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第2 课时 含30°角的直角三角形的性质
一．选择题（共8 小题）
1．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（
）
A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
第1 题 第2 题 第3 题
2．如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于E，垂足为D．若ED=5，则CE 的
长为（ ）
A．10
B．8
C．5
D．2.5
3．如图，Rt
ABC
△
中，∠C=90°，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，与∠ABC 的两边相交于
点E，F，分别以点E 和点F 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线
BM，交AC 于点D．若△BDC 的面
积为10，
∠ABC=2 A
∠，则△ABC 的面积为（ ）
A．25
B．30 C．35
D．40
4．在Rt
ABC
△
中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB 的长为2cm，则AC 长为（ ）
A．4cm
B．2cm C．1cm
D．m
5．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，则BD 与AB 的关系是（ ）
A．BD=AB B．BD=AB C．BD=AB D．BD=AB
第5 题 第6 题 第7 题 第8 题
6．如图是屋架设计图的一部分，立柱BC 垂直于横梁AC，AB=10m，∠A=30°，则立柱BC 的
长度是（ ）
A．5m B．8m C．10m D．20m
7．如图，一棵树在一次强台风中于离地面3 米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树
在折断前的高度为（ ）
A．6 米 B．9 米 C．12 米
D．15 米
8．如图，已知∠ABC=60°，DA 是BC 的垂直平分线，BE 平分∠ABD 交AD 于点E，连接CE．
则下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S
ABE
△
=S
CBE
△
，其中正确的结论是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
二．填空题（共10 小题）
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9．如图，在Rt
ABC
△
中，∠ACB=90°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于E，交BC 的延长线于
F，若∠F=30°，DE=1，则BE 的长是
_________
．
10．如图，∠AOE= BOE=15°
∠
，EF OB
∥
，EC OB
⊥
，若EC=1，则EF=
_________
．
11．如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，AB=10，则BC 的长为
_________
．
12．如图，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=12cm，∠ABC=30°，底边上的高AD=
_______cm．
第9 题 第10 题
第11 题 第12 题
13．如图，在△ABC 中，AB=BC，∠B=120°，AB 的垂直平分线交AC 于点D．若AC=6cm，则
AD=
_________
cm．
第13 题 第14 题 第15 题 第16 题
14．如图，在△ABC 中．∠B=90°，∠BAC=30°．AB=9cm，D 是BC 延长线上一点．
且AC=DC．则AD=
_________
cm．
15．如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB、CD 分别表示超市一层、二层滚梯口处地
面的水平线，∠ABC=150°，BC 的长约为12 米，则乘滚梯从点B 到点C 上升的高度h 约为
_________
米．
16．在△ABC 中，已知A
B=4，BC=10，∠B=30°，
那么S
ABC
△
=
_________
．
17．如图，△ABC 是等边三角形，AD BC
⊥
，DE AC
⊥
，若AB=12cm，则CE=
______
cm．
18．有一轮船由东向西航行，在A 处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20 海里后到B 处，
又测得灯塔P 在西偏北30°．如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是
_________
海里．
三．解答题（共5 小题）
19．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，交CB 于点D，过点D 作DE AB
⊥
于点E．
（1）求证：△ACD
AED
△
≌
；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长．
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20．如图，在△ABC 中，BA=BC，∠B=120°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D，求证：AD=
DC．
21．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC，若AD=6，求AC 的长．
22．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是△ABC 的高，∠A=30°，AB=4，求BD 长．
23．如图，已知∠MAN=120°，AC 平分∠MAN．B、D 分别在射线AN、AM 上．
（1）在图（1）中，当∠ABC= ADC=90°
∠
时，求证：AD+AB=AC．
（2）若把（1）中的条件“∠ABC= ADC=90°”
∠
改为∠ABC+ ADC=180°
∠
，其他条件不变，如图
（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
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等边三角形（2）
：一、DABCCABC
二、9、2；10、2；11、5；12、6；13、2；14、18；15、6；
16、10；17、3；18、10
三、19、（1）证明：∵AD 平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD 和Rt△AED 中
∴Rt△ACD≌
Rt△AED（HL）；
（2）解：∵DC=DE=1，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
20、解：如图，连接DB．
MN
∵
是
AB 的垂直平分线，
AD=DB
∴
，
A= ABD
∴∠
∠
，
BA=BC
∵
，∠B=120°，
A= C=
∴∠
∠
（180°
120°
﹣
）=30°，
ABD=30°
∴∠
，
又∵∠ABC=120°，
DBC=120°
30°=90°
∴∠
﹣
，
BD=
∴
DC，
AD=
∴
DC．
21、解：∵△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC，
2= 3=30°
∴∠
∠
；
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在Rt
BCD
△
中，
CD= BD，∠4=90°
30°=60°
﹣
（直角三角形的两个锐角互余）；
1+ 2=60°
∴∠
∠
（外角定理），
1= 2=30°
∴∠
∠
，
AD=BD
∴
（等角对等边）
；
AC=AD+CD=
∴
AD；
又∵AD=6，
AC=9
∴
．
22
、解：∵△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，
AB=4，
∴BC= AB= ×4=2，
∵CD 是△A
BC 的高，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∠B=∠B，
故∠BCD=∠A=30°，
∴在Rt△BCD 中，BD= BC= ×2=1，
∴BD=1
．
23、（1）证明：∵∠MAN=120°，AC 平分∠MAN，
∴∠DAC=∠BAC=60°
∵∠AB
C=∠ADC=90°，
∴∠DCA=∠BCA=30°，
在Rt△ACD 中，∠DCA=30°，Rt△ACB 中，∠
BCA=30°
∴AC=2AD，AC=2AB，
∴AD+AB=AC；
（2）
解：结论AD+AB=AC 成立．
理由如下：在AN 上截取AE=AC，连接CE，
∵∠BAC=60°，
∴△CAE 为等边三角形，
∴AC=CE，∠AEC=60°，
∵∠DAC=60°，
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∴∠DAC=∠AEC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°，
∴∠ADC=∠EBC，
∴△ADC≌△EBC，
∴DC=BC，DA=BE，
∴AD+AB=AB+BE=AE，
∴AD+AB=AC．
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