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一次函数的应用（基础）
【学习目标】
1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；
2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；
3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；
4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际
问题的能力．
【要点梳理】
要点一、数学建模的一般思路
数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建
模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象
化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是
将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.
要点二、正确认识实际问题的应用
在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的
函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.
要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热
门考点.
要点三、选择最简方案问题
分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比
较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际
问题中的重要作用.
【典型例题】
类型一、简单的实际问题
1、在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程
（千米）随时间（时）变化的图象
（全程）如图所示.下列说法正确的有（ ）：
①起跑后1 小时内，甲在乙的前面；
②第1 小时两人都跑了10 千米；
③甲比乙先到达终点；
④两人都跑了20 千米.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
【答案】C；
【解析】①②④正确.在起跑1 小时以内，甲的图象始终在乙的图象的上方，故甲在乙的前面；
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第一小时，两人所跑的路程均为10 千米；乙比甲先到达终点；乙的速度是10 千
米/时，2 小时跑了20 千米，甲也跑了同样的路程.
【总结升华】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息，
再分析这四个结论．
举一反三：
【变式】如图OB、AB 分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中
和分别表示运动
路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①甲让乙先跑12 米；②甲的速度比
乙快1.5 米/秒；③8 秒钟内，乙在甲前面；④8 秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说
法是（ ）
A．①② B．①②③④ C．②③ D．①③④
【答案】B；
提示：①由图形，＝0 时，甲在乙前边12 米，即甲让乙先跑12 米，故①正确；②当
＝8 秒时，甲追上了乙，所以甲的速度比乙快12÷8＝1.5 米/秒，故②正确；③8 秒
钟内，AB 在OB 的上面，即可知乙在甲前面，故③正确；④8 秒钟后，AB 在OB 的下面，
即可知甲超过了乙，故④正确．
故选择B．
类型二、方案选择问题
2、某办公用品销售商店推出两种优惠方案：①购一个书包，赠送一支水性笔；②购书包
和水性笔一律按9 折优惠，书包每个定价20 元，水性笔每支定价5 元，小丽和同学需买
4 个书包，水性笔若干(不少于4 支)．
(1)分别写出两种优惠方法购买费用
(元)与所买水性笔支数
(支)之间和函数关系式；
(2)对
的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
(3)小丽和同学需买这种书包4 个和水性笔12 支，请你设计怎样购买最经济．
【答案与解析】
解：(1)根据题意可得：
方案①购买费用
与购买水性笔支数
之间的函数关系式：
＝4×20＋5(
－4)＝5
＋60(
≥4)；
方案②购买费用
与购买水性笔支数
之间的函数关系式；
＝4×20×0.9＋5×0.9
＝4.5
＋72(
≥4)．
(2)在同一坐标系内分别画出
与
的图象，如图所示，由图象可知：
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＝24 时，两个函数的函数值相等；
＞24 时，对同一个
，
上的点都在
上的点的上边即
＞
；
4≤
＜24 时，对同一个
，
上的点都在
上的点的上边即
＜
．
可得优惠方案：当购买24 支水性笔时，方案①与方案②同样优惠；当购买水性笔不少于
4 支但没超过24 支时，方案①收费少，选方案①；当购买水性笔超过24 支时，方案②收费少，
选方案②.
(3)小丽购买4 个书包，12 支水性笔时，12＜24，应在方案①中，费用
＝5×12＋60＝
120（元）．
但题中有一个条件不可忽视，方案①购买4 个书包赠4 个水性笔，而方案②中一律9 折，
这让人不得不想到还可这样购买．两种优惠全用，在方案①中买4 个书包这样得4 支笔，总共
买12 支笔还差8 支，去方案②中打9 折购买，算一算总费用
＝4×20＋5×0.9×8＝80＋36
＝116（元）；而116＜120．
故小丽这样买最经济：按方案①买4 个书包得4 支水性笔．按方案②买余下的8 支水性
笔．
【总结升华】（2）对
的取值情况进行分析选择优惠方案就是利用图象找
取何值时，值相
等的这个临界点，然后再根据图象谁在上面，在上面的图象花费大，在下面的图象花费小．
举一反三：
【变式】某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费（元）与复印页数（页）的关系如
下表：
(页)
100
200
400
1000
…
(元)
40
80
160
400
⑴若
与
满足初中学过的某一函数关系，求函数的解析式；
⑵现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200 元的承包费，则可按每页0.15 元收费。则乙
复印社每月收费
（元）与复印页数
（页）的函数关系为_________；
⑶在给出的坐标系内画出（1）、（2）中的函数图象，并回答每月复印页数在1200 左右应选择
哪个复印社？
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【答案】
解：⑴.
