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一次函数全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），
能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.
2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性
质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.
3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对
已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.
4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量
与
，并且对于
的每一个确定的值，
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说
是自变量，
是
的函数.
是
的函数，如果当
＝
时
＝
，那么
叫做当自变量为
时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
要点二、一次函数的相关概念
一次函数的一般形式为
，其中
、是常数，≠0.特别地，当
＝0 时，一次
函数
即
（
≠0），是正比例函数.
要点三、一次函数的图象及性质
1、函数的图象
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点
组成的图形，就是这个函数的图象.
要点诠释：
直线
可以看作由直线
平移|
|个单位长度而得到（当
＞0 时，向上
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变化的世界
函 数
建立数学模型
应
用
概 念
选择方案
概 念
再认识
表示方法
图 象
性 质
一次函数
（正比例函数）
一元一次方程
一元一次不等式
二元一次方程组
与数学问题的综合
与实际问题的综合
列表法
解析法
图象法
平移；当
＜0 时，向下平移）.说明通过平移，函数
与函数
的图象之间可以
相互转化.
2、一次函数性质及图象特征
掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）
要点诠释：
理解
、
对一次函数
的图象和性质的影响：
（1）决定直线
从左向右的趋势（及倾斜角
的大小——倾斜程度），决定
它与
轴交点的位置，
、
一起决定直线
经过的象限．
（2）两条直线
：
和
：
的位置关系可由其系数确定：
与
相交；
，且
与
平行；
，且
与
重合；
（3）直线与一次函数图象的联系与区别
一次函数的图象是一条直线；特殊的直线
、直线
不是一次函数的图象.
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要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式
方程（组）、不等式问题
函 数 问 题
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求关于
、
的一元一次
方程ax
b
＝0（
≠0）的
解
为何值时，函数y
ax
b
的
值为0？
确定直线y
ax
b
与
轴
（即直线
＝0）交点的横坐标
求关于
、
的二元一次
方程组
1
1
2
2
，
．
y
a x
b
y
a x
b 的解．
为何值时，函数
1
1
y
a x
b
与
函数
2
2
y
a x
b
的值相等？
确定直线
1
1
y
a x
b
与直线
2
2
y
a x
b
的交点的坐标
求关于
的一元一次不等
式ax
b
＞0（
≠0）的解
集
为何值时，函数y
ax
b
的
值大于0？
确定直线y
ax
b
在
轴
（即直线
＝0）上方部分的所
有点的横坐标的范围
【典型例题】
类型一、函数的概念
1、下列说法正确的是：（ ）
Ａ.变量
满足
，则
是的函数；
Ｂ.变量
满足
，则
是的函数；
Ｃ.变量
满足
，则
是的函数；
Ｄ.变量
满足
，则
是的函数.
【答案】A；
【解析】B、C、D 三个选项，对于一个确定的
的值，都有两个
值和它对应，不满足单值对应
的条件，所以不是函数.
【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，
函数值是唯一确定的.
举一反三：
【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）
【答案】B；
2、求函数
的自变量的取值范围.
【思路点拨】要使函数有意义，需
或
解这个不等式组即可.
【答案与解析】
解：要使函数
有意义，则
要符合：
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即：
或
解方程组得自变量取值是
或
.
【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的
的集合.
举一反三：
【变式】求出下列函数中自变量
的取值范围
（1）
（2）
（3）
【答案】
解：（1）要使
有意义，需
，解得
≠0 且
≠－1；
（2）要使
有意义，需
，解得
；
（3）要使
有意义，需
，解得
.
类型二、一次函数的解析式
3、已知
与
成正比例关系，且其图象过点(3，3)，试确定
与
的函数关系，并画
出其图象．
【思路点拨】
与
成正比例关系，即
，将点(3，3)代入求得函数关系式.
【答案与解析】
解：设
，由于图象过点(3，3)知
，故
．
其图象为过点(2，0)与(0，－6)的一条直线（如图所示）．
【总结升华】
与
成正比例满足关系式
，
与
－2 成正比例满足关系式
，注意区别.
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举一反三：
【变式】直线
平行于直线
2
1
y
x
，且与
轴交于点（2，0），求这条直线的解析式.
