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24.3 正多边形和圆
【提升训练】
一、单选题
1．如图，六边形
是正六边形，点
是边
的中点，
，
分别与
交于点
，
，
则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设正六边形的边长为a，MN 是△PCD 的中位线，求出△PBM 和△PCD 的面积即可．
【详解】
解：设正六边形的边长为a，连接AC 交BE 于H 点，如下图所示：
正六边形六边均相等，且每个内角为120°，
∴△ABC 为30°，30°，120°等腰三角形，
∴BE⊥AC，且
，且
，
∵AF∥CD，P 为AF 上一点，
∴
，
MN 为△PCD 的中位线，
∴
，
由正六边形的对称性可知：
，
∴
，
∴
，
∴
，
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，三角形的面积，三角形的中位线定理，等边三角形的性质等知识，解题的关键是
熟练掌握基本知识，属于常考题型．
2．如图，
与正五边形
的两边
相切于
两点，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据切线的性质，可得∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，结合正五边形的每个内角的度数为108°，即可求解．
【详解】
解： ∵AE、CD 切⊙O 于点A、C，
∴∠OAE＝90°，∠OCD＝90°，
∴正五边形ABCDE 的每个内角的度数为：
，
∴∠AOC＝540°−90°−90°−108°−108°＝144°，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查正多边形的内角和公式的应用，以及切线的性质定理，掌握正多边形的内角和定理是解题的
关键．
3．如图，点
为正六边形
对角线
上一点，
，
，则
的值
是（ ）
A．20
B．30
C．40
D．随点
位置而变化
【答案】B
【分析】
连接AC、AD、CF，AD 与CF 交于点M，可知M 是正六边形
的中心，根据矩形的性质求出
，再求出正六边形面积即可．
【详解】
解：连接AC、AD、CF，AD 与CF 交于点M，可知M 是正六边形
的中心，
∵多边形
是正六边形，
∴AB=BC，∠B=∠BAF= 120°，
∴∠BAC=30°，
∴∠FAC=90°，
同理，∠DCA=∠FDC=∠DFA=90°，
∴四边形ACDF 是矩形，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了正六边形的性质，解题关键是连接对角线，根据正六边形的面积公式求解．
4．在圆内接正六边形ABCDEF 中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由正六边形的性质得∠COD＝60°，再证△OCD 是等边三角形，得BC＝CD＝OC＝2，再由垂径定理和含
30°角的直角三角形的性质求出OG 即可．
【详解】
解：在圆内接正六边形ABCDEF 中，∠COD＝360°÷6＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD 是等边三角形，
∴BC＝CD＝OC＝2，
∵OG⊥BC，
∴CG＝
BC＝1，
∵∠COG＝
∠COD＝30°，
∴OG＝
CG＝
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质；
熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
5．如图，点
，
，
在
上，若
，
，
分别是
内接正三角形．正方形，正
边形的
一边，则
（ ）
A．9
B．10
C．12
D．15
【答案】C
【分析】
分别连接OB、OA、OC，根据正多边形的中心角=
，可分别求得∠BOC、∠AOB 的度数，从而可得
∠AOC 的度数，再根据正多边形的中心角=
，可求得边数n．
【详解】
分别连接OB、OA、OC，如图所示
∵
是
内接正三角形的一边
∴∠BOC=
同理，可得：∠AOB=90°
∴∠AOC=∠BOC−∠AOB=30°
∵
是
正
边形的一边
∴
∴n=12
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角=
，掌握这一知识是解决本题的关键．
6．尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容．小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为
的
六等分，依次得到
六个分点；②分别以点
为圆心，
长为半径画弧，两弧交
于点
；③连结
．则
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
如图（见解析），先根据六等分点可得
是
的直径，
，再根据圆周角定理、勾股定理
可得
，从而可得
，然后根据等腰三角形的三线合一可得
，最后在
中，利用勾股定理即可得．
【详解】
解：如图，连接
，
是
的六等分点，
是
的直径，
，
由圆周角定理得：
，
在
中，
，
分别以点
为圆心，
长为半径画弧，两弧交于点
，
，
又
点
是
的中点，
（等腰三角形的三线合一），
在
中，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的三线合一等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
7．如图，正方形
内接于
．点
为
上一点，连接
、
，若
，
，
则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
连接OB、OC、OE，根据圆内接正多边形性质易证得
是等边三角形，从而可得BO=CO=OE=3，由
此即可解题．
【详解】
解：连接OB、OC、OE，
，
∵正方形
内接于
，
∴
，
，
三点共线，
又∵
，
∴
，
又∵BO=CO=OE，
∴
是等边三角形，
又∵
，
∴BO=CO=OE=3，
∴
，
故选D．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，掌握圆内接正多边形性质，正确作出辅助线得出
是等边三角形是解题
的关键．
8．正六边形的边心距为
，则该正六边形的外接圆半径为（ ）
A．
B．2
C．3
D．
【答案】B
【分析】
设正六边形的中心是
，一边是
，过
作
于
，在直角
中，根据三角函数即可求
得边长
，从而求出周长．
【详解】
解：如图，
在
中，
，
，
；
故选：
．
【点睛】
本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算．
9．若正方形的外接圆半径为2，则其边长为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】B
【分析】
明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，根据勾股定理即可求得结果．
【详解】
解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长．
∵正方形的外接圆半径为2，
∴正方形的对角线长为4，
∴正方形的边长为
＝
，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正
方形的对角线长．
10．如图，有公共顶点O 的两个边长为3 的正五边形（不重叠），以O 点为圆心，半径为3 作圆，构成一
个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先求出正五边形的内角，再根据面积计算公式计算即可；
【详解】
∵正五边形的内角和为
，
∴每一个内角为：
，
图中阴影部分的圆心角为：
，
∴
；
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了正多边形的性质和扇形面积计算公式，准确计算是解题的关键．
11．下列命题正确的是（ ）
A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2﹕1
