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2021 年湖北省荆门市中考数学试卷
一、选择题(本大题共10 小题,每小题3 分,共30 分.在每小题中均给出了四个答案,其中有且
只有一个正确答案,请将正确答案的字母代号涂在答题卡上)
1．2021 的相反数的倒数是（ ）
A．﹣2021
B．2021
C．﹣
D．
2．“绿水青山就是金山银山”某地积极响应党中央号召，大力推进农村厕所革命，已经累
计投资1.102×108元资金．数据1.012×108用科学记数法可表示为（ ）
A．10.12 亿
B．1.012 亿
C．101.2 亿
D．1012 亿
3．下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“红”字的面的对面上的
字是（ ）
A．传
B．国
C．承
D．基
5．下列运算正确的是（ ）
A．（﹣x3）2＝x5
B．
＝x
C．（﹣x）2+x＝x3
D．（﹣1+x）2＝x2﹣2x+1
6．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四
尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳
子还剩余4.5 尺；将绳子对折再量，木条还剩余1 尺；问长木多少尺？如果设木条长为x
尺，绳子长为y 尺，则下面所列方程组正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，将一副三角板在平行四边形ABCD 中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝（
）
A．55°
B．65°
C．75°
D．85°
8．如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（ ）
A．30°
B．35°
C．45°
D．55°
9．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k 与y＝
（k≠0）的大致图象是（ ）
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A．①②
B．②③
C．②④
D．③④
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数）开口向下且过点A（1，0），B（m，0）（﹣2
＜m＜﹣1），下列结论：①2b+c＞0；②2a+c＜0；③a（m+1）﹣b+c＞0；④若方
程a（x﹣m）（x﹣1）﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＜4a．其中正确结论
的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
二、填空题(本大题共6 小题,每小题3 分,共18 分,请将结果填写在答题卡相应位置)
11．计算：|1﹣
|+（
）﹣1+2cos45°+（﹣1）0＝ ．
12．把多项式x3+2x2﹣3x 因式分解，结果为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB 绕
原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A 的对应点C 恰好在函数y＝
（k≠0）的图象
上，若在y ＝
的图象上另有一点M 使得∠MOC ＝30° ，则点M 的坐标为
．
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14．如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相
交于点P，那么图中阴影部分的面积为 ．
15．关于x 的不等式组
恰有2 个整数解，则a 的取值范围是 ．
16．如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021 是表中第 行第 列．
三、解答题(本大题共8 小题,共72 分,请在答题卡相应区域作答)
17．（8 分）先化简，再求值：
•（
﹣
），其中x＝3﹣
．
18．（8 分）为庆祝中国共产党建党100 周年，某校拟举办主题为“学党史跟党走”的知
识竞赛活动．某年级在一班和二班进行了预赛，两个班参加比赛的人数相同，成绩分为
A、B、C、D 四个等级，其等级对应的分值分别为100 分、90 分、80 分、70 分，将这
两个班学生的最后等级成绩分析整理绘制成了如图的统计图．
（1）这次预赛中，二班成绩在B 等及以上的人数是多少？
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（2）分别计算这次预赛中一班成绩的平均数和二班成绩的中位数；
（3）已知一班成绩A 等的4 人中有两个男生和2 个女生，二班成绩A 等的都是女生，
年级要求从这两个班A 等的学生中随机选2 人参加学校比赛，若每个学生被抽取的可能
性相等，求抽取的2 人中至少有1 个男生的概率．
19．（8 分）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，
FH⊥BH．
（1）求证：BE＝CH；
（2）若AB＝3，BE＝x，用x 表示DF 的长．
20．（8 分）某海域有一小岛P，在以P 为圆心，半径r 为10（3+
）海里的圆形海域内
有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A 处测得小岛P 位于北偏东60°的方向上，当海
监船行驶20
海里后到达B 处，此时观测小岛P 位于B 处北偏东45°方向上．
（1）求A，P 之间的距离AP；
（2）若海监船由B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，
那么海监船由B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
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21．（8 分）已知关于x 的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0 有x1，x2两实数根．
（1）若x1＝1，求x2及m 的值；
（2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝
？若存在，求出实数m 的值；若
不存在，请说明理由．
22．（10 分）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，点E 在BC 边上，过A，C，E 三点的⊙O
交AB 边于另一点F，且F 是
的中点，AD 是⊙O 的一条直径，连接DE 并延长交AB
边于M 点．
（1）求证：四边形CDMF 为平行四边形；
（2）当CD＝
AB 时，求sin∠ACF 的值．
23．（10 分）某公司电商平台，在2021 年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经
市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，如表
仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据．
x
40
70
90
y
180
90
30
W
3600
4500
2100
（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x 为多少时，周销售利润W 最大？并求出此时的
最大利润；
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（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（m＞0），公司为回馈消费者，规定
该商品售价x 不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满
足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050 元，求m 的值．
24．（12 分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c 交x 轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y 轴
于点C（0，﹣3），点Q 为线段BC 上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求|QO|+|QA|的最小值；
（3）过点Q 作PQ∥AC 交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ 与
△PBQ 面积分别为S1，S2，设S＝S1+S2，求点P 坐标，使得S 最大，并求此最大值．
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