1
五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题11 数列
数列作为高考必考题，高考题型一般作为1 小1 大或者是2 小1 大模式。主要考点：
考点01 数列概念及通项
考点02 等差等比数列应用
考点03 数列求和
考点04 数列情景类问题
考点05 数列新定义问题
考点06 数列与其他知识点交汇及综合问题
考点01 数列概念及通项
一 选择题
1．(2021 年高考浙江卷·第10 题)已知数列
满足
．记数列
的前n 项和为
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
．
由
，即
根据累加法可得，
，当且仅当
时取等号，
2
，当且仅当
时取等号，
所以
，即
．
故选A．
二、填空题
1．(2022 高考北京卷·第15 题) 己知数列
各项均为正数，其前n 项和
满足
．
给出下列四个结论：
①
的第2 项小于3； ②
为等比数列；
③
为递减数列； ④
中存在小于
的项．
其中所有正确结论的序号是__________．
【答案】①③④
【解析】由题意可知，
，
，
当
时，
，可得
；
当
时，由
可得
，两式作差可得
，
所以，
，则
，整理可得
，
因为
，解得
，①对；
假设数列
为等比数列，设其公比为
，则
，即
，
所以，
，可得
，解得
，不合乎题意，
故数列
不
等比数列，②错；
当
时，
，可得
，所以，数列
为递减数列，③对；
假设对任意
，
，则
，
所以，
，与假设矛盾，假设不成立，④对．
故答案为：①③④．
3
考点02 等差等比数列应用
一 选择题
1．(2020 北京高考·第8 题)在等差数列
中，
，
．记
，则数列
( )．
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差
，
则其通项公式为：
，
注意到
，且由
可知
，
由
可知数列
不存在最小项，
由于
，
故数列
中的正项只有有限项：
，
．故数列
中存在最大项，且最大项
为
．故选：B．
2．(2019·全国Ⅰ·理·第9 题)记
为等差数列
的前
项和．已知
，
，则
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：
，
所以
，故选A．
3．(2023 年天津卷·第6 题)已知
为等比数列，
为数列
的前
项和，
，则
的值
为
( )
A．3
B．18
C．54
D．152
【答案】C
解析：由题意可得：当
时，
，即
， ①
当
时，
，即
， ②
联立①②可得
，则
．
4
故选：C．
2．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第8 题)记
为等比数列
的前n 项和，若
，
，则
(
)．
A．120
B．85
C．
D．
【答案】C
解析：方法一：设等比数列
的公比为
，首项为
，
若
，则
，与题意不符，所以
；
由
，
可得，
，
①，
由①可得，
，解得：
，
所以
．
故选：C．
方法二：设等比数列
的公比为
，
因为
，
，所以
，否则
，
从而，
成等比数列，
所以有，
，解得：
或
，
当
时，
，即为
，
易知，
，即
；
当
时，
，
与
矛盾，舍去．故选：C．
4 ．(2023 年全国甲卷理科· 第5 题) 设等比数列
的各项均为正数，前n 项和
，若
，
，则
( )
A．
B．
C．15
D．40
【答案】C 解析：由题知
,
即
,即
,即
．
5
由题知
,所以
．
所以
．
故选:C．
5．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第8 题)已知等比数列
的前3 项和为168，
，则
(
)
A．14
B．12
C．6
D．3
【答案】D 解析：设等比数列
的公比为
，
若
，则
，与题意矛盾，
所以
，则
，解得
，
所以
．故选：D．
6．(2019·全国Ⅲ·理·第5 题)已知各项均为正数的等比数列
的前4 项和为15，且
，则
( )
A．16
B．8
C．4
D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列
的公比为
，则
，解得
，
，故选C．另解：数感好的话由
，立即会想到数列：
，检验是否
满足
，可以迅速得出
．
二、填空题
1．(2019·全国Ⅲ·理·第14 题) 记
为等差数列{an}的前n 项和，
，则
___________．
【答案】4 ．【解析】因
，所以
，即
，所以
．
【点评】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．
2．(2019·江苏·第8 题) 已知数列
是等差数列，
是其前n 项和.若
，则
的值是 .
6
【答案】16【解析】由
，得
，从而
，即
，解得
，所以
.
