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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题10 基本初等函数第六缉
1．【2021 年吉林预赛】关于x 的方程2|2 x -2|-acos(1- x)=0 只有一个实数解，则(
)
A.a=-1
B.a=1
C.a=2
D.a 的值不唯一
【答案】B
【解析】函数f ( x)=2|2 x -2|-acos(1- x) 的图象关于直线x =1 对称.
又方程只有一个实数解，所以f (1)=0. 得a=1 .
当a=1 时,f ( x)=2
|2 x -2|-cos(1- x)≥1-1=0 ,当且仅当x =1 时取等号.
即方程2|2 x -2|-acos(1- x)=0 只有一个实数解，符合题设.
选B.
2．【2021 年吉林预赛】已知函数f ( x)=¿ 若对∀x ∈(t
2- 4 ,t
2) ,不等式f ( x +t )<4 f ( x) 恒成立,则实
数t 的取值范围是(
)
A.(
1- ❑√17
2
, 1+ ❑√17
2 )
B.(0,1) C.[
1- ❑√17
2
, 1+ ❑√17
2 ]
D.[0,1]
【答案】D
【解析】函数f（x）在R 上递减，且4f（x）=f（2x），
拆以f ( x +t )<4 f ( x)⇔f ( x +t )<f (2 x)⇔x +t >2 x⇔t > x .
所以t ≥t
2 ,解專0≤t ≤1 .
选D .
3．【2020 年吉林预赛】设f ( x) 是定义在实数集R 上的函数,并且满足下列关系:
f (10+ x)= f (10- x) ,
f (20- x)=- f (20+ x) .
则f ( x) 是(
)
A.偶函数,又是周期函数
B.偶函数,但不是周期函数
C.奇函数,又是周期函数
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D.奇函数,但不是周期函数
【答案】C
【解析】f (20- x)= f (10+(10- x))
= f (10-(10- x))= f ( x)=- f (20+ x)
⇒f (40+ x)= f (20+(20+ x))
=- f (20+ x)= f ( x) .
从而,f ( x) 为周期函数.
又f (- x)= f (40- x)= f (20+(20- x))
=- f (20-(20- x))=- f ( x) ，
于是,f ( x) 为奇函数.
4．【2020 年吉林预赛】已知函数f ( x) 为单调函数,且x∈ (0,+∞) 时,均有f (f ( x)+ 2
x )=1. 则f (1)= (
)
A.-3
B.-2
C.-1
D.0
【答案】D
【解析】设f ( x)+ 2
x =k(k 为常数).
由f (f ( x)+ 2
x )= f (k )=1
⇒f ( x)+ 2
x =k ⇒f ( x)=k - 2
x
⇒f (k )=k - 2
k =1.
由x∈(0,+∞) ,解得k =2.
从而,f ( x)=2- 2
x .
因此,f (1)=2- 2
1 =0.
5．【2019 年贵州预赛】方程组¿的解的组数是(
)
A.5
B.6
C.7
D.8
【答案】B
【解析】解法1:分别画出y =e
| x|-e与|| x|-| y ||=1的图像,从中看出两图像有六个交点,故方程组解的
组数有六组.
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解法2:由题意得| y |=| x|-1或| y |=| x|-1,
即e
| x|-| x|=e -1或e
| x|-| x|=e+1,
令f ( x)=e
| x|-| x|,则f(x)是偶函数且在(0,+∞)上单调递增.分别作直线y=e-1 和y=e+1 与f(x)相交,设交点的
横
坐
标
分
别
是
1,-1, x1, x2,
则
原
方
程
组
有
6
组
解
,
分
别
是
:
(1,0),(-1,0),(x1, y1),(x1,- y1),(x2, y2),(x2,- y2).