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2 倍
D．各边相等的圆的外切四边形是正方形
【答案】B
【分析】
根据正多边形与圆的关系逐项分析即可．
【详解】
A、正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为1﹕2，故原命题错误，不符合题意；
B、正六边形的边长等于其外接圆的半径，命题正确，符合题意；
C、圆的外切正方形的边长等于其边心距的2 倍，故原命题错误，不符合题意；
D、各边相等的圆的外切四边形是正方形也还可能是菱形，故原命题错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆的相关概念辨析，掌握正多边形与圆的有关性质以及计算问题是解题关键．
12．如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的中心，∠FOG＝120°，绕点O 旋转∠FOG，分别
交线段AB、BC 于D、E 两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形
ODBE 的面积始终等于
；④△BDE 周长的最小值为6．上述结论中不正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】
连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，再证明∠BOD＝∠COE，于
是可判断△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，则可对①进行判断；利用S△BOD＝S△COE得到四边形
ODBE 的面积＝
S△ABC＝
，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH＝EH，计算出S△ODE＝
OE2，利用S△ODE随OE 的变化而变化和四边形ODBE 的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE 的周
长＝BC+DE＝4+DE＝4+
OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，计算出
此时OE 的长则可对④进行判断．
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵点O 是△ABC 的中心，
∴OB＝OC，OB、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，
∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，即∠BOE+∠COE＝120°，
而∠DOE＝120°，即∠BOE+∠BOD＝120°，
∴∠BOD＝∠COE，
在△BOD 和△COE 中，
，
∴△BOD≌△COE（ASA），
∴BD＝CE，OD＝OE，
∴①正确；
∵△BOD≌△COE，
∴S△BOD＝S△COE，
∴四边形ODBE 的面积＝S△OBC═
S△ABC＝
×
×42＝
，
故③正确；
作OH⊥DE 于H，如图，则DH＝EH，
∵∠DOE＝120°，
∴∠ODE＝∠OEH＝30°，
∴OH＝
OE，HE＝
OH＝
OE，
∴DE＝
OE，
∴S△ODE＝
×
OE×
OE＝
OE2，
即S△ODE随OE 的变化而变化，
而四边形ODBE 的面积为定值，
∴S△ODE≠S△BDE；
故②错误；
∵BD＝CE，
∴△BDE 的周长＝BD+BE+DE＝CE+BE+DE＝BC+DE＝4+DE＝4+
OE，
当OE⊥BC 时，OE 最小，△BDE 的周长最小，此时OE＝
，
∴△BDE 周长的最小值＝4+2＝6，
∴④正确.
故选：A.
【点睛】
本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角：旋
转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的性质和全等三角形的判与性质.
13．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a 等于
（ ）
A．
cm
B．2
cm
C．2cm
D．
cm
【答案】A
【分析】
根据正六边形的性质，可得∠ABC=120°，AB=BC=a，根据等腰三角形的性质，可得CD 的长，根据直角三
角形含30 度角的性质和勾股定理，可得答案．
【详解】
解：如图，连接AC，过点B 作BD⊥AC 于D，
由正六边形，得∠ABC＝120°，AB＝BC＝a，
∴∠BCD＝∠BAC＝30°，
由AC＝3，得CD＝1.5，
Rt△ABD 中，∵∠BAD＝30°，
∴BD＝
AB＝
a，
∴AD＝
＝
a，
即
a＝1.5，
∴a＝
（cm），
故选：A．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题的关键，又利用了等腰三角形的
性质，含30 度角的直角三角形．
14．如图，正三角形PMN 的顶点分别是正六边形ABCDEF 三边的中点，则三角形PMN 与六边形
ABCDEF 的面积之比（ ）
A．1：2
B．1：3
C．2：3
D．3：8
【答案】D
【分析】
连接BE，设正六边形的边长为a，首先证明△PMN 是等边三角形，分别求出△PMN，正六边形ABCDEF 的
面积即可．
【详解】
解：连接BE，设正六边形的边长为a．则AF＝a，BE＝2a，AF∥BE，
∵AP＝PB，FN＝NE，
∴PN＝
（AF+BE）＝1.5a，
同理可得PM＝MN＝1.5a，
∴PN＝PM＝MN，
∴△PMN 是等边三角形，
∴
，
故选：D．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中
考常考题型．
15．边长为2 的正六边形的边心距为（ ）
A．1
B．2
C．
D．2
【答案】C
【分析】
正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用勾股定理即可求出．
【详解】
解：连接OA，作OM⊥AB，垂足为M，连接OB，
∵六边形ABCDEF 是正六边形
∴△AOB 是等边三角形
∴∠AOM=30°，AO=AB
∵正六边形ABCDEF 的边长为2，
∴AM=
AB=
×2=1，OA=2．
∴正六边形的边心距是OM=
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形的计算，正多边形的计算常用的方法是转化为直角三角形的计算．
16．如图，
是正六边形ABCDEF 的外接圆，P 为
上除C，D 外的任意一点，则
的值
为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】
连接OC、OD，利用正六边形的性质得到
，根据圆周角定理得到
，即可求解．
【详解】
连接OC、OD，如图所示：
∵
是正六边形ABCDEF 的外接圆，
∴
，
P 为
上除C，D 外的任意一点，
∴
，
∴
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形的有关概念和正多边形的性质是解题的关键．
17．如图，在面积为135cm2的正六边形ABCDEF 中有两个等边三角形组成的菱形AMDN．则剪掉这个菱
形后剩余部分的面积为（ ）
A．75cm2
B．70cm2
C．65cm2
D．60cm2
【答案】A
【分析】
连接AD，设AD＝2h，则正六边形ABCDEF 是有六个边长为h 的等边三角形组成，求得h2＝30
，设菱
形的边长AM＝a，得到h＝
a，求得a2＝
h2，根据三角形的面积公式得到菱形AMDN 的面积＝2
a2＝
×
h2＝
×
×30
＝60（cm2），进而可求得结论．
【详解】
解：连接AD，
设AD＝2h，则正六边形ABCDEF 是有六个边长为h 的等边三角形组成，
∴边长为h 的正△BOC 的面积为
h2，
∴S 正六边形＝6×
h2＝135，
∴h2＝30
，
设菱形的边长AM＝a，
则h＝
a，
∴a2＝
h2，
∴菱形AMDN 的面积＝2×
a2＝
×
h2＝
×
×30
＝60（cm2），
∴剪掉这个菱形后剩余部分的面积为135﹣60＝75（cm2）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质、菱形的性质、等边三角形的面积的求法，正确的理解题意，
灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．
18．下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
【答案】C
【分析】
根据中心对称图形、轴对称图形的定义、多边形外角和定理、正多边形的性质对各选项逐一判断即可得答
案．
【详解】
A.正七边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误，
B.任意多边形的外角和都等于360°，故该选项错误，
C.任何正多边形都有一个外接圆，故该选项正确，
D.∵正三角形的每个外角为120°，对应的每个内角为60°，
∴存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形，故该选项错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查正多边形的性质、中心对称图形、轴对称图形的定义及多边形外角和定理，熟练掌握相关性质及
定理是解题关键．
19．如图所示，
为
的内接三角形，
，则
的内接正方形的面积（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
先连接BO，并延长交⊙O 于点D，再连接AD，根据同圆中同弧所对的圆周角相等，可得∠ADB=30°，而
BD 是直径，那么易知△ADB 是直角三角形，再利用直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半，那么
可求BD，进而可知半径的长，任意圆内接正方形都是以两条混响垂直的直径作为对角线的四边形，故利
用勾股定理可求正方形的边长，从而可求正方形的面积．
【详解】
解：连接BO，并延长交⊙O 于点D，再连接AD，如图，
∵∠ACB=30°，
∴∠BDA=30°，
∵BD 是直径，
∴∠BAD=90°，
在Rt△ADB 中，BD=2AB=4，
∴⊙O 的半径是2，
∵⊙O 的内接正方形是以两条互相垂直的直径为对角线的，
∴正方形的边长=
，
∴S 正方形=
．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、含有30 角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
20．已知正六边形
内接于
，若
的直径为
，则该正六边形的周长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
如图，连接OA、OB，由正六边形
内接于
可得∠AOB=60°，即可证明△AOB 是等边三角形，
根据
直径可得OA 的长，进而可得正六边形的周长．
【详解】
如图，连接OA、OB，
∵
的直径为
，
∴OA=1，
∵正六边形
内接于
，
∴AOB=60°
∠
，
∵OA=OB，
∴△AOB 是等边三角形，
∴AB=OA=1，
∴该正六边形的周长是1×6=6，
故选：C．
【点睛】
本题考查正多边形和圆，正确得出∠AOB=60°是解题关键．
21．如图，圆内接正方形的边长为2，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设正方形的中心为O，连接OA，OB 首先求出其长度，再根据阴影部分面积等于四个直径为2 的半圆面积
之和加上一个边长为2 的正方形面积，然后减去一个半径为
的圆的面积求解即可．
【详解】
解：设正方形的中心为O，连接OA，OB，由题意可得OA=OB，∠AOB=90°，AB=2
∴在Rt△AOB 中，OA=OB=
∴
故选：A
【点睛】
本题考查正多边形和圆，勾股定理，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解
决问题．
22．如图，有一个半径为
的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边
形纸片的边心距是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
连接OA、OB，根据圆内接正六边形的性质得到△AOB 是等边三角形，作OC⊥AB 于C，求得∠AOC=
，由OA=4cm，得到AC=2cm，根据勾股定理求出OC=
cm．
【详解】
如图，连接OA、OB，则△AOB 是等边三角形，作OC⊥AB 于C，
∵△AOB 是等边三角形，
∴∠OAB=
，
∴∠AOC=
，
∵OA=4cm，
∴AC=2cm，
∴OC=
cm，
故选：C．
．
【点睛】
此题考查圆内接正六边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形30 度角所对的直角边等于斜
边的一半的性质，熟记圆内接正六边形的性质是解题的关键．
23．如图，正六边形
内接于
，连接
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
连接BO、CO，根据正六边形的性质可求∠BOC，再根据圆周角的性质可求
．
【详解】
解：连接BO、CO，
在正六边形ABCDEF 中，∠BOC=
=60°，
∴∠BAC=
∠BOC=30°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正六边形的性质和圆周角的性质，连接半径，求圆心角是解题关键．
24．正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为
，则这个正多边形为（ ）
A．正十二边形
B．正六边形
C．正四边形
D．正三角形
【答案】C
【分析】
设AB 是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC 中，利用三角函数求得∠AOC 的度数，从而求得中心
角的度数，然后利用360 度除以中心角的度数，即可求得边数．
【详解】
解：正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为
，
设AB 是正多边形的一边，OC⊥AB，
则OC=
，OA=OB=2，
在Rt△AOC 中，cos∠AOC=
=
，
∴∠AOC=45°，
∴∠AOB=90°，
则正多边形边数是：
=4．
故选：C．
【点睛】
本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边
长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算，掌握相关知识是解题的关键．
25．⊙O 内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．1∶
B．
∶
C．3∶2
D．1∶2
【答案】B
【分析】
根据题意画出图形，设出圆的半径，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：如图，连接OB，过O 作OD⊥BC 于D，
则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=
r，
∴BC=2BD=
r；
连接OE，过O 作OM⊥EH 于M，
则EM=HM，△OEM 是等腰直角三角形，
∴EM=
OE=
r，
∴EF=2EM=
r，
∴圆内接正三角形、正方形的边长之比为
r:
r=
:
．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是圆内接正三角形、正方形的性质，根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答
此题的关键．
26．如图，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，⊙O 的半径长为a，下列说法中不正确的是（ ）
A．正六边形ABCDEF 的中心角等于60°
B．正六边形ABCDEF 的周长等于6a
C．正六边形ABCDEF 的边心距等于
D．正六边形ABCDEF 的面积等于3
【答案】D
【分析】
正多边形每一边对应的圆心角等于中心角，判断出△OAB 为正三角形，即可求得周长为6a，边心距即为
正△OAB 的高，正六边形的面积为6 个正三角形的面积之和，计算出结果依次判断即可．
