专题11复数（理科）（解析版）-十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—复数
目录
题型一：复数的有关概念...........................................................................1
题型二：复数的几何意义...........................................................................4
题型三：复数的四则运算...........................................................................7
题型四：复数的其他问题.........................................................................16
题型一：复数的有关概念
一、选择题
1．(2023 年北京卷·第2 题)在复平面内，复数
对应的点的坐标是
，则
的共轭复数
( 
)
A
                                B．
C．
D．
【答案】D
解析：
在复平面对应的点是
，根据复数的几何意义，
，
由共轭复数的定义可知，
．
故选：D
2．(2023 年新课标全国Ⅰ卷·第2 题)已知
，则
(　　)
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
解析：因为
，所以
，即
．
故选：A．
3．(2023 年全国乙卷理科·第1 题)设
，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：由题意可得
，
则
．
故选：B．
4．(2021 年高考浙江卷·第2 题)已知
，
，(i 为虚数单位)，则
(　　)
A．
B．1
C．
D．3
【答案】C
解析:
，利用复数相等的充分必要条件可得：
,故选C．
5．(2020 年浙江省高考数学试卷·第2 题)已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i 为虚数单位)是实数，则a=
(　　)
A．1
B．–1
C．2
D．–2
【答案】C
解析：因为
为实数，所以
，故选：C
6． (2015 高考数学新课标2 理科·第2 题)若
为实数且
，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：由已知得
，所以
，解得
，故选B．
7．(2015 高考数学新课标1 理科·第1 题)设复数
满足
，则
(　　)
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
解析：由
得，
=
=，故|z|=1，故选A．
8．(2015 高考数学湖北理科·第1 题) 为虚数单位，
的共轭复数为
(　　)
A．
B．−i
C．1
D．−1
【答案】A
解析：i607=i4×151⋅i3=−i ,所以
的共轭复数为，选A．
9．(2015 高考数学广东理科·第2 题)若复数
( 是虚数单位)，则¯z =
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：因为
，所以
，故选A．
10．(2017 年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第3 题)设有下面四个命题
1p :若复数z 满足
1
z R
,则z R ;
2p :若复数z 满足
2z R ,则z R ;
3p :若复数
1
2
,
z z 满足
1 2
z z R ,则
1
2
z
z

;
4p :若复数z R ,则z R ．
其中的真命题为
(　　)
A．
1
3
,
p p
B．
1
4
,
p p
C．
2
3
,
p
p
D．
2
4
,
p
p
【答案】  B 
【解析】令
( ,
)
z
a
bi a b


R ,则由
2
2
1
1
a
bi
z
a
bi
a
b






R
得
0
b 
,所以z R ,
1p 正确; 
当z
i
时,因为
2
2
1
z
i

R ,而iR 知,
2p 不正确; 
由
1
2
1
2
,
1
z
z
i z
z
R




知
3p 不正确; 
对于
4p ,因为实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故
4p 正确,故选B． 
11．(2017 年高考数学课标Ⅲ卷理科·第2 题)设复数z 满足

1 i
2i
z


,则z 
(　　)．
A．
1
2
B．
2
2
C．
2
D．2
【答案】  C
【解析】法一：由

1
2
i z
i


可得


2
1
1
1
i
z
i
i
i
i





，所以
2
2
1
1
2
z 


，故选C．
法二：由

1
2
i z
i


可得

1
2
1
2
i z
i
i z





2
2
2
z



，故选C．
【考点】复数的模
12．(2016 高考数学课标Ⅰ卷理科·第2 题)设
，其中
是实数，则
(　　)
(A)1      (B)
       (C)
         (D)2
【答案】B
【解析】由
可知：
，故
，解得：
．
所以，
．故选B．
二、填空题
1．(2019·浙江·第11 题)复数
( 为虚数单位)，则
          ．
【答案】
【解析】解法一：由于
， 则
．
 解法二：
． 
2．(2019·天津·理·第9 题) 是虚数单位，则
的值为                 ．
【答案】
解析：解法1：
．
解法2：
 
