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22.3 实际问题与二次函数
【提升训练】
一、单选题
1．如果一个矩形的周长与面积的差是定值
，我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图，在矩
形
中，
，
，
，那么这个“定差值矩形”的对角线
的长的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如图，点
是菱形
边上的动点，它从点
出发沿
路径匀速运动到点
，设
的面积为
，点
的运动时间为
，则
关于
的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，四边形
是边长为1 的正方形，点E 是射线
上的动点（点E 不与点A，点B 重合），
点F 在线段
的延长线上，且
，连接
，将
绕点E 顺时针旋转
得到
，连接
．设
，四边形
的面积为y，下列图象能正确反映出y 与x 的函数关系的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在平面直角坐标系中，点
的坐标为
，点
在直线
上运动，设
的面积为
，则下列图象中，能反映
与
的函数关系的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．如图．正方形
中，
，对角线
，
相交于点
，点
，
分别从
，
两点
同时出发，以
的速度沿
，
运动，到点
，
时停止运动，设运动时间为
，
的
面积为
，则
与
的函数关系可用图象表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，菱形
的边长为
，其中
，动点
同时从点A 都以
的速度出发，点
沿
路线，点
沿
路线运动．连接
．设运动时间为
，
的面积为
，则下列图像中能大致表示S 与的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图所示，点P 是边长为1 的正方形
对角线
上一动点（P 与点A、C 不重合），点E 在
上，且
，设
，
的面积为y，则下列图象中，能表示y 与x 函数关系的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在矩形ABCD 中，AD=6，AB=10，一个三角形的直角顶点E 是边AB 上的一动点，一直角边过点
D，另一直角边与BC 交于F，若AE=x，BF=y，则y 关于x 的函数关系的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距
离为
时，球达到最高点，此时球离地面
．已知球门高是
，若足球能射入球门，则小明与球
门的距离可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知二次函数
的图象与
轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点C，点C
关于
轴的对称点为D 点，若四边形
为正方形，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（ ）
m．
A．3
B．6
C．8
D．9
12．在平面直角坐标系中，先将抛物线
作关于x 轴的轴对称变换，再将所得的抛物线作关于
y 轴的轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
13．正方形
的边长为
，动点
从
出发，以
的速度沿
向
运动；同
时动点
以
的速度沿着
向
运动．如果一个点到达终点，则另一个点也停止运动．设运动时间
为秒，
的面积为
，则大致反应
与变化关系的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关
系式是
．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为
（ ）
A．3s
B．4s
C．5s
D．6s
15．已知
中，
，正方形
中，
和
在同一直线
上，将
向右平移，则
和正方形
重叠部分的面积y 与点B 移动的距离x 之间的函数
图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度
与旋转时
之间
的关系可以近似地用
来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时
和离地面高度
的
三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（
）
A．
B．
C．
D．
17．如图，平面直角坐标系中，抛物线
与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C．直线
与抛物线交于点D，与直线
交于点E．连接
，
．若
，则a
的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
18．如图所示，正方形
的边长为
，点
是
的中点，动点
从点
向点
运动，速度为
，到点
时停止运动；同时，动点
从点
出发，沿
运动，点
的速度为
．
设点
的运动时间为
秒，
的面积为
，能大致刻画
与
的函数关系的图象是（ ）．
A．
B．
C．
D．
19．在平面直角坐标系中，
的三个顶点坐标分别是
，抛物线
的图象经过点
，将
沿
轴向右平移
个单位，使点
平移到点
，然
后绕点
顺时针旋转
，若此时点
的对应点
恰好落在抛物线上．则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．如图，抛物线y＝﹣2x2+2 与x 轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为
C1，将C1向右平移得到C2，C2与x 轴交于点B、D，C2的顶点为F，连结EF．则图中阴影部分图形的面积
为（ ）
A．4
B．3
C．6
D．π
21．如图1，
的边BC 与长方形DEFG 的边DE 都在直线l 上，且点C 与点D 重合，
，
将
沿着射线DE 移动至点B 与点E 重合时停止，设
与长方形DEFG 重叠部分的面积是y，
CD 的长度为x，y 与x 之间的关系图象如图2 所示，则长方形DEFG 的周长为（ ）
A．14
B．12
C．10
D．7
