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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题11 基本初等函数第七缉
1．【2021 年浙江预赛】已知二次函数f ( x)= x
2+ax +b(a,b∈R) 有两个不同的零点. 若
f (x
2+2 x -1)=0 有四个不同的根x1< x2< x3< x4
,且x1, x2, x3, x4
成等差数列，
求a-b 的取值范围.
2．【2021 年广西预赛】设f ( x) 在区间I 上有定义. 对任意的x1, x2∈I ,t(0≤t ≤1). 不等式
f ((1-t )x1+t x2)≤(1-t )f (x1)+tf (x2) 总成立.设n≥2,1≤i≤n, xi∈I , pi≥0 且∑
i=1
n
pi=1.
证明：f(∑
i=1
n
pi xi)≤∑
i=1
n
pi f (xi).
3．【2020 高中数学联赛A 卷（第01 试）】对正整数n及实数x(0≤x<n),定义
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f (n, x)=(1- x)⋅Cn
[ x ]+{x }Cn
[ x ]+1,
其中[ x ]表示不超过实数x的最大整数, x = x -[ x ].
若整数m,n≥2满足f (m, 1
n )+ f (m, 2
n )+⋯+ f (m, mn-1
n
)=123,
求：f (n, 1
m )+ f (n, 2
m )+⋯+ f (n, mn-1
m
)的值.
3．【2020 年新疆预赛】已知函数f ( x) 的定义域为[0,1], f (0)= f (1) ,且对任意不同的x1, x2∈[0,1] .都
有|f ( x2)- f ( x1)|<| x2- x1| ,求证:|f ( x2)- f ( x1)|< 1
2 .
4．【2019 年内蒙古预赛】求函数f ( x)=∑
k =1
2019
❑|kx -1|的最小值
6．【2019 年北京预赛】对于无理数e =2.71828182845⋯,定义函数f (n)=k,定义域是正整数,其中k是e的
小数点后第n位的数字,规定f (0)=2,则f (f (f (n)))的值域是
(A){3,4,6,9}.
(B){2,0,1,9}.
(C){0,3,5,9}.
(D){1,2,7,8}.
7．【2019 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设a、b、c 均大于1，满足¿，求lga⋅lgc的最大值.
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8．【2018 年山西预赛】求解函数y = x - x
3
(1+ x
2)
2的最大最小值.
9．【2018 年福建预赛】函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展
过程.1692 年，德国数学家莱布尼茨首次使用function 这个词，1734 年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表
示函数.1859 年我国清代数学家李善兰将function 译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密
码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问
题的常用方法之一.请你解答下列问题.
已知函数f(x)满足：对任意的整数a，b 均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2，且f(－2)=－3.求f(96)的值.
10．【2018 年贵州预赛】已知函数y =3 x +
❑√x
2-2 x
，求该函数的值域．
11．【2018 年浙江预赛】设a∈R，且对任意实数b 均有max
x∈[0,1]|x
2+ax +b|≥1，求a 的取值范围.
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12．【2018 年湖南预赛】已知函数f (x)= loga(a x
2- x)．
（1）若a= 1
2
，求f (x)的单调区间；
（2）若f (x)在区间[2,4]上是增函数，求实数a的取值范围．
13．【2018 年湖南预赛】已知函数f ( x)= 2
x+a
2
x+b
.
(1)当a= 4 ,b=-2时，求满足f ( x)=2
x 的x的值；
(2)若函数f ( x)是定义在R 上的奇函数，函数g( x)满足f ( x)⋅[ g( x)+2]=2
x -2
- x，若对任意x∈R 且x
≠0,不等式g(2 x)≥m⋅g( x)-10恒成立，求实数m 的最大值.
14．【
2018
年
重
庆
预
赛
】
设
函
数
f ( x)=a x
2+bx +c（
a≠0
）
满
足
|f (0)|≤2，|f (2)|≤2，|f (-2)|≤2，求当x∈[2,-2]时y =|f ( x)|的最大值．
15．【2018 年湖南预赛】已知二次函数f ( x)= x
2-16 x + p+3.
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（1）若函数在区间[-1,1]上存在零点，求实数p 的取值范围；
（2）问是否存在常数q(q≥0)，使得当x∈[q ,10]时，f ( x)的值域为区间D，且D 的长度为12-q.
（注：区间[a,b] (a<b)的长度为b-a）.
16．【2018 年贵州预赛】已知函数y =3 x +
❑√x
2-2 x
，求该函数的值域．
17．【2018 年山东预赛】实数a、b、c满足a
2+b
2+c
2= λ(λ>0)，试求f =min{(a-b)
2,(b-c)
2,(c -a)
2}
的最大值．
18．【2018 年湖北预赛】对任意正整数m、n，定义函数f (m,n)如下：
①f (1,1)=1；
②f (m+1,n)= f (m,n)+2(m+n)；
③f (m,n+1)= f (m,n)+2(m+n-1).
（1）求f (m,n)的解析式；
（2）设an=
❑√f (n,n)
2
n-1
(n∈N
*),Sn
是数列{an}的前n项和，证明：Sn<6.
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19．【2018 年河北预赛】若函数f (x)的定义域为(0,+ ∞)且满足条件：
①存在实数a∈(1,∞)，使得f (a)=1；
②当m∈R 且x∈(0,+ ∞)时，有f (x
m)-mf (x)=0恒成立.
