文档文本内容
23.1 图形的旋转
【基础训练】
一、单选题
1．如图，在
中，
，将
绕点
逆时针旋转得到
，此时使点
的对应
点
恰好在
边上，点
的对应点为
，
与
交于点
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据旋转的性质，逐个判断即可．
【详解】
解：由题意可得：
，不能得
，故A 错误；
，不能得
，故B 错误；
不一定等于
，即
不一定平行于AC，不能得
，故C 错误；
，
，可得
，故D 正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了图形的旋转，熟记图形旋转的性质是解题的关键．
2．如图，将
绕点A 逆时针旋转得到
，使点A、B、E 在一条直线上，点B 的对应点为D，
点C 的对应点为E，连接
、
，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据旋转性质得到旋转图形与原图形全等，可以得出
，
错误，
，
正确，
，
错误，再根据等腰三角形的性质得出
，由已知结论无法得出
，故
错误．
【详解】
将
绕点
逆时针旋转得到
，
，
，
，
，
，
故
错误，
正确，
错误，
要想证明
，
需要证明
，
，
是等腰三角形，
，
，
又
，
在
中，
不一定等于
，
不一定等于
，
故
不一定成立．
故选：B
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，准确认识图形，从图形中得出结论是解答本题的关键．
3．如图，在正方形网格中，△MPN 绕某一点旋转某一角度得到△M′P′N′，则旋转中心可能是（ ）
A．点A
B．点B
C．点C
D．点D
【答案】B
【分析】
连接PP'、NN'、MM'，作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，交点为旋转中
心．
【详解】
如图，
∵△MNP 绕某点旋转一定的角度，得到△M'N'P'，
∴连接PP'、NN'、MM'，
作PP'的垂直平分线，作NN'的垂直平分线，作MM'的垂直平分线，
∴三条线段的垂直平分线正好都过B，
即旋转中心是B．
故选：B．
【点睛】
本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，以及旋转的性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的
距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
4．如图，E 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，F 是CB 延长线上一点，△ADE≌△ABF，则可把△ABF
看作是以点A 为旋转中心，把△ADE（ ）
A．顺时针旋转90°后得到的图形
B．顺时针旋转45°后得到的图形
C．逆时针旋转90°后得到的图形
D．逆时针旋转45°后得到的图形
【答案】A
【分析】
由旋转的性质可求解．
【详解】
解：∵E 是正方形ABCD 中CD 边上任意一点，F 是CB 延长线上一点，△ADE≌△ABF，
∴可把△ABF 看作是以点A 为旋转中心，把△ADE 顺时针旋转90°后得到的图形，
故选：A．
【点睛】
本题考查图形旋转的性质，理解基本性质是解题关键．
5．如图，把直角坐标系xOy 放置在边长为1 的正方形网格中，O 是坐标原点，点A、B、C 均在格点上，
将△ABC 绕O 点按顺时针方向旋转90°后，得到△A′B′C′，则点A'的坐标是（ ）
A．（﹣5，1）
B．（5，﹣1）
C．（﹣1，5）
D．（1，﹣5）
【答案】A
【分析】
分别作出A，B，C 的对应点A′，B′，C′即可．
【详解】
解：如图，△A′B′C′即为所求作，A′（﹣5，1）．
故选：A．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旎转，解题的关键是正确作出图形解决问题，属于中考常考题型．
6．如图四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转
后，能与原图形完全重合
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
观察图形，从图形的性质可以确定旋转角，然后进行判断即可得到答案．
【详解】
解：A 图形顺时针旋转120°后，能与原图形完全重合，A 不正确；
B 图形顺时针旋转90°后，能与原图形完全重合，B 不正确；
C 图形顺时针旋转180°后，能与原图形完全重合，C 不正确；
D 图形顺时针旋转72°后，能与原图形完全重合，D 正确；
故选：D．
【点睛】
此题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫
做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转角度叫做旋转角．
7．下列各图中，正确表示将正方形X 绕点O 按顺时针方向旋转60°的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据旋转的定义和性质进行判断．
【详解】
解：由旋转的定义可知：
正确表示将正方形X 绕点O 按顺时针方向旋转60°的是选项D，
A、B 是平移，C 中旋转后的位置不准确，
故选D．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键，即旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形
的位置，也就是旋转前后图形全等；对应点与旋转中心所连线段间的夹角为旋转角．
8．如图，将
绕点
逆时针旋转
能与
重合，点
在线段
的延长线上，若
，则
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据的旋转性质和等腰直角三角形的判定和性质定理即可得答案．
【详解】
解：∵将
绕点
逆时针旋转
能与
