文档文本内容
《一元二次方程》小结与复习
学 习
目 标
1、一元二次方程的相关概念；
2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；
3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；
4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；
5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；
学习重点
运用知识、技能解决问题。
学习难点
解题分析能力的提高．
教 学 互 动 设 计
一、知识梳理
1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式
，只含有 一
个求知数（一元），并且求知数的
最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是：ax
2 + bx
+ c =0(
a ≠0)
，其中ax2是二次项，a 是二次项系数，bx 是一
次项，b 是一次项系数，c 是常数项。
3、一元二次方程的解法：①直接开方法、②配方法、③公式法、④因式分解法
4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是△= b 2 -4
ac
，当⊿>0 时，方程有两个不相等
的实数根；当⊿=0 时，方程有两个相等的实数根；当⊿< 0 时，方程没有实数根；当⊿≥
0 时，方程有
实数根。
5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）
当⊿= b 2 -4
ac
≥
0 时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为x=
；若一元
二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2，则x1＋x2=
，x1•x2=
。
若一元二次方程
+px+q=0 的两根为
、
，则：x1＋x2==
- p
， x1•x2=
q 。
6、一元二次方程的应用。
二、基本知识训练
1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是【 C 】
A．
2
2
1
0
x
x
B．
2
0
ax
bx
c
C．(
1)(
2)
1
x
x
D．
2
2
3
2
5
0
x
xy
y
2、某学校准备修建一个面积为200 平方米的矩形花圃，它的长比宽多10 米，设花圃的宽为x
米，则可列方程为x ( x ＋
10)
＝
200
，化为一般形式为x 2 + 10
x -200
=0
。
3、已知1 是关于x 的一元二次方程（m
1
﹣）x2+x+1=0 的一个根，则m 的值是【 B 】
A． 1
B．﹣1
C．0 D．无法确定
4、咸宁市2009 年平均房价为每平方米2000 元．连续两年增长后，2011 年平均房价达到每平
方米2420 元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为2000
（ 1+
x ）
2 =2420
，此方程
适宜用直接开平方法解。
5、用配方法解关于x 的一元二次方程x2
2
﹣x
3=0
﹣
，配方后的方程可以是【 A 】
A．（x
1
﹣）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x
1
﹣）2=16 D．（x+1）2=16
6、若一元二次方程
0
2
2
m
x
x
有实数解，则m 的取值范围是【 B 】
A．
1
-
m
B．
1
m
C．
4
m
D．
2
1
m
7、下列一元二次方程两实数根和为-4 的是【 D 】
A． x2+2x-4=0 B． x2-4x+4=0 C． x2+4x+10=0 D．x2+4x-5=0
8、已知m 和n 是方程2x2﹣5x﹣3=0 的两根，则
-
。
三、典型例题分析
【例1】用适当的方法解下列方程：
⑴x2﹣4x+2=0 ⑵
⑶
解：⑴x=
；⑵x1=1，x2=-3；⑶x=
。
【例2】已知x 是一元二次方程x2+2x-8＝0 的根，求代数式
的值．
解：∵
=
=
=
又∵x2+2x-8＝0，
∴x1＝-4，x2＝2，
但当x＝2 时原式无意义，故当x＝-4 时原式=
=
【例3】关于x 的一元二次方程x2＋3x＋m-1＝0 的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m 的取值范围；
（2）若2 (x1+x2)+ x1x2+10=0，求m 的值.
解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴⊿=9-4( m-1)≥0，
解之得：
.
（2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1+x2=-3，x1x2= m-1，
∴2 ×(-3)+ ( m-1)+10=0
解之得：m=-3.
