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22.1 二次函数的图象和性质
【提升训练】
一、单选题
1．二次函数
的部分图象如图所示，对称轴为
，且经过点
．下列说法：①
；②
；③
；④若
，
是抛物线上的两点，则
；
⑤
（其中
）．正确的结论有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
2．如图，抛物线
与y 轴交于点C，与x 轴交于点
、点
．下列结论：
①
；②
；③
；④
．正确的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
3．如图，二次函数
的图象与
轴交于
，
两点，与
轴正半轴交于点
，它的
对称轴为直线
．则下列选项中①
；②
；③
；④
：⑤当
（
为实数）时，
，其中正确的有（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．已知二次函数
（
、
是常数，
）的图象经过点
和
，且当
时，函数
的最小值为
，最大值为1，则
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．将二次函数
位于x 轴下方的图像沿x 轴向上翻折，与原二次函数位于x 轴
上方的部分组成一个新图像，这个新图像对应的函数最大值与最小值之差为（ ）
A．1
B．3
C．4
D．5
6．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．b＞0
B．b2-4ac＜0
C．a+b+c＞0
D．点A 的坐标为（﹣2，0）
7．如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b 的不同取值，所找点M 的个数，三
个同学的说法如下，
小明：若b＝-3，则点M 的个数为0；
小云：若b ＝ 1，则点M 的个数为1；
小朵：若b ＝ 3，则点M 的个数为2．
下列判断正确的是（ ）．
A．小云错，小朵对
B．小明，小云都错
C．小云对，小朵错
D．小明错，小朵对
8．二次函数
的图象如图所示，有下列结论：①
，②
，③
，④
，正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
9．在“探索函数
的系数
，
，
与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四
个点：
，
，
，
，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，
发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中
的值最大为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．二次函数
的图像如图所示，点
在
轴的正半轴上，且
，设
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提
出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记
，则其面积
．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若
，则此三角形面积的
最大值为（ ）
A．
B．4
C．
D．5
12．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交x 轴于点A（﹣1，0），对称轴为x＝1，与x 轴的另一个交点
为B，点C 为抛物线顶点．下列结论：①abc＜0；②4a＋2b＋c＞0；③a＋b＞0；④c＜4b；⑤若△ABC
是等腰三角形时，a＝
．其中结论正确的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
13．已知二次函数
的图象经过第一象限的点
，则一次函数
的图
象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
14．设
，
分别是函数
，
图象上的点，当
时，总有
恒成
立，则称函数
，
在
上是“逼近函数”，
为“逼近区间”．则下列结论：
①函数
，
在
上是“逼近函数”；
②函数
，
在
上是“逼近函数”；
③
是函数
，
的“逼近区间”；
④
是函数
，
的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③
B．①④
C．①③
D．②④
15．一次函数
与二次函数
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
）
A．
B．
C．
D．
16．二次函数
的图象过
四个点，下列说
法一定正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
17．若关于x 的二次函数y＝ax2+bx 的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1 时y 随x 的增大而减小，则a 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学
画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（
）
①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
②当﹣1＜x＜1 或x＞3 时，函数值随x 值的增大而增大；
③当x＝﹣1 或x＝3 时，函数的最小值是0；
④当x＝1 时，函数的最大值是4
A．4
B．3
C．2
D．1
19．二次函数
的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．若
，
是图象上的两点，则
B．
C．方程
有两个不相等的实数根
D．当
时，
随
的增大而减小