3．(2019·北京·理·第10 题) 设等差数列
的前
n 项和为
，若
a2=−3，S5=−10，则
a5=__________，Sn的最小值为__________．
【答案】 (1) 0； (2) -10．
【解析】等差数列
中，
，得
，则公差
，
∴
，
由等差数列
的性质得
时，
，当
时，
大于0，所以
的最小值为
或
，
值为
．
3．(2023 年全国乙卷理科·第15 题) 已知
为等比数列，
，
，则
______．
【答案】
解析：设
的公比为
，则
，显然
，
则
，即
，则
，因为
，则
，
则
，则
，则
，
故答案为：
．
4．(2019·全国Ⅰ·理·第14 题) 记
为等比数列
的前
项和．若
，
，则
．
【答案】
解析：由
，得
，所以
，又因为
，所以
，
．
5．(2020 江苏高考·第11 题)设
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列．已知数列
的前
项和
，则
的值是_______．
【答案】
【解析】设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为，根据题意
．
等差数列
的前
项和公式为
，
等比数列
的前
项和公式为
，
7
依题意
，即
，
通过对比系数可知
，故
．故答案为：
考点03 数列求和
一 选择题
1．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第6 题)数列
中，
，
，若
，则
( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
解析：在等式
中，令
，可得
，
，
所以，数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列，则
，
，
，则
，解得
．
故选：C．
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能
力，属于中等题．
二、填空题
1．(2020 年浙江省高考数学试卷·第11 题) 已知数列{an}满足
，则S3=________．
【答案】10
解析：因为
，所以
．
即
．
2．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第15 题) 将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数
列{an}，则{an}的前n 项和为________．
8
【答案】
解析：因为数列
是以1 为首项，以2 为公差的等差数列，
数列
是以1 首项，以3 为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列
是以1 为首项，以6 为公差的等差数列，
所以
的前
项和为
，
故答案为：
．
3．(2019·上海·第8 题)已知数列
前n 项和为
，且满足
，则
______.
【答案】
【解析】由
得：
(
)
【点评】本题主要考查数列求和，
的递推式．
∴
为等比数列，且
，
，∴
.
三 解答题：
1．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第18 题) 已知
为等差数列，
，记
，
分别为数
列
，
前n 项和，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析．
解析：(1)
设等差数列
的公差为
，而
，
则
，
于是
，解得
，
，
9
所以数列
的通项公式是
．
(2)
方法1：由(1)知，
，
，
当
为偶数时，
，
，
当
时，
，因此
，
当
为奇数时，
，
当
时，
，因此
，
所以当
时，
．
方法2：由(1)知，
，
，
当
为偶数时，
，
当
时，
，因此
，
当
为奇数时，若
，则
，显然
满足上式，因此当
为奇数时，
，
当
时，
，因此
，
所以当
时，
．
2．(2021 年新高考Ⅰ卷·第17 题) 已知数列
满足
，
(1)记
，写出
，
，并求数列
的通项公式；
(2)求
的前20 项和．
10
【答案】
；
．
【解析】(1)由题设可得
又
，
，故
即
即
所以
为等差数列，故
．
(2)设
的前
项和为
，则
，
因为
，
所以
．
3 ．(2019· 全国Ⅱ· 理· 第19 题) 已知数列
和
满足
，
，
，
．
证明：
是等比数列，
是等差数列；
求
和
的通项公式．
【答案】
见解析；
，
.
【官方解析】
由题设得
，即
．
又因为
，所以
是首项为，公比为
的等比数列．
由题设得
，即
．
又因为
，所以
是首项为，公差为
的等差数列．
由
知，
，
．
所以
，
．
【分析】
可通过题意中的
以及
对两式进行相加和相减即可推导
出数列
是等比数列以及数列
是等差数列；
可通过
中的结果推导出数列
以及数列
的通项公式，然后利用数列
以及
11
数列
的通项公式即可得出结果.
【解析】
由题意可知
1
4
3
4
n
n
n
a
a
b
，
1
4
3
4
n
n
n
b
b
a
，
1
1
1
a
b
+
= ，
1
1
1
a
b
，
所以
1
1
4
4
3
2
3
4
4
2
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
b
a
a
b
+
+ =
+
=
-
-
+
+
+
-
，即
，
所以数列
n
n
a
b
是首项为1
、公比为1
2 的等比数列，
( )
1
1
2
n
n
n
a
b
-
+
=
，
因为
(
)
1
1
4
4
3
4
3
4
4
4
8
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
a
b
b
a
a
b
+
+
-
-
-
=
+ -
=
-
+
-
，
所以
1
1
2
n
n
n
n
a
b
a
b
+
+ =
-
+
-
，数列
n
n
a
b
是首项1、公差为2
等差数列，
2
1
n
n
a
b
n
-
=
-
.
由
可知，
，
2
1
n
n
a
b
n
-
=
-
，
所以
，
.
