 元，奉节脐橙的单价为每千克10 元．
（1）求11 月份该经销商销售赣南脐橙和奉节脐橙的销量各是多少千克？
（2）12 月份，脐橙大量上市，这种时令水果越来越受到大家的喜爱，该经销商继续销售这两种脐橙，与
11 月份相比，赣南脐橙和奉节脐橙的单价分别下降了
和
，赣南脐橙和奉节脐橙的销量分别增
加了
和
，12 份的总销售额比11 月减少了600 元，求
的值．
【答案】（1）11 月份赣南脐橙销量为4000 千克，奉节脐橙为3000 千克；（2）10
【分析】
（1）设赣南脐橙销量为x 千克，则奉节脐橙为（7000-x）千克，根据总销售额为62000 元列方程求解即可；
（2）根据总销售额=每千克的单价×销量，列出关于a 的一元二次方程，然后求解即可．
【详解】
解：（1）设赣南脐橙销量为x 千克，则奉节脐橙为（7000-x）千克，
由题意可得：
，
解得：x=4000，
∴7000-x=7000-4000=3000，
答：11 月份赣南脐橙销量为4000 千克，奉节脐橙为3000 千克；
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（2）由题意得：
，
化简得：
，
令a%=m，
则有：
，
解得：
，
(舍)，
∴a%=0.1，
∴a=10，
答：a 的值为10．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出方程．
48．A 市2000 年有m 万人，每年人均用水20 吨，当年库存水量刚好供全市使用一年；到2010 年时，A 市
有2000 万人，每年人均用水36 吨，原有库存水量不足，须从外地调水a 万吨满足需要．预计到2020 年A
市人数比2010 年下降10%，年人均用水量下降六分之一．
（1）预计2020 年A 市居民一年用水总量是多少万吨？
（2）如果2000～2020 年A 市的库存水量保持不变，那么2020 年，只需调入50% a 万吨水即可满足A 市
居民使用一年；如果库存水量从2010 年起，每一个10 年都比前一个10 年按一个相同百分数n 增加，那么
2020 只需调入6% a 万吨水即可满足A 市居民使用一年，求百分数n．
【答案】（1）54000 万吨；（2）20%
【分析】
（1）根据题意可以分别求得2020 年A 市的人口数和用水总量，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的方程组及一元二次方程，从而可以解答本题．
【详解】
解：（1）2020 年A 市有居民2000×（1﹣10%）＝1800（万人），
2020 年A 市每年人均用水36×（1﹣
）＝30（吨），
1800×30＝54000（万吨），
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答：2020 年A 市居民一年用水总量是54000 万吨；
（2）由题意可得，
2000 年库存水量为：20m 万吨，
，
解得，
，
根据题意得，
解得，n1＝0.2，n2＝-2.2（舍去），
答：百分数n 的值是20%．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用和二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要
的条件，利用方程的思想解答．
49．某地区2018 年投入教育经费2500 万元，2020 年投入的教育经费比2018 年投入的教育经费多525 万元．
（1）求2018 年至2020 年该地区投入教育经费的年平均增长率；
（2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2021 年该地区将投入教育经费多少万元．
【答案】（1）10%；（2）3327.5
【分析】
（1）一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），2019 年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在
2020 年的基础上再增长x，就是2020 年的教育经费数额，即可列出方程求解．
（2）利用（1）中求得的增长率来求2021 年该地区将投入教育经费．
【详解】
（1）设2018 年至2020 年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意2019 年为2500（1+x）万元，
2020 年为2500（1+x）
2万元．
则2500（1+x）
2＝3025，
解得x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意舍去），
故答案为10%；
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（2）3025×（1+10%）＝3327.5（万元），
故答案为3327.5
【点睛】
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
50．汾河公园有一块长为18 米，宽为8 米的矩形空地，园林师计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，
它们的面积之和为90 米
2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽
度是多少米？
【答案】1 米
【分析】
设人行通道的宽度为
米，根据题意列方程即可．
【详解】
解：设人行通道的宽度为
米．
根据题意得：
．
解得：
，
（舍去），
答：人行通道的宽度是1 米．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是理解题意，找准数量关系列方程．
51．2020 年，受新冠疫情影响，众多学校开展了“停课不停学”的线上教学活动，因此，手写板的需求量
