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一次函数全章复习与巩固（提高）
【学习目标】
1．了解常量、变量和函数的概念，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），
能利用图象数形结合地分析简单的函数关系.
2．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性
质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.
3．通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对
已经学习过的方程（组）及不等式等内容的再认识.
4. 通过讨论选择最佳方案的问题，提高综合运用所学函数知识分析和解决实际问题的能力.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、函数的相关概念
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量
与
，并且对于
的每一个确定的值，
都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说
是自变量，
是
的函数.
是
的函数，如果当
＝
时
＝
，那么
叫做当自变量为
时的函数值.
函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.
要点二、一次函数的相关概念
一次函数的一般形式为
，其中
、是常数，≠0.特别地，当
＝0 时，一次
函数
即
（
≠0），是正比例函数.
要点三、一次函数的图象及性质
1、函数的图象
如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点
组成的图形，就是这个函数的图象.
要点诠释：
直线
可以看作由直线
平移|
|个单位长度而得到（当
＞0 时，向上
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变化的世界
函 数
建立数学模型
应
用
概 念
选择方案
概 念
再认识
表示方法
图 象
性 质
一次函数
（正比例函数）
一元一次方程
一元一次不等式
二元一次方程组
与数学问题的综合
与实际问题的综合
列表法
解析法
图象法
平移；当
＜0 时，向下平移）.说明通过平移，函数
与函数
的图象之间可以
相互转化.
2、一次函数性质及图象特征
掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）
要点诠释：
理解
、
对一次函数
的图象和性质的影响：
（1）决定直线
从左向右的趋势（及倾斜角
的大小——倾斜程度），决定
它与
轴交点的位置，
、
一起决定直线
经过的象限．
（2）两条直线
：
和
：
的位置关系可由其系数确定：
与
相交；
，且
与
平行；
，且
与
重合；
（3）直线与一次函数图象的联系与区别
一次函数的图象是一条直线；特殊的直线
、直线
不是一次函数的图象.
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要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式
方程（组）、不等式问题
函 数 问 题
从“数”的角度看
从“形”的角度看
求关于
、
的一元一次
方程ax
b
＝0（
≠0）的
解
为何值时，函数y
ax
b
的
值为0？
确定直线y
ax
b
与
轴
（即直线
＝0）交点的横坐标
求关于
、
的二元一次
方程组
1
1
2
2
，
．
y
a x
b
y
a x
b 的解．
为何值时，函数
1
1
y
a x
b
与
函数
2
2
y
a x
b
的值相等？
确定直线
1
1
y
a x
b
与直线
2
2
y
a x
b
的交点的坐标
求关于
的一元一次不等
式ax
b
＞0（
≠0）的解
集
为何值时，函数y
ax
b
的
值大于0？
确定直线y
ax
b
在
轴
（即直线
＝0）上方部分的所
有点的横坐标的范围
【典型例题】
类型一、函数的概念
1、下列说法正确的是： （ ）
Ａ.变量
满足
，则
是的函数；
Ｂ.变量
满足
，则
是的函数；
Ｃ.变量
满足
，则
是的函数；
Ｄ.变量
满足
，则
是的函数.
【答案】A；
【解析】B、C、D 三个选项，对于一个确定的
的值，都有两个
值和它对应，不满足单值对应
的条件，所以不是函数.
【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，
函数值是唯一确定的.
类型二、一次函数的解析式
2、某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少
于5000 册时，投入的成本与印数间的相应数据如下：
印数
（册）
5000
8000
10000
15000
……
成本
（元）
28500
36000
41000
53500
……
（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入成本y（元）是印数x（册）的一次函数，
求这个一次函数的解析式（不要求写出x 的取值范围）；
（2）如果出版社投入成本48000 元，那么能印该读物多少册？
【思路点拨】待定系数法求函数解析式，根据两点得到两个二元一次方程，组成一个二元一次
方程组求出解即可．表中信息取两组就可以了.
【答案与解析】
解：（1）设所求一次函数的解析式为
，
则
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解得k ＝
，b ＝16000．
∴所求的函数关系式为y ＝
x ＋16000．
（2）∵48000＝
x ＋16000．
∴x ＝12800．
答：能印该读物12800 册．
【总结升华】此类问题主要是考查考生利用待定系数法来求出有关函数一般解析式中的未知
系数，从而确定该函数解析式的能力．
举一反三：
【变式】已知直线
经过点
，且与坐标轴所围成的三角形的面积为
，求该
直线的函数解析式．
【答案】
解：因为直线过点
，所以
， ①
又因为直线
与x 轴、y 轴的交点坐标分别为
，
再根据
，所以
整理得
②． 根据方程①和②可以得出
，
，
所以
，
．所以所求一次函数解析式为
或
．
类型三、一次函数的图象和性质
3、若直线
（
≠0）不经过第一象限，则
、
的取值范围是（ ）
A.
＞0,
＜0 B.
＞0,
≤0 C.
＜0,
＜0 D.
＜0,
≤0
【思路点拨】根据一次函数的图象与系数的关系解答.图象不经过第一象限，则k＜0，此时图
象可能过原点，也可能经过二、三、四象限.