22．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2 是喷灌架为一坡地草坪喷水的平
面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1 米．当喷射出的水流距离喷水头20 米时．达
到最大高度11 米，现将喷灌架置于坡度为1：10 的坡地底部点O 处，草坡上距离O 的水平距离为30 米处
有一棵高度约为2.3 米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是
（ ）
A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣
x2﹣x+1
B．水流喷射的最远水平距离是40 米
C．喷射出的水流与坡面OA 之间的最大铅直高度是9.1 米
D．若将喷灌架向后移动7 米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
23．如图，在
中，
，
，
．动点P 沿
从点A 向点B 移动（点P
不与点A，点B 重合），过点P 作
的垂线，交折线
于点Q．记
，
的面积为y，
则y 关于x 的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．如图，在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，点P 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，线段AP 的垂直平
分线分别交AB，DC 于点M，N，设BM＝y，BP＝x，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
25．如图，
是边长为4 的等边
的中位线，动点P 以每秒1 个单位长度的速度，从点A 出发，沿
折线
向点E 运动；同时动点Q 以相同的速度，从点B 出发，沿
向点C 运动，当点P 到达终点
时，点Q 同时停止运动．设运动时间为
四点围成图形的面积S 与时间t 之间的函数图象是（
）
A．
B．
C．
D．
26．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm，底面是个直径为6cm 的
圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD（不计
重合部分，两个果冻之间没有挤压）至少为（ ）
A．（
）cm
B．（
）cm
C．（
）cm
D．（
）cm
27．如图，
中，∠B＝90°，AB＝BC＝4cm，点D 为AB 中点，点E 和点F 同时分别从点D 和点C
出发，沿AB、CB 边向点B 运动，点E 和点F 的速度分别为1cm/s 和2cm/s，则
的面积ycm2与点F
运动时间x/s 之间的函数关系的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．如图，在矩形
中，
，
，动点P，Q 同时从点A 出发，点P 沿A→B→C 的路径
运动，点Q 沿A→D→C 的路径运动，点P，Q 的运动速度相同，当点P 到达点C 时，点Q 也随之停止运动，
连接
．设点P 的运动路程为x，
为y，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．如图，已知抛物线
的对称轴在
轴右侧，抛物线与
轴交于点
和点
，与
轴的负半轴交于点
，且
，则下列结论：①
；②
；③
；④当
时，在
轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点
，
（点
在点
左边），
使得
．其中正确的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
30．如图，直线
，
都与直线垂直，垂足分别为
，
，
，正方形
的边长为
，对
角线
在直线上，且点
位于点
处，将正方形
沿向右平移，直到点
与点
重合为止．记
点
平移的距离为
，正方形
位于直线
，
之间部分（阴影部分）的面积为
，则
关于
的函
数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
31．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为
米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）
与水平距离x（米）之间的函数关系式为
，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手
点水平距离为8 米，则该学生推铅球的成绩为________米．
32．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：
m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt
4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，
初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上
弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则
t1：t2＝_____．
33．规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断
下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义
菱形；③一组对边平行，一条对角线平分一个内角的四边形是广义菱形；④若M、N 的坐标分别为（0，
2），（0，
2），P 是二次函数
图象上在第一象限内的任意一点，PQ 垂直直线
于点Q，
则四边形PMNQ 是广义菱形．其中正确的是_________．（填序号）
34．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承
了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为
，
高度分别为
和
，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度（
的长）为