4．(2021 年高考全国乙卷理科·第19 题) 记
为数列
的前n 项和，
为数列
的前n 项积，已知
．
(1)证明：数列
是等差数列;
(2)求
的通项公式．
【答案】(1)证明见解析；(2)
．
解析：(1)由已知
得
,且
，
,
取
,由
得
,
由于
为数列
的前n 项积，
所以
,
所以
，
12
所以
,
由于
所以
，即
,其中
所以数列
是以
为首项，以
为公差等差数列;
(2)由(1)可得，数列
是以
为首项，以
为公差的等差数列，
,
,
当n=1 时，
,
当n≥2 时,
,显然对于n=1 不成立,
∴
．
5．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第20 题) 设等差数列
的公差为
，且
．令
，记
分别为数列
的前
项和．
(1)若
，求
的通项公式；
(2)若
为等差数列，且
，求
．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)
，
，解得
，
，
13
又
，
，
即
，解得
或
(舍去)，
．
(2)
为等差数列，
，即
，
，即
，解得
或
，
，
，
又
，由等差数列性质知，
，即
，
，即
，解得
或
(舍去)
当
时，
，解得
，与
矛盾，无解；
当
时，
，解得
．
综上，
．
6．(2022 年高考全国甲卷数学（理）·第17 题) 记
为数列
的前n 项和．已知
．
(1)证明：
是等差数列；
(2)若
成等比数列，求
的最小值．
【答案】(1)证明见解析； (2)
．
【解析】(1)解：因为
，即
①，
当
时，
②，
①
②得，
，
即
，
即
，所以
，
且
，
14
所以
是以为公差的等差数列．
(2)解：由(1)可得
，
，
，
又
，
，
成等比数列，所以
，
即
，解得
，
所以
，所以
，
所以，当
或
时
．
7．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第17 题) 记
是公差不为0 的等差数列
的前n 项和，若
．
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求使
成立的n 的最小值．
【答案】【解析】(1)由等差数列的性质可得：
，则：
，
设等差数列的公差为
，从而有：
，
，
从而：
，由于公差不为零，故：
，数列的通项公式为：
．
(2)由数列的通项公式可得：
，则：
，
则不等式
即：
，整理可得：
，解得：
或
，又
为正整数，
故
的最小值为
．
8（2023 年全国乙卷）1．记
为等差数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解
，进而可得结果；
（2）先求
，讨论
的符号去绝对值，结合
运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为
，
15
由题意可得
，即
，解得
，
所以
，
（2）因为
，
令
，解得
，且
，
当
时，则
，可得
；
当
时，则
，可得
；
综上所述：
.
9．(2020 年新高考全国Ⅰ卷（山东）·第18 题) 已知公比大于的等比数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)记
为
在区间
中的项的个数，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；(2)
．
解析：(1)由于数列
是公比大于的等比数列，设首项为
，公比为
，依题意有
，
解得解得
，或
(舍)，
所以
，所以数列
的通项公式为
．
(2)由于
，所以
对应的区间为：
，则
；
对应的区间分别为：
，则
，即有
个；
对应的区间分别为：
，则
，即有
个
；
对应的区间分别为：
，则
，即有
个
；
对应的区间分别为：
，则
，即有
个
；
对应的区间分别为：
，则
，即有
个
；
16
对应的区间分别为：
，则
，即有
个
．
所以
．
10．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学（海南）·第18 题) 已知公比大于的等比数列
满足
．
(1)求
通项公式；
(2)求
．
【答案】(1)
；(2)
解析：(1) 设等比数列
的公比为q(q>1)，则
，
整理可得：
，
，
数列的通项公式为：
．
(2)由于：
，故：
．
11 ．(2023 年全国甲卷理科·第17 题) 设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)因为
，
17
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
当
时，
，所以
，
化简得：
，当
时，
，即
，
当
时都满足上式，所以
．
(2)因为
，所以
，
，
两式相减得，
，
，即
，
．
12 .(2020 天津高考·第19 题) 已知
为等差数列，
为等比数列，
．
(Ⅰ)求
和
的通项公式；
(Ⅱ)记
的前
项和为
，求证：
；
(Ⅲ)对任意的正整数
，设
求数列
的前
项和．
【答案】(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)
．
【解析】(Ⅰ)设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
．由
，
，可得
．
从而
的通项公式为
．由
，又
，可得
，解得
，
从而
的通项公式为
．
18
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得
，
故
，
，
从而
，所以
．
(Ⅲ)当
为奇数时，
，
当
为偶数时，
，
对任意的正整数
，有
，
和
①
由①得
②
由①②得
，
由于
，
从而得：
．
因此，
．所以，数列
的前
项和为
．
考点04 数列情景类题目
一、选择题
