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22.3 实际问题与二次函数
【基础训练】
一、单选题
1．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度
与水流时间
之间的解
析式为
，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
求出解析中h＝0 时t 的值即可得．
【详解】
在h＝30t−5t2中，令h＝0 可得30t−5t2＝0，
解得：t＝0 或t＝6，
所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确解析式中水流落到地面所对应的函数值为0．
2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火
升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3s
B．4s
C．5s
D．10s
【答案】C
【分析】
将h 关于t 的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论．
【详解】
解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）
2+51，
∴当t＝5 时，礼炮升到最高点．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不
大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可．
3．某市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停
产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润
（万元）和月份
之间满足函数关系式
，
则企业停产的月份为（ ）
A．2 月和12 月
B．2 月至12 月
C．1 月
D．1 月、2 月和12 月
【答案】D
【分析】
求出
时n 的所有的整数值即可得．
【详解】
由题意，
，且n 为整数
企业停产时，利润
令
得
解得
或
结合
得，当
或
时，企业利润
因n 为整数
则企业停产的月份为1 月、2 月和12 月
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，正确列出所求的式子是解题关键．
4．向空中发射一枚炮弹，经过
秒后的高度为
米，且时间与高度的关系为
（
），
若此炮弹在第7 秒与第13 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8 秒
B．第10 秒
C．第12 秒
D．第15 秒
【答案】B
【分析】
本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时
的值．
【详解】
解：∵此炮弹在第7 秒与第13 秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是：
， ∴炮弹所在高
度最高时： 时间是第10 秒．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
5．如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC＋BD＝12，则四边形ABCD 的面积最大值是
（ ）．
A．12
B．18
C．20
D．24
【答案】B
【分析】
设AC=x，BC=12-x，根据题意表示出四边形的面积，再利用二次函数的性质解答即可．
【详解】
解：设AC=x，BC=12-x，
则四边形ABCD 的面积的面积为：
．
所以，当x=6 时，四边形ABCD 的面积最大，为18．
故答案为：B．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的图象，根据题意用含x 的代数式表示出四边形ABCD 的面积是解此题的基
础，掌握二次函数的图象是解此题的关键．
6．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G 同时从点A 出发，分别以每秒
个单位的速度在射线AB，AC 上运动，设运动时间为x 秒，以点A 为顶点的正方形AEFG 与等腰直角三角
形ABC 重叠部分的面积为y，则大致能反映y 与x 之间的函数关系的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
分0＜x≤4、4＜x≤8、x＞8 三个时间段求出函数解析式即可确定其图象.
【详解】
解：①当0＜x≤4 时，y=
x2，
②当4＜x≤8 时，y=
×4×4-2×
×（4-
x）
2=
x2+4x-8，
③当x＞8 时，y=8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了动点问题中有关图形面积的函数图象，灵活的表示出图形的面积与动点运动时间的函数关系是
解题的关键.
7．已知某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h=﹣(t﹣4)2+20．若此礼炮在升空到最高处时
引爆，则引爆需要的时间为( )
A．3s
B．4s
C．5s
D．6s
【答案】B
【分析】
根据顶点式就可以直接求出结论；
【详解】
解：∵﹣1＜0，
∴当t=4s 时，函数有最大值．
即礼炮从升空到引爆需要的时间为4s，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的应用是解题的关键.
8．如图，点
为平行四边形
的边
上一动点，过点
作直线垂直于
，且直线与平行四
边形
的另一边交于点
．当点
从
匀速运动时，设点
的运动时间为，
的面
积为
，能大致反映
与函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
当点N 在AD 上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N 在DC 上时，MN 长度不
变，可得后半段函数图象为一条线段．
【详解】
设∠A＝
，点M 运动的速度为a，则AM＝at，
当点N 在AD 上时，MN＝tan
×AM＝tan
•at，
此时S＝
×at×tan
•at＝
tan
×a2t2，
∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，
当点N 在DC 上时，MN 长度不变，
此时S＝
×at×MN＝
a×MN×t，
∴后半段函数图象为一条线段，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型
的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析
问题、解决问题的能力．
9．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为：y
(x﹣
25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m．
A．12
B．25
C．13
D．14
【答案】A
【分析】
直接根据二次函数的图象及性质即可得出答案．
【详解】
解：∵y
(x﹣25)2+12，
顶点坐标为(25，12)，
∵
0，
∴当x＝25 时，y 有最大值，最大值为12．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查二次函数的最大值，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m，宽OC 是4m．按照图中所
示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣
x2+bx+c 表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离
地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是( )
A．2m
B．4m
C．
m
D．
m
【答案】D
【分析】
根据长方形的长OA 是12m，宽OC 是4m，可得顶点的横坐标和点C 的坐标，即可求出抛物线解析式，再
把y＝8 代入解析式即可得结论．
【详解】
根据题意，得
OA=12，OC=4．
所以抛物线的顶点横坐标为6，
即﹣
=
=6，∴b=2．
∵C（0，4），∴c=4，
所以抛物线解析式为：
y=﹣
x2+2x+4
=﹣
（x﹣6）
2+10
当y=8 时，
8=﹣
（x﹣6）
2+10，
解得：x1=6+2
，x2=6﹣2
．
则x1﹣x2=4
．
所以两排灯的水平距离最小是4
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
11．如图，抛物线
交x 轴的负半轴于点A，点B 是y 轴的正半轴上一点，点A 关于点B 的对称
点Aʹ 恰好落在抛物线上．过点Aʹ 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C，则点Aʹ 的纵坐标为（）
A．1.5
B．2
C．2.5
D．3
【答案】B
【分析】
先求出点A 坐标，利用对称可得点
横坐标，代入
可得纵坐标.
【详解】
解：令
得
，即
解得
点B 是y 轴的正半轴上一点，点A 关于点B 的对称点Aʹ 恰好落在抛物线上
点的横坐标为1
当
时，
所以点Aʹ 的纵坐标为2.
故选：B
【点睛】
本题考查了二次函数的图像，熟练利用函数解析式求点的坐标是解题的关键.
