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21.2 专题训练 一元二次方程的解法及配方法的应用
一、一元二次方程的解法
1．用直接开平方法解方程：
(1)(4x－1)2＝225；
解：x1＝4，x2＝－
(2)(x－2)2＝8；
解：x1＝2＋2，x2＝2－2
(3)9x2－6x＋1＝9；
解：x1＝，x2＝－
(4)3(2x＋1)2－2＝0.
解：x1＝－＋，x2＝－－
2．用配方法解方程：
(1)2t2－3t＝－1；
解：t1＝，t2＝1
(2)2x2＋5x－1＝0；
解：x1＝，x2＝
(3)(2x－1)(3x－1)＝3－6x；
解：x1＝，x2＝－
(4)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7.
解：x1＝4，x2＝2
3．用公式法解方程：
(1)x2＝6x＋1;
解：x1＝3＋，x2＝3－
(2)0.2x2－0.1＝0.4x；
解：x1＝，x2＝
(3)x－2＝2x2.
解：原方程无实数根
4．用因式分解法解方程：
(1)(x－1)2－2(x－1)＝0；
解：x1＝3，x2＝1
(2)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1)；
解：x1＝3，x2＝
(3)(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0.
解：x1＝x2＝3
5．用适当的方法解方程：
(1)2(x－3)2＝x2－9；
解：x1＝3，x2＝9
(2)(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2；
解：x1＝，x2＝
(3)(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8.
解：x1＝1，x2＝－3
二、配方法的应用
(一)最大(小)值
6．利用配方法证明：无论x 取何实数值，代数式－x2－x－1 的值总是负数，并求出它的
最大值．
解：－x2－x－1＝－(x＋)2－，∵－(x＋)2≤0，∴－(x＋)2－＜0，故结论成立．当x＝－时，
－x2－x－1 有最大值－
7．对关于x 的二次三项式x2＋4x＋9 进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n.
(1)求m，n 的值；
(2)求x 为何值时，x2＋4x＋9 有最小值，并求出最小值为多少？
解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n，∴2m＝4，m2＋n＝9，∴m＝2，n＝5
(2)∵m＝2，n＝5，∴x2＋4x＋9＝(x＋2)2＋5，∴当x＝－2 时，有最小值是5
(二)非负数的和为0
8．已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，求3a2＋5b2－5 的值．
解：∵a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，∴(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，
∴a＝－2，b＝1.∴3a2＋5b2－4＝3×(－2)2＋5×12－5＝12
9．若a，b，c 是△ABC 的三边长且满足a2－6a＋b2－8b＋＋25＝0，请根据已知条件判断
其形状．
解：等式变形为a2－6a＋9＋b2－8b＋16＋＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋＝0，由非负性得
(a－3)2＝0，(b－4)2＝0，＝0，∴a＝3，b＝4，c＝5.∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2，∴△ABC 为直
角三角形
