文档文本内容
22.1 二次函数的图象和性质
【基础训练】
一、单选题
1．二次函数
的最小值为（ ）
A．－1
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】
根据二次函数性质直接判断即可．
【详解】
解：当
时，二次函数
有最小值，
且最小值为：
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的最值问题，熟知二次函数的性质是解题的关键．
2．关于二次函数
的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4
B．有最小值4
C．有最大值6
D．有最小值6
【答案】D
【分析】
根据二次函数
的解析式，得到a 的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标
（4,6），即可得出函数的最小值．
【详解】
解：∵在二次函数
中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），
∴函数有最小值为6．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a 的符号和根据顶点坐标求出最
值．
3．将二次函数y＝x2﹣2x﹣2 化成y＝a（x﹣h）
2+k 的形式为（ ）
A．y＝（x﹣2）
2﹣2
B．y＝（x﹣1）
2﹣3
C．y＝（x﹣1）
2﹣2
D．y＝（x﹣2）
2﹣3
【答案】B
【分析】
利用配方法整理即可得解．
【详解】
解：y＝x2-2x-2＝x2-2x+1-3＝（x-1）
2-3，
所以，y＝（x-1）
2-3．
故选：B．
【点睛】
此题考查了配方法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．抛物线y＝5（x﹣6）
2﹣2 的顶点坐标是（ ）
A．（6，2）
B．（6，﹣2）
C．（﹣6，2）
D．（﹣6，﹣2）
【答案】B
【分析】
根据题目中抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】
解：∵抛物线y＝5（x﹣6）
2﹣2，
∴该抛物线的顶点坐标为（6，﹣2），
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像的顶点坐标，掌握函数y＝a（x﹣m）
2+k（a≠0）图像的顶点坐标为（m，k)是
解题的关键．
5．抛物线
的顶点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据抛物线的顶点式可以得到答案 ．
【详解】
解：由抛物线的顶点式可以得到y=2(x−1)2+3 的顶点坐标是（1，3），
故选B．
【点睛】
本题考查抛物线的应用，熟练掌握抛物线的顶点式是解题关键．
6．将抛物线
向右平移1 个单位，得到抛物线表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【详解】
解：二次函数y=2x2的图象向右平移1 个单位，
得：y=2（x-1）
2．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的
函数解析式．
7．将抛物线
向左平移2 个单位后，所得新抛物线的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据平移的规律：左加右减，求出得到的抛物线的解析式即可．
【详解】
解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移2 个单位，
所得抛物线的解析式为：y=（x+2）
2，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析
式．
8．将抛物线y＝x2向左平移4 个单位后，再向下平移2 个单位，则所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+4）
2+2
B．y＝（x+4）
2﹣2
C．y＝（x﹣4）
2+2
D．y＝（x﹣4）
2﹣2
【答案】B
【分析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：将抛物线y＝x2向左平移4 个单位所得抛物线解析式为：y＝（x+4）
2；
再向下平移2 个单位后抛物线解析式为：y＝（x+4）
2﹣2．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
9．将抛物线
向下平移2 个单位，再向右平移3 个单位，则平移后抛物线的函数表达式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：抛物线
，向下平移2 个单位，再向右平移3 个单位，
则平移后抛物线的函数表达式为
．
故选D．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
10．将抛物线
向下平移4 个单位长度后，得到新抛物线的表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
直接根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可得出答案．
【详解】
向下平移4 个单位长度后，得到新抛物线的表达式为
．
故选B．
【点睛】
本题考查二次函数图象与几何变换,，理解“上加下减，左加右减”是解题关键．
11．已知函数
的对称轴为直线
．若
是方程
的两个根，
且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用函数图象分别得出抛物线与x 轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得出答案．
【详解】
解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 的两个根，
∴x1、x2是抛物线与x 轴交点的横坐标，
∵抛物线的对称轴为直线x=-4，x1＜x2，1＜x2＜2，
∴-10＜x1＜-9，故选项B 正确；
x1x2＜0，故选项A 错误；
∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故选项C 错误；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-4，
∴
，
∴b=8a＞0，
∵抛物线与y 轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，故选项D 错误；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与x 轴交点的横坐标间的
数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
12．王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x 轴（向右为正方向），三条竖直直线
m4，m5，m6的其中一条记为y 轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2﹣6ax﹣2.5，
则她所选择的x 轴和y 轴分别为（ ）
A．m1，m4
B．m2，m3
C．m3，m6
D．m4，m5
【答案】A
【分析】
根据抛物线的对称轴在y 轴的位置即可判断得出正确答案．
【详解】
解：∵抛物线的对称轴：
，且与y 轴的交点坐标为：
∴对称轴在y 轴的右侧
:对称轴在ｙ轴右侧，且与ｙ轴交点在负半轴，符合题意；
:两条直线不能构成平面直角坐标系，故选项错误；
:对称轴在y 轴左侧，且与y 轴交点在正半轴，故选项错误；
:两条直线不能构成平面直角坐标系，故选项错误．
故选：A.