12．如图（1）所示，
为矩形
的边
上一点，动点
,
同时从点
出发，点
沿折线
运动到点
时停止，点
沿
运动到点
时停止，它们运动的速度都是
秒，设
、
同时出发秒时，
的面积为
.已知
与的函数关系图象如图（2）（曲线
为抛物线的一
部分）则下列结论正确的是（ ）
图（1） 图（2）
A．
B．当
是等边三角形时，
秒
C．当
时，
秒
D．当
的面积为
时，的值是
或秒
【答案】D
【分析】
先根据图象信息求出AB、BE、BE、AE、ED，
A、直接求出比，
B、先判断出∠EBC≠60°，从而得出点P 可能在ED 上时，△PBQ 是等边三角形，但必须是AD 的中点，而
AE＞ED，所以点P 不可能到AD 中点的位置，故△PBQ 不可能是等边三角形；
C、利用相似三角形性质列出方程解决，分两种情况讨论计算即可，
D、分点P 在BE 上和点P 在CD 上两种情况计算即可．
【详解】
由图象可知，AD＝BC＝BE＝5，CD＝AB＝4，AE＝3，DE＝2，
A、∴AB：AD＝5：4，故A 错误，
B、∵tan∠ABE＝
，
∴∠ABE≠30°
∴∠PBQ≠60°，
∴点P 在ED 时，有可能△PBQ 是等边三角形，
∵BE＝BC，
∴点P 到点E 时，点Q 到点C，
∴点P 在线段AD 中点时，有可能△PBQ 是等边三角形，
∵AE＞DE，
∴点P 不可能到AD 的中点，
∴△PBQ 不可能是等边三角形，故B 错误，
C、∵△ABE∽△QBP，
∴点E 只有在CD 上，且满足
，
∴
，
∴CP＝
．
∴t＝（BE＋ED＋DQ）÷1＝5＋2＋（4−
）＝
．
故C 错误，
D、①如图（1）
在Rt△ABE 中，AB＝4，BE＝5
sin∠AEB＝
，
∴sin∠CBE＝
∵BP＝t，
∴PG＝BPsin∠CBE＝
t，
∴S△BPQ＝
BQ×PG＝
×t×
t＝
t2＝4，
∴t＝−
（舍）或t＝
，
②当点P 在CD 上时，
S△BPQ＝
×BC×PC＝
×5×（5＋2＋4−t）＝
×（11−t）＝4，
∴t＝
，
∴当△BPQ 的面积为4cm2时，t 的值是
或
秒，故D 正确，
故选：D．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质、三角形的面积公式等知识．解题的
关键是读懂图象信息求出相应的线段，学会转化的思想，把问题转化为方程的思想解决，属于中考常考题
型．．
13．某城市2006 年底已有绿化面积300 公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均
每年的增长率为x，关于代数式300（1+x）
2下列说法正确的是（ ）
A．2007 年已有的绿化面积
B．2008 年增加的绿化面积
C．2008 年已有的绿化面积
D．2007、2008 年共增加的绿化面积
【答案】C
【分析】
利用“增长后的量=增长前的量
（1+增长率）”，如果设绿化面积平均每年的增长率为x，写出代数式
的实际意义即可.
【详解】
2006 年底已有绿化面积300 公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长
率为x，代数式
表示增长两年后的绿化面积，即：2008 年已有的绿化面积
故选：C.
【点睛】
本题考查了代数式的意义问题，根据题意正确列出代数式是解题关键.
14．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y＝6t﹣
t2．在飞
机着陆滑行中，滑行最后的150m 所用的时间是（ ）s．
A．10
B．20
C．30
D．10 或30
【答案】A
【分析】
由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y 取得最大值时，t 也取得最大值，求得t 的取值范围，然后解方程即
可得到结论．
【详解】
解：当y 取得最大值时，飞机停下来，
则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）
2+600，
此时t＝20，飞机着陆后滑行600 米才能停下来．
因此t 的取值范围是0≤t≤20；
即当y＝600﹣150＝450 时，
即60t﹣
t2＝450，
解得：t＝10，t＝30（不合题意舍去），
∴滑行最后的150m 所用的时间是20﹣10＝10，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程综合运用,关键在于解一元二次方程.
15．已知正方形ABCD 的边长为4cm，动点P 从A 出发，沿AD 边以1cm/s 的速度运动，动点Q 从B 出发，
沿BC，CD 边以2cm/s 的速度运动，点P，Q 同时出发，运动到点D 均停止运动，设运动时间为x（秒），
△BPQ 的面积为y（cm2），则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意，Q 点分别在BC、CD 上运动时，形成不同的三角形，分别用x 表示即可.
【详解】
（1）当0≤x≤2 时，
BQ＝2x
当2≤x≤4 时，如下图
由上可知
故选：B.
【点睛】
本题是双动点问题，解答时要注意讨论动点在临界两侧时形成的不同图形，并要根据图形列出函数关系式.
16．小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度
（米）与旋转时间
（分）之间的关系可以近似地用二次
函数来刻画. 经测试得出部分数据如下表：下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（ ）
/分
…
2. 66
3. 23
3. 46
…
/米
…
69. 16
69. 62
68. 46
…
A．8 分
B．7 分
C．6 分
D．5 分
【答案】C
【分析】
利用二次函数的性质，由题意可得最值在自变量大于2.66 小于3.23 之间，由此即可找到答案．
【详解】
解：由题意得，最值在自变量大于2.66 小于3.23 之间，
所以最接近摩天轮转一圈的时间的是6 分钟．
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．
17．二次函数
图像的顶点坐标为( )
A．(0，-2)
B．(-2，0)
C．(0，2)
D．(2，0)
【答案】A
【分析】
根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即对称轴．
【详解】
解：抛物线y=x2-2 是顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
顶点坐标为（0，-2），
故选A．
【点睛】
此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x-h）
2+k 的顶点坐标为
，对称轴为x=h．
18．如图，用绳子围成周长为
的矩形，记矩形的一边长为
，它的邻边长为
，矩形的面积为
．当
在一定范围内变化时，
和
都随
的变化而变化，则
与
与
满足的函数关系分别是（
）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
【答案】A
【分析】
由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项．
【详解】
解：由题意得：
，整理得：
，
，
∴y 与x 成一次函数的关系，S 与x 成二次函数的关系；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键．
19．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料
玩具生产公司一年中每月获得的利润y（万元）和月份n 之间满足函数关系式y＝﹣n2+14n﹣24，则没有盈
利的月份为（ ）
A．2 月和12 月
B．2 月至12 月
C．1 月
D．1 月、2 月和12 月
【答案】D
【分析】
根据题意可知没有盈利时，利润为0 和小于0 的月份都不合适，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵y=-n2+14n-24=-（n-2）（n-12），1≤n≤12 且n 为整数，
∴当y=0 时，n=2 或n=12，
当y＜0 时，n=1，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20．某旅行社组团去外地旅游，30 人起组团，每人单价800 元．旅行社对超过30 人的团给予优惠，每人
的单价就降低10 元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（ ）人
A．56
B．55
C．54
D．53
【答案】B
【分析】
设旅行团人数为
人，此时的营业额为
元，根据优惠规定可建立
与
之间的函数关系式，再利用二次
函数的性质即可得．
【详解】
解：设旅行团人数为
人，此时的营业额为
元，则
，
由题意得：
，
由二次函数的性质可知，在
内，当
时，
取得最大值，