20．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x 轴交于点A，B．与y 轴交于点C．连接AC、BC．已知
△ABC 的面积为3．将抛物线向左平移h（h＞0）个单位，记平移后抛物线中y 随着x 的增大而增大的部分
为H．当直线BC 与H 没有公共点时，h 的取值范围是（ ）
A．h＞
B．0＜h≤
C．h＞2
D．0＜h＜2
21．已知二次函数
，其中
，当
时，y 的最大值与最小值的差为16，则
m 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
22．已知函数
，若函数在0≤x≤1 上的最大值是2，则a 的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣6
C．﹣2 或3
D．﹣6 或
23．已知抛物线
经过点A（1，0），B（5，0）两点，
，
是关于x 的一元二次方程
的两根，则
的值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
24．如图，正三角形
和正三角形
的边
，
在同一条直线上，将
向右平移，直到
点
与点
重合为止，设点
平移的距离为
，
，
．两个三角形重合部分的面积为
，现
有一个正方形
的面积为
，已知
，则S 关于
的函数图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．如图，已知抛物线
（
，
，
为常数，
）经过点
，且对称轴为直线
，有下列结论：①
；②
；③
；④无论
，
，
取何值，抛物线
一定经过
；⑤
．其中正确结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
26．已知抛物线
的对称轴在
轴右侧，现将该抛物线先向右平移3 个单位长度，再向上平
移1 个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则
的值是（ ）
A．
或2
B．
C．2
D．
27．已知二次函数
，当
时，
，则m 的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
28．二次函数
的图象如图所示，对称轴为
，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．如图是二次函数
在平面直角坐标系中的图象，根据图象判断：①
；②
；③
；④
，其中正确的是（ ）
A．①③
B．②③
C．②④
D．②③④
30．已知抛物线
，当
时，y 的最大值为2，则当
时，y 的最
小值为（ ）
A．1
B．0
C．
D．
二、填空题
31．如图，抛物线的解析式为
，点
的坐标为
，连接
：过A1作
，分别交y 轴、
抛物线于点
、
：过
作
，分别交y 轴、抛物线于点
、
；过
作
，分
别交y 轴、抛物线于点
、
…：按照如此规律进行下去，则点
（n 为正整数）的坐标是_________．
32．如图，在平面直角坐标系中，点
在抛物线
上，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一
点B，点C、D 在线段AB 上，分别过点C、D 作x 轴的垂线交抛物线于E、F 两点．当四边形CDFE 为正
方形时，线段CD 的长为_________．
33．如图为二次函数
的图象，则下列说法：①
；②
；③
；④当
时，
．其中正确的是________（填写序号）．
34．如图，二次函数
的图象与
轴的正半轴交于点A，对称轴为直线
，下面结论：
①
；
②
；
③
；
④方程
必有一个根大于
且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
35．如图，二次函数
（
）的图象与
轴交于
，对称轴为直线
，与
轴的交点
在2 和3 之间（不包括这两个点），下列结论：①当
时，
；②
；
③对于任意实数
，
始终成立；④
，其中正确的结论的序号是
________．
三、解答题
36．如图，抛物线
经过点
，与
轴交于点
和点
（点
在点
的右边），
且
．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图1，点
、
在直线
上的两个动点，且
，点
在点
的上方，求四边形
的
周长的最小值；
（3）如图2，点
为抛物线上一点，连接
，直线
把四边形
的面积分为3：5 两部分，求点
的坐标．
37．二次函数
．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）过动点
作直线
轴，当直线
与抛物线只有一个公共点时，求
关于
的函数表达式；
（3）若对于每一个
值，它所对应的函数值都不小于1，求整数
的值．
38．如图，在平面直角坐标系中，直线
与坐标轴交于
两点，点
在
轴上，点
在
轴上，
点的坐标为
，抛物线
经过点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式
的解集；
（3）点
是抛物线上的一动点，过点
作直线
的垂线段，垂足为
点,当
时，求P 点的坐
标．
39．小爱同学学习二次函数后，对函数
进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得
到如
下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：
（1）观察探究：
①写出该函数的一条性质：__________；
②方程
的解为：__________；
③若方程
有四个实数根，则
的取值范围是__________．
（2）延伸思考：
将函数
的图象经过怎样的平移可得到函数
的图象？写出平移过程，
并直接写出当
时，自变量
的取值范围．
40．如图，抛物线
交x 轴于
，
两点，交y 轴于点C，动点P 在抛物线的
对称轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以P，B，C 为顶点的三角形周长最小时，求点P 的坐标及
的周长；
