文档文本内容
专题10 数列不等式的放缩问题
【目录】
..............................................................................................................................................1
...............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
............................................................................................................................................10
考点一：先求和后放缩..............................................................................................................................................10
考点二：裂项放缩.....................................................................................................................................................13
考点三：等比放缩.....................................................................................................................................................16
考点四：
型不等式的证明..............................................................................................................18
考点五：
型不等式的证明................................................................................................................22
考点六：
型不等式的证明......................................................................................................................25
考点七：
型不等式的证明.....................................................................................................................29
数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，
将稳定在中等偏难程度.此类问题往往从通项公式入手，若需要放缩也是考虑对通项公式进行变形；在放缩
时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向可裂项相消的数列与等比数列进行靠
拢．
考点要求
考题统计
考情分析
数列不等式
2023 年II 卷第18 题，12 分
2022 年I 卷第17 题，10 分
2021 年乙卷第19 题，12 分
2021 年II 卷第17 题，10 分
2021 年浙江卷第20 题，15 分
【命题预测】
预测2024 年高考，多以解答
题形式出现，具体估计为：
（1）导数压轴题第二问，利
用导数证明数列不等式，难
度较大．
（2）数列解答题第二问，难
度中等偏上，属综合性问
题．
常见放缩公式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
；
（9）
；
（10）
；
（11）
；
（12）
；
（13）
．
（14）
．
（15）二项式定理
①由于
，
于是
②
，
；
，
（16）糖水不等式
若
，则
；若
，则
．
1．（2023•新高考Ⅱ）已知
为等差数列，
，记
，
为
，
的前
项和，
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）证明：当
时，
．
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，
，
为
的前
项和，
，
，
则
，即
，解得
，
故
；
（2）证明：由（1）可知，
，
，
当
为偶数时，
，
，
，
当
为奇数时，
，
，
，
故原式得证．
2．（2022•新高考Ⅰ）记
为数列
的前
项和，已知
，
是公差为
的等差数列．
（1）求
的通项公式；
（2）证明：
．
【解析】（1）已知
，
是公差为
的等差数列，
所以
，整理得
，①，
故当
时，
，②，
①
②得：
，
故
，
化简得：
，
，
，
，
；
所以
，
故
（首项符合通项）．
所以
．
证明：（2）由于
，
所以
，
所以
．
3．（2021•乙卷）设
是首项为1 的等比数列，数列
满足
，已知
，
，
成等差数列．
（1）求
和
的通项公式；
（2）记
和
分别为
和
的前
项和．证明：
．
【解析】（1）
，
，
成等差数列，
，
是首项为1 的等比数列，设其公比为
，
则
，
，
，
．
（2）证明：由（1）知
，
，
，
，①
，②
①
②得，
，
，
，
．
4．（2021•天津）已知数列
是公差为2 的等差数列，其前8 项的和为64．数列
是公比大于0 的等
比数列，
，
．
（1）求数列
和
的通项公式；
（2）记
，
．
证明：
是等比数列；
证明：
．
【解析】证明：（1）由数列
是公差
为2 的等差数列，其前8 项的和为64，
可得
，解得
，
所以
，
；
由数列
是公比
大于0 的等比数列，
，
，
可得
，解得
舍去），
所以
，
；
（2）
证明：因为
，
，
所以
，
则
，
所以
，
又
，
所以数列
是以8 为首项，4 为公比的等比数列；
证明：设
，
考虑
，则
，
所以
，
则
，
两式相减可得，
，
所以
，
则
，
故
．
5．（2021•新高考Ⅱ）记
是公差不为0 的等差数列
的前
项和，若
，
．
（Ⅰ）求数列
的通项公式
；
（Ⅱ）求使
成立的
的最小值．
【解析】（Ⅰ）数列
是公差
不为0 的等差数列
的前
项和，若
，
．
根据等差数列的性质，
，故
，
根据
可得
，
整理得
，可得
不合题意），
故
．
（Ⅱ）
，
，
，
，即
，
整理可得
，
当
或
时，
成立，
由于
为正整数，
故
的最小正值为7．
6．（2021•浙江）已知数列
的前
项和为
，
，且
．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
满足
，记
的前
项和为
，若
对任意
恒成立，
求实数
的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由
可得
，
两式作差，可得：
，
，
很明显，
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
其通项公式为：
．
（Ⅱ）由
，得
，
，
，
两式作差可得：
，
则
．
据此可得
恒成立，即
恒成立．
时不等式成立；
时，
，由于
时
，故
；
时，
，而
，故：
；
综上可得，
．
考点一：先求和后放缩
例1．（2023·广西玉林·校联考模拟预测）记
为数列
的前
项和，已知
，
．
(1)证明：当
时，数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
【解析】（1）证明：因为
，
，
为数列
的前
项和，
当
时，
，
当
时，由
①，可得
②，
①
②可得
，即
，所以，
，
又因为
，则当
时，数列
是等比数列，其公比为
，
即当
时，
，则
，
不满足
，所以，
.
