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24.4 弧长和扇形面积
【基础训练】
一、单选题
1．一个扇形的半径为3cm，面积为
，则此扇形的圆心角为（ ）度
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
设扇形的圆心角为x°，根据扇形的面积公式解方程即可,
【详解】
设扇形的圆心角为x°，根据题意可得：
，
解得
，即扇形的圆心角为40°.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查扇形的面积公式，熟练地掌握闪现的面积公式是解题的关键.
2．如图，在边长为2 的等边
中，
是
边上的中点，以点
为圆心，
为半径作圆与
，
分别交于
，
两点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由等边
中，
是
边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求
解．
【详解】
是等边三角形，
是
边上的中点
，
扇形
故选C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，熟练等边三角形性质和扇形面积公式,求出等边
三角形的高是解题的关键．
3．已知扇形的半径为6，圆心角为
．则它的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式
直接计算即可．
【详解】
解：
．
故选：D
【点睛】
本题考查扇形面积公式的知识点，熟知扇形面积公式及适用条件是解题的关键．
4．如图，粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的地面周长为
，母线长
，为了防雨，需要在它的顶部
铺上油毡，所需油毡的面积至少是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
利用扇形的面积公式
即可求解．
【详解】
圆锥的底面周长为
，母线长为
，
圆锥的侧面积：
，
故选：
．
【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，理解圆锥的侧面积等于扇形的面积是解题的关键．
5．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆．若⊙O 的半径为5，则半径OA，OB 与
围成的扇形的面
积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先求出圆心角∠AOB 的度数，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】
∵⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆．
∴∠AOB=
∴OB 与
围成的扇形的面积是
故选B．
【点睛】
此题主要考查扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆内正多边形的性质及扇形面积公式的运用．
6．在半径为3 的圆中，
的圆心角所对的弧长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
利用弧长公式计算即可．
【详解】
解：弧长=
，
故选：B．
【点睛】
本题考查弧长公式，解题的关键记住弧长l=
，属于中考常考题型．
7．若扇形的圆心角为
，弧长为
，则该扇形的半径为（ ）
A．
B．6
C．12
D．
【答案】B
【分析】
根据弧长公式
可以求得该扇形的半径的长度．
【详解】
解：根据弧长的公式
，知
=6，
即该扇形的半径为6．
故选：B．
【点睛】
本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径r 的方程，通过解方程即可求得r 的
值．
8．如图，圆上有
四点，其中
，若
得长度分别为
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
由
的长度分别为
，得到圆的周长为
，由
，得到
∠BAD=80°，即可求解．
【详解】
∵
得长度分别为
，
圆的周长为
，
∵
，
∴∠BAD=80°，
故
的长=
=20π．
故选:C．
【点睛】
本题考查了弧长的计算，关键是利用圆的内接四边形对角互补和圆周角与弧的关系求解．
9．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面几何图形面积的计算方法，
比如扇形的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，
弧长30 步，其所在圆的直径是16 步，则这块田面积为（ ）平方步．
A．120
B．240
C．
π
D．
π
【答案】A
【分析】
求出半径，利用扇形面积公式
（其中是扇形的弧长）计算即可．
【详解】
∵扇形的弧长为30 步，其所在圆的直径是16 步
∴半径为16÷2=8（步）
∴这块田的面积S＝
=120（平方步）
故选：A
【点睛】
本题是扇形面积公式的应用，考查了推理能力，是基础题．
10．将一个圆分割成三个扇形，它们的面积之比为
，则最小扇形的圆心角的度数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的和为360°，再由三个圆心角的度数比为3：4：5，可求出最小
的圆心角度数．
【详解】
解：由题意可得，三个圆心角的和为360°，
又因为它们的面积之比为 3:4:5 ，
所以三个圆心角的度数比为3：4：5，
所以最小扇形的圆心角度数为：360°
90°．
故答案为：B．
【点睛】
本题主要考查了圆心角，解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为360°．
11．若扇形的半径为3，圆心角为
，则此扇形的弧长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
直接根据弧长公式：
进行计算即可．
【详解】
解：∵圆心角为60°，且半径为3，
∴弧长=
=π．
故选：A．
【点睛】
本题考查了弧长公式：
，其中n 为弧所对的圆心角的度数，R 为圆的半径．
12．用一个圆心角为60°半径为6 的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】
易得扇形的弧长，除以2π 即为圆锥的底面半径．
【详解】
解：扇形的弧长
π，
∴圆锥的底面半径为2π÷2π＝1．
故选：A