3．(2019·江苏·第2 题)已知复数
的实部为
，其中为虚数单位，则实数
的值是______．
【答案】2
【解析】因为
的实部为
，
.
4．(2018 年高考数学江苏卷·第2 题)若复数
满足
，其中i 是虚数单位，则
的实部为        ．
【答案】2
解析：因为
，则
，则z 的实部为2．
5．(2018 年高考数学上海·第5 题)已知复数
满足
( 是虚数单位)，则
         ．
【答案】5
解析：
．
6．(2017 年高考数学江苏文理科·第2 题)已知复数
(1
i)(1
2i),
z 


其中i 是虚数单位,则z 的模是________．
【答案】  10 ． 
解析:
(1
)(1
2 )
1
1
2
2
5
10
z
i
i
i
i









,故答案为10 ． 
【考点】复数的模 
7．(2016 高考数学天津理科·第9 题)已知
是虚数单位，若
，则
的值为
_____________．
【答案】
解析：
，
，∴
，
，
8．(2016 高考数学上海理科·第2 题)设
，期中为虚数单位，则
=______________________．
【答案】
解析：
．
9．(2020 江苏高考·第2 题)已知是虚数单位，则复数
的实部是_____．
【答案】3
【解析】
复数
,
复数的实部为3．故答案为：3．
10．(2019·上海·第2 题)已知
且满足
，求
________.
【答案】
【解析】
，
.
题型二：复数的几何意义
一、选择题
1．(2021 年新高考全国Ⅱ卷·第1 题)复数
在复平面内对应的点所在的象限为
(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
解析:
，所以该复数对应的点为
，该点在第一象限，故选A．
2．(2022 高考北京卷·第2 题)若复数z 满足
，则
(　　)
A．1
B．5
C．7
D．25
【答案】B
解析:由题意有
，故
．故选,B．
3．(2019·全国Ⅱ·理·第2 题)设
，则在复平面内
对应的点位于
(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】∵
，∴
，对应坐标
，是第三象限．
4．(2023 年新课标全国Ⅱ卷·第1 题)在复平面内，
对应的点位于
(　　)．
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
解析：因为
，
则所求复数对应的点为
，位于第一象限．
故选：A．
5．(2018 年高考数学北京(理)·第2 题)在复平面内，复数
的共轭复数对应的点位于
(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
解析：
 ，则
 ，其对应的点为
，位于第四象限．
6．(2014 高考数学重庆理科·第1 题)复平面内表示复数i(1−2i)的点位于
(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
解析：根据复数的乘法分配律可得(1
2 )
2
,
i
i
i



，因此该复数在复平面内所对应的坐标为(2,1) ，
它在第一象限。
7．(2015 高考数学安徽理科·第1 题)设i 是虚数单位，则复数
在复平面内所对应的点位于
(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
解析：由题意
，其对应的点坐标为
，位于第二象限，故
选B．
8．(2019·全国Ⅰ·理·第2 题)设复数
满足
，
在复平面内对应的点为
，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】答案：C
解析：设
，则
．
9．(2016 高考数学课标Ⅱ卷理科·第1 题)已知
在复平面内对应的点在第四象限，则实
数
的取值范围是
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
在复平面内对应的点坐标为：
又
在复平面内对应的点在第四象限
所以
 所以
 故选A．
10．(2020 北京高考·第2 题)在复平面内，复数
对应的点的坐标是
，则
(　　)．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意得
，
．故选：B．
二、填空题
1．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科·第15 题)设复数
，
满足
，
，则
=__________．
【答案】
解析：方法一：设
，
，
，
，又
，所以
，
，
．
故答案为：
．
方法二：如图所示，设复数
所对应的点为
,
,
由已知
,
∴平行四边形
为菱形，且
都是正三角形，∴
，
 