重合，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
∴ 在
中，
，
∴
．
故选：D．
【点睛】
此题考查了旋转性质和等腰直角三角形的判定和性质，解题关键是掌握熟练旋转性质．
9．在直角坐标系中，点
为坐标原点，点
，把线段
绕点
顺时针旋转90°得到线段
，则
点
的坐标为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
解题的关键是抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋转角度90°，通过画图得A′的坐标．
【详解】
解：如图，由题意A（3，4），把线段OA 绕点O 顺时针旋转90°得到线段OA'
观察图象可知A′（4，-3）．
故选：B．
【点睛】
本题涉及图形的旋转变换，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心O，旋转方向顺时针，旋
转角度90°，通过画图得A′．
10．如图，将
绕点A 按逆时针方向旋转
，得到
，若点
在线段
的延长线上，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由旋转的性质可知
，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得
，从而可求得
．
【详解】
由旋转的性质可知：
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到
为等腰三角形是解题的关键．
11．如图，将
（其中
，
），绕
点按顺时针方向旋转到
的位置，
使得点
，
，
在同一直线上，则旋转角的度数为（ ）
A．56°
B．68°
C．124°
D．180°
【答案】C
【分析】
根据旋转的定义知∠BAB1即为旋转角，则在
中求解出∠BAC 即可．
【详解】
在
中，∠BAC=90°-34°=56°，
BAB
∴∠
1=180°-56°=124°，即旋转角为124°，
故选：C．
【点睛】
本题考查旋转角的确定，理解旋转角的概念是解题关键．
12．如图，将
绕点
按逆时针方向旋转55°后得到
，若
，则
的度数
为（ ）
A．50°
B．40°
C．30°
D．20°
【答案】C
【分析】
先根据旋转的定义可得
，再根据角的和差即可得．
【详解】
由旋转的定义得：
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的定义、角的和差，掌握旋转的定义是解题关键．
13．如上图所示，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB=25°，则∠AOD 的度数
是（ ）
A．25°
B．60°
C．35°
D．85°
【答案】C
【分析】
根据角的和差定义计算即可．
【详解】
解：∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转60°后得到△COD，
∴∠DOB=60°，
∵∠AOB=25°，
∴∠AOD=60°-25°=35°．
故选C．
【点睛】
本题考查旋转变换，角的和差定义等知识，解题的关键是理解题意，属于中考基础题．
14．如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转60°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD 的度数为（
）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【答案】B
【分析】
根据角的和差定义计算即可；
【详解】
解：∵将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转60°后得到△COD，
∴∠DOB=60°，
∵∠AOB=15°，
∴∠AOD=60°-15°=45°．
故选：B．
【点睛】
本题考查旋转变换，角的和差定义等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
15．如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD，若∠AOB=35°，则∠AOD 等于（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．55°
【答案】C
【分析】
根据旋转的性质，对应边OB、OD 的夹角∠BOD 等于旋转角，然后根据∠AOD＝∠BOD−∠AOB 计算即
可得解．
【详解】
解：∵△OAB 绕点O 逆时针旋转80°得到△OCD，
∴∠BOD＝80°，
∴∠AOD＝∠BOD−∠AOB＝80°−35°＝45°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，熟记性质并求出∠BOD 是解题的关键．
16．如图，在方格纸中，将
绕点
按顺时针方向旋转90°后得到
，则下列四个图形
中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据绕点
按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．
【详解】
A、
是由
关于过B 点与OB 垂直的直线对称得到，故A 选项不符合题意；
B、
是由
绕点
按顺时针方向旋转90°后得到，故B 选项符合题意；
C、
与
对应点发生了变化，故C 选项不符合题意；
D、
是由
绕点
按逆时针方向旋转90°后得到，故D 选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．
17．下列说法错误的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．旋转不改变图形的形状和大小
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．菱形的对角线互相垂直
【答案】A
【分析】
