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专题11 平面向量小题全归类
目 录
01 平面向量基本定理及其应用............................................................................................................2
02 平面向量共线的充要条件及其应用.................................................................................................4
03 平面向量的数量积...........................................................................................................................6
04 平面向量的模与夹角.......................................................................................................................9
05 等和线问题....................................................................................................................................12
06 极化恒等式....................................................................................................................................15
07 矩形大法........................................................................................................................................17
08 平面向量范围与最值问题..............................................................................................................19
09 等差线、等商线问题.....................................................................................................................26
10 奔驰定理与向量四心.....................................................................................................................33
11 阿波罗尼斯圆问题.........................................................................................................................37
12 平行四边形大法.............................................................................................................................41
13 向量对角线定理.............................................................................................................................43
01 平面向量基本定理及其应用
1．（2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）已知
，
是两个不共线的向量，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
是两个不共线的向量，设
，
则
，
即
，解得
，
所以
.
故选：C
2．（2023·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图
所示的直角三角形来构造无理数. 已知
与
交于点
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴建立如图所示的坐标系，
由题意得
，
则
，
.
因为
，故
，
因为
，所以
（负值舍去），
所以
，
故
.又
，则
，
因为
，所以
，
解得
，所以
，
故选：A.
3．（2023·广东肇庆·统考模拟预测）如图，在平行四边形
中，
，
，
与
交于点
.设
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】连接
，
，
三点共线，
可设
，则
，
；
三点共线，
可设
，则
，
；
，解得：
，
，即
.
故选：B.
02 平面向量共线的充要条件及其应用
4．（2023·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）如图，在
中，点
满足
，过点
的直
线分别交直线
于不同的两点
.设
则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
.
又因为
三点共线，所以
.所以
.
所以
所以当
时,
有最小值为
.
故选:A.
5．（2023·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）△ABC 中，D 为AB 上一点且满足
，若P 为
线段CD 上一点，且满足
（
，
为正实数），则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解析】因为P 为线段CD 上一点，则
，且
，
又因为
，可得
，即
，
所以
，
可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为4.
故选：B.
6．（2023·浙江宁波·高二校联考期末）在
中，点O 满足
，过点O 的直线分别交射线AB，
AC 于点M，N，且
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．4
【答案】A
【解析】由题可知，
，
因为
，
，所以
，
，
又
，所以
，
所以
，
因为
三点共线，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
的最小值为
.
故选：A
03 平面向量的数量积
7．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）已知
为坐标原点，点
，
，
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】法一、
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
则
，
，则
，故
正确；
，
，
，故
错误；
，
，
，故
正确；
，
，
，故
错误．
故选：
．
法二、如图建立平面直角坐标系，
，作出单位圆
，并作出角
，
，
，
使角
的始边与
重合，终边交圆
于点
，角
的始边为
，终边交圆
于
，
角
的始边为
，交圆
于
，
于是
，
，
，
，
由向量的模与数量积可知，
、
正确；
、
错误．
故选：
．
8．（2023·安徽安庆·高三安庆市第十中学校考阶段练习）已知在
中，
，
，
，
，P 在CD 上，
，则
.
【答案】4
【解析】因为
，
三点共线，
所以
，解得
，
因为
，所以
，
则
，
，
所以
.
故答案为：
.
9．（2023·上海静安·高三校考阶段练习）已知向量
，且
的夹角为
，
，则
在
方向上的投影向量等于 ．
【答案】
【解析】
，
，
由已知
，解得
（负值舍去），
∴
在
方向上的投影为
，
在
方向上的投影向量为
．
故答案为：
10．（2023·上海闵行·高三校考期中）平面上有一组互不相等的单位向量
，
，…，
，若存在单
位向量
满足
，则称
是向量组
，
，…，
的平衡向量．
已知
，向量
是向量组
，
，
的平衡向量，当
取得最大值时，
的值为 ．
【答案】
【解析】当
时，
取得最大值，
又
，如图所示，
，
设
，
，
则
，
所以
，即
，解得
，
故
，
或
，
，
或
，
故答案为：
04 平面向量的模与夹角
11．（2023•北京）已知向量
，
满足
，
，则
A．
B．
C．0
D．1
【答案】
【解析】
，
，
，
，
．
故选：
．
12．（2023•甲卷）向量
，
，且
，则
，
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】因为向量
，
，且
，所以
，
所以
，
即
，
，
解得
，
，
所以
，
又
，
，
所以
，
，
所以
，
．
故选：
．
13．（2023·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）已知正三角形
的边长为，设
，
．则
与
的夹角= ．
【答案】
/
【解析】由题意知，
，且
，则
,
则
，
，
所以
，
设
与
的夹角为
，则
，
因为
，所以
与
的夹角为
.