1．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第0 题)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中
心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9 块，
下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9 块，已知每层环数相同，且下层
比中层多729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
( )
19
( )
A．3699 块
B．3474 块
C．3402 块
D．3339 块
【答案】C
解析：设第n 环天石心块数为
，第一层共有n 环，
则
是以9 为首项，9 为公差的等差数列，
，
设
为
的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为
，因为下层比中层多729 块，
所以
，
即
即
，解得
，
所以
．
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题．
2．(2022 新高考全国II 卷·第3 题)图1 是中国古代建筑中的举架结构，
是桁，相邻桁的
水平距离称为步，垂直距离称为举，图2 是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
．已知
成公差为0．1 的等差数列，且直线
的
斜率为0．725，则
( )
20
(
)
A．0．75
B．0．8
C．0．85
D．0．9
【答案】D
解析：设
，则
，
依题意，有
，且
，
所以
，故
． 故选 D．
3．(2021 高考北京·第6 题)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面
缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长
(单位:cm)成等差
数列，对应的宽为
(单位:cm),且长与宽之比都相等，已知
，
，
，
则
A．64
B．96
C．128
D．160
【答案】C
解析：由题意，五种规格党旗的长
(单位:cm)成等差数列，设公差为
，
因为
，
，可得
，
可得
，
又由长与宽之比都相等，且
，可得
，所以
．
故选：C．
二、填空题
1．(2023 年北京卷·第14 题) 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、
用来测量物体质量的“环权”．已知9 枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9 的数列
，该数列
的前3 项成等差数列，后7 项成等比数列，且
，则
___________；数列
21
所有项的和为____________．
【答案】①． 48 ②． 384
解析：方法一：设前3 项的公差为
，后7 项公比为
，
则
，且
，可得
，
则
，即
，可得
，
空1：可得
，
空2：
方法二：空1：因为
为等比数列，则
，
且
，所以
；
又因为
，则
；
空2：设后7 项公比为
，则
，解得
，
可得
，
所以
．
故答案为：48；384．
2．(2021 年新高考Ⅰ卷·第16 题)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把
纸对折，规格为
的长方形纸，对折1 次共可以得到
，
两种规格
的图形，它们的面积之和
，对折2 次共可以得到
，
，
三种规格的图形，它们的面积之和
，以此类推，则对折4 次共可以得到不同规格图形的种
数为______；如果对折
次，那么
______
．
【答案】 5
【解析】(1) 对折
次可得到如下规格：
，
，
，
，
，共
种；
22
(2)由题意可得
，
，
，
，
，
，
设
，
则
，
两式作差得
，
因此，
,故答案为
；
．
考点05 数列新定义问题
1 ．(2023 年北京卷·第21 题) 已知数列
的项数均为m
，且
的前n 项和分别为
，并规定
．对于
，定义
，其中，
表示数集M 中最大的数．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，且
，求
；
(3)证明：存在
，满足
使得
．
【答案】(1)
，
，
，
(2)
(3)证明见详解
解析：(1)由题意可知：
，
当
时，则
，故
；
当
时，则
，故
；
当
时，则
故
；
当
时，则
，故
；
综上所述：
，
，
，
．
23
(2)由题意可知：
，且
，
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，
又因为
，则
，即
，
可得
，
反证：假设满足
的最小正整数为
，
当
时，则
；当
时，则
，
则
，
又因为
，则
，
假设不成立，故
，
即数列
是以首项为1，公差为1 的等差数列，所以
．
(3)
(ⅰ)若
，构建
，由题意可得：
，且
为整数，
反证，假设存在正整数
，使得
，
则
，可得
，
这与
相矛盾，故对任意
，均有
①若存在正整数
，使得
，即
，
可取
，使得
；
②若不存在正整数
，使得
，
因为
，且
，
所以必存在
，使得
，
即
，可得
，
可取
，使得
；
(ⅱ)若
，构建
，由题意可得：
，且
为整数，
反证，假设存在正整数
，使得
，
则
，可得
，
这与
相矛盾，故对任意
，均有
．
24
①若存在正整数
，使得
，即
，
可取
，使得
；
②若不存在正整数
，使得
，
因为
，且
，
所以必存在
，使得
，
即
，可得
，
可取
，使得
；
综上所述：存在
使得
．
2．(2019·上海·第21 题) 数列
有
项，
，对任意
，存在
，
若
与前
项中某一项相等，则称
具有性质
.
(1)若
，求
可能的值；
(2)若
不为等差数列，求证：
中存在满足性质
；
(3)若
中恰有三项具有性质
，这三项和为
，使用
表示
.