（1）证明：f(
x
y)= f (x)- f ( y)（其中x>0, y >0）；
（2）判断f (x)在(0,+ ∞)上的单调性，并证明你的结论；
（3）当t >0时，不等式f (t
2+ 4)- f (t )⩾1恒成立，求实数a 的取值范围.
20．【2018 年山西预赛】求解函数y = x - x
3
(1+ x
2)
2的最大最小值.
21．【2018 年福建预赛】设M是由有限个正整数构成的集合，且
M = A1∪A2∪⋯∪A20= B1∪B2∪⋯∪B20，这里Ai≠∅，Bi≠∅，i=1，2，…，20．并对任意
的1≤i< j≤20，都有Ai∩A j=∅，Bi∩B j=∅，已知对任意的1≤i≤20，1≤j≤20，若Ai∩B j=∅，
则|Ai∪B j|≥18．求集合M的元素个数的最小值．（这里，|X|表示集合X的元素个数）
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22．【2018 年全国】已知定义在R+上的函数f（x）为f ( x)=¿.
设a，b，c 是三个互不相同的实数，满足f（a）=f（b）=f（c），求abc 的取值范围.
22．【2018 高中数学联赛A 卷（第01 试）】已知定义在R*上的函数f ( x)=¿，设a，b，c 是三个互不相同
的实数，满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc 的取值范围.
23．【2018 高中数学联赛B 卷（第01 试）】已知定义在R*上的函数f(x)为f ( x)=¿，设a，b，c 是三个互
不相同的实数，满足f(a)=f(b)=f(c)，求abc 的取值范围.
24．【2017 年贵州预赛】设f (x),g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数,且f (x)+ g(x)=2
x.若对
x∈[
1
2 ,2]
,不等式af (x)- f (3 x)≤2 g(2 x)恒成立,求实数a
的取值范围.
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26．【2017 年广东预赛】已知函数f (x)= 16 x +7
4 x + 4
,数列{an},{bn}满足
a1>0,b1>0,an= f (an-1),bn= f (bn-1),n=2,3,⋯
(1)讨论数列{an}的单调性;
(2)求证:|bn-an|≤1
8
n-3|b1-a1|,n=1,2,3⋯.
27．【2016 年全国】已知f (x)为R 上的奇函数，f (1)=1，且对任意x<0，均有f(
x
x -1)= xf (x).求
∑
i=1
50
f(
1
i)f(
1
101-i)
的值.
28．【2016 年江苏预赛】已知函数f (x)=ax -b x
2(a,b∈R+)．
（1）若对于任意的x∈R，均有f (x)≤1，证明：a≤2❑√b；
（2）当b>1时，证明：对于任意的x∈[0,1]，|f (x)|≤1成立的充分必要条件为b-1≤a≤2❑√b．
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29．【2016 年江苏预赛】求方程3√x(3+ ❑√8 x -3)-1+
3√x(3- ❑√8 x -3)-1=1的实数解．
30．【2016 年甘肃预赛】已知奇函数f ( x)的定义域为[-2,2]，且在[-2,0]内递减，求满足：
f (1-m)+ f (1-m
2)<0的实数m的取值范围．
31．【2016 年北京预赛】黑板上写有方程x
2+2 x★+3(★+★)=0.证明：任取三个两两不同的整数能适
当安放在方程的★的位置（每颗星安放一个数），使得方程有实根.
32．【2016 高中数学联赛（第01 试）】已知f(x)是R 上的奇函数，f(1)=1，且对任意x<0，均有
f(
x
x -1)= xf ( x).
求f (1)f(
1
100)+ f(
1
2)f(
1
99)+ f(
1
3)f(
1
98)+⋯+ f(
1
50)f(
1
51)
的值.
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32．【2015 年浙江预赛】设a、b∈R，函数f (x)=a x
2+b(x +1)-2.若对任意实数b，方程f (x)= x有两
个相异的实根，求实数a的取值范围.
34．【2015 年北京预赛】设f (n)为定义在Z上的函数，且满足f (0)=1,f (1)=0.对任意的m,n∈Z，均有
f (m+n)+ f (m-n)=2f (m)f (n).①
（1）证明f (n)为周期函数，并确定f (n)；
（2）计算
f (1
2+2
2+⋅⋅⋅+2015
2)
f (1
2)+ f (2
2)+⋅⋅⋅+ f (2015
2)
的值.
35 ．【2015 年山东预赛】证明: 不存在这样的函数f :Z →{1,2,3}, 满足对任意的整数x 、y, 若
|x - y|∈{2,3,5},则f (x)≠f ( y).
36．【2015 年黑龙江预赛】设函数f ( x)= log2(a
x -b
x)，且f (1)=1，f (2)= log212.
（1）求a，b的值；
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（2）当x∈[1,2]时，求f ( x)最大值.
37．【2015 年甘肃预赛】某花店每天以每枝
元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝
元价格出
售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（1）若花店一天购进
枝玫瑰花,求当天的利润
（单位：元）关于当天需求量
（单位：枝,
）
的函数解析式；
（2）花店记录了
天玫瑰花的日需求量（单位：枝）,整理得下表：
日需求量
频数
以
天的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
若花店一天购进
枝玫瑰花,
表示当天的利润（单位：元），求
的分布列, 数学期望及方差；
若花店一天购进
枝或
枝玫瑰花,你认为应购进
枝还是
枝？请说明理由.
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38．【2015 年福建预赛】求函数y =2 x +
❑√4 x
2-8 x +3
的最小值.
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