【点睛】
本题考查二次函数图象的特征分析，根据表达式确定相关的图象性质是解题的切入点．
13．在平面直角坐标系中，函数
的图象经变换后得到函数
的图象，
则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2 个单位
B．向右平移2 个单位
C．向左平移4 个单位
D．向右平移4 个单位
【答案】A
【分析】
根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】
解：
，
顶点坐标为(1，-8)，
，
顶点坐标为
，
所以将
向左平移2 个单位长度
得到
，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律是解题关键．
14．将抛物线
先向右平移5 个单位长度，再向上平移3 个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【详解】
解：将抛物线y=x2先向右平移5 个单位长度，得：y=（x-5）
2；
再向上平移3 个单位长度，得：y=（x-5）
2+3，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的
函数解析式．
15．已知抛物线
，将抛物线
平移得到抛物线
，若两条抛物线
、
关于直线
对称，则下列平移方法中，正确的是（ ）
A．将抛物线
向右平移2.5 个单位
B．将抛物线
向右平移3 个单位
C．将抛物线
向右平移4 个单位
D．将抛物线
向右平移5 个单位
【答案】D
【分析】
找一个点，经过平移后这个点与直线
对称．抛物线
与
轴的交点为
，与
点以对称轴对
称的点是
．若将抛物线
平移到
，就是要将
点平移后以对称轴
与
点对称．则
点
平移后坐标应为
．因此将抛物线
向右平移5 个单位．
【详解】
解：
抛物线
，
抛物线对称轴为
．
抛物线与
轴的交点为
．
则与
点以对称轴对称的点是
．
若将抛物线
平移到
，并且
，
关于直线
对称，就是要将
点平移后以对称轴
与
点对
称．
则
点平移后坐标应为
．
因此将抛物线
向右平移5 个单位．
故选：D．
【点睛】
主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，
上加下减．
16．已知二次函数
（
为常数，
）当
时，
，则该函数图像的
顶点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】
根据二次函数的解析式可求得该函数的对称轴为直线x=1，即可求解．
【详解】
解：∵
=
=
，
∴该二次函数的对称轴为直线x=1，
∵当
时，
，
∴该函数图象的顶点在第一象限，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
17．若二次函数
的图象经过点
，
，则
与
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】A
【分析】
分别把x=1 和x=-2 代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小．
【详解】
解：当x=1 时，y1=x2+2x+k=k+3；
当x=-2 时，y2=x2+2x+k=k，
k+3＞k，
∴y1＞y2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
18．一次函数
的图象如图所示，则二次函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：
，由此可知二次函数开口方向，坐
标轴情况，依此判断即可．
【详解】
解：观察一次函数图像可知
，
∴二次函数
开口向下，
对称轴
，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点情
况判断a、b 的正负是解题的关键．
19．已知二次函数
的图象经过点
，
，若
，则
的值可能是（
）
A．
B．
C．0
D．
【答案】D
【分析】
二次函数y=a（x-m）
2（a＜0）开口向下，对称轴为直线x=m，根据抛物线上的点与直线x=m 的距离越小
对应的y 值就越大即可得到m 的取值范围．
【详解】
解：∵y=a（x-m）
2（a＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=m，
∴当抛物线上的点与直线x=m 的距离越小，对应的y 值就越大，
∵A（-1，p），B（3，q），且p＜q，
∴B 点到直线x=m 的距离小于A 点到直线x=m 的距离，
∴m≥3，或m+1＞3-m，
解得m＞1，
而只有
＞1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线
（
为正整数），若
和
的
顶点的连线平行于直线
，则该条抛物线对应的
的值是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】B
【分析】
设C1和Cn的顶点的连线为y=10x+b，将n=1 时顶点代入求出解析式，然后再将n=n 时顶点代入求n．
【详解】
解：设C1和Cn的顶点所在直线解析式为y=kx+b，
∵C1和Cn的顶点的连线平行于直线y=10x，
∴k=10，y=10x+b，
抛物线y=（x-n）
2+n2的顶点坐标为（n，n2），
当n=1 时，顶点为（1，1），
将（1，1）代入y=10x+b，
解得b=-9，
∴y=10x-9，
将（n，n2）代入解析时可得：n2=10n-9，
解得n=1（不合题意舍去）或n=9，
∴n=9．
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握一次函数k 的几何意义．
21．平面直角坐标系中，抛物线
经变换得到抛物线
，则这个变换是（ ）
A．向左平移2 个单位