【答案】(1)3,5,7；(2);(3)
【解析】(1)由题意，
①若
具有性质
，则
②若
具有性质
而
不具有性质
，则
即
；
③若
不具有性质
，则必有
即
；
此时若
具有性质
，则
；若
不具有性质
，则
综上所述，
可能的值为3、5、7
（2）假设
中不存在满足性质
的项，即对任意
均有
；
下面数学归纳法证明，
是等差数列；
①当
时，
成立；
②设当
且
时，
；
则当
时，因为
不具有性质
，故
而又存在
故，
，即
；
25
综上所述，当
中不存在满足性质
的项时，
时等差数列成立；
故其逆否命题：当
不是等差数列时，
中存在满足性质
的项成立.
（3）由题意，不妨设这三项为
，其中
;且
故数列
为等差数列；
为等差数列；
为等差数列，
为等差数列；
若存在
或
或
的情况
则去掉相应的
、
、
每组等差
数列的公差均为
；
且
、
、
故当数列去掉
这三项后，构成首项为
，公差为
，项数97 项的等差数列；
故这97 项的和
；
故这100 个数的和
3．(2019·江苏·第20 题) 定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“
－数列”.
(1)已知等比数列
满足：
，求证:数列
为“
－数列”；
(2)已知数列{bn}满足:
，其中
为数列
的前
项和．
①求数列
的通项公式；
②设
为正整数，若存在“
－数列”
，对任意正整数
，当
时，都有
成
立，求
的最大值．
【答案】见解析
【解析】(1)设等比数列
的公比为
，所以
，
由
，得
，解得
．
因此数列
为“M—数列”.
(2)①因为
，所以
由
得
，则
由
，得
26
当
时，由
，得
整理得
．
所以数列
是首项和公差均为1 的等差数列.
因此，数列
的通项公式为
.
②由①知，
，
.
因为数列
为“
–数列”，设公比为
，所以
，
.
因为
，所以
，其中
.
当
时，有
；
当
时，有
．
设f(x)=
，则
．
令
，得
.列表如下：
x
(1，e)
e
(e，+∞)
+
0
–
f(x)
极大值
因为
，所以
．
取
，当
时，
，即
，
经检验知
也成立．
因此所求
的最大值不小于5．
若
，分别取
，得
，且
，从而
，且
，
所以
不存在.因此所求
的最大值小于6.
4．(2019·北京·理·第20 题) 已知数列
，从中选取第
项、第
项、…、第
项(
<
<…<
)，若
，则称新数列
为
的长度为m 的递增子列．规定：数列
的任意
一项都是
的长度为1 的递增子列．
(Ⅰ)写出数列1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为4 的递增子列；
(Ⅱ)已知数列
的长度为p 的递增子列的末项的最小值为
，长度为q 的递增子列的末项的最小值为
．若p＜q，求证：
＜
；
27
(Ⅲ)设无穷数列{an}的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若
的长度为
的递增子列末项的最小
值为
，且长度为
末项为
的递增子列恰有
个(
)，求数列
的通项公式．
【答案】【解析】(Ⅰ)满足题意的一个长度为4 的递增子列为：1，3，5，6．
(Ⅱ)对于每一个长度为
的递增子列
，都能从其中找到若干个长度为
的递增子列
，此时
，
设所有长度为
的子列的末项分别为：
，
所有长度为
的子列的末项分别为：
，则
，
注意到长度为
的子列可能无法进一步找到长度为
的子列，故
，
据此可得：
．
(Ⅲ)满足题意的一个数列的通项公式可以是
，
下面说明此数列满足题意．
很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等．
长度为的递增子列末项的最小值为
，
下面用数学归纳法证明长度为
末项为
的递增子列恰有
个
：
当
时命题显然成立，
假设当
时命题成立，即长度为
末项为
的递增子列恰有
个，
则当
时，对于
时得到的每一个子列
，
可构造：
和
两个满足题意的递增
子列，则长度为k+1 末项为2k+1 的递增子列恰有
个，
综上可得，数列
是一个满足题意的数列的通项公式．
注：当
时，所有满足题意的数列为：
，
当
时，数列
对应的两个递增子列为：
和
．
考点06 数列与其他知识点交汇及综合问题
28
一、选择题
1．(2023 年北京卷·第10 题)已知数列
满足
，则
(
)
A．当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
B．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
C．当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
D．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
【答案】B
解析：法1：因为
，故
，
对于A ，若
，可用数学归纳法证明：
即
，
证明：当
时，
，此时不等关系
成立；
设当
时，
成立，
则
，故
成立，
由数学归纳法可得
成立．
而
，
，
，故
，故
，
故
为减数列，注意
故
，结合
，
所以
，故
，故
，
若存在常数
，使得
恒成立，则
，
故
，故
，故
恒成立仅对部分
成立，
故A 不成立．
29
对于B，若
可用数学归纳法证明：
即
，
证明：当
时，
，此时不等关系
成立；
设当
时，
成立，
则
，故
成立即
由数学归纳法可得
