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专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用
目 录
01 等差、等比数列的基本量问题...................................................1
02 证明等差等比数列.............................................................2
03 等差等比数列的交汇问题.......................................................4
04 数列的通项公式...............................................................4
05 数列求和.....................................................................7
06 数列性质的综合问题..........................................................13
07 实际应用中的数列问题........................................................14
08 以数列为载体的情境题........................................................16
09 数列的递推问题..............................................................17
01 等差、等比数列的基本量问题
1．（2023·重庆·高三统考阶段练习）已知数列
满足
，
，记
，则有
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．29
B．31
C．33
D．36
3．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知等差数列
，其前
项和为
，若
，且满足
，
，
成等比数列，则
等于（ ）
A．
或
B．
C．
D．2
4．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）在等比数列
中，已知
，
，则
（ ）
A．
B．42
C．
D．
5．（2023·全国·模拟预测）已知数列
为等差数列，其前
项和为
，且
，
，则
（ ）
A．63
B．72
C．135
D．144
6．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列
对任意
满足
，则
（ ）
A．3032
B．3035
C．3038
D．3041
02 证明等差等比数列
7．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）已知数列
中，
，
(1)求证：数列
是等差数列，并求出
的通项公式；
8．（2023·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知数列
、
的各项均为正数，且对任意
，
都有
，
，
成等差数列，
，
，
成等比数列，且
，
．
(1)求证：数列
是等差数列；
(2)求数列
、
的通项公式．
9．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设
是数列
的前
项和，已知
(1)求
，并证明：
是等比数列；
(2)求满足
的所有正整数
.
10．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列
的各项均为非零实数，其前
项和为
，且
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，
，求证：数列
是等差数列，并求其前
项和.
03 等差等比数列的交汇问题
11．（2023·高二课时练习）已知数列
的前n 项和为
，若
，
，
，
成等差数列，
则
．
12．（2023·广西·校联考模拟预测）已知数列
的前n 项和为
．且
，
是公差为
的等差
数列，则
．
13．（2023•甲卷）记
为数列
的前
项和．已知
．
（1）证明：
是等差数列；
（2）若
，
，
成等比数列，求
的最小值．
14．（2023•乙卷）设
是首项为1 的等比数列，数列
满足
，已知
，
，
成等差数
列．
（1）求
和
的通项公式；
（2）记
和
分别为
和
的前
项和．证明：
．
15．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知数列
是公差为
的等差数列，设
，若存在常数
，使得数列
为等比数列，则
的值为 .
04 数列的通项公式
16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，
．求数列
的通项公式．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
中，
设
，求数列
的
通项公式.
18．（2023·全国·高三专题练习）已知：
，
时，
，求
的通项公式．
19．（2023·全国·高二专题练习）已知数列
满足
，求数列
的通项公式．
20．（2023·江西·高一统考期中）设数列
的前n 项和为Sn，满足
，且
成等差数列．
(1)求
的值；
(2)求数列
的通项公式．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足递推关系：
，且
，
，
求数列
的通项公式.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足：
求
.
23．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n 项和为
，
，
，求{an}的通
项.
24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，
，求数列
的通项公式．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，求
的通项公式．
26．（2023·全国·高三专题练习）设
，数列
满足
，
，求数列
的通
项公式．
27．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式
，且首项
，求数列
的通项公
式．
28．（2023·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）数列
中，
，且
，则
等于 .
29．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
，
，
，求
05 数列求和
30．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列
满足：
（
），数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求
.
31．（2023·天津河东·高三校考阶段练习）已知数列
为等差数列，
是公比不为0 的等比数列，
，
，
，
．
(1)求
，
；
(2)设
，求数列{cn}的前n 项的和
；
(3)设
，求数列
的前n 项的和
32．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考一模）已知数列
为等比数列，首项
，公比
，
且
是关于
的方程
的根.其中为常数.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求使
的
的最大值.
33．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知数列
的前
项和为
，
是首项为1，公差
为1 的等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
的前
项和为
，证明：
．
34．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列满足
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，记数列
的前99 项和为
，求
.
35．（2023·四川自贡·统考一模）已知数列
的前
顶和为
.且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)在数列
中，
，求数列
的前
项和
.