6．【2018 年福建预赛】已知定义在R 上的函数f(x)满足：f ( x)=¿且f(x+2)=f(x)，g( x)= 5-2 x
x -2 ，则方程
f(x)=g(x)在区间[3，7]上的所有实根之和为（ ）
A．14 B．12 C．11 D．7
【答案】C
【解析】
如图，作出函数的图像.
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由图像可知，两函数的图像在区间[－3，7]上有5 个不同的交点.设它们的横坐标从小到大依次为x1，x2，
x3，x4，x5.
由于函数y=f(x)与y=g(x)的图像均关于点(2，－2)对称.
所以，x1+ x5=4，x2+x4=4，x3=3.
所以，方程f(x)=g(x)在区间[－3，7]上的所有实根之和x1+ x2+x3+x4+x5=11. 选C.
7．【2018 年北京预赛】若f (x) 是R上周期为5 的奇函数，且满足f (7)=9，则f (2020)- f (2018)=
A．6. B．7. C．8. D．9.
【答案】D
【解析】
因为f (x) 是R上周期为5 的奇函数，所以，
f (2020)- f (2018)= f (5×404+0)- f (5×404 -2)= f (0)+ f (2)=0+ f (7)=0+9=9. 选D.
8 ．【2018 年北京预赛】设f (x)是定义在R上的函数，若存在两不等实数x1, x2∈R，使得
f(
x1+ x2
2 )= f (x1)+ f (x2)
2
，则称函数f (x)具有性质P，那么以下函数：
①f (x)=¿；②f (x)= x
2；③f (x)=|x
2-1|；④f (x)= x
3中，不具有性质P的函数为
A．①. B．②. C．③. D．④.
【答案】B
【解析】
具有性质P的函数的特点是：存在一条直线与函数图象有三个交点，且其中一个是另外两个交点的中点.画
图可知①、③、④都是具有性质P的函数，②不具备有三个交点，②是不具有性质P的函数, 选B.
9．【2018 年湖南预赛】若2
x=7，2
y =6，则4
x - y等于( )
A．36
49 B．7
6 C．6
7 D．49
36
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【答案】D
【解析】
2
x =7，2
y =6 则4
x - y =2
2 x -2 y = 2
2 x
2
2 y = 49
36 ；
故选D.
10．【2018 年湖南预赛】定义在R上的函数f ( x)满足f ( x +2)=2f ( x)，且当x∈[2,4 ]时，f ( x)=¿，对
∀x1∈[-2,0]，∃x2∈[-2,1]，使得g( x2)= f ( x1)，则实数a的取值范围为（ ）
A．(-∞,- 1
8 )∪[ 1
8 ,+∞) B．[- 1
4 ,0)∪(0, 1
8 ]
C．(0,8] D．(-∞,- 1
4 ]∪[ 1
8 ,+ ∞)
【答案】D
【解析】
由题知问题等价于函数f ( x)在[-2,0]上的值域是函数g( x)在[-2,1]上的值域的子集．当x∈[2,4 ]时，
f ( x)=¿
x + 2
x ,3< x ≤4
-( x -2)
2+ 4,2≤x ≤3¿，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时f ( x)∈[3, 9
2 ]，由
f ( x +2)=2f ( x)，可得f ( x)= 1
2 f ( x +2)= 1
4 f ( x + 4)，当x∈[-2,0]时，x + 4∈[2,4 ]．则
f ( x)在[-2,0]的值域为[ 3
4 , 9
8 ]．当a>0时，g( x)∈[-2a+1,a+1]，则有{❑
a+1≥9
8
-2a+1≤3
4，解得a≥1
8，当
a=0时，g( x)=1，不符合题意；当a<0时，g( x)∈[a+1,-2a+1]，则有{❑
-2a+1≥9
8
a+1≤3
4
，解得a≤- 1
4 ．综
上所述，可得a的取值范围为 (-∞,- 1
4 ]∪[ 1
8 ,+∞)．故本题答案选D．
点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，
求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该 不重复不遗漏．
11．【2018 年陕西预赛】已知a= log85,b= log43,c = 2
3
，则a,b,c的大小关系是（ ）
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A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>b>a
【答案】C
【解析】
a= log2
3√5>1,b= log2
❑√3>1,c = 2
3 <1,∵5
2<3
3,∴
3√5<❑√3,∴c<a<b.