即若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为55 人，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用，正确建立函数关系式是解题关键．
21．如图，在矩形
中，
，点E，F 分别是
，
上的点，且满足
．分别以
，
为边向矩形内部构造正方形
和正方形
，记阴
影部分的面积为S，则S 的最小值为（ ）
A．9
B．10.5
C．12
D．15
【答案】A
【分析】
设AE=CF=x，根据题意表示出阴影部分的面积，再利用二次函数的性质求出最值．
【详解】
解：设AE=CF=x，
∵四边形AEMH 和四边形CFNG 是正方形，
∴BE=DG=5-x，BF=DH=7-x，NP=MQ=2x-5，NQ=2x-7，
则阴影部分的面积S=
=
∵0＜x≤5，
∴当x=4 时，S 最小，且为9．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是得出图形中的线段长度，表示出阴影部分的面积
22．如图，矩形
中，
，
，抛物线
的顶点
在矩形
内部或其边上，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
先求得点M 的坐标，然后根据点M 在矩形
内部或其边上列出不等式求解即可．
【详解】
解：抛物线
的顶点坐标M 为（m，-m＋1），
∵
，
，
∴
，
∴-1≤m≤0，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数与实际问题，解题的关键是熟知抛物线的性质．
23．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与
水平距离x（米）之间的关系式为
，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A．
米
B．8 米
C．10 米
D．2 米
【答案】B
【分析】
小宇此次实心球训练的成绩就是抛物线
，与x 轴交点的横坐标，即当y＝0 时，求x
的值即可．
【详解】
解：当y＝0 时，即
＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8 米，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特
殊值列方程求解是解题关键．
24．如果矩形的周长是16，则该矩形面积的最大值为（ ）
A．8
B．15
C．16
D．64
【答案】C
【分析】
首先根据矩形周长为16，设一条边长x，矩形面积为y，可表示出另一边长为8-x，再根据矩形面积=长×宽
列出函数解析式并配方即可得结论．
【详解】
解：∵矩形周长为16，
∴设一条边长x，矩形面积为y，则另一边长为8-x，
∴y=（8-x）x=-x2+8x=-（x-4）
2+16，
∴当x=4 时，y 有最大值是16．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是掌握矩形的面积公式=长×宽．
25．向空中发射一枚炮弹，第x 秒时的高度为y 米，且高度与时间的关系为
，若
此炮弹在第6 秒与第15 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）
A．第8 秒
B．第10 秒
C．第12 秒
D．第15 秒
【答案】B
【分析】
先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x 的值，即可得
出结论．
【详解】
解：∵此炮弹在第6 秒与第15 秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：
，
∴则在四个选项所列的时间中，炮弹所在高度最高的是第10 秒．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是解题的关键．
26．某新型礼炮的升空高度
与飞行时间
的关系式是
．若这种礼炮在点火升空到
最高点时引爆，则从点火到引爆需要的时间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
函数
最高处引爆，则该点为抛物线的顶点，即可求解．
【详解】
解：
．
函数的对称轴为：
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、
顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
27．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系
如图所示．下列结论：①小球抛出3 秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的
高度h＝20 时，t＝1s 或5s．④小球抛出2 秒后的高度是35m．其中正确的有（ ）
A．①②
B．②③
C．①③④
D．①②③
【答案】A
【分析】
由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t
﹣3）
2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可．
【详解】
解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）
2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）
2+40，
解得：a＝
，
∴h＝
（t﹣3）
2+40．
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3 秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝
（t﹣3）
2+40，
解得t＝3±
，故③错误；
④令t＝2，则h＝
（2﹣3）
2+40＝
m，故④错误．
综上，正确的有①②．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关
键．
28．今年由于受新型冠状病毒的影响，一次性医用口罩的销量剧增．某药店一月份销售量是5000 枚，二、
三两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x 的函数关系式
是（ ）
A．y＝5000（1+x）
B．y＝5000（1+x）
2
C．y＝5000（1+x2）
D．y＝5000（1+2x）
【答案】B
【分析】
月平均增长率为x，可求三月份销售量5000（1+x）
2，该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x 的函数关系
式是：y＝5000（1+x）
2．
【详解】
解：月平均增长率为x，
二月份销售量＝5000+5000x=5000(1+x),
三月份销售量5000(1+x)+ 5000(1+x)x=5000（1+x）
2，
该药店三月份销售口罩枚数y（枚）与x 的函数关系式是：y＝5000（1+x）
2．
故选择：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，掌握增长率问题中增加量=平均增长率×原销售量，抓住公式列函数式是解题关
键．
29．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时
间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（ ）
A．3min
B．3.75min
C．5min
D．7.5min
【答案】B
【分析】
根据二次函数的性质即可求解．
【详解】
解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，
当x＝﹣
＝3.75 时，y 取得最大值，
则最佳加工时间为3.75min．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求最值问题是解题的关键．
30．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放
辆单车，计划第三个月投放单车
辆，
若第二个月的增长率是
，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么
与
的函数关系是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据增长率问题，一般“增长后的量
增长前的量
（1+增长率）”找出等量关系列方程即可
【详解】
第二个月的增长率是
，第三个月的增长率是第二个月的两倍，
第三个月的增长率为
第一个月投放
辆单车，
第二个月投放
辆
第三个月投放量
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题关键是熟练掌握增长率问题的求解，即“增长后的量
增长前的量
（1+增长率）”．
二、填空题
31．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高
度
（单位：
）与它距离喷头的水平距离
（单位：