依次分析各选项即可得出说法错误的选项．
【详解】
解：因为同旁内角互补，两直线平行，因此A 选项错误；
根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小，因此B 选项内容正确；
根据矩形的判定，C 选项内容正确；
根据菱形的性质，D 选项内容正确．
故选：A．
【点睛】
本题综合考查了平行线的判定、旋转的性质、矩形的判定、菱形的性质等内容， 解决本题的关键是理解
并能灵活运用相关概念，本题考查的是概念基础题，因此侧重考查学生对教材基础知识的理解与掌握等．
18．如图，在平面直角坐标系中，
绕某点顺时针旋转得到
，点A、B、C 的对应点分别为
、
、
，则旋转中心的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
连接
，
，分别作
和
的线段垂直平分线，且它们的交点即为旋转中心，由图写出其坐标即
可．
【详解】
如图，连接
，
，分别作
和
的线段垂直平分线，且交于点P．则P 点即为旋转中心．
由图可知P 点坐标为(4，4)，即旋转中心的坐标为(4，4)．
故选C．
【点睛】
本题考查旋转的性质，线段垂直平分线的性质．理解两线段垂直平分线的交点即为旋转中心是解答本题的
关键．
19．如图，将
绕点
逆时针旋转
得到
，若
且
于点
，则
的
度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．
【详解】
解：∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转55°得△ADE，
∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．
故选C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
20．如图．将
绕点
按顺时针方向旋转20°，
点落在
位置，点
落在
位置，若
，
则
的度数为（ ）
A．45°
B．60°
C．70°
D．90°
【答案】C
【分析】
先根据旋转的性质得
，
，再利用
得到
，然
后利用互余计算
，即可得到
的度数．
【详解】
解：
绕着点
按顺时针方向旋转
，
点落在
位置，
，
，
，
，
．
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等．
21．如图，正方形
的边长为
，正方形
的边长为
，若正方形
绕点
旋转，
则点
到点
的距离最小值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
首先根据题意找到点
到点A 的距离最小值时点F 的位置，然后利用正方形的性质求解即可．
【详解】
当点F 在正方形的对角线AC 上时，由三角形三边关系可知
，
当点F 不在正方形的对角线AC 上时，由三角形三边关系可知
，
∴当点F 在正方形的对角线AC 上时，点
到点A 的距离最小值．
∵正方形
的边长为
，正方形
的边长为
，
，
∴
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及旋转的性质，正确的判断出点F 的位置是关键．
22．如图，将线段AB 绕点P 按顺针方向旋转90°，得到线段A'B'，则点B′的坐标是（ ）
A．（﹣1，3）
B．（3，﹣3）
C．（4，0）
D．（5，﹣1）
【答案】B
【分析】
分别作出A，B 的对应点A′，B′即可．
【详解】
解：如图，与图象可知，B′（3，-3），
故选：B．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23．如图，以点
为旋转中心，把
顺时针旋转得
．记旋转角为
，连接
，
为
，则
的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
延长AB 交DE 于点F，由旋转性质可得相当于将AB 以点C 为旋转中心，旋转至DE 的位置，所以∠DFA
等于旋转角α，然后利用三角形外角的性质求解
【详解】
解：延长AB 交DE 于点F
由以点
为旋转中心，把
顺时针旋转得
．记旋转角为
，
∴∠DFA=α
又∵
为
，则
的度数为
故选：A
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
24．如图，从图1 的正三角形到图2 的正三角形，下列变化中不能得到的是（ ）
A．绕某点旋转
B．平移
C．轴对称
D．先平移再轴对称
【答案】A
【分析】
根据平移变换、轴对称变换、旋转变换进行分析即可
【详解】
因为图中为等边三角形，所以通过平移和轴对称可以得到，旋转不能由图1 得到图2
故选：A
【点睛】
本题考查平移、轴对称、旋转的概念，熟练掌握平移是沿着某条直线方向移动、轴对称是沿着某条直线翻
折、旋转是绕着某点转动，三大变换均不改变图形的形状和大小是关键
25．如图，将
绕点
逆时针旋转一定角度得到
．若
，
，且
，
的度数为（ ）
A．65°
B．70°
C．75°
D．85°
【答案】D
【分析】
根据旋转的旋转，可知
，
，由三角形内角和定理，求得
的度数，最后计算
，即可解题．
【详解】
将
绕点
逆时针旋转一定角度，得到
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】
本题考查旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
26．下列图形中，不能通过其中一个阴影图形平移得到的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据平移的特征，对应点连线平行且相等可判断A、B、D、可排除C．
【详解】
解：A 可以通过阴影菱形平移3 次可以得到全图，故不符合题意；
B 可以通过阴影菱形平移3 次可以得到全图，故不符合题意；
C 通过旋转5 次，60°，120°，180°，240°，300°，可以的到全图，故不是平移得到的，符合题意；
D 可以通过阴影圆平移4 次可以得到全图，故不符合题意；
故选择：C．
【点睛】