0
4.0
x
x
y
⑵.
0
200
15
.0
x
x
y
⑶．
由图象可知，当每月复印页数在1200 左右，应选择乙复印社更合算.
3、某工厂现有甲种原料360 千克，乙种原料290 千克，计划用这两种原料生产A、B 两种
产品共50 件，己知生产l 件A 种产品需用甲种原料9 千克，乙种原料3 千克，可获利700
元；生产1 件B 种产品，需用甲种原料4 千克，乙种原料10 千克，可获利润1200 元．
(1)按要求安排A、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来．
(2)设生产A、B 两种产品获总利润为
元，其中生产A 种产品的件数为
，试写出
与
之间的函数解析式，并利用函数性质说明(1)中哪种生产方案获总利润最大？最大
利润是多少？
【思路点拨】（1）设工厂可安排生产
件A 产品，则生产（50-
）件B 产品，根据不能多于原
料的做为限制列出不等式组求解．（2）可以分别求出三种方案比较即可，也可以根据B 生产
的越多，A 少的时候获得利润最大．
【答案与解析】
解：本题给出的信息繁杂、数据较多，可用列表分析，
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(1)设安排生产A 种产品
件，则B 种产品为(50－
)件，
由题意得
解得
．
∵
是整数，∴
只能取30、31、32．
∴ 生产方案有三种，分别为A 种30 件，B 种20 件；A 种31 件，B 种19 件；
A 种32 件，B 种18 件．
(2)由生产A 种产品的件数为
，则
＝700
＋1200(50－
)＝－500
＋60000，
是
的一次函数，
∵
＝－500＜0，根据一次函数的性质，
∴
随
的增大而减小，
∴ 当
＝30，
值最大，
－500×30＋60000＝45000，
即安排生产A 种产品30 件，B 种产品20 件时，获得利润最大，
最大利润是45000 元．
【总结升华】本题的最值问题是利用解不等式和一次函数的性质，并要注意自变量的实际取
值范围．
4、某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线，顺次为A 楼、B
楼、C 楼，其中A 楼与B 楼之间的距离为40 米，B 楼与C 楼之间的距离为60 米．已知A
楼每天有20 人取奶，B 楼每天有70 人取奶，C 楼每天有60 人取奶，送奶公司提出两种
建站方案．
方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；
方案二：让每天A 楼与C 楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B 楼所有取奶的人到奶
站的距离之和．
(1)若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置?
(2)若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置?
【思路点拨】（1）设取奶站建在距A 楼
米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为
米，求出
各函数在自变量下的最小值，（2）设取奶站建在距A 楼
米处，列出等量关系式，解得
．
【答案与解析】
解：(1)设取奶站建在距A 楼
米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为
米．
①当0≤
≤40 时，
＝20
＋70(40－
)＋60(100－
)＝－1l0
＋8800．
∴当
＝40 时，
的最小值为4 400．
②当40＜
≤100 时，
＝20
＋70(
－40)＋60(100－
)＝30
＋3200．
此时，
的值大于4400．
因此按方案一建奶站，取奶站应建在B 楼处．
(2)设取奶站建在距A 楼
米处．
①当0≤
≤40 时，20
＋60(100－
)＝70(40－
)，
解得
（舍去）．
②当40＜
≤100 时，20
＋60(100－
)＝70(
－40)，
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解得
＝80，因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A 楼80 米处．
【总结升华】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意
利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数
随
的变化，结合自变量
的取值范围确定最值．
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