【点睛】
考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
13．已知圆锥的母线长为10，侧面展开图面积为60π，则该圆锥的底面圆的半径长等于（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】B
【分析】
所用等量关系为：圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【详解】
解：设底面半径为r，则底面周长＝2πr，圆锥的侧面展开图的面积
2πr×10＝60π，
∴r＝6．
故答案选：B．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解题时利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，难度不大．
14．已知圆的半径为
扇形的圆心角为
，则扇形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
扇形面积公式为：
利用公式直接计算即可得到答案．
【详解】
解：
圆的半径为
扇形的圆心角为
，
故选：
【点睛】
本题考查的是扇形的面积的计算，掌握扇形的面积的计算公式是解题的关键．
15．已知扇形的圆心角为
，半径为
，则弧长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据扇形的弧长公式计算即可．
【详解】
∵扇形的圆心角为 30° ，半径为 2cm ，
∴弧长
cm
故答案为：D．
【点睛】
本题主要考查扇形的弧长，熟记扇形的弧长公式是解题的关键．
16．已知圆心角是
，半径为30 的扇形的弧长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
直接利用弧长公式计算即可得到答案．
【详解】
扇形圆心角为
，半径为30
该扇形的弧长
故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题关键．
17．在半径为
的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
弧长公式为
，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
【详解】
解：弧长为：
cm ．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
18．太极是中国文化史上的一个重要概念．如图是太极图，是以大圆直径
分别向左右作两个半圆而成，
若
，记
，
，
的长分别为
，
，
，则
（ ）
．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
利用圆的周长公式，求出
，
，
，即可解决问题．
【详解】
由题意，OA=OB=10cm，
，
故答案为C．
【点睛】
本题考查圆的周长公式，解题的关键是理解题意，并且熟练应用圆的周长公式，属于常见题型．
19．如图1 所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水（桶的厚度忽略不计），圆柱形水桶的底面直径与
母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2 所示，设图1、图2 中水所形成的几何体的表面积分别为S1、
S2，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1≤S2
B．S1＜S2
C．S1＞S2
D．S1≥S2
【答案】B
【分析】
分别求出图1 和图2 的表面积，比较即可．
【详解】
设圆柱的底面半径为r，图1 水的表面积为：S1＝2πr2+2πr•r＝4πr2．
对于图2，
上面的矩形的长是2r，宽是2r．则面积是4r2．
曲面展开后的矩形长是πr，宽是2r．则面积是2πr2．
上下底面的面积的和是：π×r2．
图2 水的表面积S2＝（4+3π）r2．
显然S1＜S2．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了圆柱的有关计算，解决此题的关键是掌握化曲为平的思想．
20．如图
ABC 内接于⊙O，∠A＝60°，OD⊥BC 于点D，若OD＝3，则BC 的弧长为（ ）
A．4π
B．
C．2π
D．π
【答案】A
【分析】
连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC 的度数，可求出∠COD＝60°，求出OC＝6，由弧长公式可得
出答案．
【详解】
解：连接OB，OC，
∵∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°．
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴∠COD＝
∠BOC＝60°，
∴∠OCD＝30°，
∵OD＝3，
∴OC＝2DO＝6，
∴
的长为
＝4π．
故选：A．
【点睛】
本题考查弧长计算，熟练掌握圆中的基本定理与性质，熟记弧长公式是解题关键．
21．如图，在矩形
中，
，以点A 为圆心裁出扇形
（点E 在边
上），将
扇形
围成一个圆锥（
和
重合），则此圆锥底面圆半径是（ ）
A．3
B．
C．
D．12
【答案】A
【分析】
根据弧长公式求出
的长，根据圆的周长公式计算即可．
【详解】
解：设圆锥底面圆半径为
，
的长
，
则
，
解得，
，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关
键．
22．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（ ）
A．214°
B．215°
C．216°
D．217°
【答案】C
【分析】
由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数．
【详解】
解：由圆锥的高为4，底面直径为6，
可得母线长
，
圆锥的底面周长为：
，
设圆心角的度数为n，
则
，
解得：
，
故圆心角度数为：
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．
23．如图，已知扇形OAB 的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将OA，OB 重合后围成一圆锥侧面，那
么圆锥的底面半径为（ ）
A．2cm
B．3cm
C．6cm
D．2
cm
【答案】A
【分析】
这个圆锥的底面圆的半径是