）之间满足函数关系式
，喷出
水珠的最大高度是______
．
【答案】3
【分析】
把二次函数化为顶点式，进而即可求解．
【详解】
解：∵
，
∴当x=1 时，
，
故答案是：3．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．
32．某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20 元．调查发现：当销售单价是30 元时，月销售量为
280 件．而销售单价每上涨1 元，月销售量就减少10 件，当月销售利润最大时，销售单价为___________
元．
【答案】39
【分析】
设销售单价为x 元时，销售利润最大，单价利润为x-20 元，销售数量为280-（x-30）•10，根据公式利润=
（售价-进价）×销售数量．通过配方可求利润最大值．
【详解】
解：设销售单价为x 元时，销售利润最大，
单价利润为（x-20）元，
销售数量为280-（x-30）•10，
∴利润总额为y=（x-20）•[280-（x-30）•10]，
化简得：y=-10x2+780x-11600，
配方得：y=-10(x-39)2+3610，
当单价为39 元时，有最大利润3610 元，
故答案为：39．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，解本题的关键首先求列出函数关系式，再将方程配方，即可求最大值．
33．飞机着陆后滑行的距离（单位：
）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是
，
飞机着陆后滑行______米才能停下来．
【答案】600
【分析】
由题意可把函数解析式是
化为顶点式，然后问题可求解．
【详解】
解：由函数解析式是
可化为
，
∴当t=20 时，滑行距离s 最大，最大距离为600，
∴飞机着陆后滑行600 米才能停下来；
故答案为600．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
34．某幢建筑物，从5 米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线的最高点M 离墙1 米，离地面
米，则水流下落点B 离墙距离
是_____米．
【答案】3
【分析】
以地面，墙面所在直线为
轴，
轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令
，
即可解答．
【详解】
解：地面，墙面所在直线为
轴，
轴建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式：
，
把点
代入抛物线解析式得：
，
抛物线解析式：
．
当
时，
（舍去），
．
m．
故答案为3．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，在平面直角坐标系中求抛物线解析式，解决实际问题．
35．如图，若被击打的小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h＝35t﹣5t2，
则小球从飞出到落地所用时间为_____s．
【答案】7
【分析】
根据关系式，令h＝0，求得t 的值可得飞行的时间．
【详解】
解：依题意，令h＝0 得0＝35t﹣5t2，即t（35﹣5t）＝0，
解得：t＝0（舍去）或t＝7，
即小球从飞出到落地所用的时间为7s．
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了二次函数在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的
高度为0 时的情形，借助二次函数解决实际问题．
三、解答题
36．某商场一种商品的进价为每件30 元，售价为每件40 元，每天可以销售48 件，为尽快减少库存，商场
决定降价促销．
（1）经调查，若该商品每降价0.5 元，每天可多销售4 件，那么每天要想获得510 元的利润，每件应降价
多少元？
（2）在（1）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】（1）要使商场每月销售这种商品的利润达到510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价
2.5 元；（2）每件商品的售价为38 元时，每天可获得最大利润，最大利润是512 元．
【详解】
【分析】（1）设每件商品应降价x 元，由每件利润×销售数量＝每天获得的利润列出关于x 的方程，解之
可得答案；
（2）设每件商品应降价y 元，获得利润为w，根据每件利润×销售数量＝每天获得的利润列出w 关于y 的
函数解析式，配方成顶点式，再利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设每天要想获得510 元的利润，则每件商品应降价x 元，
由题意，得（40﹣30﹣x）（4×
+48）＝510，
解得：x1＝1.5，x2＝2.5，
∵要有利于减少库存，
∴x＝2.5，
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5 元；
（2）设每件商品应降价y 元，获得利润为w 元，
由题意得，
w＝（40﹣30﹣y）（4×
+48）
＝﹣8y2+32y+480
＝﹣8（y﹣2）
2+512，
当y＝2 时，w 有最大值512，此时售价为40﹣2＝38，
答：每件商品的售价为38 元时，每天可获得最大利润，最大利润是512 元．
37．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16 元，当销售单价定为20 元
时，每天可售出80 瓶，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5 元，则每天可多售出20 瓶
（销售单价不低于成本价）（元），每天的销售量为
（瓶）．
（1）求每天的销售量
（瓶）与销售单价
（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）
（
）；（2）当销售单价为19 元时，每天的销售利润最大为360 元
【分析】
（1）根据题意即可直接列出关于x、y 的等式，整理即可得出每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之
间的函数关系式．
（2）设每天的销售利润为
元，根据利润=销量×（售价-成本）即可列出关于w 与x 的二次函数关系式，
再利用二次函数的性质即可解答．
【详解】
解：（1）由题意得：
，
∴
．
（2）设每天的销售利润为
元，则有
，
∵
，
∴二次函数图象开口向下，
∴当
时，
有最大值，最大值为360 元．
故当销售单价为19 元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为360 元．
【点睛】
本题考查一次函数与二次函数的实际应用．根据题意找出等量关系列出等式是解答本题的关键．
38．某商店销售一种成本价为10 元/件产品，已知售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的售价不
高于16 元/件.根据市场调查发现，该产品每天的销售量
（件）与销售价
（元/件）之间的函数关系如图
所示.
（1）求
与
之间的函数关系式，并写出自变量
的取值范围；
（2）如果商店每天获利104 元，那么销售单价定为多少元？
（3）设商店每天销售这种产品可获利
元，当销售价定为多少时，每天销售的利润最大？最大利润是多
少？
【答案】（1）
（
）；（2）销售单价定为14 元；（3）销售价定为16 元时，每天
销售的利润最大，最大利润是144 元
【分析】
（1）根据待定系数法即可求出解析式；
（2）根据题意列出一元二次方程，故可求解；
（3）根据题意得
，根据二次函数的图象与性质即可求出最大利润．
【详解】
解：（1）依图象可知
是
的一次函数，可设
依题意得
，解得：
∴
（
）
（2）依题意得
整理得：
，解得：
，
∵
∴
不合题意，舍去，取
答：销售单价定为14 元.
（3）
∵
，∴
有最大值当
时，
随
的增大而增大
∵
∴当
时，
最大
（元）
答：销售价定为16 元时，每天销售的利润最大，最大利润是144 元．
【点睛】
此题主要考查方程与函数的综合运用，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图象与性质，根据题意
找到数量关系列出方程与函数求解．
39．2021 年，科技创新工作将继续推进“科技扶贫在线”平台的建设，让科技创新与网络销售的“新”与
“快”紧密结合，使产品随时直连市场．某乡镇企业计划在一个月内（按30 天计）生产一批产品，某网络
销售平台以每台800 元的价格将每天生产的产品全部订购．在生产过程中，由于生产技术不断改
进，该产品第
天的生产成本
（元/台）与
（天）之间的关系如图所示．
第
天该产品的生产量
（台）与
（天）满足关系式
．
（1）求第30 天该乡镇企业生产该产品的利润；
（2）问第几天该网络销售平台的利润最大，最大利润是多少元?