故答案为：
.
14．（2023·全国·模拟预测）已知向量
，若实数
满足
，则
与
的
夹角为 ．
【答案】
/
【解析】因为向量
，所以
，
又
，所以
，
故
与
的夹角为
．
故答案为：
．
15．（2023·四川广安·高三校考阶段练习）已知向量
，
，且
在
方向上的投影数量为
，则向量
与
的夹角为 ．
【答案】
【解析】∵
在
方向上的投影数量为
，∴
，
∵
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，∴
，
∴
，
∵
，∴向量
与
的夹角为
，
故答案为：
.
05 等和线问题
16．（2023·湖北·高一校联考期中）给定两个长度为1 的平面向量
和
，它们的夹角为
，点
在
以
为圆心的圆弧
上运动，若
，其中
，则
的最大值为（ ）
A．
B．5
C．
D．6
【答案】A
【解析】如图所示，建立直角坐标系．
．
，设
（
）．
则
，其中
．
∴
，当且仅当
时取等号．
故选A．
17．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1 的平面向量
和
，它们的夹角为90°，如图所示，
点C 在以O 为圆心的圆弧
上运动，若
，其中x，y∈R，则x＋y 的最大值是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】由题得
＝
＝x2＋y2＋2xy
＝x2＋y2，
∴x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.
又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，当且仅当
时等号成立，
故x＋y 的最大值为
.
故选：B
18．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考期中）在
中，
，
，
.
为
所在
平面内的动点，且
，若
，则给出下面四个结论：
①
的最小值为
； ②
的最小值为
；
③
的最大值为
； ④
的最大值为10.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】
如图，以
为原点，
所在的直线分别为
轴，建立平面直角坐标系，
则
，因为
，所以设
，
则
所以
，
则
，即
所以
，其中
，
所以
，
所以①③错误；
，
其中
，
所以②正确，④错误；
故选：A
19．（2023·吉林·统考一模）在直角三角形
中，
，
的重心、外心、垂心、内心分别为
，
，
，
，若
（其中
），当
取最大值时，
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】直角三角形
中，
，
为
中点，
的重心为
，如图所示，
，
则
，
；
直角三角形
中，
，
的外心为
，则
为
中点，如图所示，
，则
，
；
直角三角形
中，
，
的垂心为
，则
与
点重合，
，
则
，
；
直角三角形
中，
，
的内心为
，则点
是三角形内角平分线交点，
直角三角形
中，角
的对边分别为
，设内切圆半径为，
则
，得
，
，
，
.
最大，所以当
取最大值时，
.
故选：B.
06 极化恒等式
20．（2023·山东师范大学附中模拟预测）边长为的正方形内有一内切圆，
是内切圆的一条弦，点
为正方形四条边上的动点，当弦
的长度最大时，
的取值范围是_________．
【答案】
【解析】如下图所示：
设正方形
的内切圆为圆
，当弦
的长度最大时，
为圆
的一条直径，
，
当
为正方形
的某边的中点时，
，
当
与正方形
的顶点重合时，
，即
，
因此，
．
故答案为：
．
21．（2023·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6 的可移动的线段，
，
，
，则
的取值范围为 ________________ ．
【答案】
【解析】在
上取一点
，使得
，取
的中点
，连接
，
，
如图所示：
则
，
，
，
，即
．
，
当
时，
取得最小值，此时
，
所以
．
当
与
重合时，
，
，
则
，
当
与
重合时，
，
，
则
，
所以
，即
的取值范围为
．
故答案为：
22．（2023·陕西榆林·三模）四边形
为菱形，
，
，
是菱形
所在平面的任
意一点，则
的最小值为________．
【答案】
【解析】由题设，
，取
的中点
，连接
，
，
，
则
，
，
所以
．
故答案为：
07 矩形大法
23．设向量
，
，
满足
，
，
，则
的最小值是
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】建立坐标系，以向量
，
的角平分线所在的直线为
轴，使得
，
的坐标分别为
，
，设
的坐标为
，
因为
，
所以
，化简得
，
表示以
为圆心，
为半径的圆，
则
的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，
因为圆到原点的距离为
，所以圆上的点到原点的距离的最小值为
，
故选：B
24．（2023·河北石家庄·高三阶段练习）已知向量
，
，
满足
，
，若
，则
的最大值是 ．
【答案】
．
【解析】分析题意可知，设
，
，则
，
，设
，
∴
，又∵
，∴
，
而
，即点
在以
为圆心，为半径的圆上，
∴
，故填：
．
25．（2023·全国·高三专题练习）已知向量
、
满足
且
，则
的最
大值为 .