，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长
和弧长公式得到
，然后解关于r 的方程即可．
【详解】
解：设这个圆锥的底面圆的半径为
，
根据题意得
，
解得
，
即这个圆锥的底面圆的半径是2cm，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的
半径等于圆锥的母线长．
24．如图，正六边形
的边长为6，以顶点A 为圆心，
的长为半径画圆，则图中阴影部分的
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据正多边形内角和公式求出∠FAB，利用扇形面积公式求出扇形ABF 的面积计算即可．
【详解】
解：∵六边形ABCDEF 是正六边形，
∴∠FAB=
，AB=6，
∴扇形ABF 的面积=
，
故选择D．
【点睛】
本题考查的是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．
25．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5，则侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
把圆锥的底面半径为3，母线长为5，代入圆锥的侧面积公式S=πrl 计算即可．
【详解】
解：由题意得，S=π×3×5=15π．
故选C．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积计算公式，熟练掌握圆锥的侧面积公式S=πrl 是解答本题的关键．
26．如图，
内接于⊙O，
．若
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
连接
，
，可证得
是等腰直角三角形，求出
，利用弧长公式即可求得结果．
【详解】
解：连接
，
．
，
，
，
，
的长为
，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，熟悉相关知识点是解题的关键．
27．用一张半径为
的半圆形纸片做一个圆锥的侧面，则应该配一个面积为多少的圆做它的底面（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
由题意，该圆锥底面圆的周长即为半圆形纸片的弧长，由此可先求出半圆形的弧长，从而得到底面圆的半
径，即可求出面积．
【详解】
半径为
的半圆形纸片的弧长为：
，
即：底面圆的周长应为
，
∴底面圆的半径为：
，
∴底面圆的面积为：
，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆锥的侧面与底面面积计算，熟记基本结论以及计算公式是解题关键．
28．如图，公园内有一个半径为18 米的圆形草坪，从
地走到
地有观赏路（劣弧
）和便民路（线
段
）.已知
、
是圆上的点，
为圆心，
，小强从
走到
，走便民路比走观赏路少
走（ ）米.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
作OC⊥AB 于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出
∠A，从而得到OC 和AC，可得AB，然后利用弧长公式计算出
的长，最后求它们的差即可．
【详解】
解：作OC⊥AB 于C，如图，
则AC=BC，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=
（180°-∠AOB）=30°，
在Rt△AOC 中，OC=
OA=9，
AC=
，
∴AB=2AC=
，
又∵
=
，
∴走便民路比走观赏路少走
米，
故选D．
【点睛】
本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等
问题．
29．如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别与BC，AC 交于点D，E，过点D 作DF⊥AC，
垂足为点F，若⊙O 的半径为
，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
连接AD，连接OE，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到
∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，求得∠AOE=120°，过O 作OH⊥AE 于H，解直角三角形得到OH=2
，
AH=6，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：连接AD，连接OE，
∵AB 是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠DAC=∠CDF=15°，
∵AB=AC，D 是BC 中点，
∴∠BAC=2∠DAC=2×15°=30°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=120°，
过O 作OH⊥AE 于H，
∵AO=4
，
∴OH=
AO=2
，
∴AH=
OH=6，
∴AE=2AH=12，
∴S 阴影=S 扇形AOE-S△AOE=
．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，数形结合是解答此
题的关键．
30．一个商标图案如图中阴影部分，在长方形
中，
，
，以点
为圆心，
为半径作圆与
的延长线相交于点
，则商标图案的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据题意作辅助线DE、EF 使BCEF 为一矩形，从图中可以看出阴影部分的面积=三角形的面积-（正方形
的面积-扇形的面积），依据面积公式进行计算即可得出答案．
【详解】
解：作辅助线DE、EF 使BCEF 为一矩形．
则S△CEF=（8+4）×4÷2=24cm2，
S 正方形ADEF=4×4=16cm2，
S 扇形ADF=
=4πcm2，
∴阴影部分的面积=24-（16-4π）=
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查扇形的面积计算，解题的关键是作出辅助线并从图中看出阴影部分的面积是由哪几部分组成
的．
二、填空题
31．圆锥的底面半径为
，母线长为
，则该圆锥的侧面积是________
．
【答案】
【分析】
圆锥的侧面积
底面周长
母线长
．
【详解】
解：底面圆的半径为3，则底面周长
，侧面面积
