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专题13 空间几何（选填题10 种考法）
考法一 空间几何体的体积与表面积
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥
中，
是边长为2 的等边三角形，
，则该棱锥的体积为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-3】（2022·全国·统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水
蓄入某水库.已知该水库水位为海拔
时，相应水面的面积为
；水位为海拔
时，相应
水面的面积为
，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
上升
到
时，增加的水量约为（
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【例1-4】（2023·河南·校联考模拟预测）如图1 所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民
族传统手工艺品之一．图2 是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正
六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为
和
，正六棱台与正六棱柱的高分别为
和
，则该花灯的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO 的底面半径为
，O 为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线，
，若
的面积等于
，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥
中，线段
上的点
满足
，线段
上的
点
满足
，则三棱锥
和三棱锥
的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正
方形，直三棱柱的底面是顶角为
，腰为3 的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23
B．24
C．26
D．27
4．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，侧面积分
别为
和
，体积分别为
和
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考法二 空间几何中的垂直与平行
【例2-1】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列
说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，则
【例2-2】（2022·全国·统考高考真题）在正方体
中，E，F 分别为
的中点，则
（ ）
A．平面
平面
B．平面
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
【变式】
1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）（多选）已知圆柱
的轴截面是正方形
，
为底面圆
的
直径，点
在圆
上，点
在圆
上，且
，
不在平面
内.若
，
，
，
四点共面，则
（ ）
A．直线
平面
B．直线
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
2．（2023·全国·模拟预测）（多选）在正方体
中，
分别是棱
的中点，则
（ ）
A．
平面
B．平面
平面
C．
平面
D．平面
平面
3．（2023·福建南平·统考模拟预测）（多选）在棱长为1 的正方体
中，E，F 分别是AB，
BC 中点，则（ ）
A．
平面
B．
平面
C．平面
平面
D．点E 到平面
的距离为
考法三 空间距离
【例3】（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）在三棱柱
中，
是棱
长为
的正四面体，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式】
1．（2023·河北唐山·统考三模）把边长为
的正方形
沿对角线
折成直二面角
，则三
棱锥
的外接球的球心到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）如图，底面同心的圆锥高为
，
，
在半径为3 的
底面圆上，
，
在半径为4 的底面圆上，且
，
，当四边形
面积最大时，点
到
平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．2
D．
3．（2020·四川眉山·校考二模）已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1=
E 为CC1的中点，则直
线AC1与平面BED 的距离为
A．2
B．
C．
D．1
考法四 空间角
【例4】．（2022·全国·统考高考真题）已知正方体
，则（ ）
A．直线
与
所成的角为
B．直线
与
所成的角为
C．直线
与平面
所成的角为
D．直线
与平面ABCD 所成的角为
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）在长方体
中，已知
与平面
和平面
所成
的角均为
，则（ ）
A．
B．AB 与平面
所成的角为
C．
D．
与平面
所成的角为
2．（2023·吉林白山·统考二模）已知正四面体
，E 为
的中点，则（ ）．
A．直线
与
所成的角为
B．直线
与
所成的角为
C．直线
与平面
所成角的余弦值为
D．直线
与平面
所成角的余弦值为
3．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）（多选）已知正方体
，则（ ）
A．异面直线
与
所成的角为
B．异面直线
与
所成角的正切值为
C．直线
与平面
所成的角为
D．直线
与平面
所成角的正切值为
考法五 外接球与内切球
【例5-1】（2023·江西九江·统考一模）三棱锥
中，
与
均为边长为
的等边三角形，
若平面
平面
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1 的相同的圆
锥形成的组合体，设它的体积为
，它的内切球的体积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式】
1．（2023·河南·统考模拟预测）在菱形ABCD 中，
，
，AC 与BD 的交点为G，点M，N 分别
在线段AD，CD 上，且
，
，将
沿MN 折叠到
，使
，则三
棱锥
的外接球的表面积为 ．
2．（2023·四川南充·模拟预测）已知四棱锥
的底面是边长为2 的正方形，
，二面
角
的余弦值为
，则四棱锥
的外接球的表面积为 ．
3．（2023·四川南充·模拟预测）已知四棱锥
的底面是边长为2 的正方形，
，三棱
锥
的体积为
，则四棱锥
的外接球的表面积为 ．
考法六 轨迹与轨迹的长度
【例6】（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余
下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M 是该多面体的三个顶点，点N 是
该多面体表面上的动点，且总满足
，若
，则该多面体的表面积为 ，点N 轨迹
的长度为 ．
【变式】
1．（2023·江苏南京·校联考一模）如图，在矩形
中，
，
，
，
，
分别为
，
，
，
的中点，
与
交于点
，现将
，
，
，
分别沿
，
，
，
把这个矩形折成一个空间图形，使
与
重合，
与
重合，重合后的点分别记为
，
，
为
的中点，则多面体
的体积为 ；若点
是该多面体表面上的动点，满足
时，
点
的轨迹长度为 ．
2．（2023 春·云南）在棱长为2 的正方体
中，E 为棱BC 的中点，F 是侧面
内的动
点，若
平面
，则点F 轨迹的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·高三专题练习）已知
是棱长为1 的正方体，点P 为正方体表面上任一点，
则下列说法不正确的是（ ）
A．若
，则点P 的轨迹长度为
B．若
，则点P 的轨迹长度为
C．若
，则点P 的迹长度为
D．若
，则点P 的轨迹长度为
4（2022·全国·高三专题练习）如图，在体积为6 的三棱锥
中，PA､PB､PC 两两互相垂直，
，
若点M 是底面
内一动点，且满足
，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）
A．6
B．3
C．
D．
考法七 截面
【例7】．（2023·河南·校联考模拟预测）在正四棱柱
中，
，点
分别
是
，
的中点，则过点
的平面截正四棱柱
所得截面多边形的周长为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式】
1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在正方体
中，以点A 为球心，棱AB 为半径的球将
正方体截为P（含球心的部分）和Q 两部分，则四边形
被球A 截得的区域面积与P 的表面积之比为
.