成立．
而
，
，
，故
，故
，故
为增数列，
若
，则
恒成立，故B 正确．
对于C，当
时， 可用数学归纳法证明：
即
，
证明：当
时，
，此时不等关系成立；
设当
时，
成立，
则
，故
成立即
由数学归纳法可得
成立．
而
，故
，故
为减数列，
又
，结合
可得：
，所
以
，
若
，若存在常数
，使得
恒成立，
则
恒成立，故
，
的个数有限，矛盾，故C 错误．
对于D，当
时， 可用数学归纳法证明：
即
，
证明：当
时，
，此时不等关系成立；
设当
时，
成立，
30
则
，故
成立
由数学归纳法可得
成立．
而
，故
，故
为增数列，
又
，结合
可得：
，所以
，
若存在常数
，使得
恒成立，则
，
故
，故
，这与n 的个数有限矛盾，故D 错误．
故选：B．
法2：因为
，
令
，则
，
令
，得
或
；
令
，得
；
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
令
，则
，即
，解得
或
或
，
注意到
，
，
所以结合
的单调性可知在
和
上
，在
和
上
，
对于A，因为
，则
，
31
当
时，
，
，则
，
假设当
时，
，
当
时，
，则
，
综上：
，即
，
因为在
上
，所以
，则
为递减数列，
因为
，
令
，则
，
因为
开口向上，对称轴为
，
所以
在
上单调递减，故
，
所以
在
上单调递增，故
，
故
，即
，
假设存
常数
，使得
恒成立，
取
，其中
，且
，
因为
，所以
，
上式相加得，
，
则
，与
恒成立矛盾，故A 错误；
对于B，因为
，
当
时，
，
，
假设当
时，
，
当
时，因为
，所以
，则
，
所以
，
32
又当
时，
，即
，
假设当
时，
，
当
时，因为
，所以
，则
，
所以
，
综上：
，
因为在
上
，所以
，所以
为递增数列，
此时，取
，满足题意，故B 正确；
对于C，因为
，则
，
注意到当
时，
，
，
猜想当
时，
，
当
与
时，
与
满足
，
假设当
时，
，
当
时，所以
，
综上：
，
易知
，则
，故
，
所以
，
因为在
上
，所以
，则
为递减数列，
33
假设存在常数
，使得
恒成立，
记
，取
，其中
，
则
，
故
，所以
，即
，
所以
，故
不恒成立，故C 错误；
对于D，因为
，
当
时，
，则
，
假设当
时，
，
当
时，
，则
，
综上：
，
因为在
上
，所以
，所以
为递增数列，
因为
，
令
，则
，
因为
开口向上，对称轴为
，
所以
在
上单调递增，故
，
所以
，
故
，即
，
假设存在常数
，使得
恒成立，
取
，其中
，且
，
因为
，所以
，
上式相加得，
，
34
则
，与
恒成立矛盾，故D 错误．
故选：B．
2．(2020 年浙江省高考数学试卷·第7 题)已知等差数列{an}的前n 项和Sn，公差d≠0，
．记b1=S2，
bn+1=Sn+2–S2n，
，下列等式不可能成立的是
( )
A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6
C．
D．
【答案】D
解析：对于A，因为数列
为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由
可得，
，A 正确；
对于B，由题意可知，
，
，
∴
，
，
，
．
∴
，
．
根据等差数列的下标和性质，由
可得
，B 正确；
对于C，
，
当
时，
，C 正确；
对于D，
，
，
．
当
时，
，∴
即
；
当
时，
，∴
即
，所以
，D 不正确．
故选：D
3．(2022 高考北京卷·第6 题)设
是公差不为0 的无穷等差数列，则“
为递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的
( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C 充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
35
【解析】设等差数列
的公差为
，则
，记
为不超过
的最大整数．
若
为单调递增数列，则
，
若
，则当
时，
；若
，则
，
由
可得
，取
，则当
时，
，
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”；
若存在正整数
，当
时，
，取
且
，
，
假设
，令
可得
，且
，
当
时，
，与题设矛盾，假设不成立，则
，即数列
是递增数列．
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”．
所以，“
是递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的充分必要条件．
故选,C．
4．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第11 题)0-1 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列
满足
，且存在正整数
，使得
成立，则称其为0-1 周期序列，并称满
足
的最小正整数
为这个序列的周期．对于周期为
的0-1 序列
，
是描述其性质的重要指标，下列周期为5 的0-1 序列中，满足
的序列是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：由
知，序列