12．【2018 年陕西预赛】设x , y ∈R，且log4(x +2 y)+ log4(x -2 y)=1，则x -|y|的最小值是（ ）
A．❑√3 B．2 C．2❑√3 D．4
【答案】A
【解析】
由题意得x
2- 4 y
2= 4 且x>2|y|，不妨设x =2sec θ , y = tanθ ,θ∈(- π
2 , π
2)
.
∴x -|y|=
2
cosθ -|sinθ|
cosθ
，等式右边是θ的偶函数，故不妨令
t = 2-sinθ
cosθ
,θ∈[0, π
2)⇒sinθ+t cosθ =2.
∴
❑√t
2+1sin (θ+φ)=2⇒
2
❑√t
2+1
≤1⇒t
2≥3，
故当且仅当x = 4
❑√3 ,|y|= 1
❑√3
时取最小值❑√3.
13．【2018 年陕西预赛】已知a= log85,b= log43,c = 2
3
，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>b>a
【答案】C
【解析】
a= log2
3√5>1,b= log2
❑√3>1,c = 2
3 <1,∵5
2<3
3,∴
3√5<❑√3,∴c<a<b.
14．【2018 年陕西预赛】设x , y ∈R，且log4(x +2 y)+ log4(x -2 y)=1，则x -|y|的最小值是（ ）
A．❑√3 B．2 C．2❑√3 D．4
【答案】A
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【解析】
由题意得x
2- 4 y
2= 4 且x>2|y|，不妨设x =2sec θ , y = tanθ ,θ∈(- π
2 , π
2)
.
∴x -|y|=
2
cosθ -|sinθ|
cosθ
，等式右边是θ的偶函数，故不妨令
t = 2-sinθ
cosθ
,θ∈[0, π
2)⇒sinθ+t cosθ =2.
∴
❑√t
2+1sin (θ+φ)=2⇒
2
❑√t
2+1
≤1⇒t
2≥3，
故当且仅当x = 4
❑√3 ,|y|= 1
❑√3
时取最小值❑√3.
15．【2018 年陕西预赛】已知a= log85,b= log43,c = 2
3
，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>b>a
【答案】C
【解析】
a= log2
3√5>1,b= log2
❑√3>1,c = 2
3 <1,∵5
2<3
3,∴
3√5<❑√3,∴c<a<b.
16．【2018 年陕西预赛】设x , y ∈R，且log4(x +2 y)+ log4(x -2 y)=1，则x -|y|的最小值是（ ）
A．❑√3 B．2 C．2❑√3 D．4
【答案】A
【解析】
由题意得x
2- 4 y
2= 4 且x>2|y|，不妨设x =2sec θ , y = tanθ ,θ∈(- π
2 , π
2)
.
∴x -|y|=
2
cosθ -|sinθ|
cosθ
，等式右边是θ的偶函数，故不妨令
t = 2-sinθ
cosθ
,θ∈[0, π
2)⇒sinθ+t cosθ =2.
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∴
❑√t
2+1sin (θ+φ)=2⇒
2
❑√t
2+1
≤1⇒t
2≥3，
故当且仅当x = 4
❑√3 ,|y|= 1
❑√3时取最小值❑√3.
