专题15 立体几何解答题全归类
目 录
01 非常规空间几何体为载体................................................................................................................1
02 立体几何探索性问题.......................................................................................................................8
03 立体几何折叠问题.........................................................................................................................18
04 立体几何作图问题.........................................................................................................................25
05 立体几何建系繁琐问题.................................................................................................................33
06 两角相等（构造全等）的立体几何问题.......................................................................................43
07 利用传统方法找几何关系建系......................................................................................................49
08 空间中的点不好求.........................................................................................................................57
09 创新定义........................................................................................................................................69
01 非常规空间几何体为载体
1．（2023·四川南充·模拟预测）如图所示，在圆锥
中，
为圆锥的顶点，
为底面圆圆心，
是圆
的直径，
为底面圆周上一点，四边形
是矩形．
(1)若点
是
的中点，求证：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的余弦值．
【解析】（1）
分别是
中点，连接
，则
，
平面
平面
，则
平面
，
四边形
是矩形，
，同理有
平面
，
又
，
平面
，故平面
平面
，
又
平面
，故
平面
.
（2）解法一：
在圆锥
中，
平面
，
平面
则平面
平面
，平面
平面
，作
于点
，连接
，
则
面
是
在平面
上的射影，
是直线
与平面
所成的角，
在直角三角形
中，
，则
，
平面
，则
平面
，
在直角三角形
中，
，
，则
，
在直角三角形
中，
，
故
，即直线
与平面
所成角的余弦为
.
解法二：在圆锥
中，
平面
，
在直角三角形
中，
，则
，
，
在直角三角形
中，
，则
，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
设
是平面
的法向量，则
，
令
得
，
设直线
与平面
所成角为
，则
，
.
2．（2023•新高考Ⅱ）如图，三棱锥
中，
，
，
，
为
中点．
（1）证明
；
（2）点
满足
，求二面角
的正弦值．
【解析】证明：（1）连接
，
，
，
为
中点．
，
又
，
，
与
均为等边三角形，
，
，
，
平面
，
平面
，
．
（2）设
，
，
，
，
，
，
又
，
，
平面
，
以
为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
，
，0，
，
，
，
，
，
，
设平面
与平面
的一个法向量分别为
，
，
则
，令
，解得
，
，令
，解得
，
，
故
，1，
，
，1，
，
设二面角
的平面角为
，
则
，
故
，
所以二面角
的正弦值为
．
3．（2023·河南·高二漯河高中校联考阶段练习）如图，四棱台
中，上、下底面均是正方形，
且侧面是全等的等腰梯形，
，上、下底面中心的连线NM 垂直于上、下底面，且NM 与侧面
所成角的正切值为
．
(1)求点A 到平面
的距离；
(2)求二面角
的余弦值．
【解析】（1）取
的中点
，
的中点K，连接
．
因为
平面
，线面垂直的性质知
，
，
．
易得
，且
，即四边形MNKI 为矩形．
所以
，易得
为
与侧面所成的一个角．
因为MN 与侧面所成角的正切值为
，所以
．
以点M 为坐标原点，
的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标
系，
则
，
，
，
，
，
．
所以
，
．
设平面MHG 的法向量为
，则
，
令
，则平面MHG 的一个法向量为
，而
，
所以点A 到平面MHG 的距离
．
（2）因为
，设面MEH 的法向量为
，则
，
令
，则面MEH 的一个法向量为
．
所以
，易知二面角
的平面角为钝角，
所以二面角
的余弦值为
．
4．（2023·天津和平·统考三模）如图，四棱台
中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等
的等腰梯形，
，
分别为
的中点，上下底面中心的连线
垂直于上下底面，且
与侧棱所在直线所成的角为
.
(1)求证：
∥平面
；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)边
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成的角的正弦值为
，若存在，求出线段
的长；若不存在，请说明理由
【解析】（1）证明：因为
平面
，以点
为坐标原点，
的方向分别为
轴，
轴，
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线
所成的角为
，则
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
令
，则
，
因为
，
所以
，所以
，
又因为
平面
，
所以
∥平面
；
（2）由（1）知，
，
所以点
到平面
的距离为
；
（3）假设边
上存在点
满足条件，
，
则
，
设直线
与平面
所成角为
，
由题意可得
，
化简得
，则
或
（舍去），
即存在点
符合题意，此时
.