【答案】
解：∵直线
平行于直线
2
1
y
x
∴
∵与x 轴交于点（2，0）
∴
①
将k ＝2 代入①，得
∴此直线解析式为
2
4
y
x
.
类型三、一次函数的图象和性质
4、已知正比例函数
（
≠0）的函数值
随
的增大而减小，则一次函数
的图象大致是图中的（ ）．
【答案】B；
【解析】∵
随
的增大而减小，∴
＜0．
∵
中
的系数为1＞0，
＜0， ∴经过一、三、四象限，故选B．
【总结升华】本题综合考查正比例函数和一次函数图象和性质，＞0 时，函数值随自变量
的增大而增大．
举一反三：
【变式】 已知正比例函数
的图象上两点A(
,
), B(
,
)，当
时, 有
, 那么
的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】 A；
提示：由题意
随着
的增大而减小，所以
，选A 答案.
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类型四、一次函数与方程（组）、不等式
5、如图，平面直角坐标系中画出了函数
的图象．
（1）根据图象，求
和
的值．
（2）在图中画出函数
的图象．
（3）求
的取值范围，使函数
的函数值大于函数
的函数值．
【思路点拨】（3）画出函数图象后比较，要使函数
的函数值大于函数
的函数值，需
的图象在
图象的上方.
【答案与解析】
解：（1）∵直线
经过点（－2，0），（0，2）．
∴
解得
∴
．
（2）
经过（0，2），（1，0），图象如图所示．
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（3）当
的函数值大于
的函数值时，也就是
，解得
＞0，2即
的取值范围为
＞0．
【总结升华】函数图象在上方函数值比函数图象在下方函数值大.
类型五、一次函数的应用
6、为落实校园“阳光体育”工程，某校计划购买篮球和排球共20 个．已知篮球每个80
元，排球每个60 元．设购买篮球
个，购买篮球和排球的总费用
元．
（1）求
与
之间的函数关系式；
（2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的3 倍，应如何购买，才能使总费用最少？
最少费用是多少元？
【答案与解析】
解：（1）设购买篮球
个，购买篮球和排球的总费用
元，
＝80
＋60（20－
）＝1200＋20
；
（2）设购买篮球
个，
≥3（20－
），
解得
≥15，
要使总费用最少，
必须取最小值15，
＝1200＋20×15＝1500．
答：购买篮球15 个，排球5 个，才能使总费用最少．最少费用是1500 元．
【总结升华】本题考查一次函数的应用，根据总钱数
做为等量关系列出函数式，然后根据自
变量的取值范围求出最值．
举一反三：
【变式】一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7 元，销售价是每份1 元，卖不掉的
报纸还可以以0.20 元的价格返回报社，在一个月内（以30 天计算），有20 天每天可
卖出100 份，其余10 天，每天可卖出60 份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同，
若以报亭每天从报社订购报纸的份数为
，每月所获得的利润为
．
（1）写出
与
之间的函数关系式，并指出自变量
的取值范围；
（2）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多
少？
【答案】
解：（1）
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．
类型六、一次函数综合
7、如图所示，直线
的解析表达式为
，且
与
轴交于点D，直线
经过A、
B 两点，直线
、
交于点C．
(1)求点D 的坐标；
(2)求直线
的解析表达式；
(3)求△ADC 的面积；
(4)在直线
上存在异于点C 的另一点P，使得△ADP 与△ADC 的面积相等，请直接写出
点P 的坐标．
【答案与解析】
解： (1)由
，当
＝0，得
＝0，得
＝l．∴ D(1，0)．
(2)设直线
的解析表达式为
，
由图象知，
，
；
，
．
将这两组值代入，得方程组
解得
∴ 直线
的解析表达式为
．
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(3)∵ 点C 是直线
与
的交点，于是有
解得
∴ C(2，－3)．
∴ △ADC 的AD 边上的高为3．
∵ OD＝1，OA＝4，
∴ AD＝3．
∴
．
(4)P(6，3)．
【总结升华】这是一道一次函数图象与性质的综合应用问题，求直线的函数解析式，一般运用
待定系数法，但运用过程中，又要具体问题具体分析；求底边在坐标轴上三角形的面积的关
键是探求该三角形的高．
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