17．【2018 年贵州预赛】小王在word 文档中设计好一张A4 规格的表格，根据要求，这种规格的表格需要
设计1000 张，小王欲使用“复制—粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本word 文档中
“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制—粘贴”的次数至少为（ ）
A．9 次 B．10 次 C．11 次 D．12 次
【答案】B
【解析】
解：设需要“复制—粘贴”的次数至少为n．则由题意知，第1 次可以“复制—粘贴”1 张，第2 次“复制
—粘贴”2 张（包括原来设计好的那一张)，第3 次“复制—粘贴”4 张，…，第n 次“复制—粘贴”2n－1张．
所以1+1+2+2
2+……+2
n-1≥1000⇒2
n≥1000 ．故n≥10．因此，需要“复制—粘贴”的次数至少为
10．故答案为：B．
18．【2018 年吉林预赛】已知函数f (x)满足：f (1)= 1
4 ，4 f (x)f ( y)= f (x + y)+ f (x - y) (x , y ∈R)，
则f (2019)=（ ）.
A．1
2
B．-1
2
C．1
4
D．-1
4
【答案】B
【解析】
取x=1，y=0，得f (0)= 1
2
；
取x=1，y=1，得4 f
2(1)= f (2)+ f (0)，故f (2)=- 1
4
；
取x=2，y=1，得4 f (1)f (2)= f (3)+ f (1)，故f (3)=- 1
2
；
取x=n，y=1，有f (n)= f (n+1)+ f (n-1)
同理，f (n+1)= f (n+2)+ f (n).
联立得f (n+2)=- f (n-1)，故f (n+6)= f (n).
所以周期为6，故f (2019)= f (336×6+3)= f (3)=- 1
2
.
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故答案为：B
19．【2018 年吉林预赛】已知f (x)= (2
x+1)
2
2
x⋅x
+1在[-2018,0)∪(0,2018]上的最大值为M，最小值为
N，则M+N=（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】B
【解析】
f (x)的图象关于（0，1）对称，故M + N = f (x)max+ f (x)min=2.
故答案为：B
20．【2018 年天津预赛】在以下四个数中，最大的是（ ）
A．ln ❑√2
B．1
e
C．ln π
π
D．
❑√10 ln10
20
【答案】B
【解析】
考虑函数f (x)= ln x
x
，则四个选项分别是f (2)、f (e)、f (π )、f (❑√10).
由于f ' (x)= 1- ln x
x
2
，可见f (x)在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
所以f (x)在（0，+∞）上的最大值为f (e).
故答案为：B
21．【2018 年四川预赛】已知方程1+ x - x
2
2 + x
3
3 - x
4
4 +⋅⋅⋅- x
2018
2018 =0的所有实数根都在区间[a,b]内
（其中a,b∈Z，且a<b），则b-a的最小值为（ ）.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
令f (x)=1+ x - x
2
2 + x
3
3 - x
4
4 +⋅⋅⋅- x
2018
2018
，则
f
' (x)=1- x + x
2- x
3+⋅⋅⋅- x
2017.
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当x<1时f
' (x)=1- x + x
2(1- x)+⋅⋅⋅+ x
2016(1- x)>0，故f (x)为增函数；
当x =1时，f
' (x)=0；
当x>1时，f
' (x)=1- x + x
2(1- x)+⋅⋅⋅+ x
2016(1- x)<0，故f (x)为减函数.
注意到：
f (-1)=1-1- 1
2 - 1
3 - 1
4 -⋅⋅⋅-
1
2018 <0,
f (0)=1>0,
f (1)=1+(1- 1
2)+(
1
3 - 1
4)+⋅⋅⋅+(
1
2017 -
1
2018)>0,
f (2)=1+(2- 2
2
2)+(
2
3
3 - 2
4
4 )+⋅⋅⋅+(
2
2017
2017 - 2
2018
2018)
=1+0+(
8
3 - 4)+⋅⋅⋅+(
2
2017
2017 - 2
2018
2018)<0,
所以，f (x)仅有两个零点，它们分别在(-1,0)与(1,2)上.
因此a≤-1,b≥2，从而b-a≥3.当a=-1,b=2时可取等号.
所以b-a的最小值为3.