【例4】如果方程x2＋px＋q＝0 的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结
论，解决下列问题：
（1）已知关于x 的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方
程两根的倒数；
（2）已知a、b 满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求
＋
的值；
（3）已知a、b、c 均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c 的最小值．
解：（1）设x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两根为x1，x2．
∴x1＋x2＝－m，x1·x2＝n．∴
＋
＝
＝－
，
·
＝
．
∴所求一元二次方程为x2＋
＋
＝0，即nx2＋mx＋1＝0．
（2）当a≠b 时，由题意知a，b 是一元二次方程x2－15x－5＝0 的两根，
∴a＋b＝15，ab＝－5．
∴
＋
＝
＝
＝
＝－47．
②当a＝b 时，
＋
＝1＋1＝2．
∴
＋
＝－47 或2．
（3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝
．
∴a，b 是方程x2＋cx＋
＝0 的两根．∴△＝c2－
≥0．
∵c＞0，∴c3≥64．∴c≥4．∴c 的最小值为4．
【例5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5 元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩
大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2
元的单价对外批发销售。
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5 吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200 元。
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。
解：（1）设平均每次下调的百分率为，依题意可列方程：
解这个方程，得
，
因为降价的百分率不可能大于1，所以
不符合题意，
符合题目要求的是
%
答：平均每次下调的百分率是20%。
（2）小华选择方案一购买更优惠。
理由：方案一所需费用为：
（元）
方案二所需费用为：
（元）
14400 <15000
∵
，
∴小华选择方案一购买更优惠。
四、经典考题训练
1、下列方程，是一元二次方程的是 ①④⑤
。
①3x2+x=20， ②2x2-3xy+4=0， ③
， ④ x2=0， ⑤
2、方程(m-2)x|m|+3mx+1=0 是关于x 的一元二次方程，则 m= -2
。
3、已知关于x 的方程x2-kx-6=0 的一个根为 -2，则实数k 的值为【 C 】
A．1
B．
C．2
D．
4、关于x 的二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0 的一个根是0，则a 的值为【 B 】
A、1 B、
C、1 或
D、0.5
5、方程
2
3
1
0
x
x
的解是
1
2
3
5
3
5
,
2
2
x
x
．
6、已知关于x 的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：如
x 2 =1
等
．
7、如果方程ax2+2x+1=0 有两个不等实数根，则实数a 的取值范围是a ＜
1 且
a ≠0
．
8、已知α、β 是一元二次方程x2-4x-3=0 的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= -6 ．
9、若关于x 的方程ax2+2（a+2）x+a=0 有实数解，那么实数a 的取值范围是
a ≥
1
﹣
．
10、用适当的方法解下列方程：
⑴x2-2x-3=0 ⑵x(x-2)+x-2=0 ⑶（x+1）(x-1)+2(x+3)=8 ⑷x2-3x-1=0
解：⑴x1=-1，x2=3；⑵x1=-1，x2=2；⑶x1=1，x2=-3；⑷
11、先化简，再求值：
2
2
2
1
1
1
1
a
a
a
a
a
，其中a 是方程
6
2
x
x
的根．
解：原式=
2
2
(
1)(
1)
(2
1)
1
1
a
a
a
a
a
a
=
2
2
2
2
1
1
a
a
a
a
a
=
2
1
(
1)(
1)
(
2)
a
a
a
a
a a
=
2
1
a
a
∵a 是方程
6
2
x
x
的根，∴
6
2
a
a
∴原式=
2
1
a
a
= 6
1
12、已知关于x 的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0 有两个不相等的实数根，求k 的取值范
围。
解：∵方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0 有两个不相等的实数根
(
∴k-2)2≠0，且△=(2k+1)2-4(k-2)2×1=20k-16>0
∴k >
且k≠2
13、已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0 的两实数根，求
的值.
解：由根与系数的关系，得x1+x2=-7，x1x2=-8，
∴
=
=
=
=-
．
14、已知关于x 的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．
（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1，x2是原方程的两根，且
，求m 的值，并求出此时方程的两根．
（1）证明：∵△=(m+3)2-4(m-1)=(m+1)2+4．
∵无论m 取何值时，(m+1)2+4 的值恒大于0,
∴原方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=-(m+3)，x1x2=m+1，∵
；∴
，
∴(x1+x2)2-4x1x2=8，∴[-(m+3)]2-4(m+1)=8，∴m2+2m-3=0,
解得：m1=-3，m2=1．
当m=-3 时，原方程化为：x2-2=0，解得：
．
当m=1 时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：
15、阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4－5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2－5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2=1，∴x=±1；
当y=4时，x2=4，∴x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=－1，x3=2，x4=－2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 换元
法达到__
降次
__
的目的，体现了数学的转化
思想．
（2）解方程（x2+x）2－4（x2+x）－12=0．
解：（2）设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0，
解得y1=6，y2=－2．
由x2+x=6，得x1=－3，x2=2．
由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0，
b2－4ac=1－4×2=－7<0，此时方程无解．
所以原方程的解为x1=－3，x2=2．
16、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙
MN 最长可利用25m），现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面
积为300m2．
解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．
根据题意可得，x（50﹣2x）=300，
解之得：x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，
故x1=10（不合题意舍去），
答：可以围成AB 的长为15 米，BC 为20 米的矩形．
17、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗
不超过60 棵，每棵售价120 元；如果购买树苗超过60 棵，每增加1 棵，所出售的这批树苗每棵售
价均降低0.5 元，但每棵树苗最低售价不得少于100 元，该校最终向园林公司支付树苗款8800 元，
请问该校共购买了多少棵树苗？
解：因为60 棵树苗售价为120 元×60=7200 元＜8800 元，
所以该校购买树苗超过60 棵，设该校共购买了x 棵树苗，由题意得：
x[120
0.5
﹣
（x
60
﹣
）]=8800，
解得：x1=220，x2=80．
当x2=220 时，120
0.5×
﹣
（220
60
﹣
）=40＜100，
∴x1=220（不合题意，舍去）；
当x2=80 时，120
0.5×
﹣
（80
60
﹣
）=110＞100，
∴x=80，
答：该校共购买了80 棵树苗．