∴
．
2．(2016 高考数学北京理科·第9 题)设
，若复数
 在复平面内对应的点位于实轴上，则
=_______________．
【答案】
解析：
，∵其对应点在实轴上，∴
，
．
题型三：复数的四则运算
一、选择题
1．(2021 年新高考Ⅰ卷·第2 题)已知
，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析:因为
，故
，故
,故选C．
2．(2021 年高考全国乙卷理科·第1 题)设
，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：设
，则
，则
，
所以，
，解得
，因此，
．
故选：C．
3．(2021 年高考全国甲卷理科·第3 题)已知
，则
(　　)
A
B．
C．
D．
【答案】B
解析：
，
．
故选：B．
4．(2020 年高考课标Ⅰ卷理科·第1 题)若z=1+i，则|z2–2z|=
(　　)
A．0
B．1
C．
D．2
【答案】D
【解析】由题意可得：
，则
．
故
．故选：D．
5．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科·第2 题)复数
虚部是
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：因为
，
所以复数
的虚部为
．
故选：D．
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题．
6．(2020 年新高考全国Ⅰ卷(山东)·第2 题)
(　　)
A．1
B．−1
C．i
D．−i
【答案】D
解析：
故选：D
7．(2020 年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第2 题)
=
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：
8．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·第1 题)若
，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
故选 ：C
9．(2022 年浙江省高考数学试题·第2 题)已知
( 为虚数单位)，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析:
，而
为实数，故
，故选,B．
10．(2022 新高考全国II 卷·第2 题)
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】．D
解析：
．     故选 D．
11．(2022 新高考全国I 卷·第2 题)若
，则
(　　)
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
解析：由题设有
，故
，故
， 故选：D
12．(2021 高考北京·第2 题)在复平面内，复数
满足
，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：由题意可得：
．
故选：D．
13．(2020 天津高考·第10 题) 是虚数单位，复数
_________．
【答案】
【解析】
．故答案为：
．
14．(2019·全国Ⅲ·理·第2 题)若
，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据复数运算法则，
，故选D．
另解：由常用结论
，得
，则
，故选D．
【点评】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取复数运算法则，利用方程思想解题．
当然若能熟知一些常用结论，可使解题快、准．
15．(2018 年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第2 题)
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：
，故选D．
16．(2018 年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第1 题)
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：
，故选D．
17．(2018 年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第1 题)设
,则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：
，则
，故选：C．
18．(2014 高考数学天津理科·第1 题) 是虚数单位,复数
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析:直接计算
．故选A．
19．(2014 高考数学山东理科·第1 题)已知
，是虚数单位，若
与
互为共轭复数，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】
 
解析：由已知得
，即
，所以
．
20．(2014 高考数学辽宁理科·第2 题)设复数z 满足
，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：∵
，∴
，∴
．
解析2： ∵
，∴
，∴
，
∴
．
解析3：设
，代入到已经中
，
整理
，根据复数相等的概念得
，解得a=2，b=3，所以
．
备注：高频考点
21．(2014 高考数学课标2 理科·第2 题)设复数
1z ，
2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，
，
则
(　　)
A．-5
B．5
C．-4+i
D．-4-i
【答案】A
解析：由题意知：
，所以
-5，故选A。
22．(2014 高考数学课标1 理科·第2 题)
3
2
(1
)
(1
)
i
i


=
(　　)
A．1 i

B．1 i

C．1 i

D．1 i

【答案】  D 
解析:∵
3
2
(1
)
(1
)
i
i


=
2 (1
)
1
2
i
i
i
i



,选D． 
考点:(1)复数的代数运算  (2)转化思想 
难度:A 
备注:高频考点
23．(2014 高考数学江西理科·第1 题) z 是z 的共轭复数．若
2