故答案为：C
22．【2018 年四川预赛】对任意正整数n，定义Z (n)为使得1+2+⋅⋅⋅+m 是n的倍数的最小正整数m.关
于下列三个命题：
①若p为奇质数，则Z ( p)= p-1；
②对任意正整数a，都有Z (2
a)>2
a；
③对任意正整数a，都有Z (3
a)=3
a-1.
其中所有真命题的序号为（ ）.
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】D
【解析】
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注意到1+2+⋅⋅⋅+m= m(m+1)
2
.
在①中，使得p¿，即2 p¿，注意到p为奇质数，有p¿或者p¿，从而m的最小值为p-1，因此①正确.
在②中，由2
a¿，注意到(m,m+1)=1，于是有2
a+1¿或者2
a+1¿，故Z (2
a)=2
a+1-1>2
a，因此②正确.
在③中，由3
a¿，注意到2¿，
因此等价于3
a¿，又注意到(m,m+1)=1，于是有3
a¿或者3
a¿，
故Z (3
a)=3
a-1，因此③正确.
故答案为：D
23．【2018 年辽宁预赛】方程a x
2+b| x |+c =0(a,b,c∈R ,a≠0)在复数集内不同的根的个数为（）.
A．2 或4 个
B．至多4 个
C．至多6 个
D．可能为8 个
【答案】C
【解析】
由题设知x 为实数或纯虚数，方程至多有4 个实数根、2 个纯虚数根，故至多6 个根.当a=1,b=-3,c =2
时，x =±1,±2,-3+ ❑√17
2
i, 3- ❑√17
2
i共6 个根.
故答案为：C
24．【2017 年天津预赛】如果x∈[0,1],且log2log2(2 x +2)+2
2 x +2为整数,则满足此条件的实数x有(
)
(A)12 个
(B)13 个
(C)14 个
(D)15 个
【答案】C
【解析】提示：令f (x)=log2log2(2 x +2)+2
2 x +2, x ∈[0,1],则f (x)为增函数,且f (0)= 4 ,f (1)=17,所以
f (x)的值域为[4 ,17].可见f (x)-共能取14 个整数值,从而相应的x有14 个.故选C.
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25．【2017 年吉林预赛】若f (x)= 1+ x
1-3 x ,f 1(x)= f [f (x)],f 2(x)= f [f 1(x)],⋯,f n+1(x)= f [f n(x)],则
f 2017(-2)=(
)
(A)- 1
7
(B)1
7
(C)- 3
5
(D)3
5
【答案】D
【解析】f (x)= 1+ x
1-3 x
,f 1(x)= f [f (x)]= x -1
3 x +1
，f 2(x)= f [f 1(x)]= f(
x -1
3 x +1)= x，
f 3(x)= f [f 2(x)]= f (x)= 1+ x
1-3 x
，
所以f 3n+1( x)= f 1( x)= x -1
3 x +1 ,f 3n+2( x)= f 2( x)= x，f 3n+3(x)= f 3(x)= 1+ x
1-3 x
，
所以f 2017(x)= f 1(x)= x -1
3 x +1
,所以f 2017(-2)=-3
-5 = 3
5
.
26．【2017 年吉林预赛】已知logab+3logba= 13
2
,当a>b>1时, a+b
4
a
2+b
2
的值为(
)
(A)13
(B)4
(C)2
(D)1
【答案】D
【解析】设logab=t,则t + 3
t = 13
2
,解得t = 1
2
或t =6,即b= ❑√a或b=a
6(舍),故a+b
4
a
2+b
2 = a+a
2
a
2+a
=1.