36．（2023·全国·模拟预测）已知数列
中，
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)求
的前
项和
．
37．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求证：
.
38．（2023·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）
为数列
的前
项和.已知
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和为
，证明
.
39．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列
满足
，
，设
的前
项积
为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
数列
的前
项和为
，求证：
．
40．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知数列
和
满足：
，
，
，
，其中
．
(1)求证：
；
(2)求数列
的前
项和
．
41．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
．
(1)求证：函数
的图象关于点
对称；
(2)求
的值．
42．（2023·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列
满足
.
(1)证明：数列
是等比数列.
(2)求数列
的前
项和
.
43．（2023·山东潍坊·高三校考阶段练习）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)证明：数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前
项和为
，求使得
的最小正整数
.
44．（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知等差数列
的前
项和为
，且满足
，数列
满足
．
(1)证明：数列
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)已知数列
满足
求数列
的前
项和
．
45．（2023•新高考Ⅱ）已知
为等差数列，
，记
，
为
，
的前
项和，
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）证明：当
时，
．
46．（2023•新高考Ⅰ）记
为数列
的前
项和，已知
，
是公差为
的等差数列．
（1）求
的通项公式；
（2）证明：
．
06 数列性质的综合问题
47．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）已知单调递增的数列
满足
、
、
成等比数列，
、
、
成等差数列，则
的取值范围是 .
48．（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知数列
满足
，
，若对于任意正
整数
，都有
，则的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
49．（2023·辽宁·高三校联考期中）设
是公差为2 的等差数列，
为其前n 项和，若
为递增数列，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
50．（2023·陕西榆林·高三校考期中）已知数列
满足
，若
，则实数k 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
51．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知等差数列
的前n 项和为
，对任意的
，均有
成立，则
的值的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
52．（2023·陕西榆林·高三校考期中）已知数列
中，其前
项和为
，且满足
，数列
的
前
项和为
，若
对
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
53．（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）首项为
的等差数列，从第
项起开始为正数，则公差
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
54．（2023·北京·高三强基计划）设三个实数a，b，c 组成等比数列，
且
，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．前三个答案都不对
55．（2023·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）设数列
的前
项和为
，
，且
，若存在
，使得
成立，则实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
56．（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）已知数列
通项公式为
，若对任意
，都有
则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
07 实际应用中的数列问题
57．（2023·湖北·高二湖北省鄂州高中校联考期中）某人从2023 年起，每年1 月1 日到银行新存入2 万元
（一年定期），若年利率为2%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2033 年1 月1 日
将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的线数约为（ ）（单位：万元）
参考数据：
A．2.438
B．19.9
C．22.3
D．24.3
58．（2023·河南南阳·高二统考期中）小李年初向银行贷款
万元用于购房，购房贷款的年利率为
，按
复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分
次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元.
A．
B．
C．
D．
59．（2023·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习）某公司有10 名股东，其中任何六名股东所持股份之和
不少于总股份的一半，则下列选项错误的是（ ）
A．公司持股最少的5 位股东所持股份之和可以等于总股份的
B．公司持股较多的5 位股东所持股份均不少于总股份的
C．公司持股最大的股东所持股份不超过总股份的
D．公司持股较多的2 位股东所持股份之和可以超过总股份的
60．（2023·河南·高二校联考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022 年10 月16 日在北京召开，
二十大报告提出：尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．必须牢
固树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，站在人与自然和谐共生的高度谋划发展．某市为了改善当地
生态环境，计划通过五年时间治理市区湖泊污染，并将其建造成环湖风光带，预计第一年投入资金81 万元，
以后每年投入资金是上一年的
倍；第一年的旅游收入为20 万元，以后每年旅游收入比上一年增加10 万
元，则这五年的投入资金总额与旅游收入总额分别为（ ）．
A．781 万元，60 万元
B．525 万元，200 万元
C．781 万元，200 万元
D．1122 万元，270 万元
61．（2023·山东·高二山东师范大学附中校考期末）如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会
徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知
为直角顶点，设这些直角三角形的
周长从小到大组成的数列为
，令
为数列
的前
项和，则
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
62．（2023·湖南岳阳·统考一模）核电站只需消耗很少的核燃料，就可以产生大量的电能，每千瓦时电能
的成本比火电站要低20%以上.核电无污染，几乎是零排放，对于环境压力较大的中国来说，符合能源产业
的发展方向，2021 年10 月26 日，国务院发布《2030 年前碳达峰行动方案》，提出要积极安全有序发展核
电.但核电造福人类时，核电站的核泄漏核污染也时时威胁着人类，如2011 年，日本大地震导致福岛第一
核电站发生爆炸，核泄漏导致事故所在地被严重污染，主要的核污染物是锶90，它每年的衰减率为2.47%.