．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
32．现有一个圆心角为
，半径为6cm 的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的
半径为______cm．
【答案】2
【分析】
根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长
公式即可求解．
【详解】
解：圆锥的底面周长是：
．
设圆锥底面圆的半径是r，则2πr=
．
解得：r=2．
故答案是：2．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆
锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
33．某扇形圆心角为
，若此扇形面积为
，则此扇形的半径是________
．
【答案】
【分析】
设该扇形的半径是
，再根据扇形面积公式即可得出结论．
【详解】
解：设该扇形的半径是
，
则由
，
解得
．
故答案为：
．
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
34．如图，在
中，E 为BC 的中点，以E 为圆心，BE 长为半径画弧交对角线AC 于点F，若
，
，
，则扇形BEF 的面积为________．
【答案】
【分析】
根据三角形内角和、三角形的外角以及等腰三角形性质求出
，然后根据扇形面积公式计算．
【详解】
解：∵
，
，
∴
，
∵E 为BC 的中点，EB、EF 为半径，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴扇形BEF 的面积
．
【点睛】
本题主要考查的是扇形面积计算，三角形内角和定理，等腰三角形性质，掌握扇形面积计算公式是解题的
关键．
35．某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为
，底面半径为6 的圆锥模型（如图所示），则此
圆锥的母线长为____________．
【答案】10
【分析】
根据圆锥的侧面积公式：
侧
＝
．即可求得
【详解】
侧
＝
故答案为10
【点睛】
根本考查了圆锥的侧面积公式：
侧
＝
，理解和牢记公式是解题的关键．
三、解答题
36．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，
的三个
顶点坐标分别为
．
（1）画出
关于x 轴对称的
，并写出点
的坐标；
（2）画出
绕点O 顺时针旋转
后得到的
，并写出点
的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点A 旋转到点
所经过的路径长（结果保留
）．
【答案】（1）见解析，
；（2）见解析，
；（3）
【分析】
（1）分别作出点A、B 关于x 轴的对称点，然后依次连接即可，最后通过图象可得点
的坐标；
（2）根据旋转的性质分别作出点A、B 绕点O 旋转90°的点，然后依次连接，最后根据图象可得点
的坐
标；
（3）由（2）可先根据勾股定理求出OA 的长，然后根据弧长计算公式进行求解．
【详解】
解：（1）如图所示：
即为所求，
∴由图象可得
；
（2）如图所示：
即为所求，
∴由图象可得
；
（3）由（2）的图象可得：点A 旋转到点
所经过的路径为圆弧，
∵
，
∴点A 旋转到点
所经过的路径长为
．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计
算公式是解题的关键．
37．如图，
是
的直径，弦
垂直平分
，交
于点E，
．
（1）求
的长．
（2）求劣弧
的弧长．
【答案】（1）8；（2）
【分析】
（1）根据垂直平分线的定义和垂径定理可证明△OEC≌△BED，得到OC=BD，在△OCE 中利用勾股定理求
出半径r，可得BD；
（2）利用三角函数的定义求出∠BOC，得到∠AOC，再利用弧长公式计算．
【详解】
解：（1）设圆O 的半径为r，
∵CD 垂直平分OB，
∴CE=DE=
，OE=BE=
r，∠OEC=∠BED=90°，
∴△OEC≌△BED（SAS），
∴BD=OC=r，
在△OCE 中，
，
即
，
解得：r=8 或-8（舍），
∴BD=OC=8；
（2）∵cos∠COE=
，
∴∠COB=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧
=
=
．
【点睛】
本题考查了垂直平分线的定义，垂径定理，弧长公式，解题的关键是证明BD=OC．
38．如图，
是
的弦，
，点P 是
上一点，且
，求图中阴影部分的面积．
【答案】
【分析】
证明△OAB 是等边三角形，再根据S 阴=S 扇形OAB-S△OAB计算即可．
【详解】
解：∵∠AOB=2∠APB，∠APB=30°，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB 是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4，
∴S 阴=S 扇形OAB-S△OAB=
=
．
【点睛】
本题考查扇形的面积，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．
39．如图，网格小正方形边长为1，
是格点三角形．己知
绕点O 旋转后，点A 的对应点为
点
（点
在格点上）．
（1）在图中画出旋转后的
；
（2）求点B 在旋转过程中经过的路径长．
【答案】（1）见解析；（2）π
【分析】
（1）根据旋转的性质在图中画出旋转后的△
即可；
（2）根据弧长公式即可求点
在旋转过程中经过的路径长．
【详解】
解：（1）如图即为旋转后的△
．
（2）点
在旋转过程中经过的路径长为：
．
【点睛】
本题考查了作图
旋转变换、轨迹，解决本题的关键是掌握弧长公式．
40．如图，已知等边
的边长为6，以
为直径的
与边
，
分别交于D，E 两点，连结
，
．
（1）求
的度数．
（2）求劣弧
的长．
【答案】（1）
；（2）劣弧
的长为
【分析】
（1）由题意易得
，
，然后问题可求解；
（2）根据弧长计算公式可直接进行求解．
【详解】
解：（1）∵
是等边三角形，
∴
，
∵
，
∴
，
∴△AOD、△OBE 都为等边三角形，
∴
，
∴
；
（2）由（1）及弧长计算公式可得：
．
【点睛】
本题主要考查弧长计算公式，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．
41．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点D，连结OC、AC.