【答案】
【解析】求出向量
、
的夹角为
，设
，
，
，根据
可求得点
的轨迹方程，由
的几何意义结合圆的几何性质可求得
的最大值.设
向量
、
的夹角为
，
，
，
，
，
设
，
，
，
则
，
，
由
可得
，
整理得
，即
，其中点
，
，
所以，点
在圆
上，
，则
，
则
的几何意义为点
到定点
的距离，如下图所示：
由圆的几何性质可得
.
故答案为：
.
08 平面向量范围与最值问题
26．（2022•上海）在
中，
，
，点
为边
的中点，点
在边
上，则
的最小值为 ．
【答案】
．
【解析】建立平面直角坐标系如下，
则
，
，
，
直线
的方程为
，即
，
点
在直线上，设
，
，
，
，
的最小值为
．
故答案为：
．
27．（2023•上海）已知
、
、
为空间中三组单位向量，且
、
，
与
夹角
为
，点
为空间任意一点，且
，满足
，则
最大值为
．
【答案】
【解析】设
，
，
，
，不妨设
，
，
，则
，
因为
，
所以
，可得
，
，
所以
，解得
，
故
．
故答案为：
．
28．（多选题）（2023·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知
，
，
，A，B 两点不重合，则（ ）
A．
的最大值为2
B．
的最大值为2
C．若
，
最大值为
D．若
，
最大值为4
【答案】AD
【解析】A 选项，由已知A，B 为单位圆上任意两点，
，
，A 正确；
B 选项，设D 为
的中点，则
，
由于A，B 两点不重合，所以
，则
，故B 错误；
C 选项，当P，A，B 共线时，
，故C 错误；
D 选项，当P，A，B 共线时，若
坐标分别为
与
或
与
时，
两点重合，此时
，
若
坐标不同时为
与
时，此时
⊥
，则
，
故
，故D 正确.
故选：AD
29．（多选题）（2023·福建南平·高一武夷山一中校考期中）圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交
弦定理、割线定理、切割线定理的统一，（其中相交弦定理:圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长
的积相等，例如，如果交点为
的两条相交直线与圆
相交于
与
，则
），如下图，
已知圆
的半径为3，点
是圆
内的定点，且
，弦
、
均过点
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
·
B．
·
的取值范围是
C．当AC⊥BD 时，
·
为定值
D．AC⊥BD 时，
·
的最大值为28
【答案】CD
【解析】如图，设直线
与圆
于
，
．
则
，故A 错误；
取
的中点为
，连接
，
因为
为
中点，所以
，即
，
，
则
，
而
，故
的取值范围是
，故B 错误；
当
时，
，故C 正确；
当
时，圆
半径
，取
中点为
，
中点为
，
则
，又
，所以四边形
为矩形，所以
，
所以
，
当且仅当
，不等式等号成立，所以
·
的最大值为28，故D 正确．
故选：CD．
30．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）在平面四边形
中，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．12
D．15
【答案】C
【解析】如图，以
为原点，
分别为
轴建立平面直角坐标系，
因为
，所以
，
即
，设
，
由
可知，点
的轨迹为
外接圆的一段劣弧
，
且
，即外接圆半径
，
设
外接圆的方程为
，
代入点
可得，
，
解得
或
（舍去），
即点
的轨迹方程为
，
所以
，即
，
又
，当
时，
，
此时点
在劣弧上，满足题意，故
的最大值为12.
故选：C
31．（2023·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）平面直角坐标系
中，定点A 的坐标为
，其中
.若当点
在圆
上运动时，
的最大值为0，则（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】C
【解析】设
，
，
则
，
可得
，
对任意
，可知当
时，
的最大值为
，
可得
，且
，所以
，
且当
时，
的最小值为
.
