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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题09 基本初等函数第五缉
1．【2016 年江苏预赛】已知a、b 为实数．若二次函数f (x)= x
2+ax +b满足f (f (0))= f (f (1))=0，且
f (0)≠f (1)，则f (2)的值为__________．
【答案】3
【解析】
易知，f (0)=b，f (1)=1+a+b均为方程f (x)=0的根．
则x
2+ax +b≡(x -b)(x -(1+a+b))⇒a=-1-a-2b，
b=b(1+a+b)⇒a=- 1
2 ，b=0⇒f (2)=3．
2．【2016 年江苏预赛】已知函数f (x)= loga(a x
2- x + 1
2)
在区间[1,2]内的值恒正．则实数a 的取值范围是
__________．
【答案】( 1
2 , 5
8 )∪( 3
2 ,+∞)
【解析】
解:因为函数f ( x)= loga(a x
2- x + 1
2 )（a>0 且a≠1）在[1,2]上恒正，则说明不等式恒成立，则对于底
数a 分情况讨论，a>1,0<a<1，分别讨论单调性得到最值，求解参数的范围。
3．【2016 年湖北预赛】已知函数f (x)满足f (1)=2，且f ( x +1)= 1+ f ( x)
1-(fx) 对定义域内任意的x 均成立．则
f(2016)= _________.
【答案】1
3
【解析】
由f (x +1)= 1+ f (x)
1- f (x)
，易得
f (x +2)=-
1
f (x) ，f (x + 4)= f (x).
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故f (x)是以4 为周期的周期函数.
由f (2)=-3 ，f (3)=- 1
2 ,f (4)= 1
3 ⇒f (2016)= f (4)= 1
3
4．【2016 年甘肃预赛】已知f (x) 是R上最小正周期为2 的周期函数，且当0≤x<2时，f (x)= x
3- x，则
函数y = f (x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为__________．
【答案】7.
【解析】分析：根据条件求出函数f ( x) 在[0,2)上的零点个数，再利用函数的周期为2 求出[0,6] 上的零点。
详解：当0≤x<2时，f ( x)= x
3- x，令f ( x)=0, x =0 或x =1（x =-1舍去），因为函数f ( x)的周期为
2，所以当2≤x<4时，函数的零点为2,3，当4≤x<6，函数的零点为4,5，当x =6,f (6)= f (0)=0，所以
6 是零点。故在区间[0,6]上的零点有0,1,2,3,4,5,6.共7 个。
点睛：本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数与方程的关系，结合函数的周期性是解题的关键。
5．【2016 年甘肃预赛】已知a、b 为方程log3 x3+ log273 x =- 4
3
的两个根.则a+b=__________.
【答案】10
81
【解析】
原方程变形为
1
1+ log3 x + 1+ log3 x
3
=- 4
3
.
令1+ log3 x =t.
则1
t + t
3 =- 4
3 ⇒t =-1或-3⇒1+ log3 x =-1或-3.
于是，方程的两根分别为1
9 、1
81
.
故a+b= 10
81
.
6 ．【2016 年北京预赛】设f (x)为2014 次的多项式，使得f (k )= 1
k
(k =1,2,⋯,2015). 则f (2016)=
__________.
【答案】
1
1008
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【解析】
构造函数g(x)= xf (x)-1.
则g(1)= g(2)=⋯= g(2015)=0.
故g(x)=a(x -1)(x -2)⋯(x -2015)，其中，g(x)中的系数a为待定常数.
由f (x)= g(x)+1
x
= a(x -1)(x -2)⋯(x -2015)+1
x
为2014 次的多项式，得
a(x -1)(x -2)⋯(x -2015)+1的常数项必为0.
故-2015!a+1=0⇒a=
1
2015!
.
因此f (2016)= 1+1
2016 =
1
1008
.
7．【2016 高中数学联赛（第01 试）】正实数u,v ,v均不等于1，若loguvw + logv w =5,logu+ logw v =3，
则logwu的值为
.
【答案】4
5
【解析】令loguv =a,logv w =b，则logvu= 1
a ,logw v = 1
b
，
条件化为a+ab+b=5, 1
a + 1
b =3，由此可得ab= 5
4
.
因此logwu= logw v ⋅logvu= 1
ab = 4
5
.
8．【2015 年全国】设a、b为不相等的实数.若二次函数f ( x)= x
2+ax +b满足f (a)= f (b)，则f (2)的值
为______.
【答案】4
【解析】
由已知条件及二次函数图像的轴对称性得
a+b
2
=- a
2 ⇒2a+b=0
⇒f (2)= 4+2a+b= 4.
故答案为：4
9．【2015 年浙江预赛】已知函数f (x)满足f (x +1)+ f (1- x)=0，f (x +2)- f (2- x)=0，且f(
2
3)=1.则
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f(
1000
3 )=______.