B．向右平移2 个单位
C．向左平移4 个单位
D．向右平移4 个单位
【答案】B
【分析】
将变换前后的解析式分别变形为顶点式，根据顶点坐标分析即可．
【详解】
变换前抛物线为：
，顶点坐标为：
；
变换后抛物线为：
，顶点坐标为：
；
显然，由
平移至
，是向右平移2 个单位，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的平移问题，熟练利用顶点坐标判断平移问题是解题关键．
22．已知抛物线
与
轴有两个交点
，
，抛物线
与
轴的一个交点是
，则
的值是（ ）
A．5
B．
C．5 或1
D．
或
【答案】C
【分析】
将
往右平移m 个单位后得到
，由此即可求解．
【详解】
解：比较抛物线
与抛物线
，
发现：将前一个抛物线往右平移m 个单位后可以得到后一个抛物线的解析式，
∵
与
轴的一个交点是
，
与
轴有两个交点
，
，
∴当前一个抛物线往右平移1 个单位时，后一个抛物线与
轴的一个交点是
，故m=1，
当前一个抛物线往右平移5 个单位时，后一个抛物线与
轴的一个交点是
，故m=5，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y 值不变，x 增大或减小，由此即可求解．
23．如图，在平面直角坐标系
中，二次函数
的图像如图所示，下列说法正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线的开口方向，与x 轴交点，与y 轴的交点，以及当x=1 时y 值的符号进行判断即可．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，故A 错误；
∵抛物线与y 轴交点在y 轴的正半轴上，
∴c＞0，故B 错误；
∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故C 错误；
∵由图象可知当x=1 时，y=a+b+c＞0，
∴a+b+c＞0，故D 正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的
开口方向．当a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共
同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab＜0），对
称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c）．抛物线与x 轴交点个数由△
决定：△=b2-4ac＞0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；△=b2-4ac=0 时，抛物线与x 轴有1 个交点；△=b2-4ac
＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．
24．在平面直角坐标系中，直线
与
轴、
轴分别交于
、
，己知抛物线
经过点
，且顶点
在直线
的上方，则
的取值范围是（ ）．
A．
B．
且
C．
且
D．
【答案】A
【分析】
根据待定系数法求得直线解析式，根据题意求得抛物线的对称轴为
，即可求得抛物线的最大值
，由顶点
在直线
的上方得出
，解得即可．
【详解】
解：
直线
与
轴、
轴分别交于
、
，
，解得
，
直线为
，
抛物线
经过点
和原点，
抛物线对称轴为直线
，
，
，
抛物线为
，
把
代入得，
，
把
代入
得，
，
抛物线顶点
在直线
的上方，
，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系，待定系数法求一次是的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，
根据题意得出关于a 的不等式是解题的关键．
25．下列命题中，真命题是（ ）
A．
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形
D．已知抛物线
，当
时，
【答案】D
【分析】
根据零次幂、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、
，错误，故不符合题意；
B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，错误，故不符合题意；
C、顺次连接矩形各边中点的四边形是菱形，错误，故不符合题意；
D、由抛物线
可得与x 轴的交点坐标为
，开口向上，然后可得当
时，
，正确，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查零次幂、菱形的判定、正方形的判定及二次函数的图象与性质，熟练掌握零次幂、菱形的判
定、正方形的判定及二次函数的图象与性质是解题的关键．
26．抛物线的函数表达式为
，若将
轴向上平移2 个单位长度，将
轴向左平移3 个单
位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可．
【详解】
解：若将
轴向上平移2 个单位长度，
相当于将函数图像向下平移2 个单位长度，
将
轴向左平移3 个单位长度，
相当于将函数图像向右平移3 个单位长度，
则平移以后的函数解析式为：
化简得：
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键．
27．二次函数
的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A．
B．函数的最大值为
C．当
时，
D．
【答案】D
【分析】
根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y 轴的交点位置可判断a、b、c 的符号，利用抛物