已知⊙O 的半径为4，∠D=50°．
（1）求∠A 的度数；
（2）直接写出弧BC 的长．（结果保留
）
【答案】（1）
；（2）
．
【分析】
（1）根据切线的性质以及已知条件求出
，从而根据圆的性质求解即可；
（2）结合（1）中的结论，直接运用弧长公式求解即可．
【详解】
（1）∵点C 在
上，且CD 为
的切线，
∴
，
∴
，
又
，
∴
，
∴
；
（2）∵
的半径为4，
，
∴
．
【点睛】
本题考查切线的性质以及弧长公式，理解切线的基本性质并熟记弧长公式是解题关键．
42．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的民族性运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图．已知底面圆的直
径
，圆柱体部分的高
，圆锥体部分的高
，求出这个陀螺的表面积（结果保
留
）．
【答案】
【分析】
用勾股定理计算出
的长，算出圆柱底面积加上圆柱侧面积，再加上圆锥的侧面积即可．
【详解】
解：∵
，
∴
，
又∵
，
∴在
中，
．
∴所求表面积
．
【点睛】
本题开考查了圆柱和圆锥组合体的表面积计算，勾股定理；关键在于结合图形正确的选出要求的面，不要
多选．
43．如图，在四边形ABCD 中，BC＝CD＝10，AB＝15，AB⊥BC，CD⊥BC．把四边形ABCD 绕直线CD
旋转一周．求所得几何体的表面积．
【答案】（300+50
）π
【分析】
首先判断该四边形经过旋转后得到的几何体的形状，然后求其表面积即可．
【详解】
解：作DE⊥AB 于点E，
把四边形ABCD 绕直线AB 旋转一周形成一个下面是圆柱，上面是圆锥的几何图形，
圆柱的高CD＝10，底面半径BC＝10，圆锥的母线长AD＝
＝
＝5
，
∴该几何体的表面积为πRl+2πRh+πrR2
＝π×10×5
+2π×10×10+π×100
＝（300+50
）π．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解该四边形经过旋转后得到的几何体的形状．
44．如图，已知直线PA 交⊙O 于A、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE，
过C 作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD 为⊙O 的切线；
（2）若∠AEC＝30°，⊙O 的半径为10，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析（2）
−25
．
【分析】
（1）连接OC，根据OA＝OC 推出∠OCA＝∠OAC，根据角平分线得出∠OCA＝∠OAC＝∠CAP，推出
OC∥AP，得出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；
（2）根据圆周角定理证明△AOC 是等边三角形，利用扇形面积和等边三角形的面积即可求出结果．
【详解】
（1）证明：如图，连接OC．
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC 平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC．
∵CD⊥PA，
∴∠ADC＝∠OCD＝90°，
即 CD⊥OC，点C 在⊙O 上，
∴CD 是⊙O 的切线．
（2）解：∠AEC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC 是等边三角形，
∵⊙O 的半径为10，
∴等边三角形△AOC 面积为：
×10×5
＝25
，
扇形AOC 的面积为：
．
∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC 的面积−等边三角形△AOC 面积＝
−25
．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质和判定，圆周角定理，扇形面积
的计算，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．
45．如图，
内接于⊙O，
．
（1）求⊙O 的半径；
（2）求劣弧
的长．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
（1）连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，根据等腰直角三角形的性质求出⊙O 的半径；
（2）根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】
解：（1）连接OB、OC，
由圆周角定理得，∠BOC=2∠BAC=90°，
∴OB=
BC=
，即⊙O 的半径为
，
（2）劣弧BC 的长=
=
．
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
46．如图，
的半径
，
于点C，
．求
的长．
【答案】
的长是
【分析】
根据∠AOC＝60°，可以得到∠AOB 的度数，然后根据弧长公式计算即可
【详解】
解：∵
，
，
∴
．
∵
，
∴
的长是：
．
【点睛】
本题考查弧长的计算、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
47．如图，在边长为的正方形组成的网格中，
的顶点均在格点上，点
、