【答案】-1
【解析】
注意到，f (x +2)= f (2- x)= f (1-(x -1))=- f (1+(x -1))=- f (x)
⇒f (x + 4)= f (x).
故f(
1000
3 )= f(1- 1
3)=- f(
2
3)=-1.
10．【2015 年浙江预赛】设函数f (x)=min{x
2-1, x +1,- x +1}，其中，min {x , y , z}表示x、y 、z中的
最小者.若f (a+2)>f (a)，则实数a的取值范围是______.
【答案】(-∞,-2)∪(-1,0)
【解析】
当a+2≤-1时，a<a+2≤-1，此时，f (a)<f (a+2)；
当-1<a+2<0时，-3<a<-2，此时，f (a)≤f (-2)=-1<f (a+2)；
当0≤a+2≤1时，-2≤a<-1，此时，f (a)≥f (a+2)；
当1<a+2<2时，有-1<a<0，此时，f (a)<f (a+2)；
当a+2≥2时，a≥0，此时，f (a)≥f (a+2).
11 ．【2015
年上海预赛】对整数n≥3，记f (n)= log23×log34×⋯×logn-1n. 则
f (2
2)+ f (3
2)+⋯+ f (10
2)=_________.
【答案】54
【解析】
注意到，f (n)= log23× log24
log23 ×⋯×
log2n
log2(n-1) = log2n.
于是，f (2
k)=k.
故f (2
2)+ f (3
2)+⋯+ f (10
2) =2+3+⋯+10=54.
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12．【2015 年上海预赛】若关于x 的方程2 x|x|-a|x|=1有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是
______.
【答案】a<-2❑√2
【解析】
由已知得y =2 x -a与y = 1
|x|
(x≠0)的图像恰有三个交点，考虑极端情形，y =2 x -a与y = 1
- x
(x<0)相
切，知a<-2❑√2.
13．【2015 年新疆预赛】设P 为函数f (x)= x + 2
x
(x>0)的图像上任意一点，过点P 分别向x 轴、y 轴引垂
线，垂足分别为A、B.则|PA|+|PB|的最小值为________.
【答案】4
【解析】
设P(x , y).依题意知
|PA|=|y|= y ,|PB|=|x|= x，其中，y = x + 2
x
(x>0).
故|PA|+|PB|= y + x =2(x + 1
x)≥2×2❑√x⋅1
x = 4，
当且仅当x = 1
x
时，上式等号成立.
因为x>0，所以，x =1时上述不等式取等号.
因此，当且仅当x =1时，|PA|+|PB|有最小值4.
14．【2015 年新疆预赛】设f (x)=a x
5+b x
3+cx +10，且f (3)=3.则f (-3)= ________.
【答案】17
【解析】
注意到，对任意的x，有f (x)+ f (- x)=20.
故f (-3)=17.
15．【2015 年四川预赛】若4
a=6
b=9
c，则1
a - 2
b + 1
c =_________。
【答案】0
【解析】
设4
a=6
b=9
c=k.
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则a= logk 4 ,b= logk 6,c = logk 9
⇒1
a - 2
b + 1
c = logk 4 -2logk 6+ logk 9= logk1=0.
16．【2015 年安徽预赛】函数f (x)=|x +1|+|x +3|+e
- x(x∈R)的最小值为______.
【答案】6-2ln 2
【解析】
当x ≤-3时，f (x)=-2 x - 4+e
- x，f (x)单调递减.
当-3≤x ≤-1时，f (x)=2+e
- x，此时，f (x)亦单调递减.
当x ≥-1时，f (x)=2 x + 4 +e
- x，f
' (x)=2-e
- x.
令f
' (x)=0⇒x =- ln 2.
因此，f (x)在x =- ln 2处取得最小值6-2ln 2.
17．【2015 年安徽预赛】设f (x)是定义域为R的具有周期2π的奇函数，且f (3)= f (4)=0.则f (x)在区间
[0,10]中至少有______个零点.
【答案】11
【解析】
由题设知f (π+ x)= f (-π+ x)=- f (π- x).
令x =0，得f (π)=0.
另一方面，
f (2π- 4)= f (- 4)=- f (4)=0.
类似地，f (2π-3)=0.
因此，f (x)在区间[0,10]中的零点一定包含
0、π、2π、3π、3、2π+3、2π-3、4π-3、4、2π- 4、4π- 4.
容易构造f (x)使得恰有这11 个零点.
18．【2015 年北京预赛】已知函数f : N →N定义如下：f (x)=¿，则集合A =¿中元素的个数为_________.
【答案】8
【解析】
一方面，当x∈{0,1,⋅⋅⋅,7}时，计算得f (x)∈{0,1,⋅⋅⋅,7}且可验证{0,1,⋅⋅⋅,7}⊆A.
