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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题11 平面向量
向量作为高考一个工具，高考题型一般作为工具处理，单独出题一般是小题部分。常考题型为：
考点01 平面向量概念及线性运算
考点02 平面向量的坐标运算
考点03 平面向量的数量积及夹角问题
考点05 平面向量的综合应用
考点01：平面向量的概念及线性运算
一、选择题
1．(2022 新高考全国I 卷·)在
中，点D 在边AB 上，
．记
，则
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因
点D 在边AB 上，
，所以
，即
，
所以
． 故选：B．
2. (2021 年高考浙江卷·)已知非零向量
，则“
”是“
”的
( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】: 若
，则
，推不出
；若
，则
必成立，故“
”是“
”的必要不充分条件,故选B．
3．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学·)在
中，D 是AB 边上的中点，则
=
( )
A．
B．
C．
D．
2
【答案】C
【解析】
3．
4．(2019·上海·第13 题)已知直线方程
的一个方向向量
可以是
( )
A
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意：
为直线的一个法向量，∴ 方向向量为
，选D.
5．(2019·全国Ⅰ·)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为
(
，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美
人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
．若某人满足上述两个黄金
分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
( )
A．165cm
B．175cm
C．185cm
D．190cm
【答案】B
【解析】如图，
，
，则
，
，
，
所以身高
，
又
，所以
，身高
，
故
，故选B．
二、填空题
1．(2023 年天津卷·)在
中，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点，若设
，则
可用
表示为_________ ；若
，则
的最大值为
_________．
【答案】①．
②．
【解析】空1：因为
为
的中点，则
，可得
，
c
d
a
b
头顶
咽喉
肚脐
足底
3
两式相加，可得到
，即
，则
；
：因为
，则
，可得
，
得到
，即
，即
．于是
．记
，
则
，
在
中，根据余弦定理：
，
于是
，
由
和基本不等式，
，
故
，当且仅当
取得等号，则
时，
有最大值
．
故答案
：
；
．
2 (2020 北京高考·第13 题)已知正方形
的边长为
，点
满足
，则
_________；
_________．
【答案】(1)．
(2)．
【解析】以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
、
轴建立如下图所示
的平面直角坐标系，
则点
、
、
、
，
，
则点
，
，
，
因此，
，
．故答案为：
；
．
4
考点02：平面向量的坐标运算
一、选择题
1．(2023 年北京卷·)已知向量
满足
，则
( )
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【解析】向量
满足
，
所以
．故选：B
2．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·)已知向量
，若
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．故选：D．
二、填空题
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第13 题) 已知向量
，
满足
，
，则
______．
【答案】
【解析】法一：因为
，即
，
则
，整理得
，
又因为
，即
，
则
，所以
．
法二：设
，则
，
由题意可得：
，则
，
5
整理得：
，即
故答案为：
．
2 (2021 年高考全国乙卷·)已知向量
，若
，则
__________．
【答案】
【解析】因为
，所以由
可得，
，解得
．故答案为：
．
3 ．(2020 江苏高考)在
中，
在边
上，延长
到
，使得
，若
(
为常数)，则
的长度是________．
【答案】
【解析】
三点共线，
可设
，
，
，即
，
若
且
，则
三点共线，
，即
，
，
，
,
,
，
，
设
，
，则
，
．
根据余弦定理可得
，
，
，
，解得
，
的长度为
．
当
时，
，
重合，此时
的长度为
，
当
时，
，
重合，此时
，不合题意，舍去．故答案为：
或
．
4 ．(2019· 浙江·)
已知正方形
的边长为
当每个
取遍
时，
，的最小值是 ，最大值是 ．
6
【答案】0，
【解析】正方形
的边长为1，可得
，
，
．
所以
，
由于
，2，3，4，5，
取遍
，取
，
，
，
时
得
，
，此时所求最小值为0；
由中
，
中的一个最大值为4，另一个为2，
可取
，
，
，
，
，此时所求最大值为
．
考点03：平面向量的数量积与夹角问题