的坐标分别是
、
，将
绕点
逆时针旋转
后得到
．（直接填写答案）
（1）点
关于点
中心对称的点的坐标为 ；
（2）点
的坐标为 ；
（3）在旋转过程中，点
运动的路径为弧
，那么弧
的长为 ．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数解答；
（2）根据平面直角坐标系写出点B1的坐标即可；
（3）利用勾股定理列式求出OB 的长，再根据弧长公式列式计算即可得解．
【详解】
（1）点A 关于点O 中心对称的点的坐标为：（-1，-3）；
（2）点B1（-2，3）；
（3）由勾股定理，
,
弧
的长
，
故答案为：
．
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
48．如图，
三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）
（1）请画出
绕点B 顺时针旋转
后的
，并写出
的坐标；
（2）求出（1）中点C 旋转到点
所经过的路径长（结果保留根号和
）
【答案】（1）作图见解析，
（4，0）；（2）
【分析】
（1）作出点A 与点C 绕点B 逆时针旋转90°后所得对应点，再顺次连接即可得，根据点的位置写出
的
坐标；
（2）根据弧长公式求解可得．
【详解】
（1）如图所示，
即为所求；
由图知，
的坐标（4，0）；
（2）∵
，∠CBC1=90°，
∴点C 旋转到C1所经过的路径为
【点睛】
本题考查了利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的
关键．
49．如图，在
中，AC＝BC，以BC 为直径的⊙O 与底边AB 交于点D，过点D 作DE⊥AC，垂足为
点E．
（1）求证：DE 为⊙O 的切线；
（2）若BC＝4，∠A＝30°，求
的长．（结果保留π）
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）首先连接OD，CD，由以BC 为直径的⊙O，可得CD⊥AB，得出AD=BD，即可证得
，继而
可证得结论；
（2）由等腰三角形的性质求解
再利用三角形的外角的性质求解
结合
由弧长公式直接求解
的长即可．
【详解】
（1）证明：连接OD，CD，
∵BC 为⊙O 直径，
∴∠BDC=90°，
即CD⊥AB，
∵△ABC 是等腰三角形，
∴AD=BD，
∵OB=OC，
∴OD 是△ABC 的中位线，
∴
，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵D 点在⊙O 上，
∴DE 为⊙O 的切线；
（2）
【点睛】
本题考查的是切线的判定，弧长的计算，等腰三角形的性质，中位线的定义及性质，三角形的外角的性质，
圆周角定理，掌握以上知识是解题的关键．
50．如图，以正三角形
的
边为直径画☉
，分别交
，
于点
，
，
cm，求弧
的长及阴影部分的面积．
【答案】
【分析】
连接OD，OE，AE，根据等边三角形的性质先求的圆的半径和弧ED 对应的圆心角∠DOE=60°，再分别求
出弧DE 的长，根据S 阴影=S△OBE+S△AOD+S 扇形ODE求出阴影部分的面积．
【详解】
连接OD，OE，AE，
∵△ABC 是等边三角形，AB 是直径，
∴AE⊥BC，BE=OB，∠B=60°，
∴OE 平行且相等AD，OA=OE，
∴四边形OAED 是菱形，
∴∠DOE=∠AOD=∠OBE=60°，
∵AB=6cm，
∴OD=OE=BE=3cm，
∴AE=
=
（cm），
∴△OBE 中底边BE 上的高以及△AOD 中底边OD 上的高都为：
cm，
∴S 阴影=S△OBE+S△AOD+S 扇形ODE=
＝
．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质及扇形的面积计算，运用各部分面积之间的和差关系求解阴影部分面积，求
出小等边三角形和扇形的面积是解题关键．
51．如图，将半径为4cm 的圆形纸片折叠后，弧AB 恰好经过圆心O，求折痕弧AB 的长．
【答案】
【分析】
连接OA，OB，过点O 作OD⊥AB，根据折叠得到OD＝2，由OA＝4，再得出∠AOD 的度数，进而得出
的长．
【详解】
解：如图：连接OA，OB，过点O 作OD⊥AB，
∵OA＝4，
是翻折后得到的，且恰好经过圆心O，
∴OD＝2，
在Rt△OAD 中，
∵OA＝4，OD＝2，
∴∠OAD＝30°
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴
的长为＝
=
．
【点睛】
此题主要考查了垂径定理以及翻折的性质以及勾股定理、求弧长等知识，根据已知得出∠AOD＝60°是解
题关键．
52．如图，
为
的直径，
，
交
于点
，
交
于点
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接AD，由直径得到
，然后再由等腰三角形“三线合一”即可得证；
（2）连接OE，阴影部分的面积为扇形AOE 和三角形OBE 的面积之和．
【详解】
（1）证明：连接
，
∵
为
直径，
∴
，
又∵
，
∴
；
（2）解：连接
，
∵
，
，
∴
，
，
，
∴
．
【点睛】
本题考查了扇形的面积计算，直径所对的圆周角是直角等内容，正确作出辅助线是解题的关键．
53．如图，在等边
中
，以AB 为直径的
与边AC、BC 分别交于点D、E，过点D 作
，垂足为F．
（1）求证：DF 为
的切线；