【详解】
∵⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，
∴正六边形ABCDEF 的中心角等于
，
故A 正确；
∵⊙O 的半径长为a，正六边形ABCDEF 的中心角等于60°，
∴△OAB 为正三角形，
∴正六边形的边长为a，
∴正六边形ABCDEF 的周长等于6a，
故B 正确；
∵正六边形ABCDEF 的边心距等于
，
故C 正确，
∵正六边形ABCDEF 的面积等于六个正三角形OAB 的面积，
∴
，
故D 错误；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查的是正多边形外接圆的性质，熟练掌握圆心角的计算，以及正三角形的性质是解答本题的关
键．
27．公元3 世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内
画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周
长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无
所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正
边形，使
用刘徽割圆术，得到π 的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
如详解图，先利用三角函数的知识把正
边形的边长用含有
的式子表达出来，求解出正
边形的周长，
再利用正
边形的周长无限接近圆的周长即可求解．
【详解】
如图：
，
，
则正
边形的周长为：
，
圆的周长为：
，
由圆的内接正n 边形的周长无限接近圆的周长可得：
整理得：
故选：A．
【点睛】
本题考查了极限的思想，抓住圆内接正
边形的周长无限接近圆的周长是解题关键．
28．图，已知正五边形
内接于
，连接
，
相交于点
，则
的度数（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先根据正五边形的性质得到BC=CD=DE，∠BCD=∠CDE=108°，然后利用三角形内角和定理得
∠CBD=∠CDB=∠CED=∠DCE=
=36°，最后利用三角形的外角的性质得到
∠BFC=∠BDC+∠DCE=72°．
【详解】
解：如图所示：
∵五边形ABCDE 为正五边形，
∴BC=CD=DE，∠BCD=∠CDE=108°，
∴∠CBD=∠CDB=∠CED=∠DCE=
=36°，
∴∠BFC=∠BDC+∠DCE=72°．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是多边形内角与外角，正五边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用数形结
合求解是解答此题的关键．
29．如图，在⊙O 中，点B 是弧AC 上的一点，∠AOC=140°，则∠ABC 的度数为（ ）
A．70°
B．110°
C．120°
D．140°
【答案】B
【分析】
在优弧AC 上取点D，连接AD、CD，由∠AOC=
求出∠ADC=
，根据四边形ABCD
是圆内接四边形，得到∠ADC+∠ABC=
，即可求出∠ABC 的度数．
【详解】
在优弧AC 上取点D，连接AD、CD，
∵AOC=
∠
，
∴∠ADC=
，
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴∠ADC+ ABC
∠
=
，
∴∠ABC=
，
故选：B．
【点睛】
此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角
互补．
30．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接正四边形，△AEF 为⊙O 的内接正三角形，若DF 恰好是同圆的一
个内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．15
【答案】C
【分析】
连接OA、OD、OF，如图，利用正多边形与圆，分别计算⊙O 的内接正四边形与内接正三角形的中心角得
到∠AOD=90°，∠AOF=120°，则∠DOF=30°，然后计算
，即可得到n 的值．
【详解】
解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF 分别为⊙O 的内接正四边形与内接正三角形的一边，
∴∠AOD=
=90°，∠AOF=
=120°，
∴∠DOF=∠AOD-∠AOF=30°，
∴n=
=12，
即DF 恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．
故选：C．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n 是大于2 的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是
这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆；熟练掌握正多边形的有关概念是解题的关键．
二、填空题
31．如图，直线
经过正五边形
的中心
，与
、
边分别交于点
、
，点
是点
关于直线
的对称点，连接
，
，则
的度数为______°．
【答案】72
【分析】
连接
,证明
，推出
四点共圆，即可求得答案．
【详解】
连接
,如图所示：
∵ABCDE 为正五边形，
∴
,
∵
关于PQ 对称，
∴
,
∴
,
∴
四点共圆，
∴
,
∴
,
故填：72．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，四点共圆，圆内接四边形的性质，解题关键是证明
，得
出
四点共圆．
32．如图是四个全等的正八边形和一个正方形拼成的图案，已知正方形的面积为4，则一个正八边形的面
积为____．
【答案】
【分析】
根据正方形的性质得到AB=2，根据由正八边形的特点求出∠AOB 的度数，过点B 作BD⊥OA 于点D，根据
勾股定理求出BD 的长，由三角形的面积公式求出△AOB 的面积，进而可得出结论．
【详解】
解：设正八边形的中心为O，
连接OA，OB，如图所示，
∵正方形的面积为4，
∴AB=2，
∵AB 是正八边形的一条边，
∴∠AOB=
=45°．
过点B 作BD⊥OA 于点D，设BD=x，则OD=x，OB=OA=
x，
∴AD=
x-x，
在Rt△ADB 中，BD2+AD2=AB2，
即x2+(
x-x)2=22，
解得x2=2+
，
∴S△AOB=
OA•BD=
×
x2=
+1，
∴S 正八边形=8S△AOB=8×(
+1)=8
+8，
故答案为：8
+8．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆，正方形的性质，三角形面积的计算，根据题意画出图形，利用数形结合求解
是解答此题的关键．
33．如图，点
为正八边形
的中心，则
的度数为______．
【答案】
．
【分析】
连接OA、OB，根据正多边形的性质求出
，再根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：作正八边形
的外接圆
，连接OA、OB，如图：
∴
，F、O、B 共线，
由圆周角定理得：
；
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，掌握正多边形的圆心角的求法、圆周角定理是解题的关键．
34．下图是某经营摄影器材公司的
（公司的徽标）它由六个全等的直角三角形拼成，根据所学知识求
出
是______．
【答案】60°
【分析】
直接运用正六边形的内角与外角的关系求解即可．
【详解】
解：根据题意可得，公司的徽标的两个六边形均为正六边形，
所以，正六边形的内角度数为：
∴
．
故答案为：60°．
【点睛】
此题主要考查了正六边形的内角与外角的关系，根据正多边形内角和定理求出正六边形的内角度数是解答
此题的关键．
35．如图，已知AB 为⊙O 直径，若CD 是⊙O 内接正n 边形的一边，AD 是⊙O 内接正（n+4）边形的一边，
BD＝AC，则n＝__．
【答案】4
【分析】
连接OD，OC．首先证明∠AOD=∠BOC，构建方程求解即可．
【详解】
解：如图，连接OD，OC．
