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2021 年湖南省永州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题4 分，共40 分，每个小题只有一个正确选项请
将正确的选项填涂到答题卡上）
1．﹣|﹣2021|的相反数为（ ）
A．﹣2021
B．2021
C．﹣
D．
2．如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．据永州市2020 年国民经济和社会发展统计公报，永州市全年全体居民人均可支配收入
约为24000 元，比上年增长6.5%，将“人均可支配收入”用科学记数法表示为（ ）
A．24×103
B．2.4×104
C．2.4×105
D．0.24×105
4．已知一列数据：27，12，12，5，7，12，5．该列数据的众数是（ ）
A．27
B．12
C．7
D．5
5．下列计算正确的是（ ）
A．（π﹣3）0＝1
B．tan30°＝
C．
＝±2
D．a2•a3＝a6
6．在一元一次不等式组
的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，分别以点A，B 为圆心，大于
AB 的长为半径画弧，两
弧相交于点M 和点N，作直线MN 分别交BC、AB 于点D 和点E，若∠B＝50°，则
∠CAD 的度数是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
8．中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不
足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9
元，则多了4 元；如果每人出6 元，则少了5 元，问组团人数和物价各是多少？若设x
人参与组团，物价为y 元，则以下列出的方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．小明计划到永州市体验民俗文化，想从“零陵渔鼓、瑶族长鼓舞、东安武术、舜帝祭
典”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“瑶族长鼓舞、舜帝祭典”的概率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．定义：若10x＝N，则x＝log10N，x 称为以10 为底的N 的对数，简记为lgN，其满足运
算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝
lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）
2+lg2•lg5+lg5 的结果为（ ）
A．5
B．2
C．1
D．0
二、填空题（本大题共8 个小题，每小题4 分，共32 分，请将答案填在答题卡的答案栏
内）
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11．在0，
，﹣0.101001，π，
中无理数的个数是 个．
12．已知二次根式
有意义，则x 的取值范围是 ．
13．请写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式： ．
14．某初级中学坚持开展阳光体育活动，七年级至九年级每学期均进行体育技能测试．其
中A 班甲、乙两位同学6 个学期的投篮技能测试成绩（投篮命中个数）折线图如图所示．
为参加学校举行的毕业篮球友谊赛，A 班需从甲、乙两位同学中选1 人进入班球队，从
两人成绩的稳定性考虑，请你决策A 班应该选择的同学是 ．
15．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6 的圆锥模型（如
图所示），则此圆锥的母线长为 ．
16．如图，A，B 两点的坐标分别为A（4，3），B（0，﹣3），在x 轴上找一点P，使线段
PA+PB 的值最小，则点P 的坐标是 ．
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17．已知函数y＝
，若y＝2，则x＝ ．
18．若x，y 均为实数，43x＝2021，47y＝2021，则：
（1）43xy•47xy＝（ ）x+y；
（2）
+
＝ ．
三、解答题（共8 小题，满分78 分）
19．（8 分）先化简，再求值：（x+1）2+（2+x）（2﹣x），其中x＝1．
20．（8 分）若x1，x2 是关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0 的两个根，则x1+x2＝﹣
，
x1•x2＝
．现已知一元二次方程px2+2x+q＝0 的两根分别为m，n．
（1）若m＝2，n＝﹣4，求p，q 的值；
（2）若p＝3，q＝﹣1，求m+mn+n 的值．
21．（8 分）为庆祝中国共产党成立100 周年，某校组织全校学生进行了一场党史知识竞
赛活动根据竞赛结果，抽取了200 名学生的成绩（得分均为正整数，满分为100 分，大
于80 分的为优秀）进行统计，绘制了如图所示尚不完整的统计图表．
200 名学生党史知识竞赛成绩的频数表
组别
频数
频率
A 组（60.5～70.5）
a
0.3
B 组（70.5～80.5）
30
0.15
C 组（80.5～90.5）
50
b
D 组（90.5～100.5）
60
0.3
请结合图表解决下列问题：
（1）频数表中，a＝ ，b＝ ；
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（2）请将频数分布直方图补充完整；
（3）抽取的200 名学生中竞赛成绩的中位数落在的组别是 组；
（4）若该校共有1000 名学生，请估计本次党史知识竞赛成绩为“优秀”的学生人数．
22．（10 分）如图，已知点A，D，C，B 在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，
AE∥BF．
（1）求证：△AEC≌△BFD．
（2）判断四边形DECF 的形状，并证明．
23．（10 分）永州市某村经济合作社在乡村振兴工作队的指导下，根据市场需求，计划在
2022 年将30 亩土地全部用于种植A、B 两种经济作物．预计B 种经济作物亩产值比A 种
经济作物亩产值多2 万元，为实现2022 年A 种经济作物年总产值20 万元，B 种经济作
物年总产值30 万元的目标，问：2022 年A、B 两种经济作物应各种植多少亩？
24．（10 分）已知锐角△ABC 中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，边角总满足关系式：
＝
＝
．
（1）如图1，若a＝6，∠B＝45°，∠C＝75°，求b 的值；
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（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD（如图2 所
示），若CD⊥AB，AC＝14 米，AB＝10 米，sin∠ACB＝
，求景观桥CD 的长度．
25．（12 分）如图1，AB 是⊙O 的直径，点E 是⊙O 上一动点，且不与A，B 两点重合，
∠EAB 的平分线交⊙O 于点C，过点C 作CD⊥AE，交AE 的延长线于点D．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）求证：AC2＝2AD•AO；
（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB 至点M，∠EBM 的平分线交AC
的延长线于点P，∠CAB 的平分线交∠CBM 的平分线于点Q．求证：无论点E 如何运动，
总有∠P＝∠Q．
26．（12 分）已知关于x 的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c 为常数）．
（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；
（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b 时，二次函数的最小值为21，求b 的值；
（3）记关于x 的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1 时，总有
y2≥y1，求实数m 的最小值．
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