2．（2022 秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）已知正四面体
的棱长为
，
为
上一点，
且
，则截面
的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022 秋·福建福州 ）（多选）如图，已知正方体
的棱长为1，E 为
的中点，P 为
对角线上
的一个动点，过P 作与平面ACE 平行的平面，则此平面截正方体所得的截面（ ）
A．截面不可能是五边形
B．截面可以是正六边形
C．P 从D 点向
运动时，截面面积先增大后减小
D．截面面积的最大值为
4．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在三棱锥
中，侧面PAC 是等边三角形，底
面ABC 是等腰直角三角形，
，
，点M，N，E 分别是棱PA，PC，AB 的中点，过
M，N，E 三点的平面
截三棱锥
所得截面为
，给出下列结论：
①截面
的形状为正方形；
②截面
的面积等于
；
③异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为
；
④三棱锥
外接球的表面积等于
．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④
B．②③
C．①③④
D．②③④
考法八 最值
【例8-1】（2022·全国·统考高考真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球
O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在三棱锥
中，
平面
，且
，当三棱锥
的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知正六棱锥
的各顶点都在球
的球面上，球心
在该正
六棱锥的内部，若球
的体积为
，则该正六棱锥体积的最大值是 .
4．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积
为
，则该四棱锥体积的最大值是 ．
考法九 存在性
【例9】（2023·广西柳州·统考模拟预测）（多选）如图所示的几何体是由正方形
沿直线
旋转
得到的，设
是圆弧
的中点，
是圆弧
上的动点（含端点），则（ ）
A．存在点
，使得
B．不存在点
，使得
C．存在点
，使得
平面
D．不存在点
，使得直线
与平面
的所成角为
【变式】
1．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）（多选）已知
表示空间内两条不同的直线，则使
成立的必
要不充分条件是（ ）
A．存在平面
，有
B．存在平面
，有
C．存在直线，有
D．存在直线，有
2．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）（多选）如图，在矩形
中，
和
交于
点
，将
沿直线
翻折，则正确的是（ ）
A．存在
，在翻折过程中存在某个位置，使得
B．存在
，在翻折过程中存在某个位置，使得
C．存在
，在翻折过程中存在某个位置，使得
平面
D．存在
，在翻折过程中存在某个位置，使得
平面
3．（2022 秋·湖北武汉）（多选）如图，已知正方体
的棱长为1，点M 为棱AB 的中点，
点P 在侧面
及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ）
A．存在点P 满足
B．存在点P 满足
C．满足
的点P 的轨迹长度为
D．满足
的点P 的轨迹长度为
考法十 两点距离与折线段
【例10-1】（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）如图，直三棱柱
中，
，
，
，点
是
的中点，点
是线段
上一动点，点
在平面
上移动，则
，
两点之间距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【例10-2】．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知正方体
的棱长为1，点
，
分别为
线段
，
上的动点，点
在平面
内，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式】
1．（2023·江西九江·统考三模）如图，棱长为1 的正方体
中，P 为
内一点（包括边
界），且线段
的长度等于点P 到平面ABCD 的距离，则线段
长度的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）如图，长方体
中，
，
，点P
是BC 的中点，点M 是BD1 上一动点﹐点N 在平面
上移动，则MN 的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（2023·江西南昌）在棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F 分别是棱C1D1，B1C1的中点，P 是上
底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP 长度的取值范围是（ ）
A．[
，
]
B．[
，
]
C．[
，
]
D．[
，
]
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为
，则该圆锥的体积为（ ）.