故选：C.
32．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系
中，
，
，
，动点P 满
足
，则
的最大值是（ ）
A．6
B．
C．5
D．
【答案】A
【解析】由
，得动点P 的轨迹是以
为圆心，以1 为半径的圆，其方程为
，设
，则
，表示圆C 上的点P 到点
的距离，所以
.
故选：A.
33．（2023·四川宜宾·四川省宜宾市南溪第一中学校校考模拟预测）设向量
、
、满足
，
，
，
，则
的最大值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】向量
、
、满足
，
，
，
不妨设
，
，
，则
，
因为
，整理可得
，
的几何意义是圆上的点
到原点
的距离，
而原点
也在圆
上，
所以，
的最大值为圆
的直径长，故
.
故选：A.
09 等差线、等商线问题
34．（2023·全国·高三专题练习）给定两个长度为1 的平面向量
和
，它们的夹角为120°，点C 在以
O 为圆心的圆弧
上运动，若
，其中x、
.则
的最大值为 ；
的取值
范围是 .
【答案】 2
【解析】如图所示，以O 为坐标原点，
所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，
则
，
，
设
.
由于
，
，
.
根据
，得到
从而
故
，当
时，
.
，又
，
，即
.
故答案为：2，
35．（2023·山西·高一统考期末）已知在
中，点
满足
，点
在线段
(不含端点
，
)上移动，若
，则
.
【答案】3
【解析】如图，由题意得存在实数
，使得
.
又
，
所以
，
又∵
，且
不共线，
故由平面向量的分解的唯一性得
所以
.
故答案为：3.
36．（2023·高一单元测试）如图，在
中，
，
，
，若延长CB 到点D，使
，当点E 在线段AB 上移动时，设
，当
取最大值时，
的值是 .
【答案】
/
【解析】
，
，
所以
，所以
，
又
，所以
，
，
设
，由于
在
上，所以
，
又
，
即
，化简得
，
由
得
，所以
，
（
），所以
，
所以
时
，
，
．
故答案为：
．
37．（2023·山东潍坊·高三开学考试）在
中，点D 满足
，当点E 在射线AD（不含点A）
上移动时，若
，则
的最小值为 ．
【答案】
/
【解析】由
，得
，即
，
因为点E 在射线AD（不含点A）上移动，所以
，
又因为
，所以
，
则
（当且仅当
，即
时取等号），
所以
的最小值为
.
故答案为：
．
38．（2023·重庆万州·高一万州外国语学校天子湖校区校考期中）如图，在
中，
，点
在
线段
上移动（不含端点），若
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题可知，
，设
，
则
，
所以
，
而
，
可得：
，
所以
，
设
，
由双钩函数性质可知，
在
上单调递减，
则
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
39．（多选题）（2023·辽宁·高一东港市第二中学校联考阶段练习）已知
中，
是边
的中点，动点
满足
，则（ ）
A．
的值可以等于2
B．
的值可以等于2
C．
的值可以等于
D．
的值可以等于3
【答案】AD
【解析】因为
，所以
，
，
，则
在以
为直径的圆上，如图
也是该圆上的点．
分别以
为
轴建立平面直角坐标系，则圆
方程是
，
，
，
，即
，
所以
，
．
可设
，
，
所以
，
时，
，A 正确；
同理
，B 错误；
，
易知
，所以
，C 错；
，
易知
，所以
，
，
，D 正确；
故选：AD．
40．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末）在
中，点
满足
，当
点在线段
（不包含端点）上移动时，若
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，
△ABC 中，
，
∴
（
）
，
又点E 在线段AD（不含端点）上移动，
设
k
，0＜k＜1，
∴
，
又
，
∴
，
∴
．
∵
在（0，1）上单调递减，
∴λ
的取值范围为（
，+∞），
故选C．
41．（2023·浙江·浙江省江山中学校联考模拟预测）在
中，E，F 分别为
的中点，点D 是线
段
（不含端点）内的任意一点，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为点D 是线段
（不含端点）内的任意一点，
所以可设
，
因为E，F 分别为
的中点，
所以
，
所以
，又
，
所以
，
，
，
，
所以A，B，D 错误，C 正确，
故选：C.