∵BD＝AC，
∴
，
∴
，
∴∠AOD＝∠BOC，
∵∠AOD＝∠BOC＝
，∠DOC＝
，
∴2×
=180°，
解得n＝4 或﹣2（舍弃），
经检验n=4 符合题意，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题
36．如图，正方形
内接于
，
为
上的一点，连接
，
．
（1）求
的度数；
（2）当点
为
的中点时，
是
的内接正
边形的一边，求
的值．
【答案】（1）45°；（2）8
【分析】
(1)连接
，
，由正方形
内接于
，可求中心角
．
．
(2)连接
，
，由正方形
内接于
，可求
．由点
为
的中点，可求
,可得
，利用周角除以一个中心角即可求解
【详解】
解：（1）连接
，
，
∵正方形
内接于
，
∴
．
∴
；
（2）连接
，
，
∵正方形
内接于
，
∴
．
∵点
为
的中点，
∴
，
∴∠COP=∠BOP，
∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，
∴
，
∴
．
【点睛】
本题考查圆内接正方形的性质，圆周角定理，圆内接正n 边形的中心角，掌握圆内接正方形的性质，圆周
角定理，圆内接正n 边形的中心角，利用周角除以正n 边形的中心角求边数是解题关键．
37．如图，六边形ABCDEF 是
的内接正六边形．
（1）求证：在六边形ABCDEF 中，过顶点A 的三条对角线四等分
．
（2）设
的面积为
，六边形ABCDEF 的面积为
，求
的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接AE，AD，AC，根据等弧所对的圆周角相等即可证明；
（2）过点O 作OG⊥DE 于G，连接OE，设圆O 的半径为r，求出OG，用△OED 的面积乘以6 得到
，
再求出
，即可计算
的值．
【详解】
解：（1）连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF 是
的内接正六边形，
∴EF=ED=CD=BC，
∴∠FAE=∠EAD=∠DAC=∠CAB，
即过顶点A 的三条对角线四等分
；
（2）过点O 作OG⊥DE 于G，连接OE，
设圆O 的半径为r，
∴EF=BC=ED=r，AD=2r，
在正六边形ABCDEF 中，
∠OED=∠ODE=60°，
∴∠EOG=30°，
∴EG=
r，
∴OG=
=
r，
∴正六边形ABCDEF 的面积=
=
，
圆O 的面积=
，
∴
=
=
．
【点睛】
本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，解题的关键是学会添加常用辅助线．
38．如图正六边形
的边长为1，请分别在图1，图2 中使用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1 中，画出一条长度为0.5 的线段，
（2）在图2 中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）连接CF，BD 交于点G，则CG 即为所求；
（2）连接AC、DF、BF、CE，菱形FGCH 即为所求；或延长AB、DC 交于点G，延长AF、DE 交于点
H，菱形AGDH 即为所求．
【详解】
（1）如图1：连接CF，BD 交于点G，则CG 即为所求；
理由：∵正六边形ABCDEF 的边长1，
∴BC=CD=1，∠BCD=120°，
∴△CBD 是等腰三角形，
∴∠CBG=30°，
又∵CF 是正六边形的对称轴，
∴CG⊥BD，
在Rt△CBG 中，CG=
BC=0.5；
（2）画图如下：解法一：菱形FGCH 即为所求．
解法二：菱形AGDH 即为所求．
【点睛】
本题主要考查作图-复杂作图，熟练掌握正六边形的性质和菱形的判定是解题的关键．
39．已知：如图，A 为⊙O 上一点；求作：⊙O 的内接正方形ABCD．
【答案】见解析
【分析】
先作直径AC，再过O 点作AC 的垂线交⊙O 于D、B，然后连接AB、AD、CD、CB 即可．
【详解】
解：如图，四边形ABCD 为所作．
【点睛】
本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的
性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂
作图拆解成基本作图，逐步操作．
40．如图，正五边形
内接于
，
为
上的一点（点
不与点
重合），求
的余
角的度数．
【答案】54°
【分析】
连接OC，OD．求出∠COD 的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】
如图，连接
．
∵五边形
是正五边形，
∴
，
∴
，
∴90°-36°=54°，
∴
的余角的度数为54°．
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
41．如图M、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n 边形
ABCDEFG…的边AB、BC 上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1 中∠MON 的度数
（2）图2 中∠MON 的度数是 ，图3 中∠MON 的度数是
（3）试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系是____
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
．
【分析】
（1）如图（见解析），先根据圆内接正三角形的性质可得
，再根据圆内接正三角形的
性质可得
，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得
，最后
根据角的和差、等量代换即可得；
（2）如图（见解析），先根据圆内接正方形的性质可得
，再根据（1）同样的方法
可得
；先根据圆内接正五边形的性质可得中心角
，再根据
（1）同样的方法可得
；
（3）根据（1）、（2）归纳类推出一般规律即可得．
【详解】
（1）如图，连接OB、OC，则
，
是
内接正三角形，
中心角
，
∵点O 是
内接正三角形ABC 的内心，
∴
，
∴
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
故答案为：
；
（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD 是
内接正方形，
中心角
，
同（1）的方法可证：
；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE 是
内接正五边形，
中心角
，
同（1）的方法可证：
，
故答案为：
，
；
（3）由上可知，
的度数与正三角形边数的关系是
，
的度数与正方形边数的关系是
，
的度数与正五边形边数的关系是
，
归纳类推得：
的度数与正n 边形边数n 的关系是
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了正多边形的中心角、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握正多边形中心角的求法
是解题关键．
42．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，∠1＝112°，求∠CDE．
【答案】
．
【分析】
根据圆周角定理求出
，根据圆内接四边形的性质计算．
【详解】
解：由圆周角定理得，
，
四边形
是圆内接四边形，
．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解
题的关键．
43．如图，正方形
内接于
，
为
任意一点，连接
、
．
（1）求
的度数．
（2）如图2，过点
作
交
于点
，连接
，
，
，求
的长度．
【答案】（1）45°；（2）
【分析】
（1）如图1 中，连接OA、OD．根据∠AED＝
∠AOD，只要证明∠AOD＝90°即可解决问题；
（2）如图2 中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE 于H．首先证明CE＝AF＝1，求出AC、AD，设DH＝
EH＝x，在Rt△ADH 中，利用勾股定理即可解决问题.