02 立体几何探索性问题
5．（2023•新高考Ⅰ）如图，在正四棱柱
中，
，
．点
，
，
，
分
别在棱
，
，
，
上，
，
，
．
（1）证明：
；
（2）点
在棱
上，当二面角
为
时，求
．
【解析】（1）证明：根据题意建系如图，则有：
，2，
，
，0，
，
，2，
，
，0，
，
，
，
，又
，
，
，
四点不共线，
；
（2）在（1）的坐标系下，可设
，2，
，
，
，
又由（1）知
，0，
，
，2，
，
，0，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，
设平面
的法向量为
，
则
，取
，
根据题意可得
，
，
，
，又
，
，
解得
或
，
为
的中点或
的中点，
．
6．（2023·北京·高三北京八中校考期中）羡除是《九章算术》中记载的一种五面体．如图五面体
ABCDEF，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，其中
，
，
，
，M 为AD 中点，平面BCEF 与平面ADEF 交于EF．再从条件①，条件②，
条件③中选择一个作为已知，使得羡除ABCDEF 能够确定，然后解答下列各题：
(1)求证：
平面CDE；
(2)求二面角
的余弦值．
(3)在线段AE 上是否存在点Q，使得MQ 与平面ABE 所成的角的正弦值为
，若存在，求出
的值，
若不存在，请说明理由．
条件①：平面
平面ABCD；
条件②：平面
平面ABCD；
条件③：
．
【解析】（1）等腰梯形ABCD，M 是AD 中点，
，又
，
故四边形BCDM 为平行四边形，故
，
平面CDE，
平面CDE，故
平面CDE．
（2）选①：连接
，
，作
于，则
，
，
，
同理可得
，
，故
，
平面
平面ABCD，平面
平面
，
平面
，
故
平面
，
平面
，故
，
，故
，此时
，故
，
如图所示：以
为
轴建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
得到
；
设平面
的法向量为
，则
，
取
得到
；
，
所以二面角
的余弦值为．
选②：取BC 中点为N，EF 中点为P，连接MP 和MN
平面
平面ABCD，故平面
平面
，
，
平面ADEF，故
平面ABCD，
，
如图所示：以
为
轴建立空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面BAE 的一个法向量
，
，
，
令
，则
，
，则
易知
是平面AEF 的一个法向量，
，根据图像知二面角
为钝角，
所以二面角
的余弦值为
．
选③：取MD 中点
，连接
和
，易知
，
，
，
，
，
，故
，
故二面角
，故平面
平面ABCD，
取BC 中点为N，EF 中点为P，连接MP 和MN
平面
平面ABCD，平面
平面
，
，
平面ADEF，故
平面ABCD，故
，
如图所示：以
为
轴建立空间直角坐标系，
后续同②；
（3）若选择①：
设
，
，
，
，
，
解得
，均不满足题意，故不存在点Q．
若选②或者③：
设
，
，
，
，
，解得
，
均不满足题意，故不存在点Q．
7．（2021•甲卷）已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，
，
分别为
和
的中点，
为棱
上的点，
．
（1）证明：
；
（2）当
为何值时，面
与面
所成的二面角的正弦值最小？
【解析】（1）证明：连接
，
，
分别为直三棱柱
的棱
和
的中点，且
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
故以
为原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，0，
，
，0，
，
，2，
，
，1，
，
，2，
，
设
，则
，0，
，
，2，
，
，1，
，
，即
．
（2）
平面
，
平面
的一个法向量为
，0，
，
由（1）知，
，1，
，
，1，
，
设平面
的法向量为
，
，
，则
，即
，
令
，则
，
，
，
，
，
，
，
当
时，面
与面
所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当
时，面
与面
所成的二面角的正弦值最小．
8．（2021•北京）如图，在正方体
，
为
的中点，
交平面
交于点
．
（Ⅰ）求证：
为
的中点；
（Ⅱ）若点
是棱
上一点，且二面角
的余弦值为
，求
的值．
【解析】（Ⅰ）证明：连结
，
在正方体
中，
，
平面
，
平面
，
则
平面
，因为平面
平面
，
所以
，则
，
故
，又因为
，
所以四边形
为平行四边形，四边形
为平行四边形，
所以
，
，
而点
为
的中点，所以
，
故
，则点
为
的中点．
另取
的中点
，则
与
平行且相等，
进而与
平行且相等，
，
，
，
四点共面，
平面
，
从而
与
重合，
点
为
的中点．
（Ⅱ）以点
为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体棱长为2，设点
，0，
，
因为二面角
的余弦值为
，则
，所以
，
则
，2，
，
，1，
，
，1，
，
故
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
所以
，
，故
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
所以
，
，故
，
因为二面角
的余弦值为
，
则
，
解得
，又
，
所以
，
故
．
9．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方形ADEF 所在平面和等腰梯形ABCD 所在平面相互垂直，已知
．
(1)求证：
；
(2)在线段BE 上是否存在一点P，使得平面
平面BCEF？若存在，求出
的值；若不存在，请说
明理由．
【解析】（1）
平面
平面
，平面
平面
，
又
，
平面
，
面
，
平面
，
，
过
作
于
，则
，
又
，
面
，
面
，又
面
，
；
（2）由（1）知
两两垂直，分别以
方向为
轴，
轴，轴建立空间直角坐标系，
，
则
，
假设在线段BE 上存在一点P，使得平面
平面BCEF
设
，
则
，
设平面
的一个法向量为
，
由
得
，取
得
，
设平面BCEF 的一个法向量为
，，
，得
，取
得
，
平面
平面BCEF
，解得
，
，即
在线段BE 上存在一点P，使得平面
平面BCEF，且
.
03 立体几何折叠问题
10．（2023·江苏苏州·高三苏州市相城区陆慕高级中学校考阶段练习）已知图①中四边形
是圆
的
内接四边形，沿
将
所在圆面翻折至如图②所示的位置，使得
.
(1)若
，证明：
；
(2)若
，求二面角
余弦值的最小值.
【解析】（1）因为四边形
是圆
的内接四边形，且
为圆的直径，所以
，又在
中，
，所以
，则
，取
中点
，连接
，又因为
，则
，因为
，所以
，因为
，且
平面
，所以
平面
，又
平面
，所以
.
（2）
设
，因为
，所以
，
，所以
，由（1）可知此时
，
，
，所以
平面
，因为
平面
，所以平面
平面
，以
为原点，
为
轴正半轴，建立如
图所示空间直角坐标系
，则
，设
，
，则
，
，
，设平面
和平面
的法向量分别为
和
，则
，令
，则
，
，所以
，同理可得
，令
，则
，
，所以
，设二面角
大小为
，则
，
所以
，因为
，所以
，
所以二面角
余弦值的最小值为
.
11．（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，在梯形
中，
，
，
，
，
与
交于点
，将
沿
翻折至
，使点
到达点
的位置.
(1)证明：
；
(2)若平面PBC 与平面PBD 的夹角的余弦值为
，求三棱锥
的体积.