27．【2017 年吉林预赛】已知f 是从集合M到集合N的映射,其中
M ={a,b,c }, N ={-3,-2,-1,0,1,2,3}则满足f (a)+ f (b)+ f (c)=0的映射f 的个数为(
)
(A)19
(B)30
(C)31
(D)37
【答案】D
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【解析】f (a)+ f (b)+ f (c)=0+0+0型:1 个；
f (a)+ f (b)+ f (c)=(-1)+0+1型:A3
3=6个;
f (a)+ f (b)+ f (c)=(-2)+0+2型: A3
3=6个；
f (a)+ f (b)+ f (c)=(-3)+0+3型: A3
3=6个；
f (a)+ f (b)+ f (c)=(-2)+(-1)+3型: A3
3=6个;
f (a)+ f (b)+ f (c)=2+1+(-3)型:A3
3=6个；
f (a)+ f (b)+ f (c)=1+1+(-2)型:3 个;
f (a)+ f (b)+ f (c)=(-1)+(-1)+2型:3个.
共计37 个.
28．【2017 年陕西预赛】已知函数f (x)={
2 x
2+ 4 x +1, x<0,
2
e
x , x ≥0,
则y = f (x)(x∈R)的图象上关于坐标原点O
对称的点共有(
)
(A)0 对
(B)1 对
(C)2 对
(D)3 对
【答案】C
【解析】提示：函数y = f (x)的图象如图中的实线所示.
作y = 2
e
x (x ≥0)的图象关于原点O对称的图象(虚线),其解析式为g(x)=- 2
e
- x (x ≤0).
由于f (-1)=-1<- 2
e = g(-1),所以f (x)=2 x
2+ 4 x +1(x<0)的图象与g(x)=- 2
e
- x (x ≤0)的图象有两个不同
的交点.
14 / 22
故y = f (x)(x∈R)的图象上有且仅有2 对点关于原点O对称.
29．【2017 年黑龙江预赛】若方程a
x- x -a=0有两个实数解,则a的取值范围是(
)
(A)(1,+∞)
(B)(0,1)
(C)(0,2)
(D)(0,+ ∞)
【答案】A
【解析】提示:作出图象,发现当a>1时,函数y =a
x与函数y = x +a有2 个交点.
30．【2017 年黑龙江预赛】已知函数f (x)=9
x-m⋅3
x+m+1对x∈(0,+ ∞)的图象恒在x轴上方,则m的取
值范围是(
)
(A)2-2❑√2<m<2+2❑√2
(B)m<2
(C)m<2+2❑√2
(D)m≥2+2❑√2
【答案】C
【解析】提示:解法一令t =3
x,则问题转化为函数f (t )=t
2-mt +m+1对t ∈(1,+∞)的图象恒在t轴的上方,
即Δ=(-m)
2- 4 (m+1)<0或{
Δ≥0
m
2 <1
1-m+1+m≥0
，
解得m<2+2❑√2
15 / 22
解法二令t =3
x,问题转化为m< t
2+1
t -1 ,t ∈(1,+∞),
即m比函数y = t
2+1
t -1 ,t ∈(1,+∞)的最小值还小,
又y = t
2+1
t -1 =t -1+ 2
t -1 +2≥2❑√
(t -1) 2
t -1 +2=2+2❑√2,
所以m<2+2❑√2.
31．【2016 年天津预赛】方程|2 x -5|+|3 x -7|+|5 x -11|= 2015
2016
共有( )个实数根
A．0 B．1 C．2 D．大于或等于3
【答案】A
【解析】
注意到,
|2 x -5|+|3 x -7|+|5 x -11|≥|(2 x -5)+(3 x -7)+(11-5 x)|=1 > 2015
2016
故方程无解.
32．【2016 年天津预赛】设a 为实数,要使得对任何的x∈(-∞,1)∪(5,+∞),均有x
2-2(a-2) x +a>0.
则所有满足上述要求的a组成的集合为( )
A．(-∞,5] B．(1,4)
C．(1,7] D．(1,5]
【答案】D
【解析】
令f (x)= x
2-2(a-2) x +a，
下面分两种情形讨论：
(1)f (x)没有零点，
此时,f (x)恒大于0,显然满足要求，
由△= 4 (a-2)
2- 4 a<0→a∈(1,4).