【详解】
（1）如图1 中，连接
、
．
四边形
是正方形，
，
．
（2）如图2 中，连接
，
，
，
，作
于
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，设
，
在
中，
，
，
解得
或
（舍弃），
【点睛】
本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解
题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
44．已知，如图，四边形ABCD 的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．
（1）求∠A、∠B 的度数；
（2）若D 为
的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD 的面积．
【答案】（1）60°、90°；（2）
【分析】
(1)根据圆内接四边形的性质求出∠A、∠B 的度数；
(2)连接AC，根据勾股定理求出AC，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到AD＝CD，根据勾股定理、
三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：（1）设∠A、∠B、∠C 分别为2x、3x、4x，
∵四边形ABCD 为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，
解得，x＝30°，
∴∠A、∠B 分别为60°、90°；
（2）连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC 为圆的直径，AC＝
＝5，△ABC 的面积＝
×3×4＝6，∠D＝90°，
∵点D 为
的中点，
∴AD＝CD＝
AC＝
，
∴△ADC 的面积＝
，
∴四边形ABCD 的面积＝6+
＝
．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，从而进行
解题．
45．如图，
是
的外接圆，
．点D 在
上，连结AD，BD，延长CD 至点E．
求证：AD 平分
．
【答案】证明见解析．
【分析】
根据等腰三角形的性质可得
，根据圆内接四边形的性质和平角的定义可得
，根据圆周角定理可得
，进而可得结论．
【详解】
∵
，
∴
，
∵
是
的外接圆，点D 在
上，
∴
，
∵
，
∴
，
∵∠ACB 和∠ADB 是
所对圆周角，
∴
，
∴
，
∴AD 平分
．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理及圆内接四边形的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆
周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；圆的内接四边形的对角互补；熟练掌握相关性质和定理是
解题关键．
46．如图，A，B 是⊙O 上两点，∠AOB=120°，C 为弧AB 上一点．
（1）求∠ACB 的度数；
（2）若C 是弧AB 的中点，求证：四边形OACB 是菱形．
【答案】（1）120°；（2）证明见解析．
【分析】
（1）优弧AB 上取点D，根据圆周角定理求出∠D 的度数，再根据圆的内接四边形的性质求出∠ACB 的度
数；
（2）连接OC，根据圆周角定理证明△OAC 和△OBC 都是等边三角形，就可以证明四边形OACB 是菱形．
【详解】
解：（1）如图，优弧AB 上取点D，则∠D=
∠AOB =60°，
∵四边形ACBD 内接于圆，
∴∠C=180°-∠D=180°-60°=120°；
（2）如图，连接OC，
∵C 是弧AB 的中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OA=OC=OB，
∴△OAC 和△OBC 都是等边三角形，
∴AC=OA=OB=BC，
∴四边形OACB 是菱形．
【点睛】
本题考查圆周角定理和菱形的判定，解题的关键是掌握圆周角定理，圆的内接四边形的性质和菱形的判定
定理．
47．已知已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
（1）在图①中，以AB 为边作等边三角形；
（2）在图②中，作一个含30°的直角三角形．
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）连接AD，BE 交于点O，即可得到所求三角形；
（2）连接AC，CF，即可得到所求三角形；
【详解】
（1）如图①所示：∆AOB 即为所求三角形；
（2）如图②所示：∆ACF 即为所求三角形．
【点睛】
本题主要考查正六边形的性质，熟练掌握正六边形的每条边都相等，每个内角都等于120°，是解题的关键．
48．如图，已知圆内接四边形
的边长分别为
，
，
，求四边形
的面积．
【答案】8
【分析】
连接BD，延长BC 到E,使CE=AB=2，连接DE，然后证明△ABD≌△CED，得出四边形ABCD 的面积与三
角形BDE 的面积相等，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：连接BD，延长BC 到E,使CE=AB=2，连接DE，过点D 作DF⊥BC，垂足为F，
∵圆内接四边形
，
∴∠A+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠A=∠DCE，
∵AB=CE,AD=DC，
∴△ABD≌△CED，
∴BD=DE，
∴四边形ABCD 的面积与三角形BDE 的面积相等，
∵DF⊥BC，
∴BF=EF=
(BC+CE)=
BE=
×8=4，
∴FC=EF-CE=4-2=2，
在Rt△DEC 中，
DF=
，
∴
=
×8×2
=8
．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定与性质，圆的内接四边形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是正确作出