的周期为m，由已知，
，
对于选项A，
，不满足；
36
对于选项B，
，不满足；
对于选项D，
，不满足；
故选：C
【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算
能力，是一道中档题．
5．(2023 年全国乙卷理科·第10 题)已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，则
( )
A．－1
B．
C．0
D．
【答案】B
解析：依题意，等差数列
中，
，
显然函数
的周期为3 ，而
，即
最多3 个不同取值，又
，
则在
中，
或
，
于是有
，即有
，解得
，
所以
，
．
故选：B
二 解答题
1．(2023 年天津卷·第19 题) 已知
是等差数列，
．
(1)求
的通项公式和
．
(2)已知
为等比数列，对于任意
，若
，则
，
(Ⅰ)当
时，求证：
；
(Ⅱ)求
的通项公式及其前
项和．
37
【答案】(1)
，
；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
，前
项和为
．
解析：(1)由题意可得
，解得
，
则数列
的通项公式为
，
求和得
．
(2)(Ⅰ)由题意可知，当
时，
，
取
，则
，即
，
当
时，
，
取
，此时
，
据此可得
，
综上可得：
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：
，
据此猜测
，
否则，若数列的公比
，则
，
注意到
，则
不恒成立，即
不恒成立，
此时无法保证
，
若数列的公比
，则
，
注意到
，则
不恒成立，即
不恒成立，
此时无法保证
，
综上，数列的公比为
，则数列的通项公式为
，
38
其前
项和为：
．
2．(2022 新高考全国I 卷·第17 题) 记
为数列
的前n 项和，已知
是公差为
的等差数
列．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
【答案】(1)
(2)见解析
解析：(1)∵
，∴
,∴
,又∵
是公差为
的等差数列，
∴
,∴
,∴当
时，
，
∴
,整理得：
,
即
,∴
，
显然对于
也成立，
∴
的通项公式
；
(2)
∴
3．(2014 高考数学课标1 理科·第17 题) 已知数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ,
1
1
a = ,
0
na
,
1
1
n
n
n
a a
S
,其
中为常数．
(1)证明:
2
n
n
a
a
l
+ -
=
;
39
(2)是否存在,使得{
}
na
为等差数列?并说明理由．
【答案】【解析】(1)由题设
1
1
n
n
n
a a
S
l
+ =
-
,
1
2
1
1
n
n
n
a
a
S
l
+
+
+
=
-
,两式相减
(
)
1
2
1
n
n
n
n
a
a
a
a
l
+
+
+
-
=
,由于
0
na
,所以
2
n
n
a
a
l
+ -
=
．
(2) 由题设
1
1
a = ,
1
2
1
1
a a
S
l
=
-
,可得
2
1
1
a
l
=
- ,由(1)知
3
1
a
l
= +
假设{
}
na
为等差数列,则
1
2
3
,
,
a a a 成等差数列,∴
1
3
2
2
a
a
a
+
=
,解得
4
l = ;
证明
4
l = 时,{
}
na
为等差数列:由
2
4
n
n
a
a
+ -
= 知
数列奇数项构成的数列{
}
2
1
m
a
-
是首项为1,公差为4 的等差数列
2
1
4
3
m
a
m
- =
-
令
2
1,
n
m
=
-
则
1
2
n
m
+
=
,∴
2
1
na
n
=
-
(
2
1)
n
m
=
-
数列偶数项构成的数列{
}
2m
a
是首项为3,公差为4 的等差数列
2
4
1
m
a
m
=
-
令
2 ,
n
m
=
则
2
n
m =
,∴
2
1
na
n
=
-
(
2 )
n
m
=
∴
2
1
na
n
=
-
(
*
n
N
),
1
2
n
n
a
a
+ -
=
因此,存在存在
4
l = ,使得{
}
na
为等差数列．
4．(2020 年浙江省高考数学试卷·第20 题) 已知数列{an}，{bn}，{cn}中，
．
(Ⅰ)若数列{bn}为等比数列，且公比
，且
，求q 与an的通项公式；
(Ⅱ)若数列{bn}为等差数列，且公差
，证明：
．
【答案】(I)
；(II)证明见解析．
解析：(I)依题意
，而
，即
，由于
，所以解得
，所
以
．
所以
，故
，所以数列
是首项为，公比为
的等比数列，所以
．
所以
(
)．
所以
40
(II)依题意设
，由于
，
所以
，
故
．
所以
．
由于
，所以
，所以
．
即
，
．
5 （2023 年新高考Ⅱ卷）2．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，则
．
记前
次（即从第1 次到第
次投篮）中甲投篮的次数为
，求
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设
，由题意可得
，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
41
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件
，“第次投篮的人是乙”为事件
，
所以，
.
