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第24 章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (1)
1．边长为a 的正六边形的边心距是__________，周长是____________，面积是___________。
2．如图1，正方形的边长为a，以顶点B、D 为圆心，以边长a 为半径分别画弧，在正方形内两
弧所围成图形的面积是___________。
(1) (2) (3)
3．圆内接正方形ABCD 的边长为2，弦AE 平分BC 边，与BC 交于F，则弦AE 的长为__________。
4．正六边形的面积是18 3 ，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为_________。
5．圆内接正方形的一边截成的小弓形面积是2π-4，则正方形的边长等于__________。
6．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________。
7．在半径为R 的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为___________。
8．同圆的内接正n 边形与外切正n 边形边长之比是______________。
9．正三角形与它的内切圆及外接圆的三者面积之比为_____________。
10．正三角形的外接圆半径为4cm，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形的外接圆
半径长为___________。
B 卷
1．正方形的内切圆半径为r，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面
积为_________。
2．如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍。
3．如图2，正方形边长为
2 a，那么图中阴影部分的面积是__________。
4．正多边形的一个内角等于它的一个外角的8 倍，那么这个正多边形的边数是________。
5．半径为R 的圆的内接正n 边形的面积等于__________。
6．如果圆的半径为a，它的内接正方形边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为
c，则a,b,c 间满足的关系式为___________。
7．如图3，正△ABC 内接于半径为1cm 的圆，则阴影部分的面积为___________。
8．如果圆内接正六边形的边长为10cm，则它的边心距为_______cm，正六边形的一边在圆上
截得的弓形面积是____________。
9．已知正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的阴影部分（如图）的
面积为__________。
10．周长相等的正方形和正六边形的面积分别为
4
S 和
6
S ，则
4
S 和
6
S 的大小关系为
__________。
答案
A 卷
1．
2
2
3
3
;
6;
2
3
a
a
2．
2
2
2
a
a
3．点B 到弦AE 的垂线段长为
5
5
2
，由勾股定理或射影定理，求得弦AE 的长为
5
5
8
。
4．由正六边形的面积为18 3 ，得正六边形的边长为2 3 ，边心距为3，从而正六边形的外
接圆半径为2 3 ，内切圆半径为3，故所围成的圆环面积为3π。
5．设所求正方形的边长为x，则外接圆的半径为
x
2
2
，正方形的一边截成的小弓形面积为
2
2
4
1
8
1
x
x
，即
2
2
4
1
8
1
x
x
= 2π- 4，于是，得正方形的边长等于4。
6．设正三角形的边长为a，则内切圆半径为
a
6
3
，外接圆半径为
a
3
3
，高为
a
2
3
，故内切
圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3。
7．内接正方形的边长为
2 R，内接正六边形的边长为R，其比为
2 ：1。
8．设圆的半径为R，则同圆的内接正π边形和外切正n 边形的边分别为2Rsin
n
180 和2Rtg
n
180 ，其比为cos
n
180 。
9．设正三角形的边长为a，则内切圆半径为
a
6
3
，外接圆半径为
a
3
3
，其面积分别为
2
4
3 a 、
2
12
1
a
和
2
3
1 a
，三者之比为3 3 ：π：4π。
10．求得正三角形的边长即所作正方形的边长为4 3 ，从而外接圆的半径长为2
6 。
B 卷
1．由已知得正方形的边长为2r，
从而正方形的外接圆半径为
2 r，所求弓形的面积为
2
)
2
2
1
(
r
。
2．边长为a 的正三角形的外接圆半径和内切圆半径分别为
a
3
3
、
a
6
3
，其周长分别为
3
3
2
的πa 和
a
3
3
，故它的外接圆周长是内切圆周长的2 倍。
3．阴影部分面积为
2
2
2
4
1
)
2
2
(
2
1
)
2
(
4
1
a
a
a
4．设所求正多边形的边数为n，则它的一个内角等于
180
)
2
(
n
n
，
相应的外角等于180°-
180
)
2
(
n
n
，
则由已知，得
180
)
2
(
n
n
=8×（180°-
180
)
2
(
n
n
），解之，得n = 18。
5．半径为R 的圆的内接正n 边形的边长为2Rsin
n
180 ，边长距为Rcos
n
180 ，
则正n 边形的面积为=
n
n
nR
n
R
n
R
n
180
cos
180
sin
180
cos
180
sin
2
2
1
2
6．半径为a 的圆的内接正方形的边长为
2 a，即 b =
2 a；
边长为b 的正方形的内切圆的内接正方形的边长为
2
2 b，即 C =
2
2 b，
从而得知 a = c，故a,b,c 三者之间的关系为：
2
2
2
c
a
b
7．设正△ABC 的边长为a，则
a
3
3
=1，a= 3 ，
于是阴影部分的面积为π·
)
)(
4
3
3
(
)
3
(
4
3
1
2
2
2
cm
8．边心距
2
3 ×10=5 3 （
2
cm ）；
正六边的一边在圆上截得的弓形的面积减去三角形的面积，
即
)
(
3
25
3
50
10
4
3
10
3
2
1
2
2
2
cm
9．图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四隙的面积，剩下的就是阴影部
分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积，故所求阴影部分的
面积为
.
2
2
]
)
2
(
[
2
2
2
2
2
a
a
a
a
a
10 ．设周长为a ，则正方形的正六边形的边长分别为
a
a
6
1
4
1 和
，其面积分别为
2
2
2
24
3
)
6
1
(
4
3
6
16
1
a
a
a
和
，故
6
4
S
S