大幅上升．某网店抓住时机销售A，B 两款手写板，A 型手写板的单价为360 元，B 型手写板的单价为240
元．
（1）商家在1 月共销售两种型号手写板600 个，若A 型手写板的销售额不低于B 型手写板销售额的3 倍，
求1 月A 型手写板至少售出多少个？
（2）该商家在2 月继续销售这两种型号的手写板并适当的进行了调整，A 型手写板的售价降低了
a%．B
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型手写板的销价不变．结果A 型手写板的销售量在1 月最低销售量的基础上增加了
a%，B 型手写板的销
售量在一月保证A 最低销量的基础上增加了
a%，结果2 月两种手写板的总销售额比1 月两种手写板的总
销售额增加了
a%，求a 的值．
【答案】（1）A 型手写板至少售出400 个；（2）
．
【分析】
（1）设A 型手写板售出x 个，则B 型手写板售出（600-x）个，根据题意列出不等式求解即可；
（2）根据售价×销量=销售额，别表示出A 型手写板和B 型手写板的销售额相加等于总销售额列出方程求
解即可．
【详解】
解：（1）设A 型手写板售出x 个，则B 型手写板售出（600-x）个，根据题意
，
解得
，
故A 型手写板至少售出400 个；
（2）由（1）得，A 型手写板售出400 个，B 型手写板售出200 个，
根据题意可知
解得：
或
（舍去）．
所以
．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用．根据题意找出等量或者不等量关系，列出方程
（不等式）是解题关键．（2）中计算过程较为复杂，可先领
，求出y 后，再求a．
52．某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50 元，若按每箱60 元出售，则可销售80 箱．现准备
提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1 元，销量就会减少2 箱，为保护消费者利益，物价部门规定，
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销售利润不能超过50%，设该水果售价为每箱x（x＞60）元
（1）用含x 的代数式表示提价后平均每天的销售量为
箱；
（2）现在预算要获得1200 元利润，应按每箱多少元销售？
【答案】（1）200-2x；（2）70
【分析】
（1）利用平均每天的销售量
提高的价格，即可用含
的代数式表示出提价后平均每天的销售量；
（2）根据每天的销售利润
每箱的销售利润
销售数量，即可列出关于
的一元二次方程，解方程即可求
出
的值，在结合销售利润不能超过
，即可确定
的值
【详解】
（1）根据题意，提价后平均每天的销售量为：
（2）根据题意得：
整理得：
解得：
，
当
时，利润率
，符合题意；
当
时，利润率
，不合题意，舍去
所以要获得1200 元利润，应按70 元每箱销售．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题关键是根据各数量之间的关系，用含
的代数式表示
出平均每天的销售量，找准等量关系正确列出一元二次方程．
53．如图，在
中，
，
，
，点P 从点A 出发沿边AC 向点
以
的速度移动，点Q 从
点出发沿CB 边向点B 以
的速度移动．
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（1）如果
同时出发，几秒钟后，可使PQ 的长为
厘米？
（2）点
在移动过程中，是否存在某一时刻，使得
的面积等于
的面积的一半．若存在，
求出运动的时间；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
同时出发2 或
秒钟后，可使PQ 的长为
厘米；（2）不存在，理由见详解
【分析】
（1）设x 秒钟后，可使PQ 的长为
厘米，用x 表示出PC，CQ，根据勾股定理可列方程求解．
（2）假设y 秒时，△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半，列出方程看看解的情况，进而即可得到结论．
【详解】
解：（1）设x 秒钟后，可使PQ 的长为
厘米，由题意得：
，
解得：x＝2 或x＝
，
答：
同时出发2 或
秒钟后，可使PQ 的长为
厘米；
（2）不存在．
理由：设y 秒时，△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半，由题意得：
，
y2−6y＋12＝0，
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∵△＝36−4×12＜0，
∴方程无解，即：不存在．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，勾股定理，和一元二次方程的判别式，根据等量关系，列出方程，是解题
的关键．
54．快手、抖音等各大娱乐APP 软件深受人们的喜爱，但随着电商时代的热潮，曾经以直播、娱乐为主的
主播也开始转型为带货主播．某快手主播，从今年九月份开始直播带货，并深受粉丝的喜爱，并从十月份
该主播就开始盈利36000 元，十二月的盈利达到43560 元，且从十月到十二月，每月的盈利的平均增长率
都相同．
（1）求每月盈利的平均增长率；
（2）按照这个平均增长率，预计下个月（即元月份）该主播的盈利将达到多少元？
【答案】（1）10％；（2）
元．
【分析】
（1）设设每月的平均增长率为
，根据等量关系：十月份盈利额×（1+增长率）
2=十二月份的盈利额列出
方程求解即可．
（2）元月份的盈利=十二月份盈利×增长率．
【详解】
解：（1）设每月的平均增长率为
．
根据题意可知：
．
解得
，
（舍去）．
答：每月的平均增长率为10％．
（2）由（1）知：元月份的盈利将达到：
元．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）
2=后来的量，其
中增长用+，减少用-，难度一般．