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另一方面，当x ≥8时，x
2 < x，且x +7
2
< 2 x
2 < x
则f (f (f (x)))<8，不成立.
因此，A = {0,1,⋅⋅⋅,7}，共8 个元素.
19．【2015 年陕西预赛】已知函数f (x)=¿______.
【答案】1
【解析】
因为对任意x∈R，均有f (x)≥0，所以，f (f (x))=1.
20．【2015 年山西预赛】函数y =
❑√1- x
2
2+ x
的值域为________.
【答案】[0,
❑√3
3 ]
【解析】
由条件知x∈[-1,1].
令x =cosα (α ∈[0,π ]).则
y =
sin α
2+cosα
( y ≥0)，
⇒2 y =sin α - y cosα =
❑√1+ y
2sin (α +θ)≤
❑√1+ y
2，
⇒1+ y
2≥4 y
2⇒y
2≤1
3
，
因为y ≥0，所以，y ∈[0,
❑√3
3 ]
.
21 ．【2015 年山东预赛】设函数
的最大值为
，最小值为
，则
=___________ .
【答案】2
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【解析】
，令
，则
为奇函数，
所以
的最大值和最小值和为0，又
.
有
，即
.
答案为：2.
22．【2015 年辽宁预赛】已知实数a、b满足a+lga=10,b+10
b=10.则lg(a+b)= ______.
【答案】1
【解析】
因为1 ga=10-a,10
b=10-b,所以,a 为y =1 gx与y =10- x的交点横坐标,b 为y =10
x与y =10- x的
交点纵坐标.
又y =1gx与y =10
x关于直线y = x对称, y =10- x关于直线y = x对称,则两个交点关于直线y = x对称.
故10-b=a⇒lg(a+b)=1.
23．【2015 年江西预赛】函数y =
❑√8 x - x
2-
❑√14 x - x
2- 48
的最大值为____________________。
【答案】2❑√3
【解析】
注意到，y = ❑√x (8- x)- ❑√(x -6)(8- x)= ❑√8- x(❑√x - ❑√x -6)=
6 ❑√8- x
❑√x + ❑√x -6
.①
其定义域为6≤x ≤8.
当x =6时，式①的分子最大而分母最小，此时，分式的值达到最大，其值为2❑√3.
24．【2015 年湖北预赛】对任意实数x，均有|x +a|-|x +1|≤2a.则实数a的最小值为__________.
【答案】1
3
【解析】
由|x +a|-|x +1|≤|(x +a)-(x -1)|=|a-1|，
知f (x)=|x +a|-|x -1|的最大值为|a-1|.
由题意知|a-1|≤2a⇒a≥1
3
.从而，实数a的最小值为1
3
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25．【2015 年湖北预赛】函数f (x)=(❑√1+ x + ❑√1- x +2)(❑√1- x
2+1)的值域为__________.
【答案】[2+ ❑√2,8]
【解析】
由已知得f (x)的定义域为[-1,1].
令t = ❑√1+ x + ❑√1- x.则t
2=2+2
❑√1- x
2∈[2,4].
又t ≥0，故t ∈[❑√2,2]，且f (x)= g(t )=(t +2) t
2
2 = 1
2 t
3+t
2.
显然，g(t )在区间[❑√2,2]上单调递增，因此g(t )即f (x)的值域为[❑√2+2,8].
26．【2015 年黑龙江预赛】若函数 y = f (x)对定义域的每一个值x1 ，在其定义域内均存在唯一的x2，满
足f (x1)(x2)=1，则称该函数为“依赖函数”。给出以下命题：
①y = 1
x
2为依赖函数；
②y = ❑√2+sin x(x∈[- π
2 , π
2])
为依赖函数；
③y =2
x为依赖函数；
④y = ln x为依赖函数；
⑤y = f (x)，y = g(x)均为依赖函数，且定义域相同，则y = f (x)g(x)为依赖函数。
其中，所有真命题的序号为___________________。
【答案】②③
【解析】
由依赖函数的定义，知在命题①中当x1=1时，存在x2=±1满足f (x1)(x2)=1.
在命题②中，函数单调递增，值域为[❑√2-1,❑√2+1]，(❑√2-1)(❑√2+1)=1，符合题意。
在命题③中，函数单调递增，值域为(0,+ ∞)，符合题意。
在命题④中，当x1=1时，ln x1=0，不存在x2
满足f (x1)(x2)=1.
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在命题⑤中，若f (x)= 1
x ，g(x)= 1
x
，由命题①知不成立。
27．【2015 年河南预赛】已知实数x、y 满足 2 x = ln( x + y -1)+ ln( x - y -1)+ 4. 则2015 x
2+2016 y
3的
值为______.
【答案】8060
【解析】
令u= x + y -1，v = x - y -1.则u+ v -2= lnu+ ln v
⇒(lnu-u+1)+(ln v - v +1)=0.