(2)f (x)有零点.
此时,由函数图像知f (x)满足要求当且仅当：
16 / 22
f (1)≥0,f (5)≥0,1≤a-2≤5,
且f (a-2)≤0.
由f (1)≥0,f (5)≥0⇒a≤5;
由1≤a-2≤5⇒3≤a≤7;
由f (a-2)≤0⇒a≤1或a≥4.
取交集得a∈[4,5].
综上,a∈(1,4)∪[4,5]=(1,5].
33．【2016 年天津预赛】设函数f (x)的定义域是(∞,+∞)
对于下列四个命题:
(1)若f (x)为奇函数,则f (f (x))也为奇函数;
(2)若f (x)为周期函数,则f (f (x))也为周期函数;
(3)若f (x)为单调递减函数,则f (f (x))为单调递增函数;
(4)若方程f (f (x))= x有实根,则方程f (x)= x也有实根,
其中,正确的命题共有( )个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
若f (x))为奇函数,则f (f (- x))= f (- f (x))=- f (f (x)).
故f (f (x))也为奇函数.因此,命题(1)正确.
若f (x)为周期函数,设T 为f (x)的一个周期,则f (f (x +T ))= f (f (x)).
故f (f (x))也为周期函数，因此,命题(2)正确.
若f (x)为单调递减函数,则对任何x< y,由:
f (x)>f ( y)= f (f (x))<f (f ( y)).
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故f (f (x))为单调递增函数，因此,命题(3)正确.
但命题(4)不正确例如,取：
f (x)=¿.
故方程f (f (x))= x有0、1两个实根,但x≠0 或1时, f (x)=|x|+2> x,
而f (0)=1,f (1)=0,知方程f (x)= x没有实根.
34．【2016 年吉林预赛】函数f (x)=e
x+2 x -3的零点所在的一个区间为（）
A．(-1,0) B．(0, 1
2)
C．(
1
2 ,1)
D．(1, 3
2)
【答案】C
【解析】
代入知f (-1)=e
-1-5<0，f (0)=-2<0，f(
1
2)= ❑√e -2<0，f (1)=e -1>0，f(
3
2)=e
3
2 >0.
故所求为x∈(
1
2 ,1)
.
35．【2016 年吉林预赛】函数f (x)=e
x+2 x -3的零点所在的一个区间为（）
A．(-1,0) B．(0, 1
2)
C．(
1
2 ,1)
D．(1, 3
2)
【答案】C
【解析】
代入知f (-1)=e
-1-5<0，f (0)=-2<0，f(
1
2)= ❑√e -2<0，f (1)=e -1>0，f(
3
2)=e
3
2 >0.
故所求为x∈(
1
2 ,1)
.
36．【2016 年四川预赛】已知函数f (x)= x
2-2tx +t，当x [-1,1]时，记f (x)的最小值为m.则m 的最大值
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为（）.
A．-2 B．0 C．1
4
D．l
【答案】C
【解析】
当t ≤-1时，m= f (-1)=3t +1，m 的最大值为-2；
当-1<t <1时，m= f (t )=t -t
2=-(t - 1
2)
2
+ 1
4
，m 的最大值为1
4
；
当t ≥1时，m= f (1)=1-t，m 的最大值为0
综上，m 的最大值为1
4
37．【2016 年辽宁预赛】设函数f (x , y)=
❑√x
2+ y
2-6 y +9+
❑√x
2+ y
2+2❑√3 x +3+
❑√x
2+ y
2-2❑√3 x +3则
f(x,y)的最小值为( )
A．3+2❑√3 B．2❑√3+2 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
令A(0,3), B(- ❑√3,0), C (❑√3,0),D(0,1),P(x,y) 则f (x , y)=|PA|+|PB|+|PC|.
注意到,∠ADB=∠BDC=∠CDA=120°于是,D 为△ABC 的费马点.