线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴
，即b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y 轴交于正半轴，
∴c＞0，
则abc＞0，故A 正确；
当x=-1 时，y 取最大值为
，故B 正确；
由于开口向上，对称轴为直线x=-1，
则点（1，0）关于直线x=-1 对称的点为（-3，0），
即抛物线与x 轴交于（1，0），（-3，0），
∴当
时，
，故C 正确；
由图像可知：当x=-2 时，y＞0，
即
，故D 错误；
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方
向和大小：当a＞0 时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴
的位置：当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴右．
常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c）．
28．二次函数
的图像的顶点坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据二次函数的性质，由顶点式直接得出顶点坐标即可．
【详解】
解：∵抛物线y=(x+1)2-2，
∴抛物线y=(x+1)2-2 的顶点坐标为：（-1，-2），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的顶点式为
，则抛物线的对称轴为直
线
，顶点坐标为(
，
) ．
29．将抛物线
向右平移4 个单位长度后，再向上平移5 个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先求出原抛物线顶点坐标，再根据平移得出新抛物线顶点坐标即可．
【详解】
解：抛物线
的顶点坐标为
，将抛物线
向右平移4 个单位长度后，再向上平移5 个单
位长度，顶点也如此平移，其顶点坐标为
，
故选：B．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，解题关键是熟练运用抛物线平移规律，确定顶点坐标．
30．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）顶点坐标为（
，﹣1），对于下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜
0；③b+4c+4＝0；④当x＞2 时，y＞0．其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】
根据抛物线的开口方向、与y 轴交点位置和对称轴可得a，b，c 的符号，即可判断①；当
时，函数
值为
即可判断②；将顶点坐标代入即可判断③；利用抛物线的对称性即可判断④．
【详解】
解：抛物线开口向上，可知
，与y 轴交于负半轴，则
，
∵顶点坐标为（
，﹣1），
∴
，即
，
∴
，故①正确；
由图象可知，当
时，函数值为
，故②错误；
∵顶点坐标为（
，﹣1），
∴当
时，
，即
，
整理得
，故③正确；
在函数图象上关于对称轴对称的点横坐标为
，
∴当
时，
，故④正确；
综上所述，正确的有3 个，
故答案为：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
二、填空题
31．二次函数
，自变量
与函数
的对应值如下表．则当
时，
满足的范围是
_________．
…
-3
-1
1
3
…
…
-4
2
4
2
…
【答案】
【分析】
根据表格结合二次函数的图象上点的坐标特征及其性质可得出其对称轴，顶点坐标和开口方向．即得出当
时y 的取值范围．
【详解】
根据表格可知，该二次函数对称轴为
，故顶点为(1，4)，即当x=1 时，函数有最大值4．
∴抛物线开口向下，
∴当
时，取最小值-4．
∴当
时，
．
故答案为
．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．解题的关键是看懂表格，灵活运用所学知识解
决问题，属于基础题．
32．如图，二次函数
的图像经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则
_______．
【答案】
【分析】
如图，由题意易得点A、B 关于y 轴对称，点
，进而根据正方形的性质可得点
，然后代
入二次函数解析式进行求解即可．
【详解】
解：如图，
∴A、B 关于y 轴对称，
∵四边形AOBC 是正方形，
∴
，AB 与OC 相互平分，
令x=0 时，则有
，
∴点
，
∴
，
∴点
，
把点A 代入得：
，解得：
，
∵
，
∴
；
故答案为
．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与正方形的性质是解题的关键．
33．把抛物线
向左平移1 个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为
___．
【答案】
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．
【详解】
解：抛物线
向左平移1 个单位长度，
再向下平移3 个单位长度，
得到的抛物线的解析式为：
，
即：
故答案为：
．
【点睛】
本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解题的关键．
34．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y 与自变量x 的部分对应值如表：
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
﹣9
﹣4
﹣1
0
﹣1
当x＝4 时，对应的函数值y＝__．