（2）证明：
，
则
.
综上，对任意的
，
.
例2．（2023·全国·模拟预测）已知
是数列
的前
项和，
，且
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式．
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
【解析】（1）由
成等比数列，
得
，
所以
．
整理，得
，则
．
又
，
所以
是以2 为首项，3 为公差的等差数列，
所以
，即
．
当
时，
，
所以
．
当
时，
不符合上式．
故
.
（2）由（1）可知，
，
所以
，
所以
，
故
．
例3．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列
的前n 项和为
，且满足
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)若
，数列
的前n 项和为
，证明：
．
【解析】（1）由
得
，则当
时，有
，
两式相减得
，
整理得
，即
，
因此数列
是以
为公比的等比数列．
（2）由（1）及
可得
，
因此
．
于是
，
所以
，
由于
，所以
，
故
．
例4．（2023·辽宁大连·高三校联考期中）已知
为数列
的前
项和，
，
，记
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知
，记数列
的前
项和为
，求证：
.
【解析】（1）由
，得
，
，
则
，
，
，
数列
是以为首项，
为公比的等比数列，
，
，
.
（2）
，
，
，
当
为奇数时，
，
当
为偶数时，
，由
，可知
是递增数列，
，
综上，
.
考点二：裂项放缩
例5．（2023·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知数列
满足
，数
列
的首项为2，且满足
(1)求
和
的通项公式
(2)记集合
，若集合
的元素个数为2，求实数
的取值范围．
(3)设
，证明：
．
【解析】（1）由
可得：
时，
，
相减可得
，故
，
当
时，
也符合上式，故
，
由
可得
，所以数列
为公差为0 的等差数列，且首项为2，
所以
，则
.
（2）由
和
可得
，
记
，则
，
所以
，
当
时，
，当
时，
，此时
单调递减，
而
,
由于集合M 的元素个数为2，所以
，故
.
（3）由
得
，
，
由于
，
因此
.
例6．（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知数列
满足
，
，且
．
(1)令
，求
；
(2)记
的前n 和为
，求证：
．
【解析】（1）因为
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
时，
，
也适合，
所以
．
（2）因为
，故
，
又因为
，则
，可知
，
所以
，
而
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
．
例7．（2023·江西萍乡·高三统考期中）已知正项数列
中，
，前
项和为
，且
__________.请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：①
，②
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
.
【解析】（1）若选①: 由
，得
，
即
，
因为
为正项数列，所以
，
是公差为2 的等差数列，
由
，得
；
若选②：
，当
时，
，
两式作差得：
，则
，
两式作差得
，
即
，所以数列
为等差数列，
时，
，可得
，
公差
，则
；
（2）由（1）知，
，
又
，
考点三：等比放缩
例8．（2023·山东青岛·高三山东省青岛第十九中学校考期中）数列
是等差数列，数列
是等比数列，
满足：
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)数列
和
的公共项组成的数列记为
，求
的通项公式；
(3)记数列
的前
项和为
，证明：
【解析】（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，
由
可得
，易知
，所以
，解得
；
又
可得
，可得
；
由
可得
，即
；
因此可得
，
；
所以数列
和
的通项公式为
.
（2）数列
和
的公共项需满足
，
可得
，即
是4 的整数倍，
可知
，由二项式定理可知
若是4 的倍数，则
为正数，即
；
所以可得
，
即
的通项公式为
（3）易知
，显然
对于
都成立，
所以
对于
都成立，
即
，
即可得
.
例9．（2023·河南·高三校联考期中）已知数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，记数列
的前n 项和为
，求证：
．
【解析】（1）当
时，
，解得
；
当
时，
，
，则
，
因为
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，即
；
（2）由（1）知，
依题意
，
因为
，
，则
，即
；
因为
，
所以
，
而
，
故
，即
．
综上所述，
．
例10．（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知数列
的首项
，
是
与
的等差中项．
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)证明：
．
【解析】（1）由题设
，又
，
所以
是首项、公比均为2 的等比数列.