辅助线构造全等三角形．
49．如图，已知
是
的直径，弦
于点
是
上的一点，
的延长线相交于点
．
（1）若
的半径为
，且
，求弦
的长．
（2）求证：
．
【答案】（1）6；（2）证明见解析
【分析】
（1）连接OD，OC，先证明△DOE 是等腰直角三角形，再由垂径定理和勾股定理可得DE=CE=3，从而得
CD 的长；
（2）先由垂径定理可得：
，则∠ACD=∠AFC，根据圆内接四边形的性质得：∠DFG=∠ACD，
从而得结论．
【详解】
解：（1）如图1，连接OD，OC，
∵直径AB⊥CD，
∴
，DE=CE，
∴∠DOE＝
∠DOC＝∠DFC＝45°，
在Rt△DEO 中，OD＝3
，
∴DE=3，
∴CD=6；
（2）证明：如图2，连接AC，
∵直径AB⊥CD，
∴
，
∴∠ACD=∠AFC，
∵四边形ACDF 内接于⊙O，
∴∠DFG=∠ACD，
∴∠AFC=∠DFG．
【点睛】
本题考查垂径定理，圆周角等知识，中等题，根据题意作出辅助线，构造出圆内接四边形是解答此题的关
键．
50．如图，已知A、B、C、D 四点都在⊙O 上．
（1）若∠ABC=120°，求∠AOC 的度数；
（2）在（1）的条件下，若点B 是弧AC 的中点，求证：四边形OABC 为菱形．
【答案】（1）∠AOC=120°；（2）见解析
【分析】
（1）先由圆内接四边形的性质得∠ADC=60°，再由圆周角定理即可得出答案；
（2）证△OAB 和△OBC 都是等边三角形，则AB=OA=OC=BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．
【详解】
（1）∵A、B、C、D 四点都在⊙O 上
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠ADC=60°，
∴∠AOC=2∠ADC=120°；
（2）连接OB，如图所示：
∵点B 是弧AC 的中点，∠AOC=l20°，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAB 和△OBC 都是等边三角形，
∴AB=OA=OC=BC，
∴四边形OABC 是菱形．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对
的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．
51．如图，四边形
内接于
，
，
，垂足为
．
（1）若
，求
的度数；
（2）求证：
．
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】
（1）解：
，
，
，
四边形
是
的内接四边形，
，
（2）证明：
，
，
，
，
，
，
，
；
【点睛】
本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
52．如图，
的内接四边形
两组对边的延长线分别交于点
，
．
（1）当
时，求证
；
（2）当
时，求
的度数；
（3）若
且
，请你用含有
、
的代数式表示
的度数．
【答案】（1）证明见详解；（2）48°；（3）90°-
．
【分析】
（1）根据外角的性质即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质和等量代换即可求得结果；
（3）连结MN，如图，根据圆内接四边形的性质得∠MCD=∠A，再根据三角形外角性质得
∠MCD=∠1+∠2，则∠A=∠1+∠2，然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠M+∠N=180°，即
2∠A+α+β=180°，再解方程即可．
【详解】
解：（1）∠E=∠F，
∵∠DCM=∠BCN，
∠ADC=∠M+∠DCM，∠ABC=∠N+∠BCN，
∴∠ADC=∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC=∠ABC，
∵∠MDC=∠ABC，
∴∠MDC=∠ADC，
∴∠ADC=90°，
∴∠A=90°-42°=48°；
（3）连结MN，如图，
∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，
∴∠MCD=∠A，
∵∠MCD=∠1+∠2，
∴∠A=∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AMB+∠AND=180°，
∴2∠A+α+β=180°，
∴∠A=90°-
．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重
要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
53．如图，已知A､B､C､D､E 是
上五点，
的直径
，A 为
的中点，延长
到点P，
使
，连接
．
（1）求证：直线
是
的切线．
（2）若
，求线段
的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而A 为
的中点，则∠ABE=45°，再根据等腰
三角形的判定方法，利用BA=AP 得到△BEP 为等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定
理得到结论．
（2）连接DE，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆周角定理得到∠BDE=90°，然后
根据含30 度的直角三角形三边的关系计算BD 的长；
【详解】
解：（1）证明：连接
，如图，
∵
为直径，
∴
，
∵A 为
的中点，
∴
，
∵
，而
，
∴
为等腰直角三角形，
∴
，∴
，
∴直线
是
的切线．
（2）解：连接
，如图，
∵
，
∴
∵
为直径，
∴
在
中，
，
；
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定
理图，得出垂直关系.