_________m．
35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与
轴相交于
、
两点，与
轴交于点
，
点
是抛物线上位于直线
下方一动点，当
时，点
的坐标为__________．
三、解答题
36．某商店在五一期间购进了600 个旅游纪念品，进价每个6 元，第一天以每个10 元的价格售出了200 个；
第二天若以每个10 元的价格仍可售出200 个，但为了适当增加销量，决定降价销售，已知单价每降低1 元，
可多售出50 个；第三天商店对剩下的旅游纪念品做清仓处理，以每个4 元的价格全部售出．设第二天旅游
纪念品单价降低x 元
，这批旅游纪念品的销售利润为y 元（利润=售价-成本），请解决以下问
题：
（1）用含x 的代数式表示第三天的销售量
（2）若第三天销售量不超过前两天销售量之和的
，求当第二天旅游纪念品的销售单价降低多少元时，
这批旅游纪念品的销售总利润最大?最大值是多少？
37．某商贸公司购进某种商品的成本为20 元/
，经过市场调研发现，这种商品在未来40 天的销售单价y
（元/
）与时间x（天）之间的函数关系式为：
且x 为整数，且日销量
与时间x（天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：
时间x（天）
1
3
6
10
…
日销量
142
138
13
124
…
2
填空：
（1）m 与x 的函数关系为___________；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20 天中，公司决定每销售
商品就捐赠n 元利润（
）给当地福利院，后发
现：在前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．
38．如今我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16 米的蔬菜大棚，其横
截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1 米的墙体
处，另一端固定在离地面高2 米的墙体
处，现对其横截面建立如图2 所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度
（米）与其离墙体
的水平距离
（米）之间的关系满足
，现测得
，
两墙体之间的水平距离为6 米．
图2
（1）直接写出
，
的值；
（2）求大棚的最高处到地面的距离；
（3）小明的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为
米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土
地平均每平方米需要4 根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？
39．某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40 元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为
60 元时，每星期卖出100 个．如果调整销售单价，每涨价1 元，每星期少卖出2 个，现网店决定提价销售，
设销售单价为x 元，每星期销售量为y 个．
（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400 元？
（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
40．“科学防控疫情，文明实践随行，讲卫生，勤洗手，常通风，健康有”现有一瓶洗手液如图1 所示．
已知洗手液瓶子的轴截面上部分有两段圆弧
和
，它们的圆心分别为点D 和点C，下部分是矩形
，且
，点E 到台面
的距离为
，如图2 所示，若以
所在的直线
为x 轴，
的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，当手按住项部才下压时，洗手液从喷口B 流出，
其路线呈抛物线形，此时喷口B 距台面
的距离为
，且到
的距离为
，此时该抛物线形的
表达式为
，且恰好经过点E．
（1）请求出点E 的坐标，并求出b，c 的值．
（2）接洗手液时，当手心R 距
所在直线的水平距离为
时，手心R 距水平台面
的高度为多少？
（3）如果该洗手液的路线与
的交点为点P，请求出
的正切值．
41．某商品有线上、线下两种销售方式．
线上销售单件利润定为600 元时，销售量为0 件，单件利润每减少1 元销售量增加1 件．另需支付其它成
本5 000 元；线下销售单件利润500 元．另需支付其它成本12 500 元．(注：净利润＝销售商品的利润－其
他成本)
（1）线上销售100 件的净利润为 元；线下销售100 件的净利润为 元；
（2）若销售量为x 件，当0＜x≤600 时，比较两种销售方式的净利润；
（3）现有该商品400 件，若线上、线下同时销售，售完后的最大净利润是多少元？此时线上、线下各销售
多少件？
42．为了推进乡村振兴战略，提升茶叶的品牌竞争力，某地政府在新茶上市30 天内，帮助茶农集中销售．
设第
天（
为整数）的售价为
（元/斤），日销售额为
（元）．据销售记录知：
销量：第1 天销量为42 斤，以后每天比前一天多销售2 斤；
价格：前12 天的价格一直为500 元/斤，从第13 天开始价格每天比前一天少10 元．
请根据以上信息，解决问题：
（1）当
时，写出
关于
的函数表达式；
（2）当
为何值时日销售额
最大，最大为多少？
（3）若要保证第13 天到第22 天的日销售额
随
增大而增大，则价格需要在当天的售价基础上上涨
元/斤，求整数
的最小值．（直接写出结果）
43．已知，足球球门高
米，宽
米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A 距离
地面
米，即
米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离
为6 米时，球恰
好到达最高点D，即
米．以直线
为x 轴，以直线
为y 轴建立平面直角坐标系（如图2）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；
（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m 米后接球射门，击球点为
