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1
五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题11 数列
数列作为高考必考题，高考题型一般作为1 小1 大或者是2 小1 大模式。主要考点：
考点01 数列概念及通项
考点02 等差等比数列应用
考点03 数列求和
考点04 数列情景类问题
考点05 数列新定义问题
考点06 数列与其他知识点交汇及综合问题
考点01 数列概念及通项
一 选择题
1．(2021 年高考浙江卷·第10 题)已知数列
满足
．记数列
的前n 项和
为
，则
( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
1．(2022 高考北京卷·第15 题) 己知数列
各项均为正数，其前n 项和
满足
．
给出下列四个结论：
①
的第2 项小于3； ②
为等比数列；
③
为递减数列； ④
中存在小于
的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
考点02 等差等比数列应用
一 选择题
2
1．(2020 北京高考·第8 题)在等差数列
中，
，
．记
，则数列
( )．
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
2 ．(2019· 全国Ⅰ· 理· 第9 题) 记
为等差数列
的前
项和．已知
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
3．(2023 年天津卷·第6 题)已知
为等比数列，
为数列
的前
项和，
，则
的
值为
( )
A．3
B．18
C．54
D．152
2．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第8 题)记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，则
( )．
A．120
B．85
C．
D．
4．(2023 年全国甲卷理科·第5 题)设等比数列
的各项均为正数，前n 项和
，若
，
，则
( )
A．
B．
C．15
D．40
5．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第8 题)已知等比数列
的前3 项和为168，
，则
( )
A．14
B．12
C．6
D．3
6．(2019·全国Ⅲ·理·第5 题)已知各项均为正数的等比数列
的前4 项和为15，且
，
则
( )
A．16
B．8
C．4
D．2
二、填空题
1．(2019·全国Ⅲ·理·第14 题) 记
为等差数列{an}的前n 项和，
，则
___________．
3．(2019·北京·理·第10 题) 设等差数列
的前
n 项和为
，若
a2=−3，S5=−10，则
a5=__________，Sn的最小值为__________．
3
3．(2023 年全国乙卷理科·第15 题) 已知
为等比数列，
，
，则
______．
4．(2019·全国Ⅰ·理·第14 题) 记
为等比数列
的前
项和．若
，
，则
．
5．(2020 江苏高考·第11 题)设
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列．已知数列
的前
项和
，则
的值是_______．
考点03 数列求和
一 选择题
1．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第6 题)数列
中，
，
，若
，则
( )
A．2
B．3
C．4
D．5
二、填空题
1．(2020 年浙江省高考数学试卷·第11 题) 已知数列{an}满足
，则S3=________．
2．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第15 题) 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数
列{an}，则{an}的前n 项和为________．
3．(2019·上海·第8 题)已知数列
前n 项和为
，且满足
，则
______.
三 解答题：
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第18 题) 已知
为等差数列，
，记
，
分别为数
列
，
前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
4
2．(2021 年新高考Ⅰ卷·第17 题) 已知数列
满足
，
(1)记
，写出
，
，并求数列
的通项公式；
(2)求
的前20 项和．
3 ．(2019· 全国Ⅱ· 理· 第19 题) 已知数列
和
满足
，
，
，
．
证明：
是等比数列，
是等差数列；
求
和
的通项公式．
4．(2021 年高考全国乙卷理科·第19 题) 记
为数列
的前n 项和，
为数列
的前n 项积，已知
．
(1)证明：数列
是等差数列;
(2)求
的通项公式．
5
5．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第20 题) 设等差数列
的公差为
，且
．令
，记
分别为数列
的前
项和．
(1)若
，求
的通项公式；
(2)若
为等差数列，且
，求
．
6．(2022 年高考全国甲卷数学（理）·第17 题) 记
为数列
的前n 项和．已知
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
成等比数列，求
的最小值．
7．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第17 题) 记
是公差不为0 的等差数列
的前n 项和，若
．
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求使
成立的n 的最小值．
6
8（2023 年全国乙卷）1．记
为等差数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
9．(2020 年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第18 题) 已知公比大于的等比数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)记
为
在区间
中的项的个数，求数列
的前
项和
．
10．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第18 题) 已知公比大于的等比数列
满足
．
(1)求
通项公式；
(2)求
．
7
11 ．(2023 年全国甲卷理科·第17 题) 设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
12 .(2020 天津高考·第19 题) 已知
为等差数列，
为等比数列，
．
(Ⅰ)求
和
的通项公式；
(Ⅱ)记
的前
项和为
，求证：
；
(Ⅲ)对任意的正整数
，设
求数列
的前
项和．
考点04 数列情景类题目
一、选择题
1．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第0 题)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层
中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9
块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9 块，已知每层环数相同，且
下层比中层多729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
( )
8
A．3699 块
B．3474 块
C．3402 块
D．3339 块
2．(2022 新高考全国II 卷·第3 题)图1 是中国古代建筑中的举架结构，
是桁，相邻桁
的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是
举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
．
已知
成公差为0．1 的等差数列，且直线
的斜率为0．725，则
( )
( )
A．0．75
B．0．8
C．0．85
D．0．9
3．(2021 高考北京·第6 题)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗
面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长
(单位:cm)成等差数
列，对应的宽为
(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知
，
，
，则
A．64
B．96
C．128
D．160
二、填空题
1．(2023 年北京卷·第14 题) 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、
用来测量物体质量的“环权”．已知9 枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9 的数列
，该数列
9
的前3 项成等差数列，后7 项成等比数列，且
，则
___________；数列
所
有项的和为____________．
2．(2021 年新高考Ⅰ卷·第16 题)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴
把纸对折，规格为
的长方形纸，对折1 次共可以得到
，
两种规格的
图形，它们的面积之和
，对折2 次共可以得到
，
，
三种规
格的图形，它们的面积之和
，以此类推，则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为______；
如果对折
次，那么
______
．
考点05 数列新定义问题
1 ．(2023 年北京卷·第21 题) 已知数列
的项数均为m
，且
的前n 项和分别为
，并规定
．对于
，定义
，其中，
表示数集M 中最大的数．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，且
，求
；
(3)证明：存在
，满足
使得
．
2．(2019·上海·第21 题) 数列
有
项，
，对任意
，存在
，
若
与前
项中某一项相等，则称
具有性质
.