【解析】（1）
，
，
，
，
，
即
，
，
，
，又
，
平面PMC，
平面PMC，
平面PMC，
∴
；
（2）直角
中，
，
，
，
，
，
，
则
由（1）
平面PMC，
以
为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
设
，其中
，
所以
，
，
，
设平面PBD 的一个法向量为
，
则
，
取
，
，
设平面PBC 的一个法向量为
，
则
，
取
，则
，
，
解得
，
或
，
.
则
或
故
或
.
12．（2023·贵州·高二校联考阶段练习）如图1，已知
是直角梯形，
，
，
，C、D 分别为BF、AE 的中点，
，
，将直角梯形ABFE 沿CD 翻折，使得二面角
的大小为60°，如图2 所示，设N 为BC 的中点.
(1)证明：
；
(2)若M 为AE 上一点，且
，则当
为何值时，直线BM 与平面ADE 所成角的正弦值为
.
【解析】（1）∵由图1 得：
，
，且
，∴在图2 中
平面
，
是二面角
的平面角，则
，∴
是正三角形，且N 是BC 的中点，
，又
平面BCF，
平面BCF，可得
，而
，
平面
ABCD.∴
平面ABCD，而
平面
，∴
.
（2）因为
平面ABCD，过点N 做AB 平行线NP，所以以点N 为原点，NP，NB、NF 所在直线分别为
x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，设
∴
，
，
,
.
∵
，∴
.
∴
，∴
，
设平面
的法向量为
则
，取
，
设直线BM 与平面ADE 所成角为
，
∴
，
∴
，∴
或
.
13．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形
中，点
在边
上，且满足
，将
沿
向上翻折，使点
到点
的位置，构成四棱锥
.
(1)若点
在线段
上，且
平面
，试确定点
的位置；
(2)若
，求锐二面角
的大小.
【解析】（1）点
为线段
上靠近点
的三等分点，
证明如下：
如图，
在
取点
，连接
，
,使得
，
又
，所以四边形
为平行四边形，所以
，
又
平面
平面
，所以
平面
.
又
平面
，
，
平面
，
所以平面
平面
，
又平面
平面
，平面
平面
，
所以
，所以在
中，
，所以
，
所以点
为线段
上靠近点
的三等分点.
（2）如图，取
的中点
，以O 为原点OE 为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为
，所以
，
又
，则
，
由题意，点P 在过点O 且垂直AE 的平面上，故设
，
则
，
因为
，所以
，解得
，
故
，则
，
设平面
的法向量为
，
则
，不妨取
，则
，
设平面
的一个法向量为
，则
，
记锐二面角
的平面角为
，所以
，
又
，则
，所以锐二面角
的大小为
.
04 立体几何作图问题
14．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，已知平行六面体
的底面
是菱形，
，
，且
.
(1)试在平面
内过点
作直线，使得直线
平面
，说明作图方法，并证明：直线
；
(2)求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【解析】（1）只需要在平面
内过点
作
的平行线，即可使满足题意.
理由如下：
平面
，且
平面
平面
平面
所以
又∵在平行六面体
中
，
∴
，得证.
（2）连接AC 交BD 于O，连接
，如图，
由题意易知
，
，
在
中，
，
同理：在
中，
，
∴
为等腰三角形，即
，又
，
∴
，
在
中，
，∴
，
又∵
，∴
平面
，
如图建系：以
为z 轴，OC 为x 轴，OD 为y 轴.
，
，
，
，
，
∵
，∴
，
，
易知平面
与平面
重合，则平面
的法向量
，
设平面
的法向量
，
，∴
，
设平面
与平面
所成角的平面角为
，
.
平面
与平面
所成角的锐二面角的余弦值为
.
15．（2023·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知四棱锥
中，底面
为正方
形，O 为其中心，点E 为侧棱
的中点.
(1)作出过O、P 两点且与
平行的四棱锥截面（在答题卡上作出该截面与四棱锥表面的交线，并写出简
要作图过程）；记该截面与棱
的交点为M，求出比值
（直接写出答案）；
(2)若四棱锥的侧棱与底面边长均相等，求
与平面
所成角的正弦值.
【解析】（1）连接
，
，则O 为
中点，取
中点F，连接
并延长
交
于M，
连接
并延长
交
于N，连接
.
则由
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
所以
即为所求截面（如图所示），此时
.
（2）不妨设四棱锥的所有棱长均为2，以O 为原点，过O 点且分别与
、
平行的直线为x 轴、y 轴，
为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系（如图）.
可得
，
，
，
，
，
.
则
，
，
.
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，取
，则
，
设
与平面
所成角为
，则
，
所以
与平面
所成角的正弦值为
.
16．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知底面为平行四边形的四棱锥
中，平面
与直
线
和直线
平行，点
为
的中点，点
在
上，且
.
(1)求证：四边形
是平行四边形；
(2)求作过
作四棱锥
的截面，使
与截面平行（写出作图过程，不要求证明）.截面的定义：
用一个平面去截一个几何体，平面与几何体的表面的交线围成的平面图形.
【解析】（1）∵
平面
，
平面
，平面
平面
，∴
∵
平面
，
平面
，平面
平面
，∴
∴
，
∵
平面
，
平面
，平面
平面
，∴
∵
平面
，
平面
，平面
平面
，∴
∴
，
∴四边形
是平行四边形.
（2）
如图，延长
，与
交于点
，过点
作直线
,则直线
为平面
和平面
的交线，延
长
，交
于点，连接
，与
交于点
，连接
.∵点
为
的中点，点
为
的中点,∴
是
的一条中位线∴
，又∵
平面
,
平面
,∴
截面
.
故平面
即为所求截面.
17．（2023·安徽马鞍山·统考三模）如图多面体
中，面
面
，
为等边三角形，
四边形
为正方形，
，且
，
，
分别为
，
的中点.