42．（2023·河南·校联考模拟预测）在
中，
是
边上的点，满足
，
在线段
上
（不含端点），且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．8
【答案】B
【解析】因为
是
边上的点，满足
，则
，
所以，
，
因为
在线段
上（不含端点），则存在实数
，使得
，
所以，
，
又因为
，且
、
不共线，则
，故
，
因为
，则
，
，
所以
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
故
的最小值为
.
故选：B.
10 奔驰定理与向量四心
43．（多选题）（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，
因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已
知
是
内一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
．设
是
内一点，
的三个内角分别为
，
，
，
，
，
的面积分别为
，
，
，若
，则以下命题正确的有（ ）
A．
B．
有可能是
的重心
C．若
为
的外心，则
D．若
为
的内心，则
为直角三角形
【答案】AD
【解析】对于A，由奔驰定理可得，
，
因为
，
，
不共线，所以
，故A 正确；
对于B，若
是
的重心，
，
因为
，所以
，即
共线，故B 错误．
对于C，当
为
的外心时，
，
所以
，
即
，故C 错误．
对于D，当
为
的内心时，
（为内切圆半径），
所以
，所以
，故D 正确.
故选：AD.
44．（多选题）（2023·湖北武汉·高一校联考阶段练习）已知
，
在
所在的平面内，且满足
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为
的外心
B．
为
的垂心
C．
为
的内心
D．
为
的重心
【答案】BD
【解析】由题意
，
所以
，
即
＝0，所以
，
同理可得：
，
，
所以M 为
的垂心；A 错误,B 正确；
因为
所以
，
所以
，
设AB 的中点D，则
，
所以
，
所以C，N，D 三点共线，即N 为
的中线CD 上的点，且
，
所以N 为
的重心,C 错误,D 正确.
故选:BD.
45．（多选题）（2023·山西大同·高三统考阶段练习）设
为
的外心，
，
，
的
角平分线
交
于点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】在
中，有正弦定理可得
，可得
，
在
中，有正弦定理可得
，可得
，
因为
，
，
为
的角平分线，
可知
，
则
，
可得
，
所以
，即
，
可得
，
故A 正确，B 错误；
分别取
的中点
，连接
，可知
，
因为
为
的外心，则
，
，
所以
，
故C 正确；D 错误.
故选：AC.
46．（多选题）（2023·高一课时练习）已知
所在平面内有三点O，N，P，则下列说法正确的是
（ ）
A．若
，则点O 是
的外心
B．若
，则点N 是
的重心
C．若
，则点P 是
的垂心
D．若
，且
，则
为直角三角形
【答案】ABC
【解析】对于A，因为
，所以点O 到
的三个顶点的距离相等，所以O 为
的外
心，故A 正确；
对于B，如图所示，D 为BC 的中点，由
，得
，所以
，所以N
是
的重心，故B 正确；
对于C，由
，得
，即
，所以
，即
.同理，
，所以点P 是
的垂心，故C 正确；
对于D，由
，得角A 的平分线垂直于BC，所以
，
由
，得
，所以
，所以
为等边三角形，故D 错误．
故选：ABC．
47．（多选题）（2023·吉林·高一吉林一中校考期中）对于给定的
，其外心为O，重心为G，垂心为
H，内心为Q，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若A、P、Q 三点共线，则存在实数
使
【答案】BCD
【解析】对于A：给定的
，其外心为
，所以
，故A
不正确；
对于B：因为
为给定的
的垂心，故
，
即
,
解得：
,故B 正确；
对于C：因为重心为G，则有
，
，所以
，故C 正确；
对于D：由于点
在
的平分线上，
为单位向量，所以
与
的平分线对应向量
共线，所以存在实数
使
，故D 正确．
故选：BCD．
11 阿波罗尼斯圆问题
48．（2023·湖南衡阳·校联考一模）阿波罗尼斯（约公元前262-190 年）证明过这样一个命题：平面内到两
定点距离之比为常数
的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点
、
间的距
离为4，动点
满足
，则动点
的轨迹所围成的图形的面积为 ；
最大值是
.
【答案】
【解析】以经过
，
的直线为
轴，线段
的垂直平分线为
轴，建立直角坐标系，如图，
则
，
，设
，
，∴
，
得：
，点
的轨迹为圆（如图），
其面积为
.