【答案】﹣9．
【详解】
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴，再根据二次函数具有对称性，
即可得到x＝﹣2 和x＝4 对应的函数值相等，从而可以得到x＝4 时的函数值．
【解答】解：由表格可得，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝
＝1，
∴x＝4 和x＝﹣2 时的函数值相等，
∵x＝﹣2 时，y＝﹣9，
∴x＝4 时，y＝﹣9，
故答案为：﹣9．
35．抛物线
向右平移1 个单位，再向下平移2 个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是
__________．
【答案】
【分析】
先写成平移前的抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移，纵坐标减解答即可．
【详解】
解：
抛物线
，
顶点坐标为
，
向右平移1 个单位，向下平移2 个单位，
所得抛物线的顶点坐标为
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
三、解答题
36．如图，抛物线
与
轴交于点
和点
，与
轴交于点
，连接
，与抛物线的对称轴交于点
，顶点为点
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求
的面积．
【答案】（1）抛物线的解析式为
；（2）
【分析】
（1）把点A、B 的坐标代入求解即可；
（2）由（1）可得
，进而可得
，然后问题可求解．
【详解】
解：（1）把点
和点
代入抛物线
可得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式为
；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为
，
∴
，
∴
，
∴
．
【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
37．已知抛物线
经过点
和
．
（1）求
、
的值；
（2）将该抛物线向上平移2 个单位长度，再向右平移1 个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物
线相应的函数表达式．
【答案】（1）
，
；（2）
【分析】
（1）将点
和
，代入解析式求解即可；
（2）将
，按题目要求平移即可．
【详解】
（1）将点
和
代入抛物线
得：
解得：
∴
，
（2）
原函数的表达式为:
，
向上平移2 个单位长度，再向右平移1 个单位长度，得：
平移后的新函数表达式为:
即
【点睛】
本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确的计算和
牢记口诀是解题的关键．
38．如图，已知经过原点的抛物线
与
轴交于另一点A(2，0)．
（1）求
的值和抛物线顶点
的坐标；
（2）求直线
的解析式．
【答案】（1）
，M (1，-2)；（2）
【分析】
（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m 的值，再配成顶点式即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得直线AM 的解析式．
【详解】
解 （1）∵抛物线
过点A(2，0)，
，解得
，
，
,
∴顶点M 的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM 的解析式为
，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得
，
∴直线AM 的解析式为
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
39．线段
的长为2，
为
上的一个动点，分别以
为斜边在
的同侧做两个等腰直角三角
形
和
，则
的最小值为___．
【答案】1
【分析】
利用等腰直角三角形的性质知道AD=CD，C
=B
，∠ACD=∠A=45°，∠
CB=∠B=45°，∠DC
=90°．利用勾股定理和完全平方公式的变形得出D
的表达式，利用函数的知识求出D
的最小值．
【详解】
解：在等腰Rt△ACD 和等腰Rt△CB
中，AD=CD，C
=B
，∠ACD=∠A=45°，∠
CB=∠B=45°
∴∠DC
=90°
∴AD2+CD2=AC2，C
2+B
2=CB2
∴CD2=
AC2，C
2=
CB2，
∵D
2=DC2+
C2，
∴D
∴当CB=1 时，D
E 的值最小，即D
=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形的性质和配方法的应用．
40．已知二次函数
的图象过
两点．
（1）求b，c 的值；
（2）若
是抛物线上不同的两点，已知
，求n 的值．
【答案】（1）b=5，c=-6；（2）4
【分析】
（1）根据A、B 的坐标，利用待定系数法求解；
（2）将
代入，得到
，从而得到
，则有
，根据对称轴即可得到n 值．
【详解】
解：（1）将
代入
，
得
，
解得：
；
（2）由（1）得抛物线解析式为
，
令x=1，则
，
∵
，
∴
，
∵
，对称轴为直线x=
=
，
∴n=
=4．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式，对称轴，二次函数图像上的点，解题的关键是掌握基本知识．
41．已知二次函数
（a 为常数）．
（1）求该二次函数图象的顶点纵坐标（用含a 的代数式表示）．
（2）若
，当
时，y 的最大值和最小值的差为8，求a 的值．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