（1）求二面角
的余弦值；
（2）作平面FHG 与平面ABCD 的交线，记该交线与直线AB 交点为P，写出
的值（不需要说明理由，
保留作图痕迹）.
【解析】（1）因为面
面
，
为等边三角形，设
中点为
，所以
又因为面
面
面FAB，则
平面
，
以
为坐标原点，分别以
方向为
轴建立空间直角坐标系，如图所示：
因为
，则
则
，
，
，
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
则
取
得
，所以
设平面
的一个法向量为
则
取
得
，所以
所以
则二面角
的余弦值为
；
（2）
，如图所示：
18．（2023·北京·北京市十一学校校考三模）四棱锥
中，底面
是边长为2 的菱形，
.
,且
平面
，
，点
分别是线段
上的中点，
在
上.且
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求直线
与平面
的成角的正弦值；
（Ⅲ）请画出平面
与四棱锥的表面的交线，并写出作图的步骤.
【解析】分析：（Ⅰ）推导出
，由此能证明
平面
；
（Ⅱ）推导出
，
，
，轴建立空间直角坐标系息，利用向量法能求出直线AB 与
平面EFG 的所成角的正弦值；
（Ⅲ）法1：延长
分别交
延长线于
，连接
，发现刚好过点
，,连接
，则
四边形
为平面
与四棱锥的表面的交线.
法2：记平面
与直线
的交点为
，设
，，利用向量法求出
，从而
即为点
.连接
，
，则四边形
为平面
与四棱锥的表面的交线.
解析：解:（Ⅰ）在
中，因为点
分别是线段
上的中点，
所以
因为
平面
，
平面
.
所以
平面
.
（Ⅱ）因为底面
是边长为2 的菱形，
所以
，
因为
平面
，
所以
，
，
如图，建立空间直角坐标系，则依题意可得
，
，
，
，
，
，
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，则由
可得
，
令
，可得
因为
.
所以直线
与平面
的成角的正弦值为
（Ⅲ）法Ⅰ：延长
分别交
延长线于
，连接
，发现刚好过点
，,连接
，
则四边形
为平面
与四棱锥的表面的交线.
法2：记平面
与直线
的交点为
，设
，则
由
，可得
.
所以
即为点
.
所以连接
，
，则四边形
为平面
与四棱锥的表面的交线.
05 立体几何建系繁琐问题
19．（2023·浙江台州·高一统考期末）如图，平面
平面
，四边形
为矩形，且
为线
段
上的动点，
，
，
，
.
(1)当
为线段
的中点时，
（i）求证：
平面
；
（ii）求直线
与平面
所成角的正弦值；
(2)记直线
与平面
所成角为
，平面
与平面
的夹角为
，是否存在点
使得
?若
存在，求出
；若不存在，说明理由.
【解析】（1）（i）由题意，四边形
为直角梯形，且
，
，
所以
，所以
，
取
的中点
，连接
，则
且
，且
，
故四边形
为矩形，
则
，且
，所以
，
又由
，所以
，所以
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以
，
因为
，
，则
，所以
，
又
，
、
平面
，所以
平面
.
（ii）取
的中点为
，
的中点为
，连接
、
、
，
过
在平面
内作
垂直于
，垂足为
，
又平面
平面
，平面
平面
，
，
所以
平面
，
为
的中点，
所以
，所以
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，
，
、
平面
，
所以
平面
，
平面
，
所以
，
，
平面
，
得
平面
，因为
，
，
，
所以
，
由等面积法可得
，
延长
与
交于点
，则
为
的中点，
为直线
与平面
的交点，
设点
到平面
的距离为
，直线
与平面
所成的角为
，
则
，所以
，
由
，所以，
；
（2）假设存在点
，使得
，延长
与
交于点
，连接
，
则平面
平面
，
设
平面
，垂足为
，连接
，
是直线
与平面
所成的角，
因为
且
，所以，点
为
的中点，则
，
过点
作
垂直于
，垂足为
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又因为
，
，
、
平面
，所以
平面
，因为
平面
，
所以
，
是二面角
的平面角，
所以
，
，
由
，得
，所以
、
重合，由
，得
，
设
，则
，
，
由勾股定理可得
，
即
，整理可得
，
解得
或
（舍），
所以存在点
，当
，有
成立.
20．（2023·江苏南京·高一南京外国语学校校考阶段练习）如图，在梯形
中，
，
，
，四边形
为矩形， 平面
平面
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的平面角的余弦值；
(3)若点
在线段
上运动，设平面
与平面
所成二面角的平面角为
，试求
的范
围.
【解析】（1）证明：在梯形
中，
，
，
，
，
，
，
，
平面
平面
，平面
平面
，
平
面
，
平面
.
（2）取
中点
，连接
，
，
，
，
，
，
，
为二面角的平面角.
，
，
，
，
.
（3）由（2）知：
①当
与
重合时，
；
②当
与
重合时，过
作
，且使
，连接
，
，则平面
平面
，
，
，
平面ABC，
平面ABC，
，
平面
，
平面
，
，
，
；
③当
与
，
都不重合时，令
，
，延长
交
的延长线于
，连接
，
在
平面
与平面
的交线上，
在平面
与平面
的交线上，
平面
平面
，
过
作
交
于
，连接
，
由（1）知，
，又
，
平面
，
，
平面
，
平面
，
.
又
，
平面ACH，
，
平面
，
，
.
在
中，
，从而在
中，
，
，
，
.
，
.
综上所述，
，
.