设f (x)= ln x - x +1. 则f ' (x)= 1
x -1= 1- x
x
.
于是 ，f (x)在区间（0，1）上递增，在区间(1,+∞)上递减.
故f (x)≤f (1)= ln1-1+1=0，即f (x)≤0,当且仅当x =1时，等号成立.
由f (u)+ f (v)=0,f (u)≤0,f (v)≤0,知必须且一定是u= v =1.
从而，x =2, y =0.故2015 x
2+2016 y
3=8060.
28．【2015 年甘肃预赛】若关于x的方程|x|
x + 4 =k x
2有四个不同的实数解,则实数k的取值范围是
___________
【答案】(
1
4 ,+ ∞)
.
【解析】试题分析：易知方程| x|
x + 4 =k x
2有一根为0，当x≠0时，原方程化为1
x + 4 =k | x|，则该方程有3
个不同实数解.作出函数y =
1
x + 4
的图像，因为方程
1
x + 4 =k | x|有3 个不同实数解，易知k ≠0.由图可知
k <0时，方程1
x + 4 =k | x|只有1 个实数解.所以k >0.由图易知当x>0时，方程1
x + 4 =k | x|总有一个根；
当x<0时，由
1
x + 4 =k | x|得
1
x + 4 =-kx ⇒k x
2+ 4 kx +1=0，令Δ=16k
2- 4 k =0⇒k = 1
4 ,(k ≠0).所以
k = 1
4
时，在x<0的范围内，方程1
x + 4 =k | x|有两个相等的实数根.由图可知，若要方程
1
x + 4 =k | x|有3
个不同实数解，则k > 1
4
.即实数k 的取值范围是（1
4 ，+∞）.
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考点：方程的根与函数的零点、函数的图像
29．【2015 年甘肃预赛】设f(x)为定义在整数集上的函数,满足条件
(1)f (1)=1,f (2)=0;
(2)对任意的x、y均有f (x + y)= f (x)f (1- y)+ f (1- x)f ( y) 则f (2015)=______.
【答案】±1
【解析】
在条件(2)中令x =0,则f ( y)= f (0)f (1- y)+ f (1)f ( y)，
由f (1)=1,知f (0)f (1- y)=0.
在上式中令y =0,则f (0)f (1)=0⇒f (0)=0.
在条件(2)分别令x =1,-1,2得f ( y +1)= f (1)f (1- y)+ f (0)f ( y) = f (1- y),
f ( y -1)= f (-1)f (1- y)+ f (2)f ( y) = f (-1)f (1- y)= f (-1)f ( y +1),
f ( y +2)= f (2)f (1- y)+ f (-1)f ( y) = f (-1)f ( y)，
由f ( y -1)= f (-1)f ( y +1)
f ( y)= f (-1)f ( y +2) ⇒f ( y)= f
2(-1)f ( y) ⇒f (-1)=±1
.
若f (-1)=1,则f ( y +2)= f ( y)，
由条件(1)知f (x)=¿，
经检验,f 满足条件故f (2015)=1.
若f (-1)=-1,则f ( y +2)=- f ( y) f (x)=¿，
经检验,f 满足条件故f (2015)=-1.
综上,f (2015)=±1.
30．【2015 年福建预赛】已知f (x)= x + g(x)，其中，(x)是定义在R上、最小正周期为2 的函数.若f (x)在
区间[2,4)上的最大值为1，则f (x)在区间[10,12)上的最大值为__________.
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【答案】9
【解析】
依题意有f (x +2)=(x +2)+ g(x +2)= x + g(x)+2= f (x)+2.
由f (x)在区间[2,4)上的最大值为1，知f (x)在区间[4,6)上的最大值为3，……在区间[10,12)上的最大值为
3+2×3=9.
31．【2015 年福建预赛】已知f (x)=2
xm+ x
2+nx.若¿，则m+n的取值范围是__________.
【答案】[0,4)
【解析】
设x1∈¿.则f (x1)=2
x1m+ x1
2+n x1=0，
⇒f (f (x1))= f (0)=m=0⇒f (x)= x
2+nx，
⇒f (f (x))= f (x
2+nx)=(x
2+nx)(x
2+nx +n).
从而，方程x
2+nx +n=0的解集A为方程x
2+nx =0的解集B的子集.
若A =∅，则Δ=n
2- 4 n<0⇒0<n<4.
若A ≠∅，则A = B⇒n=0.
因此，0≤n<4.
于是，m+n的取值范围是[0,4).
32．【2015 高中数学联赛（第01 试）】设a，b 为不相等的实数，若二次函数f(x)=x2+ax+b 满足
f (a)= f (b)，则f(2)的值为
.
【答案】4
【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性，可得a+b
2
=- a
2
，即2a+b=0，所以
f (2)= 4+2a+b= 4.
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