（2）由（1）知：
，则
，显然
时
成立，
当
有
，此时
，
综上，
，得证.
考点四：
型不等式的证明
例11．（2023·北京通州·高三统考期中）已知数列
的各项均为正数，且满足
（
，
且
）.
(1)若
；
（i）请写出一个满足条件的数列
的前四项；
（ii）求证：存在
，使得
成立；
(2)设数列
的前
项和为
，求证：
.
【解析】（1）（i）∵
即
，
又
，则
，
∴满足条件的数列
的前四项可以为：
.
（ii）∵
（
，且
），
∴
，
，
，
，
累加得
，则
，
则
，
∵
，
∴
，
不妨令
，
故存在
，使得
成立；
（2）由（1）知：
，
同理∵
即
，
∴
，
，
，
∴
，则
则
，
，
，
，
，
累加得：
，
故：
.
例12．（2023·江苏盐城·高三统考期中）“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”
来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”
的前几项分别是：0，2，
4，8，12，18，24，…，且
满足
其中
.
(1)求
（用
表示）；
(2)设数列
满足：
其中
，
是
的前
项的积，求证：
，
.
【解析】（1）
，
∴
.
（2）由（1）知
，
，
，
而
也满足上式，故
，
∴
且
，故
且
，即
，
∴
，则
，
令
且
，则
，即
在
上递减，
所以
，即
在
上恒成立，故
（当且仅当
时取等号），
所以
，
，即
，
，证毕.
例13．（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）设数列
的前n 项之积为
，满足
（
）.
(1)设
，求数列
的通项公式
；
(2)设数列
的前n 项之和为
，证明：
.
【解析】（1）∵数列
的前n 项之积为
，满足
（
），
时，
，解得
.
∴
时，
，化为
， 变形为
，
又
，∴
，
，
数列
是首项为4 公比为2 的等比数列，∴
.
（2）先证明左边：即证明
，
由（1）可得：
，解得
，
又由
，解得
，
又
，
所以
，
再证明右边：
.
∴
，
下面证明
，
即证明
，
设
，
，
则
，即证明
，
.
设
，
，
，
则函数
在
上单调递增，∴
，
即
，
，
∴
.
∴
.
例14．（2023·山西太原·高三统考期中）已知
为单调递增的等比数列，
，记
，
分别是数列
，
的前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
【解析】（1）由题意设
的公比为q（
），
则
，
∴
，
由
，解得
，∴
；
（2）由（1）得
，
①当
（
）时，
；
②当
（
）时，
；
综上，当
时，
．
考点五：
型不等式的证明
例15．（2023·广东佛山·高一佛山一中校考期中）已知数列
满足
，且
，
（1）求证数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
（2）记
，求
；
（3）是否存在实数k，使得
对任意
都成立？若存在，求实数
k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为
，所以
，即
，所以
，所以
是等差数列，公差为2，
，
，所以
．
（2）由（1）
，
所以
．
（3）假设存在实数k，使得
对任意
都成立，
因为
，
所以
，
不等式
化为
，
，
设
，
设
，则
，
，
，所以
，所以
是递增数列，
，
所以
．
所以存在实数k，使得
对任意
都成立，且
．
例16．（2023·福建厦门·高一厦门外国语学校阶段练习）已知数列
的满足
，且
,记
.
(1)求
：
证
为等差数列，并求
的通项公式
；
(2)设
，求
的值；
(3)是否存在正实数
，使得
对任意
都成立？若存在，求实数
的
取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)
,
所以
是以
为首项，2 为公差的等差数列,
.
（2）
,
,
.
(3) 左边
,
由题意可知,
对任意
恒成立,
令
,则由对钩函数的性质可知
在
上单调递增，故
，
综上可以
，即正实数
的取值范围为
.
例17．（2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）设数列
满足
，
，
令
.
(1)试证明数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)是否存在常数，使得数列
是等比数列？请说明理由.
(3)令
，是否存在实数
，使得
对一切
都成立？若存在，
求出
的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）由
，得
，
即
,故
，而
，
∴
，即
，
∴数列
是以首项为
，公差为1 的等差数列，故
．
（2）由（1）
，设
，
若存在常数c，使
是等比数列，则
，
即
，解得
.