【答案】（1）第30 天该乡镇企业生产该产品的利润为6000 元；（2）第15 天的利润最大，最大利润为
12500 元
【详解】
解：（1）由图象可知，第30 天时的成本为500 元，
此时的产量为
（台），
则第30 天的利润为：
（元）．
答：第30 天该乡镇企业生产该产品的利润为6000 元．．．．2 分
（2）设线段
的式为
，
把
，
代入得，
，解得
．
线段
的解析式为
．
设第
天该网络销售平台的利润为
元．
①当
时，
．
，开口向下，对称轴为直线
，
当
时，
．
②当
时，
．
，
随
的增大而减小．
当
时，
．
．
．
答：第15 天的利润最大，最大利润为12500 元．
40．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10 元/件，规定销售价不低于成本价，且不高于35 元，
市场调查发现，该产品每天的销售量
（件）与销售价
（元/件）满足一次函数关系，如图所示．
（1）求
与
之间的函数关系式；
（2）若经销商想要每天获得550 元的利润，销售价应该定为多少？
（3）设每天的销售利润为
（元），当销售价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
；（2）15 元/件；（3）销售价为35 元/件时，每天获得的利润最大，最大
利润1750 元
【分析】
（1）由图可知，一次函数的图象经过（20，100）和（30，80）两点，利用待定系数法可求得k、b 的值；
（2）利用“（售价-进价）×销售数量=销售利润”可以解决售价问题；
（3）探究W 与x 之间的函数关系，利用函数解决W 的最值问题即可．
【详解】
解：（1）设
．
∵图象经过（20，100）和（30，80）两点，
∴
，解得，
．
∴
．
（2）由题意得，
．
解得，
．
∵
，
∴
（不合题意，舍去）．
∴若想要每天获得550 元的利润，销售价应该定为15 元/件．
（3）
．
∴W 是关于x 的二次函数．
∵
，抛物线开口向下，
∴当x<40 时，y 随x 的增大而增大．
又∵
，
∴当
时，
=1750．
∴当销售价为35 元/件时，每天获得的利润最大，最大利润1750 元．
【点睛】
本题考查用待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质和应用等知识点．熟知待定系数法的流程是基
础，掌握二次函数的性质是求最值的关键．
41．在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠
给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10 元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查
发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分
数据如下表：
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2 元，且线上的月销量固定为400 件，试问：当x 为多少时，线上和
线下月利润总和达到最大？
【答案】（1）y＝﹣100x+2400；（2）当x 为19 时，线上和线下月利润总和达到最大．
【分析】
（1）设y＝kx+b（k≠0），然后由表格可进行求解；
（2）设线上和线下月利润总和为W 元，则由题意易得W＝﹣100（x﹣19）
2+7300，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）∵y 与x 满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b（k≠0），
将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100 代入得：
，
解得：
，
∴y 与x 的函数关系式为：y＝﹣100x+2400；
（2）设线上和线下月利润总和为W 元，
则W＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）
＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）
＝﹣100（x﹣19）
2+7300，
∴当x 为19 时，线上和线下月利润总和达到最大．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
42．如图，在平面直角坐标系中．抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左
侧），与y 轴交于点C．点A 的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3．且经过A、C 两点的
直线为y＝kx+4．
（1）求抛物线L 的函数表达式；
（2）若将抛物线L 沿x 轴翻折，得到新抛物线L′，抛物线L′上是否存在一点P 使得SAOP＝
SABC，若存在，
请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝
x2+3x+4；（2）存在，点P 的坐标为（﹣3，
）或（﹣3
，﹣
）或（﹣3﹣
，﹣
）
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据将抛物线L 沿x 轴翻折，得到新抛物线L'，得到抛物线L'的表达式y＝﹣
x2﹣3x﹣4，设点P 的
坐标为（x，﹣
x2﹣3x﹣4），由S△AOP＝
×AO×|﹣
x2﹣3x﹣4|＝
×4×|﹣
x2﹣3x﹣4|＝
S△ABC，即
可求解．
【详解】
解：（1）将点A 的坐标代入一次函数表达式得：0＝﹣4k+4，解得k＝1，
故一次函数的表达式为y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，故点C 的坐标为（0，4），
∵点A 的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，则点B 的坐标为（﹣2，0），
设抛物线L 的表达式为y＝a（x+2）（x+4）＝a（x2+6x+8）＝ax2+6ax+8a，
故8a＝4，解得a＝
，
故抛物线的表达式为y＝
x2+3x+4；
（2）存在，理由：
将抛物线L 沿x 轴翻折，得到新抛物线L'，则该抛物线的表达式为y＝﹣
x2﹣3x﹣4；
设点P 的坐标为（x，﹣
x2﹣3x﹣4），
由点AB 的坐标知，AB＝2，
则S△ABC＝
×AB•CO＝
×2×4＝4，
则S△AOP＝
×AO×|﹣
x2﹣3x﹣4|＝
×4×|﹣
x2﹣3x﹣4|＝
S△ABC＝1，
解得：x＝﹣3 或﹣3+
或﹣3﹣
，
故点P 的坐标为（﹣3，
）或（﹣3
，﹣
）或（﹣3﹣
，﹣
）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算、图形的翻折等，有一定的综合性，
难度适中．
43．如图，
船位于
船正东
处．现在
，
两船同时出发，
船以
的速度朝正北方向行
驶，
船以
的速度朝正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？
【答案】出发3 小时后相距最近，最近距离是40km
【分析】
利用勾股定理表示出两船的距离，然后利用配方法求出两车的距离最小值即可．
【详解】
解：设时两船相距为
km，则
km，
，
由题意可知
，
故当
时，即
时两船相距最近，
km，
答：两船出发3 小时后相距最近，最近距离是40km．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用、勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出两船之间的距离表达式，注意掌
握配方法求二次函数最值得应用，难度中等．
44．把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为（秒）时该足球距离地面的高度
（米）适用公式
．
（1）经过多少时间足球能到达最大高度，最大高度是几米？
（2）若存在两个不相等的实数，能使足球距离地面的高度都为
（米），求
的取值范围．
【答案】（1）2 秒，20 米；（2）0≤m＜20
【分析】
（1）根据抛物线的顶点式即可得；
（2）根据h 的最大值即可得．
【详解】
解：（1）∵h=20t-5t2=-5（t-2）
2+20，
∴t=2 时，h 最大，最大值为20m，
答：经过2s 足球能到达最大高度，最大高度是20 米；
（2）由（1）知足球的最大高度为20 米，
∴0≤m＜20．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
45．某商店以每件30 元的价格购进一批商品，现以单价50 元销售，每月可售出400 件，经市场调查发现：