本题考查图形的平移与旋转，掌握平移的特征，注意与旋转特征的区别是解题关键．图形的平移只改变图
形的位置，而不改变图形的形状和大小，对应点连线平行且相等．
27．如图，将矩形
绕点
逆时针旋转至矩形
的位置，点
的对应点是点
，点
的对应
点是点
，点
在
的延长线上，
交
于点
．若
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由旋转可知，
，由题意得
，又根据矩形的性质，得出
，进而求出
一个角的度数，根据勾股定理求出
的长，列出
与
的关系，再将
的长代入即可得出结论．
【详解】
如图，由旋转性质得：
，
又
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
又
，
在
中，
，
，
，
在
中，
，
，
即
，
故选：
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，利用勾股定理求长度等．正确的识别图形是解题的关键．
28．如图，在
中，
，将
绕点A 顺时针旋转至
（点B 与点
D 对应），连结
，当
平分
时，
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据三角形内角和与角平分线的定义求出∠DBA 和∠DBC，以及∠BAC，根据旋转的性质得到AB=AD 和
∠DAE，求出∠BAD，从而可得∠BAE．
【详解】
解：由题可知：BD 平分
，
又∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
又∵
由
旋转得到，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
故选A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等．
29．如图，在
ABC 中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将
ABC 绕点A 旋转到
的位置．使得
，则旋转角为（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．80°
【答案】B
【分析】
由平行线的性质得出∠C′CA＝∠CAB＝70°，由等腰三角形的性质得出∠ACC′＝∠AC′C，运用三角形的内
角和定理求出∠CAC′＝40°即可解决问题．
【详解】
解：∵CC′∥AB，∠CAB＝70°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝70°，
又∵C、C′为对应点，点A 为旋转中心，
∴AC＝AC′，即△ACC′为等腰三角形，
∴∠ACC′＝∠AC′C，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝180°﹣2∠C′CA＝40°．
即旋转角为40°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．
同时考查了平行线的性质及等腰三角形的性质．
30．如图，将
绕点
逆时针旋转得到
，延长
交
于点
，若
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由旋转的性质得到∠BAC=∠B′AC′，∠C=∠C′，进而推出∠CAC′=40°，根据三角形内角和定理证得
∠C′DC=∠CAC′，即可求得∠C'DC 的度数．
【详解】
解：∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AB'C'，
∴△ABC≌△AB'C'，
∴∠BAC=∠B′AC′，∠C=∠C′，
∵∠BAB'=40°，
∴∠CAC′=40°，
∵∠C'DC=180°-∠DEC′-∠C′，∠CAC′=180°-C-∠AEC，∠DEC′=∠AEC，
∠C′DC=∠CAC′=40°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键．
二、填空题
31．如图，在
中，
．将
绕点C 顺时针旋转后得
，
且点
落在
边上，连接
．若
，则四边形
的面积为_________．
【答案】
【分析】
首先根据旋转的性质得出
，得出
是等边三角形，再证明
（SAS）,那么四边形
的面积即可转化为两个全等三角形的面积，即可求出答案．
【详解】
∵
是由
旋转得到，
∴
,
,
,
又∵
,
,
∴
,
∴
是等边三角形，
,
∴
,
,
∴
,
,
在
和
中，
∵
,
∴
（SAS）,
∴S 四边形
=
,
故填：
．
【点睛】
本题考查旋转的性质，含30°锐角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角
形的判定与性质，解题关键是熟练掌握旋转的性质．
32．如图，在平面直角坐标系中，已知
，
，
，将
先向右平移3 个单位长
度得到
，再绕
顺时针方向旋转
得到
，则
的坐标是____________．
【答案】（2，2）．
【分析】
直接利用平移的性质和旋转的性质得出对应点位置，然后作图，进而得出答案．
【详解】
解：如图示：
，
为所求，
根据图像可知，
的坐标是（2，2），
故答案是：（2，2）．
【点睛】
本题主要考查了平移作图和旋转作图，熟悉相关性质是解题关键．
33．以原点为中心，把点M (3，5)顺时针旋转90°得到点N，则点N 的坐标为____．
【答案】
【分析】
根据题意可画出图象，然后根据旋转的性质可直接进行求解．
【详解】
解：如图所示：
∵点M (3，5)，
∴由旋转的性质OM=ON，
∴点N 的坐标为
；
故答案为
．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质及平面直角坐标系，熟练掌握旋转的性质及平面直角坐标系是解题的关键．
34．如图，在平面直角坐标系中，
的直角顶点C 的坐标为
，点A 在x 轴正半轴上，且
．将
绕点C 逆时针旋转
，则旋转后点A 的对应点的坐标为________．
【答案】
【分析】
画出示意图，然后根据旋转的性质可求得答案.