经检验，c=0 复合题意，
所以，存在唯一的常数
，使
是等比数列.
（3）设
，
则
.
∵
∴
，即数列
是递减数列，故
．
要使不等式
对一切
都成立，
只要
，即
，
， 解得
.
因此， 存在大于
实数
，使不等式
对一切
都成立．
考点六：
型不等式的证明
例18．（2023·福建·高二福建师大附中校考期中）已知函数
的最小值为0，其中
．
(1)求
的值；
(2)若对任意的
，有
成立，求实数
的最小值；
(3)证明：
．
【解析】（1）由函数
，则其定义域为
，且
.
由
，得:
，又由
，得:
，
在
单调递减，在
单调递增，
；
（2）设
，
则
在
恒成立等价于
，
注意到
，又
，
①当
时，由
得
.
在
单减，
单增，这与
式矛盾；
②当
时，
在
恒成立，
符合
，
的最小值为
；
（3）由（2）知：令
得：
，
令
得：
当
时，
(1)；
当
时，
，
，
，
将(1)(2)(3),......,(n)式相加得：
不等式左边：
；
不等式右边：
；
所以
.
例19．（2023·广东东莞·高三东莞市东莞中学校联考期中）已知数列
是公比大于0 的等比数列，
，
.数列
满足：
（
）.
(1)求数列
的通项公式；
(2)证明：
是等比数列；
(3)证明：
.
【解析】（1）设等比数列
的公比为
，则
，
则
，所以
，
又
.
（2）所以
，
所以
，且
，
所以数列
是首项为8，公比为
的等比数列；
（3）由题意知，
，
所以
，
所以
，
设
，
则
，
两式相减得
，
所以
，
所以
.
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
，
为数列
的前
项和，且满足
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
【解析】（1）对任意的
，
当
时，
，两式相减
．
整理得
，
当
时，
，
也满足
，从而
．
（2）证明：证法一：因为
，
所以，
．
从而
；
证法二：因为
，
所以，
，证毕.
考点七：
型不等式的证明
例21．（2023·吉林·统考三模）已知函数
．
（1）求
的最大值；
（2）设
，是曲线
的一条切线，证明：曲线
上的任意一点都不可
能在直线的上方；
（3）求证：
（其中为自然对数的底数，
）．
【解析】（Ⅰ）
的定义域为
，
，令
，得
．
当
时，
，∴
在
上是增函数，
当
时，
，∴
在
上是减函数，
故
在
处取得最大值
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，
设
是曲线
上的一点，
则
在点
处的切线方程为
，
即
，
令
则
，
∵
，
在
上是减函数，
∴
在
处取得最大值
，即
恒成立，
故曲线
上的任意一点不可能在直线的上方．
（3）由（1）知
在
上恒成立，当且仅当
时，等号成立，
故当
且
时，有
，
又因为
，所以
所以
例22．（2023·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
(3)求证：
（
，是自然对数的底
数）．
【解析】（1）当
时，
，
，
由
解得
，由
解得
，
故函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（2）因当
时，不等式
恒成立，即
恒成立，
设
，只需
即可，
由
，
（i）当
时，
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
故
成立；
（ii）当
时，由
，因
，所以
，
，
①若
，即
时，在区间
上，
，则函数
在
上单调递增，
在
上无最大值，不满足条件；
②若
，即
时，函数
在
上单调递减，在区间
上单调递增，同样
在
上无最大值，不满足条件；
（iii）当
时，由
，
，
，
，故函数
在
上单调递减，故
成立，
综上所述，实数
的取值范围是
；
（3）据（2）知当
时，
在
上恒成立，
令
，
则
，
当
时，
，
.
例23．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数
.
(1)若
在
上单调递增，求
的值；
(2)证明：
（
且
）.
【解析】（1）函数
，求导得
，
由于函数
在R 上单调递增，则
恒成立，
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，不满足条件；
当
时，
，
在R 上单调递增，
又
，即
，不满足条件；
当
时，令
，得
，
则当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
于是当
时，
取得最小值
，
于是
，即
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减，
则
，由于
恒成立，因此
，则有
，
所以
单调递增时，
的值为1.
（2）由（1）知，当
时，
，即有
，当且仅当
时取等号，即当
时，
，
因此当
且
时，
，
而当
时，
，
所以
，
则
，所以，
.