（2）设
，依题可知，
，则
，
即
，
构造等比数列
，
设
，解得
，则
，
又
，所以
是首项为
，公比为
的等比数列，
即
．
（3）因为
，
，
所以当
时，
，
故
．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数
列的基本知识求解．
6．(2022 高考北京卷·第21 题) 已知
为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的
，在Q 中存在
，使得
，则称Q 为
连续可表数列．
(1)判断
是否为
连续可表数列？是否为
连续可表数列？说明理由；
(2)若
为
连续可表数列，求证：k 的最小值为4；
(3)若
为
连续可表数列，且
，求证：
．
【答案】【解析】(1)
，
，
，
，
，所以
是
连续可表数列；
42
易知，不存在
使得
，所以
不是
连续可表数列．
(2)若
,设为
,则至多
，6 个数字，没有
个，矛盾；
当
时,数列
，满足
，
，
，
，
，
，
，
，
．
(3)
，若
最多有
种，若
，最多有
种，所以最多有
种，
若
，则
至多可表
个数，矛盾,
从而若
,则
，
至多可表
个数，
而
，所以其中有负的，从而
可表1~20 及那个负数(恰 21 个)，这表明
中仅一个负的，没有0，且这个负的在
中绝对值最小，同时
中没有两数相同,设那个负数
为
，
则所有数之和
，
，
，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足
个，
(仅一种方式)，
与2 相邻，
若
不在两端,则
形式，
若
，则
(有2 种结果相同，方式矛盾)，
， 同理
，故
在一端，不妨为
形式，
若
,则
(有2 种结果相同，矛盾)，
同理不行，
，则
(有2 种结果相同，矛盾)，从而
，
由于
,由表法唯一知3,4 不相邻,、
故只能
，①或
，②
这2 种情形，
对①：
，矛盾，
对②：
，也矛盾，综上
7．(2021 年高考浙江卷·第20 题) 已知数列
前n 项和为
，
，且
．
(1)求数列
通项；
43
(2)设数列
满足
，记
的前n 项和为
，若
对任意
恒成立，求
的
范围．
【答案】(1)
；(2)
．
【解析】(1)当
时，
，
，
当
时，由
①，得
②，①
②得
，又
是首项为
，公比为
的等比数列，
；
(2)由
，得
，
所以
，
，
两式相减得
，
所以
，由
得
恒成立，
即
恒成立，
时不等式恒成立；
时，
，得
；
时，
，得
；
所以
．
8．(2022 新高考全国II 卷·第17 题) 已知
为等差数列，
是公比为2 的等比数列，且
44
．
(1)证明：
；
(2)求集合
中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
．
解析：(1)设数列
的公差为
，所以，
，即可解得，
，所以
原命题得证．
（2）由(1)知，
，所以
，即
，亦即
，解得
，所以满足等式的解
，故集合
中的元素个数为
9．(2022 年浙江省高考数学试题·第20 题) 已知等差数列
的首项
，公差
．记
的前n
项和为
．
(1)若
，求
；
(2)若对于每个
，存在实数
，使
成等比数列，求d 的取值范围．
【答案】【解析】(1)因为
，
所以
，
所以
，又
，
所以
，
所以
，
所以
，
(2)因为
，
，
成等比数列，
所以
，
，
45
，
由已知方程
的判别式大于等于0，
所以
，
所以
对于任意的
恒成立，
所以
对于任意的
恒成立，
当
时，
，
当
时，由
，可得
当
时，
，
又
所以
10．(2021 年高考全国甲卷理科·第18 题) 已知数列
的各项均为正数，记
为
的前n 项和，从下
面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列
是等差数列：②数列
是等差数列；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】答案见解析
解析：选①②作条件证明③：
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
也是等差数列，所以
，解得
；
所以
，所以
．
选①③作条件证明②：
因为
，
是等差数列，
所以公差
，
所以
，即
，
46
因为
，
所以
是等差数列．
选②③作条件证明①：
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
，所以
，解得
或
；
当
时，
，当
时，
满足等差数列的定义，此时
为等差
数列；
当
时，
，
不合题意，舍去．
综上可知
为等差数列．
【点睛】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，等
差数列的证明通常采用定义法或者等差中项法．
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