（3）若点Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q 为顶点的四边形是菱
形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
41．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过
程．以下是我们研究函数
性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x
…
﹣4
﹣
3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
7
5
3
﹣1
﹣
1
3
…
（1）如表是y 与x 的几组对应值，则a＝ ，k＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系中，已描出了部分点并绘制了部分图象，请把该函数的图象补充完整，并
写出该函数的一条性质： ；
（3）如图，在平面直角坐标系中作出了函数y＝﹣x＋2 的图象，结合你所画的函数图象，直接写出不等式
x|x＋2|＋ax2＋x﹣3≥0 的解集（结果保留1 位小数，误差不超0.2）
42．已知二次函数y＝ax2－4ax＋3a（a 为常数，且a≠0）
（1）求证：不论a 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点．
（2）当1≤x≤4 时，y＜5，直接写出a 的取值范围．
43．如图，在直角坐标系中，二次函数
的图象与x 轴相交于点
和点
，与y
轴交于点C．
（1）求
的值；
（2）点
为抛物线上的动点，过P 作x 轴的垂线交直线
于点Q．
①当
时，求当P 点到直线
的距离最大时m 的值；
②是否存在m，使得以点
为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求
出m 的值．
44．如图，抛物线
与直线
交于点A(2，0)和点
．
（1）求
和
的值；
（2）求点
的坐标，并结合图象写出不等式
的解集；
（3）点
是直线
上的一个动点，将点
向左平移
个单位长度得到点
，若线段
与抛物线只
有一个公共点，直接写出点
的横坐标
的取值范围．
45．在平面直角坐标系中，抛物线
的顶点为A．
（1）求顶点A 的坐标（用含有字母m 的代数式表示）；
（2）若点
，
在抛物线上，且
，则m 的取值范围是 ；（直接写出结
果即可）
（3）当
时，函数y 的最小值等于6，求m 的值．
46．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线
，顶点为P，直线
与抛物线交于
点A，点B．
（1）求抛物线顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当
时，求抛物线与直线AB 围成的封闭区域内（不包含边界）的整点坐标．
②当抛物线与直线AB 围成的封闭区域内有且只有1 个整点时，求a 的取值范围．
47．已知二次函数
（其中m 为常数）．
（1）当
时，求该二次函数图象的对称轴．
（2）求证：:无论m 为何值，该函数的图象与x 轴一定有两个公共点．
（3）当
时，该函数有最大值3，求m 的值．
48．已知关于
的一元二次方程
（
为常数）．
（1）若它的一个实数根是方程
的根，则
_____，方程的另一个根为_____；
（2）若它的一个实数根是关于
的方程
的根，求
的值；
（3）若它的一个实数根是关于
的方程
的根，求
的最小值．
49．如图，抛物线
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，且点B 与点C 的坐标分别为
，
，点M 是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是线段MB 上一个动点，且点P 的横坐标为m，过点P 作
轴于点D，交抛物线于点E，
求线段PE 的最大值，并求出此时点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，若在线段MB 上存在点P，使得
为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．
50．如图，二次函数
的图象与x 轴交于O，A 两点．
（1）求点A 的坐标和此二次函数的对称轴．
（2）若P，Q 在抛物线上且
．当
时，
．求m 的取值范围．
51．在平面直角坐标系
中，抛物线
（
）．
（1） 求抛物线的对称轴及抛物线与y 轴交点坐标．
（2） 已知点B（3，4），将点B 向左平移3 个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，
结合函数的图象，求a 的取值范围．
备用图
52．如图，二次函数
的图象与
轴分别交于点
（点
在点
的左侧），与
轴交
于点
，且经过点
．
（1）求
的值．
（2）将点
向下平移
个单位至点
，过点
作
轴于点
，交抛物线于点
．若
，求
的值．
53．二次函数
的顶点
是直线
和直线
的交点．
（1）当
时，
的值均随
的增大而增大，求
的取值范围．
（2）若直线
与
交于点
．
①当
时，二次函数的最小值为
，求的取值范围．
②
和
为二次函数上的两个点，当
时，求
的取值范围．
54．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象交x 轴于点A（2，0），B（4，0），交y 轴于点
C．
（1）求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x＜0 时y 的取值范围；
（2）将线段OB 向右平移m 个单位，向上平移n 个单位至O′B′（m，n 均为正数），若点O′，B′均落在此
二次函数图象上，求m，n 的值．
55．如图1，抛物线
与
轴交于点
，
，点
为抛物线顶点，连接
，
，
与
轴交于点
，连接
．
（1）求该抛物线解析式，并写出顶点
的坐标；
（2）判断
的形状，并说明理由；
（3）如图2，连接
，抛物线上是否存在点
，使
，当
时，请直接写
出点
的横坐标；若不存在，说明理由．