21．（2023·重庆·统考三模）如图，四面体ABCD 的顶点都在以AB 为直径的球面上，底面BCD 是边长为
的等边三角形，球心O 到底面的距离为1．
(1)求球O 的表面积；
(2)求二面角
的余弦值．
【解析】（1）底面
外接圆的半径
，
又球心O 到底面的距离为1．所以球的半径
，
所以球O 的表面积为
.
（2）因为
为球的直径，所以
，
，
取
的中点
，连
，则
，则
,
因为
，
，所以
，
在等腰三角形
中，过
作
，交
于
，连
，
则
是二面角
的平面角，
，
在
中，
，
，
，
，
，
在
中，
,
在
中，
，
在
中，
.
所以二面角B－AC－D 的余弦值为
.
22．（2023·浙江·高二校联考阶段练习）如图所示，在平行四边形ABCD 中，
，
，E 为边AB 的中点，将
沿直线DE 翻折为
，若F 为线段
的中点．在
翻
折过程中，
(1)求证：
平面
；
(2)若二面角
，求
与面
所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：取
的中点
，连接
，
为线段
的中点，
，
平面
，
平面
，
平面
，
又
，
，
四边形
为平行四边形，则
平面
，
平面
，可得
平面
，
又
，
，
平面
，
可得平面
平面
，
平面
，
则
面
.
（2）取
中点
，
中点
，连接
，
，
，
由
，
，
为边
的中点，
得
，所以
为等边三角形，从而
，
，
又
，
为
的中点所以
，又
是等边三角形，
所以
，所以
为二面角
的平面角，所以
，
过点
作
，过
作
交于
，连接
，
是等边三角形，所以可求得
，
，所以
，
，
，
，
，
，
所以
，
，又
，
，
面
，
所以
面
，又
，所以
面
，
平面
，所以面
面
，
由
，在
中易求得
，又
，
所以
，
，
面
面
，
面
，
所以
面
，所以
为
与平面
所成的角，
在
中可求得
，所以
，
与面
所成角的正弦值为
23．（2023·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）四面体
中
，
，
，
，
，E 为AC 中点．
(1)证明：
；
(2)若二面角
的余弦值为
，求a 的值．
【解析】（1）过
作
面
于
，再过
作
，连接
，如下图示：
由题设知：
，又
面
，则
，
由
面
，即
，而
，
，
面
，
所以
面
，又
面
，故
，同理可证：
，
综上，△
和△
为等腰直角三角形，即△
△
，故
，
所以△
△
，故
，则△
△
，故
，
所以
是
的角平分线，即
在面
上的投影为
的角平分线，
如下图，若
为
在面
上的投影且
在
上，则
平分
（即
），连接
，
由
面
，则
，
在△
中
，
，则
，即
，
又E 为AC 中点，故
，故
，
所以
，易知：
，
因为
，
面
，故
面
，
因为
面
，所以
.
（2）若
为
的交点，由题意
，即△
为正三角形，
所以
为
中点，易知△
△
，即
，且
，
令
到面
的距离为
，而
，
，
由
，则
，故
；
结合（1）知：
，故
，
所以
，即
，故
，
，
，则
，
综上，
，
由
，且
，
所以
，故
，
所以△
中
上的高
，
因为二面角
的余弦值为
，则正弦值为
，即
，
所以
，即
，
由
得：
.
06 两角相等（构造全等）的立体几何问题
24．（2023·河南·统考模拟预测）如图,在三棱锥
中,
是等边三角形,
,点
是
的中点,连接
．
（1）证明:平面
平面
;
（2）若
,且二面角
为
,求直线
与平面
所成角的正弦值．
【解析】解:（1）证明:因为
是等边三角形,
,
所以
,可得
．
因为点
是
的中点,则
,
,
因为
,
平面PBD,
平面
,
所以
平面
,因为
平面
,
所以平面
平面
．
（2）如图,作
,垂足为
连接
．
因为
,
所以
为二面角A-BD-C 的平面角．
由已知二面角
为
,知
．
在等腰三角形
中,由余弦定理可得
．
因为
是等边三角形,则
,所以
．
在
中,有
,得
,
因为
,所以
．
又
,所以
．
则
,
．
以
为坐标原点,以向量
的方向分别为
轴,
轴的正方向,
以过点
垂直于平面
的直线为轴,建立空间直角坐标系
,
则
,
,向量
,
平面
的一个法向量为
,
设直线
与平面
所成的角为
,
则
,
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
．
25．（2023·广东广州·统考一模）如图，在三棱锥
中，
是等边三角形，
，点P 是AC 的中点，连接BP，DP
证明：平面
平面BDP；
若
，
，求三棱锥
的体积．
【解析】
证明：如图所示，
因为
是等边三角形，
，
所以
≌
，可得
，
又因为点P 是AC 的中点，则
，
，
又
，
平面PBD，
平面PBD，
所以平面
平面BDP；
设
，在
中，
，则
；
在等边
中，
，
在等腰
中，
；
在
中，由
，得
；
由余弦定理得
，
即
，解得
；
所以
的面积为
，
所以三棱锥
的体积为
．
26．（2023·福建龙岩·统考一模）如图，在三棱锥
中，
为等边三角形，
，
面积是
面积的两倍，点
在侧棱
上.
（1）若
，证明：平面
平面
；
（2）若二面角
的大小为
，且
为
的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【解析】（1）证明：因为
，所以
，
所以
．
取BC 中点O，连结DO,AO，所以DO BC
⊥
，AO BC
⊥
，
因为
，所以BC⊥平面AOD，所以BC AD
⊥
，
又因为BM AD
⊥
，
，所以AD⊥平面BCM，
所以平面ACD⊥平面BCM．
（2）由（1）知，
是二面角D-BC-A 的平面角，
所以
，
过
作
交
延长线于G，因为BC⊥平面AOD，
平面AOD，
所以
，
因为
，所以
平面
．
如图，以O 为原点，以
，
，
的方向为
轴，
轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
设
，则
，
又因为
，
所以
，
在
中，
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
，
设
是平面DCA 的法向量，
则
即
取
，
因为点
是线段
的中点 ，所以
，
所以
，
设直线BM 与平面DCA 所成角的大小为
，则
，
所以直线BM 与平面CDA 所成角的正弦值为
．
27．（2023·浙江宁波·高三统考期末）如图所示，四面体
中，
是正三角形，
是直角三
角形，
是
的中点，且
.