（1）利用配方法化为顶点式，从而得到顶点坐标，从而得出纵坐标；
（2）根据
得到函数有最大值，再根据x 的范围分别讨论端点值的大小，结合顶点得到最大值和最小
值，根据差为8 得到方程，求出a 值即可．
【详解】
解：（1）
，
故顶点纵坐标为：
．
（2）∵
，
故当
时，函数
有最大值为
，且
符合
，
∵
，
，
，
故当
时函数有最小值，即
，
由题意可知：
，
∴
．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是求出函数的开口方向和对称轴，以此得到函数的最值．
42．已知二次函数
的对称轴是直线
，且经过点
．
（1）求二次函数的解析式．
（2）若点
在该二次函数图象上，且点P 到y 轴的距离小于1，求n 的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
（1）根据对称轴和A 点坐标，利用待定系数法求解；
（2）将点P 坐标代入，得到
，根据题意可得
，利用二次函数的性质得到n 的取
值范围即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
，解得：
，
∴
．
（2）由题意得：
，
∵P 点到y 轴距离小于1，
∴
，
∵
，
∴当
时，
，
当
时，
，
∴
．
【点睛】
本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解
题的关键．
43．已知抛物线
经过点
．
（1）求a，b 的值．
（2）若
是抛物线上不同两点，且
，求m 的值．
【答案】（1）a=2，b=-3；（2）m=
或m=5
【分析】
（1）把点（-1，6），（2，3）代入y=ax2+bx+1，解方程组即可得到结论；
（2）把x=1 代入y=2x2-3x+1 得到y2=36，解方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）把点（-1，6），（2，3）代入y=ax2+bx+1 得，
，
解得：
；
（2）由（1）得函数解析式为y=2x2-3x+1，
把x=1 代入y=2x2-3x+1 得，y1=0，
∵y2-y1=36，
∴y2=36，
则2m2-3m+1=36，
解得：m=
或m=5．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，正确的理解题意是解题的关键．
44．已知抛物线
经过点
．
（1）求
的值．
（2）求抛物线的顶点和对称轴．
（3）当
，求函数的最小值．
【答案】（1）a=1，b=-4；（2）（2，-3），直线x=2；（3）-3
【分析】
（1）把点（1，-2），（-2，13）代入y=ax2+bx+1 解方程组即可得到结论；
（2）根据抛物线顶点和对称轴的公式即可计算；
（3）根据对称轴和x 的范围即可确定最小值．
【详解】
解：（1）把点（1，-2），（-2，13）代入y=ax2+bx+1 得，
，解得：
；
（2）由（1）可得：
抛物线的表达式为y=x2-4x+1，
∴顶点坐标为（2，-3），对称轴为直线x=2；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x=2，开口向上，
∴当1≤x≤4 时，
在x=2 处，函数取最小值-3．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本知识．
45．已知二次函数
的图象经过
三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当
时，求函数值y 的范围；
【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）-4≤y＜5
【分析】
（1）把三点的坐标代入函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）先得出抛物线的开口方向，对称轴，再结合x 的范围得到y 的最值．
【详解】
解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过A（-1，0），B（3，0），C（4，5）三点，
∴
，解得：
，
∴二次函数的解析式是y=x2-2x-3；
（2）抛物线的对称轴为直线x=
=1，
1＞0，则开口向上，
又∵
，
∴当x=1 时，y 取最小值，即ymin=-4；
当x=-2 时，y 取最大值，即ymax=5，
∴y 的范围是-4≤y＜5．
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点，二次函数的性质和用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能熟记二次
函数的性质是解此题的关键．
46．已知抛物线
与y 轴交于点
．
（1）求出函数解析式，并画出图像．
（2）当x 满足
时，求y 的取值范围．
【答案】（1）y=-x2+2x+3，图像见解析；（2）-5≤y≤4
【分析】
（1）把与y 轴交于点（0，3）坐标代入即可求出m 的值，即可求得解析式，再根据顶点坐标和交点坐标，
画出图像即可；
（2）先求出x=0 与x=4 时y 的值，再求出y 的最大值，进而可得出结论．
【详解】
解：（1）∵抛物线y=-x2+（m-1）x+m 与y 轴交于点（0，3），
∴3=-02+（m-1）×0+m，
解得m=3，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，
图像如下：
（2）当x=0 时，y=3；
当x=4 时，y=-5，
∵
，
∴当x=1 时，y 取最大值为4，
∴
时，y 的取值范围是-5≤y≤4．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式，函数值的取值范围，解题的关键是掌握函数的基本性质，结合图像进行解
答．
47．已知抛物线的解析式为
