1
3.排列、组合与二项式定理
1.(2023 北京,5)(2 x - 1
x)
5
的展开式中x 的系数为
( )
A.-80
B.-40
C.40
D.80
2.(2023 新高考Ⅱ,3)某学校为了了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样法作抽样
调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生,已知该校初中部和高中部分别有400 和200 名学生,
则不同的抽样结果有( )
A.C 400
45 ·C200
15 种
B.C 400
20 ·C200
45 种
C.C400
30 ·C200
30 种
D.C400
40 ·C200
20 种
3.(多选题)(2023 江苏南京二模)在(x - 2
x)
6
的展开式中( )
A.常数项为160
B.含x2项的系数为60
C.第4 项的二项式系数为15
D.所有项的系数和为1
4.(2023 全国甲,理9)现有5 名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这
5 人中安排2 人参加公益活动,则恰有1 人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A.120 种
B.60 种
C.30 种
D.20 种
5.(2022 北京,8)若(2x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=( )
A.40
B.41
C.-40
D.-41
6.(2023 福建厦门模拟)甲、乙、丙、丁、戊共5 名同学进行劳动技能比赛,决出第1 名到第5 名的名
次,甲和乙去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你没有得到冠军”,对乙说:“你不是最后一名”,从这两
个回答分析,5 人名次的不同排列情况共有( )
A.72 种
B.78 种
C.96 种
D.102 种
7.(2023 广东茂名二模)(x+a)(x-1)6的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为64,则含x4项的系数为
( )
A.-28
B.28
C.-35
D.35
8.(2023 广东惠州一模)已知(2 x + 1
√x)
n
(n∈N*)的展开式中只有第4 项的二项式系数最大,现从展开
式中任取2 项,则取到的项都是有理项的概率为
( )
A.2
7
B.3
7
C.1
4
D.3
8
9.(2023 江苏海安高级中学模拟)若(2x+1)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,则2(a1+a3+…+a99)-3 被8 除的
余数为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
10.(2023 河北邯郸三模)如图,在“杨辉三角”中从第2 行右边的1 开始按箭头所指的数依次构成一
个数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,则此数列的前30 项的和为( )
A.680
B.679
C.816
D.815
11.(2023 广东广州模拟)任何一个大于1 的自然数N(N 不为素数)能唯一地写成N=p1
a1· p2
a2·…·pk
ak(其
中pi是素数,ai是正整数,1≤i≤k,p1<p2<…<pk),将上式称为自然数N 的标准分解式,且N 的标准分解
式中有(a1+a2+…+ak)个素数.从360 的标准分解式中任取3 个素数,则一共可以组成不同的三位数的
个数为( )
A.6
B.13
C.19
D.60
2
12.(2023 河北衡水二中模拟)若C18
3n+6=C18
4 n-2,则C9
n= .
13.(2022 新高考Ⅰ,13)(1- y
x)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 .(用数字作答)
14.(2023 新高考Ⅰ,13)某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课,学生需从这8 门课中选
修2 门或3 门课,并且每类选修课至少选修1 门,则不同的选课方案共有 种.(用数字作答)
15.(2023 浙江温州三模)(xlo g43+ lo g32
x )
4
展开式的常数项为 .(用最简分数表示)
16.(2023 山东济南二模)已知abc表示一个三位数,如果满足a>b 且c>b,那么我们称该三位数为“凹
数”,则没有重复数字的三位“凹数”共 个.(用数字作答)
17.(2023 湖南长郡中学一模)已知a>0,若(x+a)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且a5=126,则a=
.
18.(2023 山东菏泽模拟)(x+3√x+2)4的展开式中,含x 的项的系数为 .
19.(2023 陕西宝鸡模拟)某班举行了以“礼赞二十大、奋进新征程”为主题的联欢晩会,原定的5 个
学生节目已排成节目单,开演前又临时增加了两个教师节目,如果将这两个教师节目插入到原节目单
中,那么不同的插法的种数为 .
20.(2023 山东青岛三模)若(
1
3 x +√x)
n
展开式的所有项的二项式系数和为256,则展开式中系数最大
的项的二项式系数为 .(用数字作答)
3
3.排列、组合与二项式定理
1.D 解析 (2 x - 1
x)
5
的展开式的通项为Tr+1=C5
r(2x)5-r·(- 1
x)
r
=(-1)r25-rC5
rx5-2r.令5-2r=1,得r=2,所
以(2 x - 1
x)
5
的展开式中x 的系数为(-1)2×25-2×C5
2=80.
2.D 解析 由题意,初中部和高中部总共有400+200=600(人),按照分层随机抽样的原理,应从初
中部抽取400
600 ×60=40(人),从高中部抽取200
600×60=20(人).
第一步,从初中部抽取40 人,有C 400
40 种方法,第二步,从高中部抽取20 人,有C200
20 种方法,
根据分步乘法计数原理,一共有C400
40 C200
20 种抽样结果.故选D.
