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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题09 基本初等函数第五缉
1．【2016 年江苏预赛】已知a、b 为实数．若二次函数f (x)= x
2+ax +b满足f (f (0))= f (f (1))=0，且
f (0)≠f (1)，则f (2)的值为__________．
2．【2016 年江苏预赛】已知函数f (x)= loga(a x
2- x + 1
2)
在区间[1,2]内的值恒正．则实数a 的取值范围是
__________．
3．【2016 年湖北预赛】已知函数f (x)满足f (1)=2，且f ( x +1)= 1+ f ( x)
1-(fx) 对定义域内任意的x 均成立．则
f(2016)= _________.
4．【2016 年甘肃预赛】已知f (x) 是R上最小正周期为2 的周期函数，且当0≤x<2时，f (x)= x
3- x，则
函数y = f (x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为__________．
5．【2016 年甘肃预赛】已知a、b 为方程log3 x3+ log273 x =- 4
3
的两个根.则a+b=__________.
6 ．【2016 年北京预赛】设f (x)为2014 次的多项式，使得f (k )= 1
k
(k =1,2,⋯,2015). 则f (2016)=
__________.
7．【2016 高中数学联赛（第01 试）】正实数u,v ,v均不等于1，若loguvw + logv w =5,logu+ logw v =3，
则logwu的值为
.
8．【2015 年全国】设a、b为不相等的实数.若二次函数f ( x)= x
2+ax +b满足f (a)= f (b)，则f (2)的值
为______.
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9．【2015 年浙江预赛】已知函数f (x)满足f (x +1)+ f (1- x)=0，f (x +2)- f (2- x)=0，且f(
2
3)=1.则
f(
1000
3 )=______.
10．【2015 年浙江预赛】设函数f (x)=min{x
2-1, x +1,- x +1}，其中，min {x , y , z}表示x、y 、z中的
最小者.若f (a+2)>f (a)，则实数a的取值范围是______.
11 ．【2015
年上海预赛】对整数n≥3，记f (n)= log23×log34×⋯×logn-1n. 则
f (2
2)+ f (3
2)+⋯+ f (10
2)=_________.
12．【2015 年上海预赛】若关于x 的方程2 x|x|-a|x|=1有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是
______.
13．【2015 年新疆预赛】设P 为函数f (x)= x + 2
x
(x>0)的图像上任意一点，过点P 分别向x 轴、y 轴引垂
线，垂足分别为A、B.则|PA|+|PB|的最小值为________.
14．【2015 年新疆预赛】设f (x)=a x
5+b x
3+cx +10，且f (3)=3.则f (-3)= ________.
15．【2015 年四川预赛】若4
a=6
b=9
c，则1
a - 2
b + 1
c =_________。
16．【2015 年安徽预赛】函数f (x)=|x +1|+|x +3|+e
- x(x∈R)的最小值为______.
17．【2015 年安徽预赛】设f (x)是定义域为R的具有周期2π的奇函数，且f (3)= f (4)=0.则f (x)在区间
[0,10]中至少有______个零点.
18．【2015 年北京预赛】已知函数f : N →N定义如下：f (x)=¿，则集合A =¿中元素的个数为_________.
19．【2015 年陕西预赛】已知函数f (x)=¿______.
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20．【2015 年山西预赛】函数y =
❑√1- x
2
2+ x
的值域为________.
21 ．【2015 年山东预赛】设函数
的最大值为
，最小值为
，则
=___________ .
22．【2015 年辽宁预赛】已知实数a、b满足a+lga=10,b+10
b=10.则lg(a+b)= ______.
23．【2015 年江西预赛】函数y =
❑√8 x - x
2-
❑√14 x - x
2- 48
的最大值为____________________。
24．【2015 年湖北预赛】对任意实数x，均有|x +a|-|x +1|≤2a.则实数a的最小值为__________.
25．【2015 年湖北预赛】函数f (x)=(❑√1+ x + ❑√1- x +2)(❑√1- x
2+1)的值域为__________.
26．【2015 年黑龙江预赛】若函数 y = f (x)对定义域的每一个值x1 ，在其定义域内均存在唯一的x2，满
足f (x1)(x2)=1，则称该函数为“依赖函数”。给出以下命题：
①y = 1
x
2为依赖函数；
②y = ❑√2+sin x(x∈[- π
2 , π
2])
为依赖函数；
③y =2
x为依赖函数；
④y = ln x为依赖函数；
⑤y = f (x)，y = g(x)均为依赖函数，且定义域相同，则y = f (x)g(x)为依赖函数。
其中，所有真命题的序号为___________________。
27．【2015 年河南预赛】已知实数x、y 满足 2 x = ln( x + y -1)+ ln( x - y -1)+ 4. 则2015 x
2+2016 y
3的
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值为______.
28．【2015 年甘肃预赛】若关于x的方程|x|
x + 4 =k x
2有四个不同的实数解,则实数k的取值范围是
___________
29．【2015 年甘肃预赛】设f(x)为定义在整数集上的函数,满足条件
(1)f (1)=1,f (2)=0;
(2)对任意的x、y均有f (x + y)= f (x)f (1- y)+ f (1- x)f ( y) 则f (2015)=______.
30．【2015 年福建预赛】已知f (x)= x + g(x)，其中，(x)是定义在R上、最小正周期为2 的函数.若f (x)在
区间[2,4)上的最大值为1，则f (x)在区间[10,12)上的最大值为__________.
31．【2015 年福建预赛】已知f (x)=2
xm+ x
2+nx.若¿，则m+n的取值范围是__________.
32．【2015 高中数学联赛（第01 试）】设a，b 为不相等的实数，若二次函数f(x)=x2+ax+b 满足
f (a)= f (b)，则f(2)的值为
.
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