．
（1）将其化为
的形式，并直接写出抛物线的顶点坐标；
（2）求出抛物线与x 轴交点坐标．
【答案】（1）
，顶点坐标为
；（2）
【分析】
（1）根据配方法可直接把函数解析式配成顶点式，然后由顶点式可得顶点坐标；
（2）令y=0 时，代入求解即可．
【详解】
解：（1）将抛物线的解析式
化为
的形式为
，
∴顶点坐标为
；
（2）令y=0 时，代入得：
，
解得：
，
∴抛物线与x 轴的交点坐标为
．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
48．己知某二次函数
的图象经过点
．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求该二次函数的顶点坐标和最值．
【答案】（1）
；（2）
，-4
【分析】
（1）把
，
代入
求解即可；
（2）把一般式变为顶点式即可．
【详解】
解：（1）把
，
代入
得：
解得：
∴二次函数的解析式为
（2）∵
∴顶点坐标为
∴当
时，
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握一般式与顶点式之间的转化是解题的关键．
49．如图，已知抛物线
经过
、
两点，与y 轴交于点C．
求抛物线的解析式；
抛物线的顶点坐标为__________；
若点Q 为抛物线上一点，且
，求出此时点Q 的坐标．
【答案】（1）
；（2）（1，-4）；（3）
或
．
【分析】
把A、B 两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式；
用配方法将抛物线的解析式化为顶点式，即可求得其顶点坐标；
根据题意求得
的纵坐标，然后代入解析式即可求得横坐标．
【详解】
抛物线
经过
、
两点，
，
解得
，
抛物线解析式为
；
因为
，
所以抛物线的顶点坐标为
；
、
，
．
设
，则
，
，
．
当
时，
，
解得：
，
，
此时Q 点坐标为
或
；
当
时，
，方程无实数解；
综上所述，Q 点坐标为
或
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，考查了配方求抛物线的顶点坐标，考查了三角形面积公式的
应用、解一元二次方程以及绝对值的性质，综合性较强，难度适中．
50．已知二次函数
．
（1）写出其图象的开口方向，对称轴和顶点坐标：
（2）求出该函数图象与坐标轴的交点坐标．
【答案】（1）开口向上，直线x=1，（1，-4）；（2）（0，-3），（-1，0），（3，0）
【分析】
（1）根据二次项系数=1 判断出抛物线的开口方向；对称轴、顶点坐标公式求出其对称轴及顶点坐标；
（2）由坐标轴上点的坐标特点求出函数图象与坐标轴的交点即可．
【详解】
解：（1）∵a=1＞0，
∴图象的开口向上，
对称轴是直线x=
=1，
=
=-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；
（2）令x=0，则y=-3；
令y=0，则x2-2x-3=0，
解得：x=-1 或3，
∴抛物线与坐标轴的交点是（0，-3），（-1，0），（3，0）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质、二次函数的图象，属于二次函数的基本知识，要熟练掌握．
51．已知抛物线
（b 是常数）经过点
．
（1）求b 的值．
（2）若点
，
都在抛物线上，
①求m 的值．
②求
的长．
【答案】（1）
；（2）①
；②
【分析】
（1）把点
代入可进行求解；
（2）①把点
，
代入函数解析式可直接进行求解；
②根据两点距离公式可求解．
【详解】
解：（1）把点
代入抛物线
得：
，解得：
；
（2）由（1）得：抛物线解析式为
，
①把点
，
代入得：
，解得：
，
∴
；
②令点
，
，则有：
．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键．
52．某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区
，其中一边靠墙，另外三边用总长为40 米的
栅栏围成，已知墙长为22 米（如图），设矩形
的边
米，面积为
平方米．
（1）求活动区面积
与
之间的关系式，并指出
的取值范围；
（2）当
为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．
【答案】（1）
；（2）当
为10 米时，活动区的面积最大，最大面积是200 平
方米
【分析】
(1)由总长度-垂直于墙的两边的长度=平行于墙的这边的长度，根据墙的长度就可以求出x 的取值范围；
(2)由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可.
【详解】
解：（1）
四边形
是矩形，
米，
米，
墙长为22 米，
，
，
，
即
；
（2）设矩形的面积为
，
由（1）知，
，
当
时，
有最大值200，
即当
为10 米时，活动区的面积最大，最大面积是200 平方米．
【点睛】
此题考查了二次函数的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性
质求解.
53．如图，抛物线y＝x2－2x－3 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，点P 是抛物线对称轴上的一个动
点，如果△PAC 的周长最小，求点P 的坐标．
【答案】P(1，－2)．
【分析】
根据“将军饮马”问题，将A 点沿对称轴对称至B 点，连接BC，与对称轴交点即为所求P 点，从而结合图形
性质求解即可．
【详解】
如下左图，点A 与点B 对称，连结BC，那么在△PBC 中，PB＋PC 总是大于BC 的．
如下右图，当点P 落在BC 上时，PB＋PC 最小，因此PA＋PC 最小，△PAC 的周长也最小．