z
z
,
2
)
(


i
z
z
(i 为虚数单位),则

z
( 
)
A．
i

1
B．
i

1
C．
i

1
D．
i

1
【答案】  D 
分析: 设
,( ,
)
z
a
bi a b
R



, 则
,
z
a
bi


由
2

z
z
得:
1
a 
, 由
2
)
(


i
z
z
得:
1
b , 所以
1
,
z
i

选D． 
24．(2014 高考数学湖南理科·第1 题)满足
( 为虚数单位)的复数
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
解析：由题可得
，故选B．
25．(2014 高考数学湖北理科·第1 题) 为虚数单位，则
(　　)
A．-1
B．1
C．−i
D．i
【答案】A
解析：
．
26．(2014 高考数学广东理科·第2 题)已知复数
满足
则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】答案：A
解析：由题意得
，故选A．
27．(2014 高考数学福建理科·第1 题)复数z=(3−2i)i 的共轭复数
等于
(　　)
A．−2−3i
B．
C．
D．
【答案】解析：
，
．故选：C．
28．(2014 高考数学大纲理科·第1 题)设
，则z 的共轭复数为
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
解析：因为
，所以
的共轭复数为
，
故选D．
29．(2014 高考数学安徽理科·第1 题)设是虚数单位，
表示复数
的共轭复数．若
,则
( 
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
解析：因为
，故选C．
30．(2015 高考数学四川理科·第2 题)设是虚数单位，则复数
=
(　　)
(A)
     (B)
     (C)       (D)
【答案】C
解析：
，选C．
31．(2015 高考数学山东理科·第2 题)若复数
满足
，其中为虚数为单位，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：因为
，所以，
 ，所以，
 故选：A．
32．(2015 高考数学湖南理科·第1 题)已知
(
为虚数单位)，则复数
=
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】D．
分析：由题意得，
z=(1−i)2
1+i =−2i
1+i =−1−i
，故选D．
33．(2015 高考数学北京理科·第1 题)复数
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：根据复数乘法运算计算得：
，故选A．
34．(2017 年高考数学山东理科·第2 题)已知aR ,i 是虚数单位,若
3 ,
4
z
a
i z z




,则a = (　　)
A．1或
1
-
B．
7
或
7

C．
3

D．
3
【答案】  A
【解析】由
3i,
4
z
a
z z




得
2
3
4
a 

,所以
1
a ,故选A．  
35．(2017 年高考数学课标Ⅱ卷理科·第1 题)
3
1
i
i


(　　)
1
2i

B．1 2i

C．2
i
D．2
i

【答案】  D
【命题意图】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数的概念，意在考查学生的运算能力．
【解析】解法一：常规解法
 






3
1
3
4
2
2
1
1
1
2
i
i
i
i
i
i
i
i











解法二：对十法
3
1
i
i


可以拆成两组分式数
3 1
1 1 ，运算的结果应为a
bi

形式，
2
2
3 1 1 1
2
1
1
a




(分子十字相乘，
分母为底层数字平方和)，
2
2
1 1
3 1
1
1
1
b




(分子对位之积差，分母为底层数字平方和)．
解法三：分离常数法



1
1
3
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i













解法四：参数法







3
3
3
1
3
1
1
a
b
i
a
bi
i
a
bi
i
i
a
b
a
b i
a
b
i



















，解得
2
1
a
b




故 
3
2
1
i
i
i




36．(2016 高考数学山东理科·第1 题)若复数z 满足
其中为虚数单位，则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设z=a+bi ，则2z+z=3a+bi=3−2i ，故a=1,b=−2，则z=1−2i ，选B．
37．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科·第2 题)若
,则
(　　)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
,故选C.
二、填空题
1．(2023 年天津卷·第10 题)已知是虚数单位，化简
的结果为_________．
【答案】
解析：由题意可得
．
故答案为：
．
2．(2021 高考天津·第10 题) 是虚数单位，复数
_____________．
【答案】
解析：
．      故答案为：
．
3．(2018 年高考数学天津(理)·第9 题) 是虚数单位，复数
          ．
【答案】
解析：
．
4．(2014 高考数学四川理科·第11 题)复数
  