(1)若
，求
可能的值；
(2)若
不为等差数列，求证：
中存在满足性质
；
(3)若
中恰有三项具有性质
，这三项和为
，使用
表示
.
10
3．(2019·江苏·第20 题) 定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“
－数列”.
(1)已知等比数列
满足：
，求证:数列
为“
－数列”；
(2)已知数列{bn}满足:
，其中
为数列
的前
项和．
①求数列
的通项公式；
②设
为正整数，若存在“
－数列”
，对任意正整数
，当
时，都有
成
立，求
的最大值．
4．(2019·北京·理·第20 题) 已知数列
，从中选取第
项、第
项、…、第
项(
<
<…<
)，若
，则称新数列
为
的长度为m 的递增子列．规定：数列
的任意
一项都是
的长度为1 的递增子列．
(Ⅰ)写出数列1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为4 的递增子列；
(Ⅱ)已知数列
的长度为p 的递增子列的末项的最小值为
，长度为q 的递增子列的末项的最小值为
．若p＜q，求证：
＜
；
(Ⅲ)设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若
的长度为
的递增子列末项的最小
值为
，且长度为
末项为
的递增子列恰有
个(
)，求数列
的通项公式．
11
考点06 数列与其他知识点交汇及综合问题
一、选择题
1．(2023 年北京卷·第10 题)已知数列
满足
，则( )
A．当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
B．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
C．当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
D．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
2．(2020 年浙江省高考数学试卷·第7 题)已知等差数列{an}的前n 项和Sn，公差d≠0，
．记
b1=S2，bn+1=Sn+2–S2n，
，下列等式不可能成立的是
( )
A．2a4=a2+a6
B．2b4=b2+b6
C．
D．
3．(2022 高考北京卷·第6 题)设
是公差不为0 的无穷等差数列，则“
为递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的
( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第11 题)0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列
满
足
，且存在正整数
，使得
成立，则称其为0-1 周期序列，并称满足
的最小正整数
为这个序列的周期．对于周期为
的0-1 序列
，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5 的0-1 序列中，满足
的序列是
( )
A．
B．
C．
D．
5．(2023 年全国乙卷理科·第10 题)已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，则
( )
A．－1
B．
C．0
D．
12
二 解答题
1．(2023 年天津卷·第19 题) 已知
是等差数列，
．
(1)求
的通项公式和
．
(2)已知
为等比数列，对于任意
，若
，则
，
(Ⅰ)当
时，求证：
；
(Ⅱ)求
的通项公式及其前
项和．
2．(2022 新高考全国I 卷·第17 题) 记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数
列．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
13
3．(2014 高考数学课标1 理科·第17 题) 已知数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ,
1
1
a = ,
0
na
,
1
1
n
n
n
a a
S
,其
中为常数．
(1)证明:
2
n
n
a
a
l
+ -
=
;
(2)是否存在,使得{
}
na
为等差数列?并说明理由．
4．(2020 年浙江省高考数学试卷·第20 题) 已知数列{an}，{bn}，{cn}中，
．
(Ⅰ)若数列{bn}为等比数列，且公比
，且
，求q 与an的通项公式；
(Ⅱ)若数列{bn}为等差数列，且公差
，证明：
．
14
5 （2023 年新高考Ⅱ卷）2．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，则
．
记前
次（即从第1 次到第
次投篮）中甲投篮的次数为
，求
．
6．(2022 高考北京卷·第21 题) 已知
为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，在Q 中存在
，使得
，则称Q 为
连续可表数列．
(1)判断
是否为
连续可表数列？是否为
连续可表数列？说明理由；
(2)若
为
连续可表数列，求证：k 的最小值为4；
(3)若
为
连续可表数列，且
，求证：
．
15
7．(2021 年高考浙江卷·第20 题) 已知数列
前n 项和为
，
，且
．
(1)求数列
通项；
(2)设数列
满足
，记
的前n 项和为
，若
对任意
恒成立，求
的
范围．
8．(2022 新高考全国II 卷·第17 题) 已知
为等差数列，
是公比为2 的等比数列，且
．
(1)证明：
；
(2)求集合
中元素个数．
16
9．(2022 年浙江省高考数学试题·第20 题) 已知等差数列
的首项
，公差
．记
的前n
项和为
．
(1)若
，求
；
(2)若对于每个
，存在实数
，使
成等比数列，求d 的取值范围．
10．(2021 年高考全国甲卷理科·第18 题) 已知数列
的各项均为正数，记
为
的前n 项和，从下
面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列
是等差数列：②数列
是等差数列；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
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