一、选择题
1 ．(2023 年全国甲卷· 第4 题) 已知向量
满足
，且
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
,所以
,
即
,即
,所以
．
如图,设
,
由题知,
是等腰直角三角形,
AB 边上的高
,
所以
,
,
．故选:D．
B
C
A
D
7
2 ．(2023 年全国乙卷·第12 题) 已知
的半径为1，直线PA 与
相切
于点A．直线PB 与
交于B．C 两点，D 为BC 的中点，若
，
则
的最大值为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示，
，则由题意可知:
，
由勾股定理可得
当点
位于直线
异侧时，设
，
则：
，则
当
时，
有最大值．
当点
位于直线
同侧时，设
，
则：
，则
当
时，
有最大值
．综上可得，
的最大值为
．故选：A．
8
3．(2022 年高考全国乙卷数学·第3 题) 已知向量
满足
，则
(
)
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C【解析】∵
，又∵
∴9
，∴
故选：C．
4．(2020 年高考课标Ⅲ卷·第6 题) 已知向量a，b 满足
，
，
，则
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
．
，
因此，
．故选：D．
5．(2019·全国Ⅱ·理·第3 题) 已知
，
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵
，
，∴
,∴
，解得
，
即
，则
．
6．(2019·全国Ⅰ·第7 题) 已知非零向量
，
满足
，且
，则
与
的夹角为
(
)
A．
B．
C．
D．
9
【
解
析
】
，
所
以
，所以
．
二、填空题
1．(2021 年高考浙江卷·) 已知平面向量
满足
．记向量
在
方向上的投影分别为x，y，
在
方向上的投影为z，则
的最小值为___________．
【答案】
【解析】:由题意，设
，则
，即
，
又向量
在
方向上
投影分别为x，y，所以
，
所以
在
方向上的投影
，
即
,所以
，
当且仅当
即
时，等号成立，所以
的最小值为
．故答案为
．
2．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·) 已知向量
，
，
，
_______．
【答案】
【解析】:由已知可得
，
因此，
．故答案为：
．
3．(2022 年高考全国甲卷数学·) 设向量
，
的夹角的余弦值为
，且
，
，则
_________．
【答案】
10
【解析】设
与
的夹角为
，因为
与
的夹角的余弦值为
，即
，
又
，
，所以
，所以
．
故答案为：
．
4．(2020 年高考课标Ⅱ卷·) 已知单位向量
,
的夹角为45°，
与
垂直，则k=__________．
【答案】
【解析】由题意可得：
，由向量垂直的充分必要条件可得：
，
即：
，解得：
．故答案为：
．
5．(2021 高考北京·第13 题) 已知向量
在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边
长为1，则
________；
________．
【答案】①． 0 ②． 3
【解析】以
交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则
，
，
，
．故答案为：0；3．
6．(2019·高考试卷天津) 在四边形
中，
，点
在线
段
的延长线上，且
，则
．
【答案】答案：
【解析】以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立如图所示平面直角坐标系，
则
，因为
，所以
，
11
又
，可得
，又
，所以
，所以
，
．
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
12
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
1
E
C
B
D
A
考点04：平面向量的综合应用
1．(2019·高考卷江苏·)如图，在
中，
是
的中点，
在边
上，
，
与
交于
，
若
，则
的值是______.
【答案】
【解析】法1：
，
设
，则
，
因为
三点共线，
，所以
，所以
，
所以
，
故
，所以
.
法2：极化恒等式+中线定理：
同解法一知：
，同理可得：
，取
中点
，
所以，
，
，
因为
，所以
.
12
由中线定理得，
，所以
，所以
.
法3：不妨设
，以
为原点，
，
为
轴正方向建系，
设
，
，
，则
，
则
，所以点
，
，所以
，所以
.
13
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2、2022 年8 月份到2023 年6 月份高三各地名校卷、各地联考卷、一二模模拟卷
3、2023 年8 月份到2024 年6 月份高三各地名校卷、各地联考卷、一二模模拟卷（2023 年
8 月开始，每天实时更新）
4、各科知识点总结、笔记、答题模板
5、全套专题讲义训练、复习讲义
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进群费用：目前进群仅需49 元（原价99 元，每天前5 名，享受49 元优惠价）
时间期限：资料持续更新到2024 年6 月高考结束，资料截止更新
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