（如图3），请直接写出
m 的取值范围．
44．为了减少农产品的库存，某网红在某网络平台上进行直播销售龙泉山牌香菇，每日销售量
与销
售单价x（元/
）满足关系式：
．销售单价不低于成本价且不高于30 元/
．经销售
发现，当每日销售量不低于
时，该香菇的成本价格为5 元/
，当每日销售量低于
时，该
香菇的成本价格为6 元/
．设香菇公司销售该香菇的日获利为w（元）．
（1）求当日销售量为
时的销售单价x（元/
）及当日获利w（元）；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种香菇日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当
元时，网络平台将向香菇公司收取a 元/
（
）的相关费用，若此时日获利的最
大值为44100 元，求a 的值．
45．如图1 是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m，在距离D 点6 米的E 处，测
得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱项部O 离水面的距离．
（2）如图2，桥面上方有3 根高度均为4m 的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同
的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
46．某校了解学生午餐排队情况，发现学生排队累计的人数
（人）随时间
（分钟）的变化情况满足关
系式
，其中
．
与
的部分对应值如表；
时间
（分钟）
0
1
2
…
累计人数
（人）
0
58
112
…
（1）求
与
之间的函数解析式；
（2）若食堂就餐排队窗口每分钟可减少排队人数32 人，求排队等待的学生人数最多时有多少人？（排队
等待的学生人数
排队累计的人数
减少的排队人数）
47．某板栗经销商在销售板栗时，经市场调查：板栗若售价为10 元/千克，日销售量为34 千克，若售价每
提高1 元/千克，日销售量就减少2 千克，现设板栗售价为x 元/千克（
且为正整数）．
（1）若某日销售量为24 千克，直接写出该日板栗的单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过15 元/千克，设每日销售额为w 元，求w 关于x 的函数表达式，并求w
的最大值和最小值．
（3）若政府每日给板栗经销商补贴a 元后（a 为正整数）发现只有4 种不同的单价使日收入不少于395 元
且不超过400 元，请直接写出a 的值，（日收入＝销售额＋政府补贴）
48．某商店从厂家以每件2 元的价格购进一批商品，在市场试销中发现，此商品的月销售量
（单位：万
件）与销售单价
（单位：元）之间有如下表所示关系：
…
4.0
5.0
5.5
6.5
7.5
…
…
8.0
6.0
5.0
3.0
1.0
…
（1）根据表中的数据，在图中描出实数对
所对应的点，并画出
关于
的函数图象；
（2）根据画出的函数图象，求出
关于
的函数表达式；
（3）设经营此商品的月销售利润为
（单位：万元）．
①写出
关于
的函数表达式；
②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10 万元（不计其它成本），若物价局限定商品的销售单价不
得超过进价的200%，则此时的销售单价应定为多少元？
49．某人做跑步健身运动，每千米消耗的热量y（单位：kcal）与其跑步的速度x（单位：km/h）之间的函
数关系如图所示，其中线段AB 的表达式为y＝2x＋50（2.5≤x≤10），点C 的坐标为（14，82），即步行速
度为14 km/h 时他每步行1 km 的消耗热量是82 kcal．
（1）求线段BC 的表达式；
（2）若从甲地到乙地全程为26 km，其中有6 km 是崎岖路，他步行的最高速度是5km/h，20 km 是平坦路，
他步行的最高速度是12 km/h，那么在不考虑其他因素的情况下，他从甲地到乙地至多消耗多少kcal 的热
量？
50．去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6 元/件的简装消毒液低价销售．为
此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a 元/件进行补贴，设某月销售价为x 元/件，a 与x 之间满足关
系式：
，下表是某4 个月的销售记录．每月销售量
（万件）与该月销售价x（元/件）
之间成一次函数关系
．
月份
…
二月
三月
四
月
五月
…
销售价x（元件）
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量y（万件）
…
30
20
14
5
…
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）当销售价为8 元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
（3）当销售价x 定为多少时，该月纯收入最大？（纯收入=销售总金额-成本+政府当月补贴）
51．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发
现学生到校的累计人数y（单位：人）可以看作时间x（单位：分钟）的二次函数，其中0≤x≤30．统计数
据如下表：
时间x（分
钟）
0
5
10
15
20
25
30
人数y
（人）
0
275
500
675
800
875
900
（1）求出y 与x 之间的函数关系式．
（2）如果学生一进学校就开始测量体温，测温点有2 个，每个测温点每分钟检测20 人，学生按要求排队
测温．求第多少分钟时排队等待检测体温的人数最多？
（3）检测体温到第4 分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设1 个人工体温检测点，已知人工每
分钟可检测12 人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．
52．某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价16（万元）．当每辆售价为22（万元）时，
每月可销售4 辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用