【详解】
解：∵点C 的坐标为
，AC=2，
如图所示，将RtΔABC 先绕点C 逆时针旋转90°，
则点A'的坐标为
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
35．如图，平面直角坐标系中，已知
三个顶点的坐标分别为
，
，
，将
沿x 轴折叠得到
，再将
绕原点O 逆时针旋转
得到
，则点
的对应
点
的坐标为_______．
【答案】
【分析】
依题意，由△ABC 沿x 轴折叠的性质，可得
各点的坐标；过点
作
x 轴，连接
组成
直角三角形，然后将直角三角形
绕
逆时针旋转
，可得直角三角形
，进而可得答案；
【详解】
如图，△ABC 点的坐标分别为：
，
，
，又沿x 轴折叠得
；
由折叠的性质可知
各点的坐标分别为：
，
，
；
过点
作
x 轴，连接
组成直角三角形；∴
，
；
将直角三角形
绕
逆时针旋转
，可得直角三角形
；
由旋转的性质可得：
，
；
又由图可知点
在第四象限，
∴点
坐标为：
；
故填：
；
【点睛】
本题主要考查图形的旋转和对称折叠的性质，关键在熟练应用相关性质进行转换计算．
三、解答题
36．如图，在平面直角坐标中，
的顶点坐标分别是
，
，
．
（1）将
以
为旋转中心旋转
，画出旋转后对应的
；
（2）将
平移后得到
，若点
的对应点
的坐标为
，求
的面积
【答案】（1）见解析；（2）11
【分析】
（1）延长
至
,使得
；延长
至
,使得
；延长
至
,使得
；
再连接
即得旋转后对应的
；
（2）根据平移的规律求出
，再连接点
，得
，将三角形分割乘两个三
角形的面积之和，求出公共边
的长即可求解．
【详解】
解：（1）延长
至
,使得
；延长
至
,使得
；延长
至
,使得
；再连接
即得旋转后对应的
，如下图所示：
（2）由题意
，
，
，平移后得到
，其中
，根据平移的规律知，
平移过程是向下和向右分别移动两个单位可得：
，
再连接点
，得
，其中
交
轴于点
,如上图所示：
由
得出直线
的方程如下：
直线
：
当
时，
，
，
,
故
．
【点睛】
本题考查了图象的旋转和平移，求三角形面积，解题的关键是：掌握图象旋转和平移的性质，求不规则三
角形面积可以分割为两个规则的三角形面积之和．
37．如图，在平面直角坐标系中，已知
的三个顶点坐标分别是
，
，
．
（1）画出
关于原点
的中心对称图形
；
（2）将
绕原点
顺时针旋转90°后得到
，请画出
．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）利用中心对称的性质，分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用旋转变换的性质，分别作出A，B，C 的对应点A2，B2，C2即可．
【详解】
解：（1）如图，
即为所求作．
（2）如图，
即为所求作．
．
【点睛】
本题考查作图−旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，正确作出图形是解题的关键．
38．如图，在边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形
（顶点是网格线的
交点）和格点
．
（1）把四边形
平移，使得顶点
与
重合，画出平移后得到的四边形
；
（2）把四边形
绕
点顺时针旋转90°，画出旋转后得到的四边形
．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）利用网格特点和平移的性质，把四边形ABCD 先向下平移2 个单位，再向右平移2 个单位得到四边形
A1B1C1D1；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C、D 对应点A2、B2，C2，D2，则可得到四边形
．
【详解】
解：（1）如解图，四边形A1B1C1D1为所作；
（2）如解图，四边形
为所作．
【点睛】
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此
可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也
考查了平移变换．
39．如图，在每个小正方形的边长为1 个单位的网格中，
的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将
向右平移5 个单位得到
，画出
；
（2）将（1）中的
绕点C1 逆时针旋转
得到
，画出
．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【分析】
（1）利用点平移的规律找出
、
、
，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点
，
即可．
【详解】
解：（1）如下图所示，
为所求；
（2）如下图所示，
为所求；
【点睛】
本题考查了平移作图和旋转作图，熟悉相关性质是解题的关键．
40．如图在平面直角坐标系中，
的三个顶点坐标分别为
，
，
．
（1）画出
以原点
为旋转中心，逆时针旋转
后的
（点
、
、
的对应点分别为
点
、
、
）；
（2）画出
关于
轴对称的
；
（3）若点
为
内任意一点，则经过上述两次变换后的对应点
的坐标为__________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）（b，a）
【分析】
（1）分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．
（3）根据A，B，C 三点的坐标变化解决问题即可．
【详解】
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
（3）由于点A 变换前后的坐标分别为（-4，1），（1，-4），
点B 变换前后的坐标分别为（-2，3），（3，-2），
点C 变换前后的坐标分别为（-1，1），（1，-1），
∴点P（a，b）变换后的坐标为（b，a）．
故答案为：（b，a）．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
41．如图所示，
在边长为
的小正方形组成的网格中．
（1）将
沿
轴正方向向上平移5 个单位长度后，得到
，请作出
，并求出
的长度；
（2）再将
绕坐标原点
顺时针旋转
，得到
，请作出
，并直接写出点
的坐标．
【答案】（1）画图见解析，A1B1＝