A．
B．
C．
D．
2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，
其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑
堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若
长方体的体积为
，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为
，
，
，则下列等式错
误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）在一个正方体内放置一个最大的圆锥，使圆锥的底面
在正方体的底面上，圆锥的顶点在正方体的上底面内，记正方体的体积为
，圆锥的体积为
，则
约为（注：
）（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2023·海南·统考模拟预测）已知三棱锥
的四个顶点都在球
的球面上，
平面
，在
底面
中，
，
，若球
的体积为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
5．（2023·全国·统考高考真题）已知
为等腰直角三角形，AB 为斜边，
为等边三角形，若二
面角
为
，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱
，E，F 分别是棱
上的
点．记
与
所成的角为
，
与平面
所成的角为
，二面角
的平面角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为
和
，其顶点都在
同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2022·北京·统考高考真题）已知正三棱锥
的六条棱长均为6，S 是
及其内部的点构成的
集合．设集合
，则T 表示的区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2023·福建龙岩·统考二模）正方体
的棱长为2，若点M 在线段
上运动，当
的周长最小时，三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·河南·校联考模拟预测）等边
的边长为2，D，E 分别为AB，AC 的中点，将
沿DE
折起，使点A 到达点
的位置.若平面
平面BCED，则线段
的长为（ ）.
A．
B．
C．
D．
11．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）正四棱柱
中，
，
为底面
的
中心，
是棱
的中点，正四棱柱的高
，点
到平面
的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023·广东广州·统考三模）正四棱柱
中，
，P 为上底面
的中心，M
是棱AB 的中点，正四棱柱的高
，点M 到平面PCD 的距离的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（2023·四川广安·统考二模）已知四棱柱
的底面是正方形，
，
，点
在底面ABCD 的射影为BC 中点H，则点
到平面ABCD 的距离为( )
A．
B．
C．
D．3
14．（2020·四川遂宁·统考二模）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体
的棱长为
，则平面
与平面
间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2022·青海海东·校考模拟预测）已知在正四面体P－ABC 中，D，E，F 分别在棱PA，PB，PC 上，
若PE＝4，PF＝PD＝2，则点P 到平面DEF 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2022 秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）已知三棱锥P-ABC 的棱长均为6，且四个顶点均在球心为
O 的球面上，点E 在AB 上，
，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
17．（2023·全国·统考高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器
壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为
的球体
B．所有棱长均为
的四面体
C．底面直径为
，高为
的圆柱体
D．底面直径为
，高为
的圆柱体
18．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，
，
，点C 在底面圆周上，且二面角
为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．
的面积为
19．（2022·全国·统考高考真题）如图，四边形
为正方形，
平面
，
，记三棱锥
，
，
的体积分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，正三棱柱
的底面边长为1，高为3，
为棱
的
中点，
分别在棱
上，且满足
取得最小值．记四棱锥
、三棱锥
的体积分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）在长方体
中，
，点
在底面
的边界及其内部运动，且满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．若点
满足
，则
B．点
到平面
的距离范围为
C．若点
满足
，则不存在点
使得
D．当
时，四面体
的外接球体积为
23．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）如图，
，
是直三棱柱
棱
上的两
个不同的动点，
，
，则（ ）
A．
平面
B．若
为定长，则三棱锥
的体积为定值
C．直线
与平面
所成角等于
D．平面
平面
．
24．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知正方体
的棱长为1，M 是棱
的中点．P 是平面
上的动点(如图)，则下列说法正确的是（ ）
A．若点P 在线段
上，则
平面
B．平面
平面
C．若
，则动点P 的轨迹为抛物线
D．以
的一边
所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥
体
积的取值范围为
25．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）直三棱柱
中，
，
，
点
是线段
上的动点（不含端点），则（ ）
A．
与
不垂直
B．
平面
C．
的最小值为
D．
的取值范围为
26．（2023·湖南永州·统考一模）菱形
的边长为
，且
，将
沿
向上翻折得到
，使二面角
的余弦值为
，连接
，球
与三棱锥
的6 条棱都相切，下列结
论正确的是（ ）
A．
平面
B．球
的表面积为
C．球
被三棱锥