54．已知：如图，
是
的直径，弦
于点
，
是
上一点，
与
的延长线交于
点
．
（1）求证：
．
（2）当
，
时，求
的半径．
【答案】（1）见解析；（2）
的半径为5
【分析】
（1）连接AD，根据垂径定理得到
，根据圆周角定理得到∠ADC=∠AGD，根据圆内接四边形
的性质证明即可；
（2）连接OC．设⊙O 的半径为R．在Rt△OEC 中，根据OC2=OE2+EC2，构建方程即可解决问题．
【详解】
（1）连接AD，
∵弦CD⊥AB，
∴
，
∴∠ADC=∠2，
∵四边形ADCG 是圆内接四边形，
∴∠ADC=∠1，
∴∠1=∠2；
（2）连接OC．设⊙O 的半径为R．
∵CD⊥AB，
∴DE=EC=3，
在Rt△OEC 中，∵OC2=OE2+EC2，
∴R2=(R-1)2+32，
解得R=5．
∴
的半径为5．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理的应用，掌握圆周角定理、垂径定理
是解题的关键，学会添加常用辅助线．
55．如图，
的直径
为10，弦
为6，
是
的中点，弦
和
交于点
，且
．
（1）求证：
；
（2）求
的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）运用圆周角定理证明
即可得到结论；
（2）连接
，
，
，在
延长线上截取
，连
，可得A、E、B、C 四点为共圆，
可证明
，△CEG 为等腰直角三角形，运用勾股定理即可求得结论．
【详解】
（1）证明：∵
∴
又∵
，
∴
∴
（2）连接
，
，
，
∵
为
的直径
∴
，
在
中，
∵
是弧
的中点
∴
∴
又∵
∴
，即
∴
∴
，
∴
在
延长线上截取
，连
在圆内接四边形
中，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴在等腰
中，
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质．解答此题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
56．如图，在
中的内接四边形
中，
，
为弧
上一点．
（1）若
，求
和
的度数；
（2）若
，求证：
为等边三角形．
【答案】（1）
=70°，
=125°；（2）见解析．
【分析】
（1）根据圆内接四边形的对角互补可得出
，再由
，得出
；
（2）根据圆内接四边形的对角互补的性质，可得出
，
，再由已知条件
，得出
，从而得出结论；
【详解】
（1）∵四边形ABCD 内接于
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵四边形ABDE 内接于
，
∴
，
∴
；
（2）∵四边形ABCD 内接于
，
∴
，
∵四边形ABDE 内接于
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
为等边三角形．
【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形的性质，结合等腰三角形和等边三角形的性质证明是解题的关键．
57．如图，四边形ABCD 内接于圆，AD，BC 的延长线交于点E，F 是BD 延长线上任意一点，AB=AC．
（1）求证：DE 平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD=∠AEB．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据圆内接四边形的性质得到∠CDE=∠ABC，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据三角形外角的性质和图形得到∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC，得到∠E=∠ABD，根据圆周角定理证
明．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 内接于圆，
∴∠CDE=∠ABC，
由圆周角定理得，∠ACB=∠ADB，又∠ADB=∠FDE，
∴∠ACB=∠FDE，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠FDE=∠CDE，即DE 平分∠CDF；
（2）∵∠ACB=∠ABC，
∴∠CAE+∠E=∠ABD+∠DBC，
又∠CAE=∠DBC，
∴∠E=∠ABD，
∴∠ACD=∠AEB．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握圆内接四边形的任意一
个外角等于它的内对角是解题的关键．
58．如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形， BC 与 AD 的延长线相交于点 E ， 且 DC DE ．
（1）求证： A AEB；
（2）连接 OE，交 CD 于点 F， DC OE ，求证：
△ABE 是等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）先根据圆内接四边形的性质得∠A= DCE
∠
，再由等腰三角形的性质得∠DCE= DEC
∠
，然后等量变换
即可证明；
（2）首先证明△DCE 是等边三角形，即∠AEB=60°，再结合∠A=∠AEB，可得△ABE 是等腰三角形，进
而等得△ABE 是等边三角形．
【详解】
证明：（1） 四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形，
∴A+ DCB=180°
∠
∠
DCE = DCB+180°
∵∠
∠
A= DCE
∴∠
∠
，
DC=DE
∵
，
DCE= DEC
∴∠
∠
，
A= AEB
∴∠
∠
；
（2）∵DC OE
⊥
，
DF=CF
∴
，
OE
∴
是CD 的垂直平分线，
ED=EC
∴
，
又∵DE=DC ，
DEC
∴△
为等边三角形，
AEB=60°
∴∠
，
又∵∠A= AEB
∠
，
ABE
∴△
是等边三角形．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定和性质以及圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解答本
题的关键．
59．如图①，
的内切圆
与
、
、
分别相切于点D、E、F，
、
、
的延
长线分别交
于点G、H、I，过点G、H、I 分别作
、
、
的平行线，从
上截得六边
形
．通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和
它们的对角的夹边称为六边形的对边．
（1）求证：六边形
的对角相等；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，如图②，连接
、
、
、
，他发现
、
，于是猜想六边形
的对边也相等．请你证明他的发现与猜
想．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由
，
，可得
，再证明出
，得到结论；
（2）证明
可得
，
，
再证明出
，
，最后得出结论．
【详解】
证明：（1）∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
∴
同理
．
即六边形
的对角相等．
（2）∵
与
切于点D，
∴
∴
．
∵
，
∴
与
切于点E，
∴
．
∴
．
∴
．
又
，
∴
．
∴
．
同理
．
∵
，
∴
．
∵
．
∴
．
同理
．
∴
．
∴
．
即
．
同理
．
即六边形
的对边相等．
【点睛】
本题考查了圆的外切六边形的性质，涉及全等三角形、切线长定理应用等知识，理解和掌握六边形对角和
对边是解本题的关键．
60．（阅读理解）如图1，
为等边
的中心角，将
绕点O 逆时针旋转一个角度
，
的两边与三角形的边
分别交于点
．设等边
的面积为
S，通过证明可得
，则
．
（类比探究）如图2，
为正方形
的中心角，将
绕点O 逆时针旋转一个角度
，
的两边与正方形的边
分别交于点
．若正方形
的面积为
S，请用含S 的式子表示四边形
的面积（写出具体探究过程）．
（拓展应用）如图3，
为正六边形
的中心角，将
绕点O 逆时针旋转一个角度
，
的两边与正六边形的边
分别交于点
．若四边形
面积为
，请直接写出正六边形
的面积．
【答案】【类比探究】四边形
的面积=
．【拓展应用】6
【分析】
类比探究：通过证明可得
，则
．
拓展应用：通过证明可得
，则
．
【详解】
解：类比探究：如图2，∵
为正方形
的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，
∵
绕点O 逆时针旋转一个角度
，
的两边与正方形的边
分别交于
点
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴
．
拓展应用：如图3，∵
为正六边形
EF 的中心角，
∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°，
∵
绕点O 逆时针旋转一个角度
，
的两边与正方形的边
分别交于
点
∴∠BOM=∠CON，
∴△BOM≌△CON，
∴
．
∵四边形
面积为
，
∴正六边形
的面积为6
．
【点睛】
本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性
质，正多边形的性质是解题的关键．