cm；（2）画图见解析，B2（4，-4）
【分析】
（1）分别将点A、B、C 向上平移5 个单位得到对应点，再顺次连接可得，再根据勾股定理即可求出答案；
（2）分别将点A、B、C 绕点O 顺时针旋转180°得到对应点，再顺次连接可得．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1B1＝
cm；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，B2（4，-4）．
【点睛】
本题主要考查作图-平移变换、旋转变换，解题的关键是熟练掌握平移变换和旋转变换的定义和性质．
42．如图，在6×4 的方格纸ABCD 中，请按要求画格点三角形（顶点在格点上），且各边不落在方格线上．
（1）在图1 中画△EFG 和△E'F'G'，且△E'F'G'由△EFG 向右平移3 个单位得到．
（2）在图2 中画△MNH 和△M'N'H′，且△M′N'H'由△MNH 绕点H 顺时针旋转90°得到．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【分析】
（1）根据要求作出图形即可（答案不唯一）．
（2）根据要求作出图形即可（答案不唯一）．
【详解】
解：（1）图形如图1 所示．
（2）图形如图2 所示．
．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
43．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1 个单位长度，点A、B 都在格点上（两条网格线的交点叫
格点）．
（1）将线段AB 先向右平移三个单位长度再向上平移两个单位长度，点A 的对应点为点A1，点B 的对应点
为点B1，请画出平移后的线段A1B1；
（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；
（3）连接AB2、BB2，求
ABB2的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）分别作出A，B 的对应点A1，B1即可．
（2）分别作出点B1的对应点B2即可．
（3）利用分割法求出三角形面积即可．
【详解】
解：（1）如图，线段A1B1即可．
（2）如图，线段A1B2即可．
（3）
＝3×5﹣
×2×5﹣
×1×3﹣
×1×4＝
．
【点睛】
本题考查作图-旋转变换，平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
44．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1 个单位的正方形．Rt△ABC 的顶点均在格点上，
（1）将Rt△ABC 沿x 轴正方向平移5 个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出Rt△A1B1C1，并写出点A1，
B1，C1的坐标；
（2）将Rt△ABC 绕点B 顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2，并求出△AA2C 的面积．
【答案】（1）画图见解析；A1（﹣1，1），B1（2，1），C1（2，3）；（2）画图见解析；
＝
．
【分析】
（1）先根据平移规律得到点A1，B1，C1及坐标，然后顺次连接即可；
（2）先根据旋转规律得到△A2B2C2，在确定CA2的长以及其上的高，然后运用三角形的面积公式解答即可．
【详解】
解：（1）如图，Rt
A
△
1B1C1为所作；则点A1（﹣1，1），B1（2，1），C1（2，3）；
（2）如图，Rt
A
△
2B2C2为所作，且底CA2=1，边CA2上的高为3
则：
＝
＝
．
【点睛】
本题主要考查了平移和旋转作图，掌握平移规律和旋转规律是解答本题的关键．
45．如图，
是
的边
延长线上一点，连接
，把
绕点
顺时针旋转
恰好得到
， 其中
，
是对应点，若
，求
的度数．
【答案】42°
【分析】
由旋转的性质可得∠DAE＝60°，即可求解．
【详解】
解：∵把△ACD 绕点A 顺时针旋转60°恰好得到△ABE，
∴∠DAE＝60°，
∴∠EAC＝∠EAD−∠CAD＝42°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
46．如图，在△ABC 中，AF⊥BC 于点F．将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B 的对应
点D 恰好落在BC 边上．
（1）若∠B＝50°，求∠DAF 的度数；
（2）若∠E＝∠CAD，求证：AD＝CD．
【答案】（1）40°；（2）见解析
【分析】
（1）由旋转的性质得出AD＝AB，则∠ADF＝∠B＝50°，可求出答案；
（2）由旋转的性质得出∠C＝∠E，得出∠C＝∠CAD，可得出结论．
【详解】
解：（1）∵将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE，
∴AD＝AB，
∴∠ADF＝∠B＝50°，
∵AF⊥BC，
∴在Rt△ADF 中，∠DAF＝90°﹣50°＝40°；
（2）证明：∵将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上．
∴∠C＝∠E，
又∵∠E＝∠CAD，
∴∠C＝∠CAD，
∴AC＝CD．
【点睛】
本题主要考察了旋转的性质，准确记住旋转后对应角，对应边相等是解题关键．
47．如图，在△ABC 中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到
△ADE，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，求CD 的长．
【答案】CD＝3
【分析】
由旋转的性质可得AB＝AD＝4，可证△ABD 为等边三角形，可得BD＝AD＝4，即可求解．
【详解】
解：∵将△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE，
∴AB＝AD＝4，
∵∠B＝60°，
∴△ABD 为等边三角形，
∴BD＝AD＝4，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣4＝3．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
48．如图，将
ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到
AED，若线段AB=3，则BE 的长是多少？
【答案】3
【分析】
根据旋转的性质和等边三角形的性质解决问题．
【详解】
解：∵将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE=60°，AB=AE，
∴△BAE 是等边三角形，
∴BE=3．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，解题关键是明确旋转前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不
改变，要注意旋转的三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
49．如图，在平面直角坐标系中，△AOB 是边长为3 的等边三角形，将△AOB 绕着点B 按顺时针方向旋
转得到△DCB，使得点D 落在x 轴的正半轴上，连接OC，AD．
（1）求证：OC＝AD；
（2）求OC 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）OC
．
【分析】
（1）根据旋转的性质和等边三角形的性质可以证明
，进而可得结论；
（2）结合（1）可得
，根据勾股定理即可求出OC 的长．
【详解】
解：（1）∵
是边长为3 的等边三角形，
∴
，
，
又
是由
绕着点B 按顺时针方向旋转得到的，
∴
也是边长为3 的等边三角形，
∴
，
，
又
，
∴
，
∴
（全等三角形的对应边相等）；
（2）解：
中
，
，
∴
，
∴
，
在
中，由勾股定理得：
OC＝
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定、勾股定理、等边三角形的性质；关键在于利用好旋转的性质、
等边三角形的性质证明三角形全等．
50．在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠ACB=32°，将△ABC 绕点C 旋转得到△DEC，点B 的对应点E，点E 恰
好在AC 上，求∠ADE 的度数．
【答案】16°
【分析】
利用旋转的性质得CA=CD，∠ECD=∠BCA=32°，∠DEC=∠ABC=90°，再根据等腰三角形的性质和三角形
内角和计算出∠CAD，从而利用互余和计算出∠ADE 的度数；
【详解】
解：∵将△ABC 绕点C 旋转得到△DEC，点E 恰好在AC 上，
∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=32°，∠DEC=∠ABC=90°，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA=
（180°﹣32°）=74°，
∴∠ADE=90°﹣74°=16°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
51．如图，直线
与
轴、
轴分别交于
两点，将线段
绕点
顺时针旋转
后得到
线段
．求点
的坐标．
【答案】
【分析】
过点
作
轴于
，求出点A、B 的坐标，再证明
，得到
，即可求解．
【详解】
解：如图，当
时，
；
当
时，
过点
作
轴于
由题
又
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转，解题的关键是从构造全等三角形去求点的坐标．
52．如图，点P 是等边
内一点，
，
，
．
（1）将
绕点B 逆时针旋转60°得到
，画出旋转后的图形；
（2）连接
，判断
的形状并证明．
【答案】（1）画图见解析；（2）
为直角三角形，证明见解析
【分析】
（1）在AB 左侧作∠EBA=∠PBC，并截取BE=BP，连接AE 即可；
（2）根据旋转的性质可得：BE=BP=4，∠PBE=60°，AE=CP=5，从而证出△BEP 为等边三角形，即可求
出PE，然后利用勾股定理的逆定理即可证出结论．
【详解】
解：（1）在AB 左侧作∠EBA=∠PBC，并截取BE=BP，连接AE 即可，如图所示，
即为所求；
（2）
为直角三角形，证明如下：
由旋转的性质可得：BE=BP=4，∠PBE=60°，AE=CP=5
∴△BEP 为等边三角形
∴PE=BP=4
在
中，PA2＋PE2=25=AE2
∴
为直角三角形．
【点睛】
此题考查的是旋转的性质、等边三角形的判定及性质和直角三角形的判定，掌握旋转的性质、等边三角形
的判定及性质和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解题关键．
53．如图，将
绕点
逆时针旋转
，得到
，点
恰好落在边
上，其中点
为
点
的对应点，点
为点
的对应点．
（1）画出旋转后的三角形；
（2）连接
，求
的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
．
【分析】
（1）在线段
上截取
，过点
作垂线
，使得
，连接
即可；
（2）根据旋转的性质可知
，
，
，然后根据等腰三角形的性
质可知
，又因为
，根据直角三角形两个锐角互余，则可
求得
的度数．
【详解】
（1）如图，
为所求．
（2）
绕点
逆时针旋转
，得到
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟记旋转变换只改变图形
的位置不改变图形的形状与大小，从而得到等腰三角形．
54．如图，△ABC 中，∠B＝16°，∠ACB＝24°，AB＝6cm，△ABC 按逆时针方向旋转一定角度后与
△ADE 重合，且点C 恰好成为AD 的中点．
（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数；
（2）求出∠BAE 的度数和AE 的长．
【答案】（1）旋转中心是点A，旋转角度是140°；（2）∠BAE＝80°，AE=3cm
【分析】
（1）由旋转的性质可求解；
（2）由旋转的性质可得AB=AD，AC=AE，∠BAC= EAD=140°
∠
，由周角的性质和中点的性质可求解．
【详解】
解、（1）∵△ABC 逆时针旋转一定角度后与△ADE 重合，A 为顶点，
∴旋转中心是点A，
根据旋转的性质可知：∠CAE＝∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝140°，
∴旋转角度是140°；