（1）求证：
平面
；
（2）过
的平面交
于点
，若平面
把四面体
分成体积相等的两部分，求二面角
的余弦值.
【解析】（1）如图所示，
因为
为等边三角形，所以
，
由
，得
，所以
，
即
为等腰直角三角形，从而
为直角，
又
为底边
中点，所以
.
令
，则
，易得
，
所以
，从而
，
又
为平面
内两相交直线，
所以
平面
.
（2）由题意可知
，即
到平面
的距离相等，
所以点
为
的中点，
以
为坐标原点，
为
轴正方向，
为
轴正方向，
为轴正方向，建立空间直角坐标系.
设
，则
，
易得
.
设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
，则
，取
；
，取
，
设二面角
的大小为
，易知
为锐角，
则
，
所以二面角
的余弦值为
.
07 利用传统方法找几何关系建系
28．（2023·江苏徐州·高三统考期中）如图，在三棱锥
中，侧面
是锐角三角形，
，
平面
平面
.
(1)求证：
；
(2)设
，点
在棱
（异于端点）上，当三棱锥
体积最大时，若二面角
大于
，求线段
长的取值范围.
【解析】（1）证明：过点
作
于点
，
因为平面
平面
，平面
平面
，且
平面
，
所以
平面
，
又因为
，且
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
.
（2）设
，
因为
，可得
，即
，
所以
，所以
，
又由
，
所以
，
令
，可得
，令
，解得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以当
时，即
时，三棱锥
的体积最大，
以
为原点，
所在的直线分别为
轴，以过点
垂直于平面
的直线为轴，建立空间直角坐
标系，如图所示，
设
，可得
，
则
，
设平面
与平面
的法向量分别为
，
由
，令
，可得
，所以
，
又由
，令
，可得
，所以
，
设二面角
的平面角的大小为
，
所以
，解得
，
所以
的长的取值范围为
.
29．（2023·江苏常州·高三统考期中）已知三棱柱
，
，
，
为线段
上的点，且满足
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
；
(3)设平面
平面
，已知二面角
的正弦值为
，求的值．
【解析】（1）过
分别作
交
于点
交
于点
，
，
且
，
，
∴四边形
为平行四边形，
，
平面
．
平面
．
平面
．
（2）
，
，
，
，
．
（3）取
中点
，连接
为等边三角形且
，则
．
在
中，
，
由
，
在
中，
为
中点，
，
，
.
如图，分别以
为
轴建立空间直角坐标系．
．
即
，
，设
，
则
，即
，
故
，
又
，同理可得
，
，
设平面
的一个法向量
，
而平面
的一个法向量
，
设二面角
的的平面角为
，则
，
则
，
化简得
，
解得
或
.
30．（2023·浙江·高三校联考阶段练习）在正三棱台
中，侧棱长为1，且
为
的中点，
为
上的点，且
.
(1)证明：
平面
，并求出
的长；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【解析】（1）如图所示：
由三棱台可知：延长
交于点
，
连接
，延长交
于
，并连接
，
易得三棱锥
为正四面体，
所以
，
且
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，
所以
，
又因为
，
且
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
平面
，
所以
，
在
中，
，
则
，
所以
.
（2）如图，以底面
中心
为坐标原点，以与
平行的方向为
轴，以
方向为
轴，以
方向
为轴建立如下图所示的空间直角坐标系：
则
，
所以
，
所以
，
设平面
的法向量为
，则
即为
令
，得
，
取平面
的法向量为
，
所以
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
31．（2023·湖南永州·统考一模）如图所示，在四棱锥
中，底面
为矩形，侧面
为正
三角形，且
分别为
的中点，
在线段
上，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)当
时，求平面
与平面
的夹角的余弦值．
【解析】（1）如图所示：
取
中点
，连接
，
分别为
的中点，且底面
为矩形，
所以
，且
，
又因为
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，且
平面
，
又因为
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，
所以由面面平行的性质可知
平面
（2）如图所示：
注意到侧面
为正三角形以及
为
的中点，所以由等边三角形三线合一得
，
又因为
，且
面
，
面
，
，
所以
面
，又因为
面
，所以
，
又因为底面
为矩形，所以
，
因为
，
面
，
面
，
所以
面
，因为
面
，
所以
，又
，
所以
，又由三线合一
，又
，
所以建立上图所示的空间直角坐标系；
因为
，
所以
，
又因为
为
的中点，
，
所以
，
所以
，
，
，
不妨设平面
与平面
的法向量分别为
，
所以有
以及
，
即分别有
以及
，
分别令
，并解得
，
不妨设平面
与平面
的夹角为
，
所以
；
综上所述：平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
08 空间中的点不好求
32．（2023·云南临沧·高二校考期中）已知四棱锥
，底面
为菱形，
为
上的
点，过
的平面分别交
于点
，且
∥平面
．
(1)证明：
；
(2)当
为
的中点，
与平面
所成的角为
，求平面
与平面
所成
的锐二面角的余弦值．
【解析】（1）设
，则
为
的中点，连接
，
因为
为菱形，则
，
又因为
，且
为
的中点，则
，
，
平面
，所以
平面
，
且
平面
，则
，
又因为
∥平面
，
平面
，平面
平面
，
可得
∥
，所以
.