，如图当
位于点
时，
最大，
最大值为
，
故
最大值是
.
故答案为：
；
.
49．（2023·浙江·校联考三模）已知向量
，
，满足
，
，
，
，则
的最小值是 .
【答案】
【解析】
可设
，
,
因此对应点C 在以
为圆心，2 为半径的圆上
设
，则
因此
对应点D 在直线上
，
到直线的距离为
而
表示
，
所以
的最小值是
故答案为：
50．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知向量
，
，
，若
且
，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】
，
，
，
故可设
则
，
，
,
,
,
即点C 的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆，
，
，
即求圆M 上动点到点
的距离的平方的最小值减1 即可，
设圆心M 到
的距离为
，
则
，
则
的最小值为
，
故答案为：
51．（多选题）（2023·江苏徐州·高二统考期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点
的距离之比为定值
的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系
中，
，点
满足
．设点
的轨迹为
，则（ ）
A．轨迹
的方程为
B．在
轴上存在异于
的两点
，使得
C．当
三点不共线时，射线
是
的角平分线
D．在轨迹
上存在点
，使得
【答案】BCD
【解析】对于A，设
，则
，整理得
，即
，
A 错误；
对于B，假设在
轴上存在异于
，
的两点
，
，使得
，
设
，
，则
，
整理得
，而点
的轨迹方程为
，
于是
，解得
或
（舍去），B 正确；
对于C，如图所示，
当
三点不共线时，
，即
，
于是
，显然
，因此
，
射线
是
的角平分线，C 正确；
对于D，假设在C 上存在点M，使得
，设
，则
，
，
则
，整理得
，又
，
联立解得
或
，D 正确.
故选：BCD
12 平行四边形大法
52．（2023·浙江·模拟预测）已知
为单位向量，平面向量
，
满足
，
的取值范围是
____.
【答案】
【解析】建系，不妨设
，
，
，则
，再利用柯西不等式将所求
转化为
，利用换元法求出最大值，最小值显然为
共线方向时取得.不妨设
，
，
，由已知，得
，
，
，令
，则
，又显然当
，
向量反
向时，
最小，即
，
，此时
，综上，
的取值范围是
.
故答案为：
.
53．（2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）设圆
，圆
的半径分别为1，2，且两圆外切于点
，
点
，
分别是圆
，圆
上的两动点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】连接
分别与两圆交于
，又两圆外切于点
，
三点共线，连
，延长
交圆
与
，连
，
分别为圆
，圆
的直径，
，
又
，
，
设
为
中点，连
，
先固定
，根据向量数量积的定义，
当
在
同向投影最大值时
为与
平行的圆切线的切点，
记为图中的
点，此时
在
投影
，
当且仅当
，等号成立，
同理当
在
投影最小（在
反向上）时，
为与
平行的圆切线的切点，
记为图中的
点，此时
在
投影
，
，
当且仅当
时，等号成立，
，
所以
的数量积取值范围是
.
故选：C.
13 向量对角线定理
54．（2023·天津河东·统考一模）在平面四边形ABCD 中,点E、F 分别是边AD、BC 的中点，且AB=1，
EF=
,CD=
，若
=15，则
的值为
A．13
B．14
C．15
D．16
【答案】B
【解析】
，即
，
，即
，
故
，即:
，
故：
，所以
，即：
，
分别延长
和
，交于
点，则：
，
故：
，
即：
，
而：
故：
，
故选：B.
55．（2023·浙江杭州·高三统考期末）在四边形
中，点
分别是边
的中点，设
，
.若
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
又点
分别是边
的中点，所以
，
两式相加得
，两边同时平方得
，所以
则
，代入得
即
，
故选
56．（2023·浙江温州·瑞安中学校考模拟预测）在四边形ABCD 中，点E，F 分别是AD，BC 的中点，设
，
，若
，
，
，则xy 的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示：设
，
，
，
两式相加得：
①．
，
，
，把①平方可得
，
．
又
，
②．
又
，
③．
根据②③可得，
，
即
，
即
，
即
，
所以
，所以
，
时，
故答案为：
．
57．（2023·浙江·高一开学考试）在
中，
，
，
，若点
满足
，则
.
【答案】
.
【解析】如下图所示，则可知
，
∴
，故填：
.
考点：平面向量数量积及其运算.