从而,f (x , y)的最小值在点P 为D 时取到,最小值为|DA|+|DB|+|DC|=6.
38．【2015 年天津预赛】方程3
x+5
x+7
x =11
x共有（ ）个不同的实根.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
令f (x)=(
3
11)
x
+(
5
11)
x
+(
7
11)
x
-1.
则3
x+5
x+7
x=11
x⇒f (x)=0.
注意到，f (0)=2>0，f (2)=- 38
121 <0.
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于是，f (x)=0在区间(0,2)内有一个实根.
因为f (x)在(-∞,+ ∞)上严格单调递减，所以，方程f (x)=0恰有唯一实根.
39．【2015 年四川预赛】记函数f (x)= ❑√2- x + ❑√3 x +12的最大值为M,最小值为m，则M
m
的值为（）
A．
❑√6
2
B．❑√2 C．❑√3 D．2
【答案】D
【解析】
由条件得函数f (x)的定义域为[- 4,2].
当x∈(- 4,2)时，f
' (x)=-1
2❑√2- x +
3
2❑√3 x +12
.
由f
' (x)=0⇒x = 1
2
又f (- 4)= ❑√6，f (2)=3 ❑√2，f(
1
2)=2❑√6，故M =2❑√6，m= ❑√6⇒M
m =2.
40．【2015 年辽宁预赛】已知函数f (x)= x
2-53 x +196+|x
2-53 x +196|.则f (1)+ f (2)+…+ f (50)=
( )
A．660 B．664 C．668 D．672
【答案】A
【解析】
注意到, x
2-53 x +196=(x - 4)(x - 49).
当4≤x ≤49时,
x
2-53 x +196≤0,f (x)=0
.
当x<4 或x>49时,
f (x)=2(x - 4)(x - 49).
故f (1)+ f (2)+…+ f (50)= f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (50)=2(3×48+2×47+1×46+ 46×1)=660.
41．【2015 年吉林预赛】已知f (x)=¿（ ）.
A．2 B．-2 C．1
4
D．- 1
2
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【答案】B
【解析】
由题意知f (f (-1))= f (4)= log 1
2
4 =-2.
42．【2015 年吉林预赛】若方程f (x)-2=0在区间(-∞,0)内有解，则y = f (x)的图像可能是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：解：方程f ( x)-2=0在(-∞,0)内有解，即是y = f ( x)的图象与函数y =2的图象在(-∞,0)内
有交点；在A,B,C,三个选项中，当x∈(-∞,0)时，都有f ( x)<2，不合题意，选项D 中的图象显示，在
轴左侧，y = f ( x)的图象与函数y =2的图象在(-∞,0)内有交点；故选D．
考点：函数的零点．
43．【2015 年吉林预赛】已知f (x)= x|x|.若对任意的x ≥1有f (x +m)+mf (x)<0，则实数m的取值范围
是（ ）.
A．(-∞,-1) B．(-∞,-1]
C．(-∞,-2) D．(-∞,-2]
【答案】B
【解析】
当m=−1 时,f (x +m)+mf (x)=(x+m)|x+m|2+mx2<0，即(x−1)2−x2=1−2x<−1<0 恒成立；
则m=-1满足题意，观察选项，只有B 选项符合题意.
故选：B.
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44．【2015 年吉林预赛】已知函数f (x)= 4 x
3-3 x在区间(a,a+2)上存在最大值.则实数a的取值范围是（
）.
A．(- 5
2 ,-1)
B．(- 5
2 ,-1]
C．(- 5
2 ,- 1
2)
D．(- 5
2 ,- 1
2]
【答案】B
【解析】
注意到，f (x)= 4 x
3-3 x的唯一极大值点为x =- 1
2
，且f(- 1
2)=1= f (1).
故a<- 1
2 <a+2≤1 ⇒- 5
2 <a≤-1.
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