（2）因为
，且
为
的中点，则
，
且
，
，
平面
，所以
平面
，
可知
与平面
所成的角为
，即
为等边三角形，
设
，则
，且
平面
，
平面
，
可得
平面
，
平面
，
且平面
平面
，所以
，即
交于一点
，
因为
为
的中点，则
为
的重心，
且
∥
，则
，
设
，则
，
如图，以
分别为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
可得
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，可得
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，则
，可得
，
可得
，
所以平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值
.
33．（2023·浙江·高三浙江省新昌中学校联考期中）如图，在四棱台
中，底面
是边
长为2 的菱形，
，平面
平面
，点
分别为
的中点，
均为锐角.
(1)求证：
；
(2)若异面直线
与
所成角正弦值为
，四棱锥
的体积为1，求二面角
的平面
角的余弦值.
【解析】（1）
底面
是菱形，
，
又
平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
平面
，又
平面
，
.
（2）解法一：
由（1）知
面
，又
平面
，
平面
平面
，
作
交线
，垂足为
，
因为平面
平面
=
，
平面
，则
面
，
又
平面
，所以
.
再作
，垂足为
，
面
，
面
，
所以
面
，又面
则
，
所以
为二面角
的平面角，
因为
平面
，所以
到底面
的距离也为
.
作
，因为平面
平面
，平面
平面
＝
，
平面
，所以
平面
，所以
，
又
为锐角，
所以
又
，所以
为等边三角形，故
，所以
，
因为
，所以
，
所以
.
所以二面角
的平面角的余弦值为
.
解法二：由（1）知
面
，又
平面
，
平面
平面
，
作
，因为平面
平面
，平面
平面
＝
，
平面
，所以
平面
，
如图，建立直角坐标系：
为原点，
为
轴方向，轴
.
因为
平面
，所以
到底面
的距离也为
.
所以
，又
为锐角，所以
又
，所以
为等边三角形，故
，
在空间直角坐标系中：
，设
，则
则
，
设平面
的法向量为
，
，取
设平面
的法向量为
，
，取
所以
，
由题知二面角为锐角，故二面角
的平面角的余弦值为
.
34．（2023·广东·高三茂名市第一中学校联考阶段练习）如图，已知四棱锥
中，底面
是矩
形，
，
，
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
【解析】（1）如图，取
，
的中点
，
，连接
，
，
，
因为
，
，
所以，
，
，
又
，
所以，
，
又因为
，所以
，
所以
，即
，
平面
，
所以
平面
，而
平面
，
所以平面
平面
；
（2）解法一：设
到平面
的距离为
，
因为
，
，
所以
，
由（1）
，
，又
，所以
，
平面
，
所以
平面
，因为
，所以
点到平面
的距离为
，
所以
，
所以
，
故直线
与平面
所成角的正弦值为
.
解法二：建系法
如图，建立空间坐标系，则
，
，
，
，
设
，由
，
得
即
，设平面
的法向量为
，
因为
，
，
所以
，令
，可得
，
于是
.
35．（2023·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）如图，在几何体
中，底面
为以
为斜边的
等腰直角三角形.已知平面
平面
，平面
平面
平面
.
(1)证明：
平面
；
(2)若
，设
为棱
的中点，求当几何体
的体积取最大值时
与
所成角的正切
值.
【解析】（1）过点
作
交
与点
，
平面
平面
，且两平面的交线为
平面
又
平面
又
且
平面
（2）过点
作
交
与点
,连接
平面
平面
，且两平面的交线为
平面
又
平面
到平面
的距离相等
且
，
平面
又
，令
则
，
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
即
，当且仅当
时取得最大值.
如图所示，以点
为原点建立空间直角坐标系
，
则
，
所以
.
设
与
所成角为
，则
，则
，即当几何体
体积最大时，
与
所成角的正切值为6.
36．（2023·全国·模拟预测）如图，已知四边形
为正方形，
为正方形对角线的交点，平面
平面
，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
和平面
所成角的余弦值的最小值．
【解析】（1）证明：在正方形
中，
，
平面
，
所以
平面
．
又因为平面
平面
，
平面
，所以
，
取
的中点
，连接
．
因为点
为
的中点，所以
为
的中位线，
所以
，所以
四点共面，
因为
，所以
．
又因为
，所以
，
又
平面
，所以
平面
．
又因为
平面
，故平面
平面
，
所以平面
平面
．
（2）以点
为坐标原点，
所在直线为
轴，
所在直线为
轴，
过点
垂直于平面
的直线为轴建立空间直角坐标系，如上图，
则
．
由（1）得平面
平面
，则
的投影在直线
上，
设
，
所以
．
因为
，
所以
，所以
．
设平面
的法向量为
，则
,
即
，取
，得
.