（2）求弧DE 的长度．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OD，求出△ADO 是等边三角形，求出∠ADO＝60°，求出∠CDF＝30°，求出∠FDO＝90°，根
据切线的判定得出即可；
（2）连接OC，OE，求得OB＝4，∠DOE＝60°，代入弧长公式求得即可．
【详解】
（1）证明：连接DO，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD 是等边三角形，
∴∠ADO＝60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF＝90°−∠C＝30°，
∴∠FDO＝180°−∠ADO−∠CDF＝90°，
即OD⊥DF，
∵OD 为半径，
∴DF 为⊙O 的切线；
（2）解：连接OC，OE，
∵在等边△ABC 中，OA＝OB，
∴CO⊥AB，∠OCB＝∠OCA＝30°，
∴OB＝
BC＝
×8＝4，
∵∠AOD＝60°，
同理∠BOE＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∴弧DE 的长度：
=
．
【点睛】
本题考查了切线的性质和判定、等边三角形的性质和判定、解直角三角形、弧形计算等知识点，能综合运
用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
54．已知：如图，AB 为⊙O 的直径，点C、D 在⊙O 上，且BC＝2cm，AC＝4cm，∠ABD＝45º．
（1）求弦BD 的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）
；（2）
【分析】
（1）先添加辅助线连接
，由
是
的直径可得
，再由勾股定理求得
、
，即
可得到等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求得答案；
（2）根据
即可求得结论．
【详解】
解：（1）连接
，如图：
∵
是
的直径
∴
∵
，
∴
∴
∵
且
∴
∴在
中，
．
（2）∵
，
∴
，
∴
．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、扇形的面积、三角形的面积，添加辅
助线构造直角三角形是解题的关键．
55．如图，AB 为⊙O 的直径，射线AD 交⊙O 于点F，点C 为劣弧
的中点，CE 为⊙O 的切线交AD 于
点E，连接AC．
（1）求证：CE⊥AD；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝4，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
π
【分析】
（1）连接BF，OC，由题意易得∠AFB＝90°，即BF⊥AD，OC⊥CE，进而可得BF∥CE，然后问题可求证；
（2）连接OF，CF，由题意易得∠BOC＝60°，
，进而可得CF∥AB，则有阴影部分的面积＝S 扇形
COF，然后根据扇形面积计算公式可求解．
【详解】
解：（1）如图1，连接BF，OC，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AFB＝90°，即BF⊥AD，
∵CE 是⊙O 的切线，OC 是⊙O 的半径，
∴OC⊥CE，
∵点C 为劣弧
的中点，
∴OC⊥BF，
∴BF∥CE，
∴CE⊥AD；
（2）如图2，连接OF，CF，
∵OA＝OC，∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵点C 为劣弧
的中点，
∴
，
∴∠FOC＝∠BOC＝60°，
∵OF＝OC，
∴∠OCF＝∠COB，
∴CF∥AB，
∴S△ACF＝S△COF，
∴阴影部分的面积＝S 扇形COF，
∵AB＝4，
∴FO＝OC＝OB＝2，
∴S 扇形FOC＝
＝
π，
即阴影部分的面积为：
π．
【点睛】
本题主要考查切线定理及扇形面积，熟练掌握切线定理及扇形面积是解题的关键．
56．如图，在RtΔABC 中，
ACB＝90°，BD 是
ABC 的平分线，点D 在AC 上，
O 经过B，D 两点，
AB＝6，AD＝
（1）试说明：AC 是
O 的切线
（2）求
O 的半径
（3）求图中阴影部分的面积
【答案】（1）见详解；（2）2；（3）
【分析】
（1）由题意易得∠OBD=∠CBD，∠ODB=∠OBD，则有∠CBD=∠ODB，进而可得OD∥BC，则
∠C=∠ODA=90°，进而问题可求证；
（2）设⊙O 的半径为r，则有OA=6-r，OD=r，然后根据勾股定理可求解；
（3）由（2）可得∠AOD=60°，由图可得：
，然后问题可求解．
【详解】
（1）证明：∵BD 是
ABC 的平分线，
∴∠OBD=∠CBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠CBD=∠ODB，
∴OD∥BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠ODA=∠ACB=90°，
∵OD 是⊙O 的半径，
∴AC 是
O 的切线；
（2）解：设⊙O 的半径为r，则有OA=6-r，OD=r，
∵AD＝
，
∴在Rt△ODA 中，
，即
，
解得：
，
∴⊙O 的半径为2；
（3）由（2）可得：
，OA=4，
∴∠AOD=60°，
∴
．
【点睛】
本题主要考查切线的判定及扇形面积，熟练掌握切线的判定及扇形面积是解题的关键．
57．如图，在
中，
，以
为直径的