3.BD 解析 (x - 2
x)
6
展开式的通项为Tr+1=C6
rx6-r(- 2
x)
r
=C6
r(-2)rx6-2r.令6-2r=0,得r=3,则常数项
为C6
3×(-2)3=-160,故A 错误;
令6-2r=2,得r=2,则含x2项的系数为C6
2×(-2)2=60,故B 正确;
展开式第4 项的二项式系数为C6
3=20,故C 错误;
取x=1 得到所有项的系数和为(1- 2
1)
6
=1,故D 正确.
故选BD.
4.B 解析 方法一:先在5 名志愿者中安排1 名在这两天都参加公益活动,有5 种安排方法.再在
星期六、星期日,每天从剩下的4 名志愿者中安排1 名不同的志愿者参加公益活动,有4×3=12
种安排方法.由乘法原理得恰有1 人在这两天都参加的不同的安排方法共有5×12=60 种.
方法二:在5 名志愿者中安排2 名在星期六参加公益活动,有C5
2=10 种安排方法.再从星期六参加
公益活动的2 名志愿者中安排1 名及从剩下的3 名志愿者中安排1 名在星期日参加公益活动,有
2×3=6 种.由乘法原理得恰有1 人在这两天都参加的不同的安排方法共有10×6=60 种.
方法三:从5 名志愿者中,在星期六、星期日两天各安排2 名参加公益活动,有C5
2×C5
2=100 种安
排方法,星期六、星期日两天的志愿者全不相同的安排方法有C5
2×C3
2=30 种,全相同的安排方法
有C5
2=10 种,所以恰有1 人在这两天都参加的不同的安排方法共有100-30-10=60 种.故选B.
5.B 解析 令x=1,可得1=a4+a3+a2+a1+a0;令x=-1,可得(-3)4=a4-a3+a2-a1+a0,两式相加可得
a4+a2+a0=3
4+1
2
=41,故选B.
6.B 解析 由题意可得,甲不是冠军,乙不是最后一名.因为5 人名次的不同排列共有A5
5种,其中甲
是冠军的排列方法有A4
4种,乙是最后一名的排列方法有A4
4种,甲是冠军且乙是最后一名的排列方
法有A3
3种,所以甲不是冠军,乙不是最后一名的排列方法种数有A5
5- A4
4- A4
4+ A3
3=78.
7.C 解析 设(x+a)(x-1)6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,
则令x=1,可得a0+a1+…+a7=(a+1)×0=0,
①
令x=-1,可得a0-a1+a2+…-a7=(a-1)×26=64(a-1),
②
①-②整理得a1+a3+a5+a7=0-64(a-1)
2
=32(1-a)=64,解得a=-1,所以(x+a)(x-1)6=(x-1)7,
所以含x4的项为C7
3x4(-1)3=-35x4,其系数为-35.
8.A 解析 因为展开式中只有第4 项的二项式系数最大,
所以展开式共有7 项,故n=6.
展开式的通项Tr+1=C6
r(2x)6-r(
1
√x)
r
=C6
r26-rx
6- 3
2 r,当r 是偶数时,该项为有理项,故r=0,2,4,6,即共有
4 项有理项,所以从所有项中任取2 项,都是有理项的概率为P=C4
2
C7
2 = 2
7.
4
9.B 解析 在已知等式中,取x=1,得a0+a1+a2+…+a100=3100,取x=-1,得a0-a1+a2-…+a100=1,
两式相减得2(a1+a3+a5+…+a99)=3100-1,即2(a1+a3+a5+…+a99)-3=3100-4.
因为3100-4=950-4=(8+1)50-4=C50
0 ×850+C50
1 ×849+…+C50
r ×850-r+…+C50
49×8+C50
50-4=C50
0 ×850+C50
1
×849+…+C50
r ×850-r+…+C50
49×8-3=C50
0 ×850+C50
1 ×849+…+C50
r ×850-r+…+C50
49×8-8+5,r∈N.
因为C50
0 ×850+C50
1 ×849+…+C50
r ×850-r+…+C50
49×8-8 能被8 整除,所以C50
0 ×850+C50
1 ×849+…+C50
r
×850-r+…+C50
49×8-8+5 被8 除的余数为5,
即2(a1+a3+a5+…+a99)-3 被8 整除的余数为5.
10.D 解析 根据“杨辉三角”,得1+2+3+3+6+4+10+5+…=
C2
2+C2
1+C3
2+C3
1+C4
2+C4
1 +C5
2+C5
1+…,
故此数列的前30 项和为
S30=C2
2+C2
1+C3
2+C3
1+C 4
2+C 4
1 +C5
2+C5
1+…+C16
2 +C16
1 =(C2
2+C2
1)+(C3
2+C3
1)+(C 4
2+C 4
1)+(C5
2+C5
1)
+…+(C16
2 +C16
1 )=C3
2+C4
2 +C5
2+C6
2+…+C17
2 =(C3
3+C3
2)+C4
2+C5
2+C6
2+…+
C17
2 -C3
3=C 4
3+C 4
2+C5
2+C6
2+…+C17
2 -C3
3=C5
3+C5
2+C6
2+…+C17
2 -C3
3=…=C18
3 -C3
3=816-1=815.