每件商品销售单价每上涨1 元，该商品平均每月的销售量就减少10 件．设每件商品销售单价上涨了x 元．
（1）若销售单价上涨了3 元，则该商品每月销售量为______件；
（2）写出每月销售该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式；
（3）当销售单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）370；（2）
；（3）当销售单价定为60 元时，每月销售该商品的利
润最大，最大利润为9000．
【分析】
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意易得销售量为
件，然后根据“销售利润=单个利润×销售量”可进行求解；
（3）由（2）及根据二次函数的性质可直接进行求解．
【详解】
解：（1）由题意得：
当销售单价上涨了3 元，则该商品每月销售量为400-10×3=370（件）；
故答案为370；
（2）设每件商品销售单价上涨了x 元，由题意得：
，
∴每月销售该商品的利润y（元）与每件商品销售单价上涨x（元）之间的函数关系式为
；
（3）由（2）可得：y 与x 的函数关系式为
，配成顶点式为：
，
∴
，开口向下，
∴当x=10 时，y 有最大值，即为
，
∴销售单价定为50+10=60 元；
答：当销售单价定为60 元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为9000．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
46．某公司销售一种商品，成本为每件20 元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价
x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）求y 与x 的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，设日利润为w 元，求公司销售该商品获得的最大
日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a 元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2
倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利
润是1500 元，求a 的值．
【答案】（1）y＝－x＋120；（2）1600 元；（3）a=70．
【分析】
（1）设函数的表达式为y＝kx＋b，利用待定系数法解题；
（2）设公司销售该商品获得的最大日利润为w 元，利用总利润=单利
销售量列函数关系式，化为顶点解
析式，根据二次函数的增减性解题即可；
（3）当w 最大＝1500 时，解得x 的值，再由x 的取值范围分两种情况讨论①a＜80 或②a≥80 时，根据二次
函数的增减性解题即可．
【详解】
（1）设函数的表达式为y＝kx＋b，
将（40，80）、（60，60）代入上式得：
，解得
，
故y 与x 的关系式为y＝－x＋120；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w 元，
则w＝（x－20）y＝（x－20）（－x＋120）
＝－（x－70）
2＋2500，
∵x－20≥0，－x＋120≥0，x－20≤20×100%，
20≤
∴
x≤40，
∵－1＜0，故抛物线开口向下，故当x＜70 时，w 随x 的增大而增大，
∴当x＝40（元）时，w 的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600 元；
（3）
当w 最大＝1500 时，
＝1500，解得x1＝70，x2＝90，
∵x－2×20≥0，∴x≥40，又∵x≤a，∴40≤x≤a．
∴有两种情况，①a＜80 时，即40≤x≤a，
在对称轴左侧，w 随x 的增大而增大，
∴当x＝a＝70 时，w 最大＝1500，
②a≥80 时，即40≤x≤a，
在40≤x≤a 范围内w 最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
综上所述，a＝70．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，涉及一次函数的应用、待定系数法解一次函数的解析式等知识，是重要考
点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
47．为深入贯彻落实“四不摘”政策，切实把服务人民群众的宗旨落到实处，某县引导某易地移民搬迁安
置点开办惠民生活超市，方便安置点群众生活．该超市以160 元/千克的进价新进一批茶叶，经调查发现，
在一段时间内，销售单价w（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系如图所示，设利润为y（元）．
（1）求w 与x 的函数关系式；
（2）当商店的销售量x 为多少千克时，获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）w＝﹣2x+240；（2）80 千克时，最大利润是3200 元．
【分析】
（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式即可得函数取得最大值时x 的值，
此时对应的y 值即为最大利润．
【详解】
解：（1）设w＝kx+b，由图象可将点（40，160）、（120，0）代入得：
，
解得：
，
∴w＝﹣2x+240；
（2）由题意得：
y＝（x﹣40）（﹣2x+240）
＝﹣2（x﹣80）
2+3200，
∴当x＝80 时，利润达到最大，ymax＝3200．
答：当商店的销售量x 为80 千克时，获得的利润最大，最大利润是3200 元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
48．红星公司加大技术创新，研发出一种新产品，对新产品的生产和销售进行了规划．从2021 年1 月开始
生产并销售该种产品，该种产品的生产成本为6 万元/件，设第x（
，且x 为整数）月份该种产品
的售价为y 万元/件，y 与x 之间的函数关系如图所示．
（1）直接写出y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）第x 月份生产并销售的产品数量为z 件，
（
，且x 为整数）．该公司在第几月份
所获的月利润最大？最大月利润为多少万元？
【答案】（1）
（其中
为整数）；（2）该企业在第10 月份所获的月利润最
大，最大月利润为98 万元
【分析】
依题意：（1）通过图像可知：当
时，为平行于x 轴的线；当
时，满足一次函数形式，
即可；
（2）设第x 月的月利润为w 万元，分两种情况：当
和当
，分别求解进行比较，即可；
【详解】
由题知：（1）当
时，为平行于x 轴的线，∴
；
当
时，满足一次函数形式，设为：
；
将点
和
代入，可得
，得：
，
；
∴y 与x 的函数解析式为：
；
（2）设第x 月的月利润为w 万元，分两种情况：
①当
时，
．
∵w 随x 的增大而增大，∴当
时，
（万元）．
②当
时，
当
时，
（万元）．
综上所述，该企业在第10 月份所获的月利润最大，最大月利润为98 万元．
【点睛】
本题考查一次函数、二次函数的性质，关键在理解限定范围内求二次函数最大值；
49．今年是扶贫攻坚的决胜年，某银行特批90 万元无息贷款帮助一扶贫车间生产并销售一种土特产，已知
该土特产的生产加工成本为40 元/袋，每月还需支付其它费用共30 万元，该土特产每月的销售量y（万
袋）与销售单价x（元/袋）之间的函数关系为y＝﹣
x+5．假设该土特产每月的产量＝销售量．
（1）求每月销售利润w（万元）与销售单价x 之间的函数关系式（不要求写x 的取值范围）；
（2）若该车间只用销售这种土特产的利润偿还贷款，至少需要几个月能还清？
【答案】（1）
；（2）6 个月．
【分析】
（1）根据利润=（单价-成本）
销售量-其他费用写出关系式即可；
（2）根据二次函数的性质，算出每月最大利润再计算即可．
【详解】
解：（1）由题：
，
；
（2）由（1）
，
当
时，
有最大值，
（万元），即每月最多还15 万元，
则至少要
个月才能还清．
【点睛】
本题考查了二次函数的实际应用；理清题意，建立正确的关系式是解决本题的关键．
50．某药店购进一批消毒液，进价为20 元/瓶，要求利润率不低于
，且不高于
．该店通过分析
销售情况，发现该消毒液一天的销售量y（瓶）与当天的售价x（元/瓶）满足下表所示的一次函数关系．
售价x（元/瓶）
…
24
2
5
26
2
7
…
销售量y（瓶）
…
32
3
0
28
2
6
…