表面截得的截面周长为
D．过点
与直线
所成角均为
的直线可作4 条
27．（2023·河北唐山·模拟预测）如图，在三棱台
中，
表示体积，下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
成等比数列
C．若该三棱台存在内切球，则
D．若该三棱台存在外接球，则
28．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在正方体
中，
分别为棱
上的一点，且
，
是
的中点，
是棱
上的动点，则（ ）
A．当
时，
平面
B．当
时，
平面
C．当
时，存在点
，使
四点共面
D．当
时，存在点
，使
三条直线交于同一点
29．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，棱长为
的正方体
中，点
、
满
足
，
，其中
、
，点
是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
平面
B．当
时，若
平面
，则
的最大值为
C．当
时，若
，则点
的轨迹长度为
D．过
、
、
三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形
30．（2023·广东湛江·校考模拟预测）在棱长为1 的正方体
中，M 为底面
的中心，
，
，N 为线段AQ 的中点，则（ ）
A．CN 与QM 共面
B．三棱锥
的体积跟
的取值无关
C．
时，过A，Q，M 三点的平面截正方体所得截面的周长为
D．
时，
31．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）棱长为1 的正方体
中，点
为线段
上一点（不
包括端点），点
为
上的动点，下列结论成立的有（ ）
A．过
的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形
B．
的最小值为
C．当点
为线段
中点时，三棱锥
的外接球的半径为
D．
两点间的最短距离为
32．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在棱长为1 的正方体
中，点
满足
，其中
，则（ ）
A．
B．当
时，有且仅有一个点
，使得
平面
C．当
时，有且仅有一个点
，使得
D．当
时，三棱锥
的体积为定值
33．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）正方体
棱长为
是直线
上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．若
为直线
上一动点，则线段
的最小值为
D．当
时，过点
作三棱锥
的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为
34．（2023·广东广州·统考二模）已知正四面体
的棱长为2，点
，
分别为
和
的
重心，
为线段
上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若
取得最小值，则
B．若
，则
平面
C．若
平面
，则三棱锥
外接球的表面积为
D．直线
到平面
的距离为
35．（2022 秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）在正四棱柱
中，
，
，
，其中
，
，则（ ）
A．存在实数
，使得
在平面
内
B．存在实数
，使得平面
截该正四棱柱所得到的截面是五边形
C．存在实数
，使得平面
截该正四棱柱所得到的截面是六边形
D．存在实数
，使得直线
与该正四棱柱的
条棱所在直线所成的角都相等
36．（2022·全国·模拟预测）已知正方体
中，
，
，
分别为棱AB，BC 的中点，
过点E，F 作正方体的截面，则下列说法正确的是（ ）
A．若截面过点
，则截面周长为
B．若点
是线段
上的动点（不含端点），则
的最小值为
C．若截面是正六边形，则直线
与截面垂直
D．若截面是正六边形，S，T 是截面上两个不同的动点，设直线
与直线ST 所成角的最小值为
，
则
37．（2022 秋·重庆巴南·高三重庆市实验中学校考期中）已知正四棱柱
中，
，点
是线段
的中点，点
是线段
上靠近
的三等分点，若正四棱柱
被过点
，
，
的平面所截，则所得截面多边形的周长不能为（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
38．（2023 春·四川内江·高二四川省资中县第二中学校考开学考试）如图所示，在棱长为3 的正方体
中，E 在棱
上，
，
是侧面
上的动点，且
平面
，则
在
侧面
上的轨迹的长度为 ．
39．（2022 秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）已知正方体
的棱长为1，点
M，N 是线段
上的两个三等分点，动点G 在
内，且
的面积为
，则G 点的轨迹长度为
.
40．（2022 秋·新疆省直辖县级单位·高二新疆石河子一中校考阶段练习）如图，长方体
中，
，
，
，点
是侧面
上的一个动点（含边界），
是棱
的中点，则下列结
论正确的是
①当
长度最小时，三棱锥
的体积为
②当
长度最大时，三棱锥
的体积为
③若保持
，则点
在侧面内运动路径的长度为
④若
在平面
内运动，且
，则点
的轨迹为圆弧
41．（2023·山东青岛）如图，在长方体
中，
，
，
，
、
分别为
棱
、
的中点，动点
在长方体的表面上，且
，则点
的轨迹长度为 .
42．（2023·全国·统考高考真题）已知点
均在半径为2 的球面上，
是边长为3 的等边三角形，
平面
，则
．
43．（2023·全国·统考高考真题）在正方体
中，
为
的中点，若该正方体的棱
与球
的球面有公共点，则球
的半径的取值范围是 ．
44．（2023·全国·统考高考真题）在正四棱台
中，
，则该棱台的
体积为 ．
45．（2023·全国·统考高考真题）底面边长为4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边
长为2，高为3 的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
46．（2023·河北保定·统考二模）如图，在四面体
中，
，则四
面体
体积的最大值为 ．
47．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在四面体
中，
，
，
，且
，
，异面直线
，
所成的角为
，则该四面体外接球的表面积为 .
48．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，在四棱锥
中，四边形
为矩形，
平面
，
，
，该四棱锥的外接球的表面积为 .
49．（2023·海南·统考模拟预测）如图，四棱锥
内接于圆柱，
为
的中点，
和
为圆柱
的两条母线，
，四边形
为正方形，平面
与平面
的交线
平面
，当四棱
锥
的体积最大时，异面直线
与
所成角的余弦值为 ．
50．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知正四棱柱
的每个顶点都在球
的球
面上，若球
的表面积为
，则该四棱柱的侧面积的最大值为 .