（万元）与月销售量
（辆）（
）满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
4
5
6
7
8
0
0.5
1
1.5
2
(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出
与
的关系式
________；
(2)每辆原售价为22 万元，不考虑其它成本，降价后每月销售利润y=(每辆原售价-
-进价)x，请你根据上
述条件，求出月销售量
为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
53．某商场购进甲、乙两种商品共100 箱，全部售完后，甲商品共盈利900 元，乙商品共盈利400 元，甲
商品比乙商品每箱多盈利5 元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可
卖出100 箱．如调整价格，每降价1 元，平均每天可以多卖出20 箱，那么当降价多少元时，该商场利润最
大？最大利润是多少？
54．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆
沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10 元，某商家用8000 元购进的猪肉粽和用6000 元购进的豆沙粽盒数
相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50 元时，每天可售出100 盒；每盒售价提高1 元时，每天少
售出2 盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x 元
表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于x
的函数解析式并求最大利润．
55．为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种
植补贴120 元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地
种植该作物的成本
（元）与种植面积
（亩）之间满足一次函数关系，且当
时，
；当
时，
．
（1）求
与
之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240 亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达
到2160 元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？（每亩种植利润
＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴）
56．某商场销售甲、乙两种产品，其中甲商品进价为20 元． 在销售过程中发现，甲商品每天的销售利润
w1（单位：个）与其销售单价x（单位：元）有如下关系：w1＝－x2＋bx－1260，当x＝30 时，w1＝330；
乙商品每天的销售利润w2（单位：个）与其销售单价z（单位：元）有如下关系w2＝－z2＋102z＋c，当z
＝50 时，w2＝440．其中x、z 均为整数，并且销售单价均高于进价．
（1）求b，c 的值；
（2）若乙商品销售单价为甲商品销售单价的1.5 倍，当两种商品每天获得的利润相同时，甲、乙两种商品
销售单价分别为多少；
（3）若乙商品销售单价为甲商品销售单价的2 倍，当这两种商品每天销售利润的和最大时，请直接写出此
时甲的销售单价．
57．为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15 天内完成，约定
这批纪念品的出厂价为每件20 元，设第x 天（1≤x≤15，且x 为整数）每件产品的成本是p 元，p 与x 之间
符合一次函数关系，部分数据如表：
天数（x）
1
3
6
10
每件成本p（元）
7.5
8.5
10
12
任务完成后，统计发现工人李师傅第x 天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y＝
．设李师傅第x 天创造的产品利润为W 元．
（1）求p 与x 的函数关系式；
（2）直接写出W 与x 之间的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；
（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
58．在平面直角坐标系中，点
，点
（
为常数，且
），将点
绕线段
中点顺
时针旋转
得到点
.经过A、B、
三点的抛物线记为
.
（1）当
时，求抛物线
所对应的函数表达式.
（2）用含
的式子分别表示点
的坐标和抛物线
所对应的函数表达式．（直接写出即可）
（3）当抛物线
在直线
和
之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8
时，直接写出
的取值范围．
（4）连结
，点
在线段
上，过点
作
轴的平行线与抛物线
交于
、
两点，连结
、
．当点
将线段
分成1：3 两部分，且
的面积为
时，求
的值．
59．如图①，小明和小亮分别站在平地上的
两地先后竖直向上抛小球
（抛出前两小球在同一水
平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面．
两球到地面的距离
和
与小球A 离
开小明手掌后运动的时间
之间的函数图像分别是图②中的抛物线
．已知抛物线
经过点
，顶点是
，抛物线
经过
和
两点，两抛物线的开口大小相同．
（1）分别求出
与x 之间的函数表达式．
（2）在小球B 离开小亮手掌到小球A 落到地面的过程中．
①当x 的值为__________时，两小球到地面的距离相等；
②当x 为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？
60．如图，在平面直角坐标系中，直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，抛物线
经过坐标原点和点
，顶点为点
．
（1）求抛物线的关系式及点
的坐标；
（2）点
是直线
下方的抛物线上一动点，连接
，
，当
的面积等于
时，求
点的坐
标；
（3）将直线
向下平移，得到过点
的直线
，且与
轴负半轴交于点
，取点
，
连接
，求证：
．