55．鱼肉味道鲜美，营养价值高，因此它深受人民群众的喜爱，成为人们餐桌上的佳肴．某养殖场经营的
鲫鱼和鲈鱼销售情况如下：
（1）2019 年上半年，该养殖场一共销售鲫鱼和鲈鱼6000 斤，其中鲫鱼的销量是鲈鱼销量的4 倍，则2019
年上半年该养殖场销售鲫鱼多少斤；
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（2）2018 年该养殖场开始饲养并销售鲫鱼和鲈鱼，全年共销售鲫鱼和鲈鱼8400 斤鱼，其中销售鲈鱼400
斤，通过市场调研发现，每斤鲫鱼和鲈鱼的利润之比是1：4，该年一共获利48000 元；2019 年下半年，由
于猪肉的供应量突然减少，导致了鲫鱼和鲈鱼的销售量与价格上涨．2019 年下半年的鲫鱼和鲈鱼销售量在
2019 年上半年的销售量的基础上分别增加了
，
；鲫鱼与鲈鱼每斤的利润在2018 年的基础上分别
增加
，
．2019 年下半年该养殖场获得的利润比2018 年全年利润增加了
，求a 的值．
【答案】（1）4800 斤；（2）50．
【分析】
（1）设2019 年上半年养殖场销售鲫鱼x 斤，鲈鱼y 斤，根据“该养殖场一共销售鲫鱼和鲈鱼6000 斤，其
中鲫鱼销量是鲈鱼销量的4 倍”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设销售每斤鲫鱼的利润为m 元，每斤鲈鱼的利润为n 元，根据“2018 年每斤鲫鱼和鲈鱼的利润之比是
1：4，且该年一共获利48000 元”，即可得出关于m，n 的二元一次方程组，解之即可得出m，n 的值，再
由2019 年下半年该养殖场获得的利润比2018 年全年利润增加了
，即可得出关于a 的一元二次方程，
解之取其正值即可得出结论．
【详解】
（1）设2019 年上半年养殖场销售鲫鱼x 斤，鲈鱼y 斤，
依题意得：
解得：
答：2019 年上半年养殖场销售鲫鱼4800 斤．
（2）设销售每斤鲫鱼的利润为m 元，每斤鲈鱼的利润为n 元，
依题意得：
解得：
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又∵2019 年下半年该养殖场获得的利润比2018 年全年利润增加了
，
∴5（1+a%）×4800（1+4a%）+20×1200（1+2a%）（1+
a%）=48000
整理得：a2-50a=0，
解得：a1=50，a2=0（不合题意，舍去）．
答：a 的值为50．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确
列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组（一元二次方程）．
56．山西因特殊的地理环境，培育出了众多品质一流的特色杂粮．而山西小米以其突出的品质、品种优势，
成为山西现代特色农业的一张“黄金名片”．某地一家杂粮销售商以每千克10 元的价格购进一批山西“沁
州黄”小米，当按每千克16 元的价格出售时，平均每天可销售200kg．为了尽快减少库存，该商家决定降
价销售，经调查发现，当每千克小米的售价每降低0.5 元，平均每天销量可增加40kg．该销售商要想每天
获利1400 元，那么每千克小米的售价应为多少元？
【答案】每千克小米的售价应为13.5 元．
【分析】
设每千克小米的售价应降x 元，由题意得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设每千克小米的售价应降
元，由题意得，
，
整理得，
，
解这个方程，得
，
．
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∵为了尽快减少库存，
∴
．
∴每千克小米的售价应为：
．
答：每千克小米的售价应为13.5 元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
57．以互联网为主的新电商时代开启的“双11”火爆商战大幕尚未完全落幕，各大商家又纷纷起一波“双
12”促销狂潮．“双11”当天马老师在某建材品牌官网直营店选定并下单采购了装修新房需要的部分瓷砖和
木地板．在对比核算成本时，他发现若购买50 块瓷砖和50 块木地板共需30000 元；若购买60 块瓷砖和30
块木地板共需25500 元．
（1）请求出“双11”马老师采购1 块瓷砖和1 块木地板各需多少钱？
（2）“双11”马老师采购了50 块瓷砖和50 块木地板，“双12”来临，马老师决定趁此打折机会将还需要
的相同品质的瓷砖和木地板进行采购，询问商家后发现，瓷砖的单价降低了
，但木地板的单价增加
了
，马老师经测算还需采购的瓷砖的数量比第一次减少
，还需采购的木地板数量比第一次减少
，且“双12”采购总费用会比“双11”采购总费用的一半多出1500 元，求
的值．
【答案】（1）采购一块瓷砖
元，一块木地板
元；（2）
【分析】
（1）设采购一块瓷砖
元，一块木地板
元，可得方程组
，解方程组可得答案；
（2）由题意得：“双
”应购买的瓷砖数为：
块，木地板的数量为：
块，而
瓷砖的价格为每块
元，木地板的价格为每块：
元，可得方程
设
则
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原方程整理得：
再解方程可得答案．
【详解】
解：（1）设采购一块瓷砖
元，一块木地板
元，则
整理得：
解得：
即：采购一块瓷砖
元，一块木地板
元，
（2）由题意得：“双
”应购买的瓷砖数为：
块，木地板的数量为：
块，而
瓷砖的价格为每块
元，木地板的价格为每块：
元，则
设
则原方程整理得：
经检验：
不合题意，舍去，取
答：
的值为
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【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决商品的购买问题
是解题的关键．
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