由y＝x2－2x－3，令y=0，解得：x=-1 或3，
∴A（-1,0），B（3,0），对称轴为直线x=1，
∴可知OB＝OC＝3，OD＝1，∠OBC=45°，
∴DB＝DP＝2，
∴P(1，－2)．
【点睛】
本题考查二次函数的对称性以及最短路径问题，理解常见的求最短路径的模型是解题关键．
54．如图，二次函数的图象与x 轴交于A(−3，0)和B(1，0)两点，交y 轴于点C(0，3)，点D 是二次函数图
象上与点C 关于对称轴对称的点，一次函数的图象过点B、D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若直线
与y 轴的交点为E 点，连结
、
，求
的面积．
【答案】（1）
；（2）
．
【分析】
（1）根据题意可以设出二次函数解析式为
，把C(0，3)代入，即可解答本题；
（2）先求得直线BD 的解析式，得到点E 的坐标，再根据
列式计算，即可求得
△ADE 的面积．
【详解】
解：（1）∵二次函数的图象与x 轴交于A(−3，0)和B(1，0)两点，
∴设二次函数解析式为
，
把C(0，3)代入得：
，
解得：
，
∴二次函数解析式为
，即
；
（2）∵
，
∴该函数的对称轴是直线
，
∵点C（0，3），点C、D 是二次函数图象上的一对对称点，
∴点D（-2，3），
设直线BD 的解析式为
，
则
，解得：
，
∴直线BD 的解析式为
，
当
时，
，
∴点E 的坐标为（0，1），
∵
，且AB=4，
∴
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，找出所求
问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．
55．如图，在平面直角坐标系中，抛物线l1：y＝x2+bx+c 过点C(0，﹣3)，且与抛物线l2：y＝﹣
x2﹣
x+2 的一个交点为A，已知点A 的横坐标为2．点P、Q 分别是抛物线l1、抛物线l2上的动点．
（1）求抛物线l1对应的函数表达式；
（2）若点P 在点Q 下方，且PQ∥y 轴，求PQ 长度的最大值；
（3）若以点A、C、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P 的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）
；（3）(﹣1，0)或(3，0)或(
，
)或(﹣3，12)
【分析】
（1）将x＝2 代入y＝﹣
x2﹣
x+2，从而得出点A 的坐标，再将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝
x2+bx+c，解得b 与c 的值，即可求得抛物线l1对应的函数表达式；
（2）设点P 的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则可得点Q 的坐标为（m，﹣
m2﹣
m+2），从而PQ 等于
点Q 的纵坐标减去点P 的纵坐标，利用二次函数的性质求解即可；
（3）设点P 的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），分两类情况：第一种情况：AC 为平行四边形的一条边；第二种
情况：AC 为平行四边形的一条对角线．分别根据平行四边形的性质及点在抛物线上，得出关于n 的方程，
解得n 的值，则点P 的坐标可得．
【详解】
解：（1）将x＝2 代入y＝﹣
x2﹣
x+2，得y＝﹣3，
∴点A 的坐标为（2，﹣3）．
将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，
得
，
解得
，
∴抛物线l1对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵点P、Q 分别是抛物线l1、抛物线l2上的动点．
∴设点P 的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵点P 在点Q 下方，PQ∥y 轴，
∴点Q 的坐标为（m，﹣
m2﹣
m+2），
∴PQ＝﹣
m2﹣
m+2﹣（m2﹣2m﹣3），
＝﹣
m2+
m+5，
∴当m＝﹣
时，PQ 长度有最大值，最大值为：﹣
+
+5＝
；
∴PQ 长度的最大值为
；
（3）设点P 的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），
第一种情况：AC 为平行四边形的一条边．AC=2
①当点Q 在点P 右侧时，点Q 的坐标为（n+2，﹣
（n+2）
2﹣
（n+2）+2），
将Q 的坐标代入y＝﹣
x2﹣
x+2，，得n2﹣2n﹣3＝﹣
（n+2）
2﹣
（n+2）+2，
解得，n＝0 或n＝﹣1．
∵n＝0 时，点P 与点C 重合，不符合题意，舍去，
∴n＝﹣1，
∴点P 的坐标为（﹣1，0）；
②当点Q 在点P 左侧时，点Q 的坐标为（n﹣2，﹣
（n﹣2）
2﹣
（n﹣2）+2），
将Q 的坐标代入y＝﹣
x2﹣
x+2，得n2﹣2n﹣3＝﹣
（n﹣2）
2﹣
（n﹣2）+2，
解得n＝3 或n＝﹣
．
∴此时点P 的坐标为（3，0）或（﹣
，
）；
第二种情况：AC 为平行四边形的一条对角线．
Q 点的纵坐标yQ，n2-2n-3-(-3)=-3-yQ，
yQ=-n2+2n-3，
点Q 的坐标为（2﹣n，﹣n2+2n﹣3），
将Q 的坐标代入y＝﹣
x2﹣
x+2，得﹣n2+2n﹣3＝﹣
（2﹣n）
2﹣
（2﹣n）+2，
解得，n＝0 或n＝﹣3．
∵n＝0 时，点P 与点C 重合，不符合题意，舍去，
∴n＝﹣3，
∴点P 的坐标为（﹣3，12）．
综上所述，点P 的坐标为(﹣1，0)或(3，0)或(
，
)或(﹣3，12)．
【点睛】
本题考查抛物线解析式，平行y 轴线段的最值，平行四边形的性质，掌握抛物线解析式，平行y 轴线段的
最值，平行四边形的性质，利用平形四边形的性质构造方程是解题关键．