（1）若某天这种消毒液的售价为30 元/瓶，求当天该消毒液的销售量．
（2）如果某天销售这种消毒液获利192 元，那么当天该消毒液的售价为多少元？
（3）若客户在购买消毒液时，会购买相同数量（包）的口罩，且每包口罩的利润为20 元，则当消毒液的
售价定为多少时，可获得的日利润最大？最大日利润是多少元？
【答案】（1）
；（2）28 元或32 元；（3）24，768．
【分析】
（1）分别解得当利润不低于
时的售价范围，当利润不超过
时的售价范围，再设销售量y（瓶）
与当天的售价x（元/瓶）的一次函数关系，利用待定系数法解得解析式，计算当
时的函数值即可解
题；
（2）设利润为
元，根据利润=单利
销售量，结合因式分解法解一元二次方程即可解题；
（3）将（2）中的总利润配方成顶点式解析式，再结合二次函数自变量的取值范围解题即可．
【详解】
解：（1）设消毒液售价为
元/瓶，进价为
元/瓶，当利润不低于
时，售价不低于
（元/瓶），
当利润不超过
时，售价不高于，
（元/瓶），
的取值范围为：
设一次函数表达式：
分别把
和
代入
可得，
解得
当
时，
当天该消毒液的销售量
瓶．
（2）设利润为
元，根据题意得，
整理得
或
答：当天该消毒液的售价为28 元或32 元．
（3）总利润
时，函数值最大，此时
（元）
答：当消毒液的售价定为24 元时，可获得的日利润最大，最大日利润是768 元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程等知识，是重要
考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
51．小明和小丽先后从
地出发沿同一直道去
地．设小丽出发第
时，小丽、小明离
地的距离分
别为
、
．
与
之间的函数表达式是
与
之间的函数表达式是
．
（1）小丽出发时，小明离
地的距离为多少
．
（2）小丽出发至小明到达
地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少
？
【答案】（1）小明离A 地的距离为250m；（2）小丽出发4 分钟时，两人相距最近，最近距离为90m．
【分析】
（1）由题意可令
，然后分别代入
、
的解析式进行求解即可；
（2）设两人相距sm，则根据题意可得
，
然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】
解：（1）∵
，
，
∴当
时，
，
，
∴A、B 两地的距离为2250m，
∴2250-2000=250m，
答：小丽出发时，小明离A 地的距离为250m
（2）设小丽出发第
时，两人相距sm，由题意得：
，
∵
，开口向上，
∴当
时，s 有最小值为90，
答：小丽出发4 分钟时，两人相距最近，最近距离为90m．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
52．美丽的励志我的家，为创建文明城市美化校园，我校生物课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．
其中一边靠墙，另外三边用长为30 米的篱笆围成．已知墙长为18 米（如图所示），设这个苗圃园垂直于
墙的一边的长为x 米．
（1）若苗圃园的面积为72 平方米，求x 的值．
（2）若平行于墙的一边长不小于8 米，则垂直于墙的一边长为多少米时这个苗圃园的面积最大，并求出这
个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于100 平方米时，试结合函数图象，直接写出x 的取值范围．
【答案】（1）x＝12；（2）垂直于墙的一边长为7.5 米时这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5 平
方米；（3）
．
【分析】
（1）由题意得（30﹣2x）x＝72，然后进行求解即可；
（2）设苗圃面积为ycm2，由题意可得y＝（30﹣2x）x，然后根据二次函数的最值问题可进行求解；
（3）由题意得这个苗圃园的面积不小于100 平方米，即﹣2（x﹣7.5）
2+112.5≥100，然后由（1）可知6≤x
＜15，可进行求解．
【详解】
解：（1）由题意得（30﹣2x）x＝72，
解得：x1＝3，x2＝12，
∵30﹣2x≤18，
∴x≥6，
∴x＝12；
（2）设苗圃面积为ycm2，
∴y＝（30﹣2x）x
＝﹣2（x﹣7.5）
2+112.5，
由题意得30﹣2x≥8，解得x≤11，
又30﹣2x≤18，解得x≥6；
∴6≤x≤11，
∴当x＝7.5 时，y 最大＝112.5；
（3）∵这个苗圃园的面积不小于100 平方米，
即﹣2（x﹣7.5）
2+112.5≥100，
∴5≤x≤10，
由（1）可知6≤x＜15，
∴x 的取值范围为
．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质及应用是解题的关键．
53．如图，某学生推铅球，铅球出手(点A 处)的高度是
，出手后的铅球沿一段抛物线
运行，量得铅球落地点C 与学生的水平距离OC=
．
（1）求抛物线的解析式(注明x 的取值范围)；
（2）铅球运行中，最高是多少米？此时铅球与学生水平距离是多少米？
【答案】（1）
；（2）铅球运行中，最高是3 米，此时铅球与学生水平
距离4 米
【分析】
（1）把A(0，
)，C(10，0)代入待定解析式
，然后进行求解即可；
（2）由（1）及二次函数的最值问题可求解．
【详解】
解：(1)把A(0，
)，C(10，0)代入待定解析式
，得：
，
解得：
，
∴
；
(2)当
=4 时，
=3；
答：铅球运行中，最高是3 米，此时铅球与学生水平距离4 米．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
54．如图，正方形
的边长为
，
，
分别是
，
边上一动点，点
，
同时从点
出发，以每秒
的速度分别向点
，
运动，当点
与点
重合时，运动停止，设运动时间为
，
运动过程中
的面积为
，求
关于
的函数表达式，并写出自变量
的取值范围．
【答案】
【分析】
△AEF 的面积=正方形ABCD 的面积-△ABE 的面积-△ADF 的面积-△ECF 的面积，分别表示正方形ABCD
的面积、△ABE 的面积、△ADF 的面积、△ECF 的面积代入即可．
【详解】
解：设运动时间为
，
点
，
同时从点
出发，以每秒
的速度分别向点
，
运动，
，
，
，
，
的面积
正方形
的面积
的面积
的面积
的面积，
即：
【点睛】
此题考查了函数关系式，解题关键是正确表示正方形ABCD 的面积、△ABE 的面积、△ADF 的面积、
△ECF 的面积．
55．如图，要利用一面墙（墙长为
）建羊圈，用
的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，设羊圈的
一边
长为
，总面积为
．
（1）在不浪费围栏的情况下，求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）请问能否围成总面积为
的羊圈，若能，请求出
的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）y=-3x2+30x，10＜x≤15；（2）不能，理由见解析
【分析】
（1）根据长方形的面积公式可得关系式，再根据墙长15 米得到不等式，得到x 的范围；
（2）根据题意列出方程，根据方程的解判断结果．
【详解】
解：（1）由题意可得：
y=x（30-3x）=-3x2+30x，
又0＜30-3x≤15，
解得：5≤x＜10；
（2）当y=81 时，-3x2+30x=81，
则3x2-30x+81=0，
△=302-4×3×81=-72＜0，
则方程无解，
∴不能围成总面积为81m2的羊圈．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用能力及一元二次方程的应用的知识，根据题意找到长方形的长BC 是解题的
关键．
56．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，
足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）满足：h＝﹣5t2+20t（0≤t≤4）
的关系．
（1）当t＝3 时，求足球距离地面的高度；
（2）当足球距离地面的高度为10 米时，求t 的值；
（3）若存在实数t1和t2（t1≠t2），当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都是m（米），求m 的范围．
【答案】（1）当t＝3 时，足球距离地面的高度为15 米；（2）2+
或2﹣
；（3）0≤m＜20．
【分析】
（1）将
代入解析式计算即可；
（2）根据
可得关于t 的一元二次方程，解方程即可；
（3）由题意可以方程
的两个不相等的实数根，由根的判别式即可求得m 的取值范围.