专家估计，要基本消除这次核事故对自然环境的影响至少需要800 年，到那时，原有的锶90 大约剩（
）（参考数据
）
A．
B．
C．
D．
08 以数列为载体的情境题
63．（2023·山东淄博·高三统考期中）若项数为n 的数列
，满足：
，我们称其
为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1 为4 项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1 为5 项的
“对称数列”．设数列
为
项的“对称数列”，其中
，
，
，
是公差为
的等差数列，数
列
的最小项等于
，记数列
的前
项和为
，若
，则
的值为 ．
64．（2023·上海·高三上海中学校考期中）给定一张
的数表（如下表），
0
1
2
3
n
统计
，
，
，
中各数出现次数．若对任意
，1，
，n，均满足数k 恰好出现
次，则称之为
阶自指表，举例来说，下表是一张4 阶自指表．
0
1
2
3
1
2
1
0
对于如下的一张7 阶自指表．记
，N 的所有可能值为
．
0
1
2
3
4
5
6
65．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）对于数列
，由
作通项得到的数列
，称
为数列
的差分数列，已知数列
为数列
的差分数列，且
是以1 为首项以2 为
公差的等差数列，则
．
66．（2023·广东·高三校联考阶段练习）
，
为一个有序实数
组，
表示把A 中每个-1 都变为
，0，每个0 都变为
，1，每个1 都变为0，1 所得到的新的有序实
数组，例如：
，则
．定义
，
，若
，
中有
项为1，则
的前
项和为 ．
67．（2023·山东·高三校联考阶段练习）若项数为
的数列
满足：
我们称其为
项的“对称数列”．例如：数列
为
项的“对称数列”；数列
为项的“对称数列”．设
数列
为
项的“对称数列”，其中
是公差为
的等差数列，数列
的最大项等于，
记数列
的前
项和为
，若
，则
．
09 数列的递推问题
68．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按
下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．规则：1．每次只能移动1 个金属片；2．较大的金
属片不能放在较小的金属片上面．请你试着推测：把n 个金属片从1 号针移到3 号针，最少需要移动
次？
69．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）数学的发展推动着科技的进步，
技术的蓬勃发展得
益于线性代数､群论等数学知识的应用.目前某区域市场中
智能终端产品的制造仅能由
公司和
公司提
供技术支持.据市场调研预测，
商用初期，该区域市场中采用
公司与
公司技术的智能终端产品分别
占比
及
.假设两家公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，
上一周期采用
公司技术的产品中有
转而采用
公司技术，采用
公司技术的仅有
转而采用
公
司技术.设第
次技术更新后，该区域市场中采用
公司与
公司技术的智能终端产品占比分别为
及
，
不考虑其他因素的影响.
(1)用
表示
，并求实数
，使
是等比数列.
(2)经过若干次技术更新后该区域市场采用
公司技术的智能终端产品占比能否超过
？若能，至少需要
经过几次技术更新？若不能，请说明理由.（参考数据：
）
70．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛
出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第
（
）次抛沙包后
沙包在甲手中的方法数为
，在丙手中的方法数为
.
(1)求证：数列
为等比数列，并求出
的通项；
(2)求证：当n 为偶数时，
.
71．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）如图，已知曲线
及曲线
．
从
上的点
作直线平行于
轴，交曲线
于点
，再从点
作直线平行于
轴，交曲线
于
点
，点
的横坐标构成数列
．
(1)试求
与
之间的关系，并证明：
；
(2)若
，求
的通项公式．