11.C 解析 根据N 的标准分解式可得360=23×32×5,
故从2,2,2,3,3,5 这6 个素数中任取3 个组成三位数,情况如下:
①选取3 个2,可以组成1 个三位数;
②选取2 个2 后,再从3 或5 中选一个,可以组成C2
1×C3
2=6 个不同的三位数;
③选取1 个2 后,再选2 个3,可以组成C3
1×C2
2=3 个不同的三位数;
④选取2,3,5,可以组成A3
3=6 个不同的三位数;
⑤选取3,3,5,可以组成C3
1=3 个不同的三位数;
所以从360 的标准分解式中任取3 个素数,一共可以组成1+6+3+6+3=19 个不同的三位数.
12.36 解析 由组合数的性质可得{
3n+6≤18,
4 n-2≤18,解得n≤4.又因为C18
3n+6=C18
4n-2,所以3n+6=4n-2
或3n+6+4n-2=18,解得n=8(舍去)或n=2,所以C9
2= 9×8
2×1=36.
13.-28 解析 ∵原式=(x+y)8- y
x (x+y)8,∴展开式中含有x2y6的项为C8
6x2y6- y
x C8
5x3y5=(C8
6-C8
5
)x2y6=-28x2y6.故x2y6的系数为-28.
14.64 解析 (方法一 直接法)若选2 门课,只需体育类和艺术类各选1 门,有C4
1×C4
1=16 种不同
的选课方案;
若选3 门课,分两类.体育类选1 门、艺术类选2 门,体育类选2 门、艺术类选1 门,有
C 4
1×C 4
2+C 4
2×C 4
1=48 种不同的选课方案.综上,共有16+48=64 种不同的选课方案.
(方法二 间接法)由题意可知,从8 门课中选择2 门或者3 门共有C8
2+C8
3=84 种不同的选课方案,
只选择体育类或艺术类的有2(C 4
2+C 4
3)=20 种,则符合题意的共有84-20=64 种不同的选课方案.
15.3
2 解析 (xlo g43+ lo g32
x )
4
展开式的通项为Tr+1=C 4
r(xlog43)4-r(
lo g32
x )
r
=(log43)4-r·(log32)rC 4
r
x4-2r,r∈N,r≤4.令4-2r=0,解得r=2,则T3=(
1
2 lo g23)
2
×(log32)2×C4
2 = 1
4 ×6=3
2,
所以(xlo g43+ lo g32
x )
4
展开式的常数项是3
2.
16.240 解析 a,b,c 为取自0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中的不同的三个数字,最小的数字放置在中间,余下
两个数字可排百位或个位,故共有“凹数”的个数为2×C10
3 =2×120=240.
17.2 解析 因为(x+a)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,所以令(x+a)9=[(x+1)+a-1]9,则展开式
通项为Tr+1=C9
r(x+1)9-r(a-1)r,a5是展开式第5 项的系数,则r=4,故a5=C9
4(a-1)4=126,解得a=0 或
a=2.又a>0,故实数a 的值为2.
5
18.248 解析 (x+3√x+2)4的展开式中,含x 的项有以下两类:
第一类:4 个因式中有1 个取到x,其余3 个都取到2,即C4
1x·23=32x.
第二类:4 个因式中有2 个取到3√x,其余2 个都取到2,即C 4
2(3√x)2·22=216x.所以(x+3√x+2)4的展
开式中含x 的项为32x+216x=248x,故含x 的项的系数为248.
19.42 解析 若两个教师节目相邻,则有A6
1× A2
2=12 种不同插法;
若两个教师节目不相邻,则有A6
2=30 种不同插法.
综上可得,一共有12+30=42 种不同插法.
20.28 解析 由展开式的所有项的二项式系数和为2n=256,解得n=8.则(
1
3 x +√x)
8
展开式的通
项为Tr+1=C8
r(
1
3 x)
8-r
·(√x)r= 1
3
8-r C8
r x
3
2 r -8
,r=0,1,2,…,8,
可得第r+1 项的系数为ar+1= C8
r
3
8-r ,r=0,1,2,…,8,
令{
ar +1≥ar +2,
ar +1≥ar, 即{
C8
r
3
8-r ≥C8
r +1
3
7-r ,
C8
r
3
8-r ≥C8
r -1
3
9-r ,
解得r=6,
所以展开式中第7 项系数最大,其二项式系数为C8
6=28.