【答案】D；
【解析】当图象过原点时，
＜0，
＝0，当图象经过二、三、四象限时，
＜0 且
＜0.
【总结升华】图象不经过第一象限包括经过二、三、四象限和过原点两种情况.
举一反三：
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【变式】一次函数
与
在同一坐标系内的图象可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D；
提示：分为
＜0；0＜
＜2；
＞2 分别画出图象，只有D 答案符合要求.
类型四、一次函数与方程（组）、不等式
4、如图，直线y
kx
b
经过A（－2，－1）和B（－3，0）两点，则不等式组
1
0
2 x
kx
b
的解集为 ．
【答案】
；
【解析】从图象上看，y
kx
b
的图象在
轴下方，且在
上方的图象为画红线的部
分，而这部分的图象自变量
的范围在
.
【总结升华】也可以先求出y
kx
b
的解析式，然后解不等式得出结果.
举一反三：
【变式】如图所示，直线
经过点A(－1，－2)和点B(－2，0)，直线
过点A，则
不等式2
＜
＜0 的解集为( )
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A．
＜－2 B．－2＜
＜－1 C．－2＜
＜0 D．－1＜
＜0
【答案】B；
提示：由图象可知A(－1，－2)是直线
与直线
的交点，当
＜－1
时2
＜
，当
＞－2 时，
＜0，所以－2＜
＜－1 是不等式2
＜
＜0 的解集．
类型五、一次函数的应用
5、某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么
服药2
后血液中的含药量最高，达每升6
，接着逐步衰减，10
后血液中的含
药量为每升3
，每升血液中的含药量
随时间
的变化情况如图所示．当
成人按规定剂量服药后：
(1)分别求出
≤2 和
≥2 时，
与
之间的函数关系式；
(2)如果每升血液中的含药量为4
或4
以上时，治疗疾病是有效的，那么这个有
效时间是多长?
【思路点拨】（1）根据题意由待定系数法求函数的解析式.（2）令
≥4，分别求出
的取值范
围，便可得出这个药的有效时间．
【答案与解析】
解：(1)由图知，
≤2 时是正比例函数，
≥2 时是一次函数．
设
≤2 时，
，把(2，6)代入
，解得
＝3，
∴ 当0≤
≤2 时，
．
设
≥2 时，
，把(2，6)，(10，3)代入
中，
得
，解得
，即
．
当
＝0 时，有
，
．
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∴ 当2≤
≤18 时，
．
(2)由于
≥4 时在治疗疾病是有效的，
∴
，解得
．
即服药后
得到
为治病的有效时间，
这段时间为
．
【总结升华】分段函数中，自变量在不同的取值范围内函数的解析式也不相同，因此注意根据
自变量或函数的取值确定某段函数来解决问题．
类型六、一次函数综合
6、如图所示，直线
与
轴交于点A，与
轴交于点B，直线
与直线
关于
轴对称，
且与
轴交于点C．已知直线
的解析式为
．
(1)求直线
的解析式；
(2)D 为OC 的中点，P 是线段BC 上一动点，求使OP＋PD 值最小的点P 的坐标．
【答案与解析】
解： (1)由直线
可得：A(－4，0)，B(0，4)
∵ 点A 和点C 关于
轴对称，∴ C(4，0)．
设直线BC 解析式为：
，则
解得
．
∴ 直线BC 解析式为：
．
(2)作点D 关于BC 对称点D′，连结PD′，OD′．
∴
，∴ OP＋PD＝PD′＋OP．
∴ 当O、P、D′三点共线时OP＋PD 最小．
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∵ OB＝OC，∴ ∠BCO＝45°，∴ ∠
＝90°，
∴
，
∴
．
由
得
∴ 当点P 坐标为
时，OP＋PD 的值最小．
【总结升华】(1)由直线
的解析式得到A、B 点的坐标，进一步得到C 点的坐标，然后利用B、C
两点的坐标利用待定系数法求解析式．(2)利用轴对称性质求出使OP＋PD 值最小的点P 的坐
标．
举一反三：
【变式】如图所示，已知直线
交
轴于点A，交
轴于点B，过B 作BD⊥AB 交
轴
于D．
(1)求直线BD 的解析式；
(2)若点C 是
轴负半轴上一点，过C 作AC 的垂线与BD 交于点E．请判断线段AC 与CE
的大小关系？并证明你的结论．
【答案】
解：(1)由直线
可得：A(0，8)，B(8，0)．
∴ OA＝OB＝8，∠ABO＝45°．
∵ BD⊥AB，
∴ ∠DBO＝45°，
△ABD 为等腰直角三角形．
∴ OD＝OA＝8，D 点坐标为(0，－8)．
设BD 的解析式为
．
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∵ 过B(8，0)，D(0，－8)
∴
，解得
．
∴ BD 的解析式为
(2)AC＝CE；过点C 作CM⊥AB 于M，作CN⊥BD 于点N．
∵ BC 为∠ABD 的平分线，
∴ CM＝CN．
∵ ∠ACE＝90°，∠MCN=90°
∴ ∠ACM＝∠ECN．
在△ACM 和△ECN 中
∴ △ACM≌△ECN(ASA)．
∴ AC＝CE．
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