分别交
于点
，
过点
作直线
，交
的延长线于点
．
（1）求证：
；
（2）若
，求
的长（结果保留
）．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）连接AE，如图，根据圆周角定理得∠AEB＝90°，然后根据等腰三角形的性质得到BE＝CE；
（2）根据等腰三角形的性质得到得到∠CAE＝
∠BAC＝27°，再利用圆周角定理得到∠DOE＝54°，然
后根据弧长公式可计算出弧DE 的长．
【详解】
（1）证明：连接AE，如图，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）解：连接
平分
．
【点睛】
此题属于圆的综合题型，解题的关键是熟知圆周角定理、弧长公式的运用．
58．如图，点D 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点B 作⊙O 的切线，交AD 的延长线于点C，E 是BC 的
中点，连接DE 并延长与AB 的延长线交于点F．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接OD，由AB 为⊙O 的直径得∠BDC＝90°，根据BE＝EC 知∠1＝∠3、由OD＝OB 知∠2＝
∠4，根据BC 是⊙O 的切线得∠3＋∠4＝90°，即∠1＋∠2＝90°，得证；
（2）根据直角三角形的性质得到∠F＝30°，BE＝
EF＝2，求得DE＝BE＝2，得到DF＝6，根据三角形
的内角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝
∠BOD＝30°，根据等腰三角形的性质和扇形的面积公式
即可得到结论．
【详解】
（1）证明：如图，连接OD，BD，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°．
在Rt△BDC 中，
∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE．
∴∠1＝∠3．
∵BC 是⊙O 的切线，
∴∠3＋∠4＝90°．
∴∠1＋∠4＝90°．
又∵OB＝OD
∴∠2＝∠4．
∴∠1＋∠2＝90°．
∴DF 为⊙O 的切线．
（2）解：如上图所示，
∵OB＝BF，
∴OF＝2OD．
∴∠F＝30°．
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝
EF＝2．
∴DE＝BE＝2．
∴DF＝6．
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°．
∴∠FOD＝60°．
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝
∠BOD＝30°．
∴∠A＝∠F．
∴AD＝DF＝6，OD＝BD＝
DF＝
．
∴阴影部分的面积＝
×
AD•BD＋
．
【点睛】
本题考查了圆的切线的性质与判定、直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，
正确的作出辅助线是解题的关键．
59．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，OC∥BD，交AD 于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求扇形AOC 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）5π
【分析】
（1）利用垂径定理即可证明；
（2）利用弧长公式，扇形的面积公式计算即可．
【详解】
（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，
即OC⊥AD，
∴AE＝ED
（2）解：∵OC⊥AD，
∴
，
∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∴
＝
，
S＝
＝5π．
【点睛】
本题考查扇形的面积，弧长公式等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
60．如图，已知
是
的直径，点
在
上，延长
至点
，使得
；直线
与
的另一个交点为
，连结
，
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，求阴影部分（弓形）面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）由
为直径，证明
结合
再利用垂直平分线的性质证明
利用
等腰三角形的性质与圆周角定理证明∠E=∠D，即可推出CD=CE；
（2）由含
的直角三角形的性质求解
，连接
再求解
根据
计算即可解决问题；
【详解】
（1）证明：∵
是直径，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
∵
，
∴
，
∴
．
（2）解：由（1）可知：
，
，
∴
，
，
在
中，由勾股定理得到
，
连接
，
则
，
∴
．
【点睛】
本题考查扇形的面积，圆周角定理，线段的垂直平分线的定义与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角
和定理，含
的直角三角形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