设平面
的法向量为
，则
则
,取
，得
，
所以
将
代入，得
，
而
，
令
，因为
，所以
，故
，
则
，当
，即
时，取得最大值
，
故
的最小值为
，
所以
，
时取等号，
结合原图可知平面
与平面
所成角为锐角，
故平面
与平面
所成角的余弦值的最小值为
．
37．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）如图甲是由梯形
，
组成的一个平面图形，其
中
，
，
，
，
．如图乙，将其沿
，
折起使得
与
重合，连接
，直线
与平面
所成角为60°．
(1)证明：
；
(2)求图乙中二面角
的正弦值．
【解析】（1）证明：由图甲，
，可得图乙中
，
又
，
，EB,EF 含于面BEF,所以
平面
则直线
与平面
所成角为
，
所以在
中，
，
，
故有
，
．
在甲中作
，则
，
，
故
，
，
，则有
，即
．
（2）在乙中作
于O，由（1）知，
平面
，
平面
，故
，
又因为
，故
平面
，
且由（1）知
，
过点
作
，易判断
,
则可以O 为坐标原点，
，
,
的方向分别为
轴正方向，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
因为
平面
，所以平面
法向量可以记为
，
设平面
的法向量为
，则有
可取
，记二面角
的平面角为
，则
，
故
．
09 创新定义
38．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知顶点为S 的圆锥面（以下简称圆锥S）与不经过
顶点S 的平面α 相交，记交线为C，圆锥S 的轴线l 与平面α 所成角θ 是圆锥S 顶角（圆S 轴截面上两条母
线所成角θ 的一半，为探究曲线C 的形状，我们构建球T，使球T 与圆锥S 和平面α 都相切，记球T 与平面
α 的切点为F，直线l 与平面α 交点为A，直线AF 与圆锥S 交点为O，圆锥S 的母线OS 与球T 的切点为
M，
，
．
(1)求证：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，
关系式；
(2)求证：曲线C 是抛物线．
【解析】（1）∵平面AOS 截球T 的截面圆与直线AO 相切于F，
∴
，
记P 是平面
内不在直线OA 上的点，平面TFP 截球T 的截面圆与直线FP 相切于点F，
∴
，
∵平面
内直线AO，FP 相交于点F，
∴TF⊥平面
，
∵直线TF
平面AOS，
∴平面AOS⊥平面
，
∴
．连TO，TM，
∴
，
，
∴球T 的半径
且
，
∴
.
（2）在平面AOS 内圆锥的另一条母线与球T 的切点记为N 点
∵
，
∴
以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，过O 与TF 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图.
∵OM，OF 与球T 相切，
∴
，
∴
，
，
设交线C 上任意点
，记圆锥S 的母线SP 与球T 相切于E．
∵PF 与球T 相切于点F，
∴
，
，
∴
，
即
（1），
两边平方整理得：
（2），
两边平方整理得：
（3），
易知：（3）
（2）
（1），
∴交线C 在坐标平面xOy 中方程为
，
∴交线C 是以F 为焦点，O 为顶点的抛物线.
39．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1 所示.蜂房结
构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥
，
，
，再分别以
，
，
为轴将
，
，
分别向上翻转
，使
，
，
三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开
口），如图2 所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶
点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于
减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多
面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3 个面角，每个面角是
，所以正四面体
在各顶点的曲率为
.
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用
表示蜂房（图2 右侧多面体）的表面积
；
（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值.
【解析】（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7 个顶点的曲率之和，
根据定义其度量值等于
减去三个菱形的内角和
，
再减去6 个直角梯形中的两个非直角内角和
，
即蜂房曲顶空间的弯曲度为
.
（2）（i）如图所示，连接AC，SH，则
，设点在平面
的射影为O，
则
，则
，
菱形SAHC 的面积为
，
侧面积
，
所以蜂房的表面积为
.
（ii）
，
令
得到
，
所以
在
递增；在
递增.
所以
在
处取得极小值，也即是最小值.
此时
，在
中，令
，由余弦定理得
，
又顶点的曲率为
，
.
40．（2023·全国·高三校联考专题练习）设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在点P 处的离散曲率
为
，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）为多面体M 的所
有与点P 相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍历多面体M 的所有
以P 为公共点的面．
（1）如图1，已知长方体A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1，
，点P 为底面A1B1C1D1内的一个动点，
则求四棱锥P﹣ABCD 在点P 处的离散曲率的最小值；
（2）图2 为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然
后用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α 和区域β 中点的离散曲率的平均值更大的
是哪个区域？（确定“区域α”还是“区域β”）
【解析】（1）计∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠QnPQ1＝θ，则离散曲率为1﹣
，θ 越大离散曲率越小．
P 在底面ABCD 的投影记为H，通过直观想象，当H 点在平面ABCD 中逐渐远离正方形ABCD 的中心，以
至于到无穷远时，θ 逐渐减小以至于趋近于0．所以当H 点正好位于正方形ABCD 的中心时，θ 最大，离散
曲率最小．此时HA＝HB＝
＝PH，所以PA＝PB＝1＝AB，所以∠APB＝60°，θ＝
，
离散曲率为1﹣
×
＝
，所以四棱锥P﹣ABCD 在点P 处的离散曲率的最小值为
；
（2）区域β 比区域α 更加平坦，所以θ 更大，离散曲率更小．
所以区域α 和区域β 中点的离散曲率的平均值更大的是区域β．
41．（2023·全国·校联考模拟预测）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1 所示．蜂房结构是由正
六棱柱截去三个相等的三棱锥
，
，
，再分别以
，
，
为轴将
，
，
分别向上翻转
，使
，
，
三点重合为点所围成的曲顶多面体（下底面开口），
如图2 所示．蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的
曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于
减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面
体的面的内角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲顶空间的弯曲度；
（2）若正六棱柱的侧面积一定，当蜂房表面积最小时，求其顶点的曲率的余弦值．
【解析】（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7 个顶点的曲率之和，根据定义其度量值等于
减去三个菱形的内角和
，再减去6 个直角梯形中的两个非直角内角和
，
即蜂房曲顶空间的弯曲度为
.
（2）设底面正六边形的边长为1，
如图所示，连接AC，SH，则
，
设点在上底面ABCDEF 的射影为O，则
,
令
，则
，
菱形SAHC 的面积
，
的面积为
，
令正六棱柱的侧面积为定值
时，
蜂房的表面积为
，
，令
得到
，
经研究函数
的单调性，
得到函数
在
处取得极小值，
此时
，
在
中，令
，
由余弦定理得
,
顶点的曲率为
，
其余弦值为
.