【答案】
解析：
5．(2014 高考数学上海理科·第2 题)若复数
，其中是虚数单位，则
．
【答案】6
解析:
．
6．(2014 高考数学江苏·第2 题) 已知复数
( 为虚数单位)，则z 的实部为      ．
【答案】21
解析：
，其实部为21．
7．(2014 高考数学北京理科·第9 题)复数z=1 =            ．
【答案】B
50 解析：
 
8．(2015 高考数学重庆理科·第11 题)设复数
的模为
，则
________．
【答案】3
解析：由
得
，即
，所以
．
9．(2015 高考数学天津理科·第9 题) 是虚数单位，若复数


1 2i
a
i


 是纯虚数，则实数a 的值为  
 
．
【答案】2

解析：




1
2
2
1
2
i
a
i
a
a i






是纯虚数，所以
2
0
a 

，即
2
a ．
10．(2015 高考数学上海理科·第2 题)若复数
满足
，其中为虚数单位，则
         ．
【答案】
解析：设
，根据题意，有
，可把
化简成
，对于系数相等可得出
，
．
11．(2015 高考数学江苏文理·第3 题)设复数z 满足z2=3+4i (i 是虚数单位)，则z 的模为_______．
【答案】
解析：
12．(2017 年高考数学浙江文理科·第12 题)已知,a bR ,
2
(
i)
3
4i
a
b



(i 是虚数单位),则
2
2
a
b


______,ab _____．
【答案】5,2  
【解析】由
2
2
2
(
i)
2
i
a
b
a
b
ab




及已知,所以
2
2
3,
2
a
b
ab



,解得
2
1
a
b





或
2
1
a
b




,所以
2
2
5
a
b


,
2
ab 
． 
13．(2017 年高考数学天津理科·第9 题)已知aR ,i 为虚数单位,若2
a
i
i


为实数,则a 的值为____________．
【答案】  2
． 
【解析】









2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
5
5
5
a
i
i
a
a
i
a
i
a
a
i
i
i
i















为实数, 
则
2
0,
2
5
a
a



． 
14．(2017 年高考数学上海(文理科)·第9 题)已知复数z 满足
3
0
z
z


,则|
|z ________．
【答案】  3
【解析】
2
3
3
|
|
3
z
z
i
z




．
15．(2016 高考数学江苏文理科·第2 题)复数
，其中为虚数单位，则
的实部是  
 
．
【答案】5．
解析：由复数乘法可得
，则则
的实部是5．
题型四：复数的其他问题
1．(2023 年全国甲卷理科·第2 题)设
，则
(　　)
A．-1
B．0·
C．1
D．2
【答案】C
解析：因为
，
所以
，解得：
．
故选：C．
2.(2015 年上海卷·第16 题)已知点
的坐标为
，将
绕坐标原点
逆时针转
至
，则
的纵
坐标为（    ）
A．
B． 
C． 
D． 
答案：D
解析：以
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，设
，则
，且
，
，
的纵坐标为：
．
3．(2022 年高考全国乙卷数学(理)·第2 题)已知
，且
，其中a，b 为实数，则
( 
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
解析：
由
,得
,即
4．(2015 高考数学上海理科·第15 题)设
，则“
中至少有一个数是虚数”是“
是虚数”
的
(　　)
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【答案】B
解析：充分性不成立，如
，
，
不是虚数；
必要性成立，采用反证法，若
全不是虚数，即
均为实数，则
比为实数，所以
是
虚数，则
中至少有一个数是虚数．选择B．
5．(2017 年高考数学北京理科·第2 题)若复数(1 i)(
i)
a


在复平面内对应的点在第二象限,则实数a 的取值
范围是
(　　)
A．(
,1)

B．(
, 1)

C．(1,
)

D．( 1,
)

【答案】  B 
【解析】
i
i
(1
)(
)
(
1)
(1
)i
z
a
a
a







,因为对应的点在第二象限,所以
1
0
1
0
a
a





,解得
1
a ,故
选B．