（2）由旋转可知：△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠EAD＝140°，
∴∠BAE＝360°﹣140°×2＝80°，
∵C 为AD 中点，
∴AC＝AE
AB
6＝3（cm）．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
55．如图，在
中，
，
，D 是
边上一点（点D 与A，B 不重合），连结
，将线段
绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段
，连结
．求证：
．
【答案】见解析．
【分析】
由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝90°，由“SAS”可证△ACD
BCE
≌△
，从而得出结论．
【详解】
∵将线段
绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段
，
∴
，
，
∴
，∴
，
∴
，
且
，
，
∴
，
∴
.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明△ACD
BCE
≌△
是本题的
关键．
56．如图，在等边△ABC 中，点D 为△ABC 内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD 绕点A 逆
时针旋转60°得△ACE，连接DE
（1）求证：AD=DE；
（2）求∠DCE 的度数．
【答案】（1）证明见详解；（2）
【分析】
（1）由旋转可得
，由三角形全等可得
、
，再利用等式的性
质可得
，从而可得
是等边三角形，最后再根据等边三角形的性质可到结论；
（2）由（1）可得
、
，再结合已知条件
根据四边形的内角和即
可求得答案．
【详解】
解：（1）∵将
绕点
逆时针旋转
得
∴
∴
，
∴
即
∵
是等边三角形
∴
∴
∴
是等边三角形
∴
．
（2）∵由（1）可知，
是等边三角形，
∴
，
∵
∴在四边形
中，
．
【点睛】
本题考查了旋转得性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、四边形的内角和等，熟练
掌握相关知识点是解题的关键．
57．如图，
中，
，在同一平面内，将
绕点
旋转到
的位置，使得
，求
的度数
【答案】∠BAE=50°
【分析】
根据平行线的性质得到∠ACD=∠CAB=65°，根据旋转变换的性质计算即可．
【详解】
解：∵DC∥AB，
∴∠ACD=∠CAB=65°，
由旋转的性质可知，AD=AC，∠DAE=∠CAB=65°，
∴∠ADC=∠CAB=65°，
∴∠CAD=180°－∠ADC－∠ACD= 50°，
∴∠CAE=∠DAE－∠CAD=15°，
∴∠BAE=∠CAB－∠CAE=50°．
【点睛】
本题考查的是旋转变换，掌握平行线的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
58．如图，在
中，
，
，
，将
绕点
顺时针旋转一定角度得到
，当点
的对应点
恰好落在
边上时，求
的长．
【答案】
【分析】
由旋转的性质可证得
是等边三角形，则可求得
的长，再利用线段的和差即可求得答案．
【详解】
解：∵将
绕点
顺时针旋转一定角度得到
∴
∵
∴
是等边三角形
∴
∴
．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、线段的和差等，能够证得
是等边三角形是解
题的关键．
59．如图，点F 为正方形ABCD 内一点，△BFC 绕点B 逆时针旋转后与△BEA 重合
（1）求△BEF 的形状
（2）若∠BFC=90°，说明AE∥BF
【答案】（1）等腰直角三角形（2）见解析
【分析】
（1）利用正方形的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，然后根据旋转的定义可判断旋转中心为点B，旋转角
为90°，根据旋转的性质得∠EBF＝∠ABC＝90°，BE＝BF，则可判断△BEF 为等腰直角三角形；
（2）根据旋转的性质得∠BEA＝∠BFC＝90°，从而根据平行线的判定方法可判断AE∥BF．
【详解】
（1）△BEF 为等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD 为正方形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∵△BFC 逆时针旋转后能与△BEA 重合，
∴旋转中心为点B，∠CBA 为旋转角，即旋转角为90°；
∵△BFC 逆时针旋转后能与△BEA 重合，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，BE＝BF，
∴△BEF 为等腰直角三角形；
（2）∵△BFC 逆时针旋转后能与△BEA 重合，
∴∠BEA＝∠BFC＝90°，
∴∠BEA＋∠EBF＝180°，
∴AE∥BF．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
60．如图，在
中，
，把
绕点C 逆时针旋转
度得到
，请仅
用没有刻度的直尺按要求完成下列作图．
（1）在图1 中作出
的中线
；
（2）在图2 中作出
的中线
．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据平行四边形的对角线互相平分，由AB∥A＇C，
可证四边形ABCA＇是平行四边形，
即可得出中线BD 的结论；
（2）连接AA＇＇交B＇C 于点E，作ED＇⊥A＇C 于D＇，可作出中线
利用平行四边形判定和性质，
可证△CAE≌△A＇B＇E，再由等腰三角形三线合一证明结论．
【详解】
解（1）如图1 所示，
即为所求作．
连接A＇B 交AC 于点D，BD 即为中线；
由题意有
，
则
．
∴AB∥A＇C．
∵
，
，
∴四边形ABCA＇是平行四边形，由平行四边形对角线互相平分得：CD=AD．
故BD 为
的中线；
（2）如图2 所示，
即为所作
连接AA＇交B＇C 于点E，作ED＇⊥A＇C 于D＇，连接
，
即为所求作的中线；
∴四边形ABCA＇为平行四边形，则
，可证△CAE≌A
△＇B＇E．
∴CE=A＇E．
∵ED＇⊥A＇C，
D
∴
为A＇C 的中点．
故
为
的中线．
【点睛】
本题考查了尺规作图，解答此题的关键是掌握旋转性质并结合平行四边形判定与性质等，并会综合运用所
学知识解决问题．