【详解】
解：（1）当
时，
（米）,
∴当
时，足球距离地面的高度为15 米；
（2）∵
，
∴
，即
，
解得：
或
，
故经过
或
时，足球距离地面的高度为10 米；
（3）∵
，由题意得t1，t2是方程
的两个不相等的实数根，
∴
，
∴
，
故m 的取值范围是
．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，一元二次方程的应用以及根的判别式，根据题意得到相应的方程将实际
问题转化为方程问题是解题的关键.
57．某公司分别在
，
两城生产同种产品，共100 件．
城生产产品的总成本
（万元）与产品数量
（件）之间具有函数关系
，
城生产产品的每件成本为70 万．当
，
两城生产这批产品
的总成本的和最少时，求：
（1）
，
两城各生产多少件？
（2）从
城把该产品运往
，
两地的费用分别为
万元/件和3 万元/件；从
城把该产品运往
，
两地的费用分别为1 万元/件和2 万元/件，
地需要90 件，
地需要10 件，求
，
两城总运费之和
的最小值（用含有
的式子表示）．
【答案】（1）
城生产20 件，
城生产80 件；（2）当
时，
，
两城总运费之和
的最小
值为
万元；当
时，
，
两城总运费的和的最小值为
万元．
【分析】
（1）设
，
两城生产这批产品的总成本的和为
，则根据题意得
，然后由二
次函数的性质可求解W 的最小值，进而问题可求解；
（2）设从
城运往
地的产品数量为
件，
，
两城总运费的和为
，则从
城运往
地的产品数量
为
件，从
城运往
地的产品数量为
件，从
城运往
地的产品数量为
件，
由题意得
，然后可得
，进而根据一次函数的性质分①当
时，
在
内，②当
时，在
内，最后分类求解即可．
【详解】
解：（1）设
，
两城生产这批产品的总成本的和为
，
则
，
由二次函数的性质可知，当
时，
取得最小值，最小值为6600 万元，
此时
，
答：
城生产20 件，
城生产80 件．
（2）设从
城运往
地的产品数量为
件，
，
两城总运费的和为
，则从
城运往
地的产品数量
为
件，从
城运往
地的产品数量为
件，从
城运往
地的产品数量为
件，
由题意得：
，解得
，
根据一次函数的性质分以下两种情况：
①当
时，在
内，
随
的增大而减小，则
时，
取得最小值，最小值为
；
②当
时，在
内，
随
的增大而增大，则
时，
取得最小值，最小值为
；
答：当
时，
，
两城总运费之和
的最小值为
万元；当
时，
，
两城总
运费的和的最小值为
万元．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
58．如图，从某建筑物2.25 米高的窗口
处用向外抛出篮球，篮球的运动轨迹成抛物线状（抛物线所在平
面与墙面垂直），如果抛物线的最高点
离墙1 米，离地面3 米．
（1）求抛物线的表达式．
（2）求篮球落地点
离墙的距离
的长度．
（3）当从
处向外抛出篮球时，若存在篮球离墙的距离
，当
或
时，篮球距离地
面的高度都为
（米），求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）OB=3 米；（3）
【分析】
（1）由题意易得点
，顶点
，然后可设抛物线解析式为
，然后代入点
A 求解即可；
（2）由（1）可当y=0 时进行求解即可；
（3）根据二次函数的对称性可得点A 的对称点坐标为
，要使当
或
时，篮球距离地面的
高度都为
（米），那么
是对称点，故问题可求解．
【详解】
解：（1）由题意得：点
，顶点
，则设抛物线解析式为
，
把点A 代入得：
，
解得：
，
∴抛物线解析式为：
；
（2）由（1）得：抛物线解析式为
，
∴当y=0 时，则有
，
解得：
（不符合题意，舍去）
∴OB=3 米；
（3）由（1）可得抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点A 关于对称轴对称的点的坐标为
，
∵当
或
时，篮球距离地面的高度都为
米，
∴
，即这两个点关于对称轴对称，
∵
，
∴m 的取值范围为
．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
59．学校打算用16m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边利用墙，如图所示，墙长为
9m．
（1）若生物园的面积是30m2，求生物园一边AB 的长；
（2）若要使围成的长方形生物园面积最大，问如何设计该生物园的长和宽？
【答案】（1）5m；（2）当生物园的面积为最大时，该生物园的长为8m，宽为4m．
【分析】
（1）设AD=xm，则有
，由题意得
，然后结合墙长为9m 可求解问题；
（2）设生物园的面积为
，AD=xm，则有
，由（1）可得：
，即
，进而可得
，然后根据二次函数的性质可求解．
【详解】
解：（1）设AD=xm，则有
，由题意可得：
，
解得：
，
∵墙长为9m，
∴AB 的长不超过9m，
∴
，
∴AB=5m；
答：生物园一边AB 的长为5m．
（2）设生物园的面积为
，AD=xm，则有
，由（1）可得：
，即
，
∴
，对称轴为直线
，
∵墙长为9m，
∴
且
，
∴
，
∴当
时，S 取最大值，
∴AD=4m，AB=8m，
答：当生物园的面积为最大时，该生物园的长为8m，宽为4m．
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
60．某商品的进价为每台20 元，当售价为每台30 元时，每月可卖出180 台，该商品每台售价x 元与月销
量y 台的函数关系如图所示，已知该商场计划涨价销售，但每件售价不高于35 元．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
；（2）销售单价定为34 元时，该商场每天的销售利润最
大，最大利润为1960 元．
【分析】
（1）设y 与x 之间的函数关系式为：y=kx+b，根据函数的图像，用待定系数法可以求得一次函数的解析式，
（2）商场每天的销售利润为W，则W=每件商品的利润×月销售量，列出W 与x 的二次函数解析式式，可
得二次函数的最值．
【详解】
解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为：
，由图象可得：
，解得：
，
∴y 与x 之间的函数关系式为：
；
（2）设该商场每天的销售利润为W，则
，
∴当
时，W 的值最大，
（元）.
答：销售单价定为34 元时，该商场每天的销售利润最大，最大利润为1960 元．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，得到月销售量是解决本题的突破点，注意结合自变量的取值求得相应的售价.
