专题13 空间几何（选填题10 种考法）
考法一 空间几何体的体积与表面积
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）在三棱锥
中，
是边长为2 的等边三角形，
，则该棱锥的体积为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
【答案】A
【解析】取
中点
，连接
，如图，
是边长为2 的等边三角形，
，
，又
平面
，
，
平面
，
又
，
，
故
，即
，
所以
，
故选：A
【例1-2】（2023·全国·统考高考真题）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】法一：
连结
交于
，连结
，则
为
的中点，如图，
因为底面
为正方形，
，所以
，则
，
又
，
，所以
，则
，
又
，
，所以
，则
，
在
中，
，
则由余弦定理可得
，
故
，则
，
故在
中，
，
所以
，
又
，所以
，
所以
的面积为
.
法二：
连结
交于
，连结
，则
为
的中点，如图，
因为底面
为正方形，
，所以
，
在
中，
，
则由余弦定理可得
，故
，
所以
，则
，
不妨记
，
因为
，所以
，
即
，
则
，整理得
①，
又在
中，
，即
，则
②，
两式相加得
，故
，
故在
中，
，
所以
，
又
，所以
，
所以
的面积为
.
故选：C.
【例1-3】（2022·全国·统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水
蓄入某水库.已知该水库水位为海拔
时，相应水面的面积为
；水位为海拔
时，相应
水面的面积为
，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
上升
到
时，增加的水量约为（
）（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】依题意可知棱台的高为
(m)，所以增加的水量即为棱台的体积
．
棱台上底面积
，下底面积
，
∴
．
故选：C．
【例1-4】（2023·河南·校联考模拟预测）如图1 所示，宫灯又称宫廷花灯，是中国彩灯中富有特色的汉民
族传统手工艺品之一．图2 是小明为自家设计的一个花灯的直观图，该花灯由上面的正六棱台与下面的正
六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为
和
，正六棱台与正六棱柱的高分别为
和
，则该花灯的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】正六棱柱的六个侧面面积之和为
，
正六棱柱的底面面积为
，
如图所示，正六棱台
中，
，
过点
分别作
垂直于底面
于点
，
连接
相交于点
，则
分别为
的中点，
过点
作
⊥
于点
，连接
，则
为正六棱台的斜高，
其中
，
，
，
由勾股定理得
，故
，
所以正六棱台的斜高为
，
故正六棱台的侧面积为
，
又正六棱台的下底面面积为
，
所以该花灯的表面积为
．
故选：A．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO 的底面半径为
，O 为底面圆心，PA，PB 为圆锥的母线，
，若
的面积等于
，则该圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在
中，
，而
，取
中点
，连接
，有
，如图，
，
，由
的面积为
，得
，
解得
，于是
，
所以圆锥的体积
.
故选：B
2．（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥
中，线段
上的点
满足
，线段
上的
点
满足
，则三棱锥
和三棱锥
的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，分别过
作
,垂足分别为
.过
作
平面
，垂足为
，
连接
,过
作
,垂足为
.
因为
平面
，
平面
，所以平面
平面
.
又因为平面
平面
，
，
平面
，所以
平面
，且
.
在
中，因为
，所以
，所以
，
在
中，因为
，所以
，
所以
.
故选：B
3．（2022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正
方形，直三棱柱的底面是顶角为
，腰为3 的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23
B．24
C．26
D．27
【答案】D
【解析】该几何体由直三棱柱
及直三棱柱
组成，作
于M，如图，
因为
，所以
，
因为重叠后的底面为正方形，所以
,
在直棱柱
中，
平面BHC，则
,
由
可得
平面
，
设重叠后的EG 与
交点为
则
则该几何体的体积为
.
故选：D.
4．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，侧面积分
别为
和
，体积分别为
和
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为
，乙圆锥底面圆半径为
，则
，所以
，
又
，则
，所以
，所以甲圆锥的高
，
乙圆锥的高
，所以
.故选：C.
考法二 空间几何中的垂直与平行
【例2-1】（2023·江苏连云港·校考模拟预测）设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，则下列
说法正确的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，
，则
D．若
，
，则
【答案】C
【解析】作长方体
，如下图所示：
对于A，若直线
直线
，直线
直线
，平面
平面
，
满足
，
，此时
与
相交，A 错误；
对于B，若直线
直线
，平面
平面
，平面
平面
，
满足
，
，此时平面
与平面
相交，B 错误；
对于C，若
，则平面
内存在直线
，又
，
，
，
，
，C 正确；
对于D，若直线
直线
，平面
平面
，平面
平面
，
满足
，
，此时
，D 错误.
故选：C.
【例2-2】（2022·全国·统考高考真题）在正方体
中，E，F 分别为
的中点，则
（ ）
A．平面
平面
B．平面
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
【答案】A
【解析】在正方体
中，
且
平面
，
又
平面
，所以
，
因为
分别为
的中点，
所以
，所以
，
又
，
所以
平面
，
又
平面
，
所以平面
平面
，故A 正确；
选项BCD 解法一：
如图，以点
为原点，建立空间直角坐标系，设
，
则
，
，
则
，
，
设平面
的法向量为
，
则有
，可取
，
同理可得平面
的法向量为
，
平面
的法向量为
，
平面
的法向量为
，
则
，
所以平面
与平面
不垂直，故B 错误；
因为
与
不平行，
所以平面
与平面
不平行，故C 错误；
因为
与
不平行，
所以平面
与平面
不平行，故D 错误，
故选：A.
选项BCD 解法二：
解：对于选项B，如图所示，设
，
，则
为平面
与平面
的交线，
在
内，作
于点
，在
内，作
，交
于点
，连结
，
则
或其补角为平面
与平面
所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：
，
，
底面正方形
中，
为中点，则
，
由勾股定理可得
，
从而有：
，
据此可得
，即
，
据此可得平面
平面
不成立，选项B 错误；
对于选项C，取
的中点
，则
，
由于
与平面
相交，故平面
平面
不成立，选项C 错误；
对于选项D，取
的中点
，很明显四边形
为平行四边形，则
，
由于
与平面
相交，故平面
平面
不成立，选项D 错误；
故选：A.
【变式】
1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）（多选）已知圆柱
的轴截面是正方形
，
为底面圆
的
直径，点
在圆
上，点
在圆
上，且
，
不在平面
内.若
，
，
，
四点共面，则
（ ）
A．直线
平面
B．直线
平面
C．平面
平面
D．平面
平面
【答案】AC
【解析】对于A 选项，过点
作母线
，交圆
于点
，连接
，
，
因为
，
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，
，同理
，
，
又因为圆
圆
，圆
平面
，圆
平面
，
所以
，故
，
所以由圆的性质可知
，则四边形
是平行四边形，
所以
，故
，
又因为
平面
，
平面
，
所以直线
平面
，故A 正确；
对于B 选项，如图所示：
假设直线
平面
，
因为
平面
，所以
，
又因为
，
平面
，所以直线
平面
，
因为
平面
，所以
，显然不成立，
所以假设不成立，故B 错误；
对于C 选项，由A 得，
，
平面
，
平面
，
所以直线
平面
，
因为
，
平面
，
平面
，
所以直线
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，故C 正确；
对于D 选项，假设平面
平面
，
因为
，又
，所以
，
又
，
面
，所以
面
，
又
面
，所以
，易得
不垂直
，
过
作
于点
，如图所示：
因为平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
，
平面
，所以直线
平面
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
所以平面
与平面
重合，显然不成立.故D 错误，
故选：AC.
2．（2023·全国·模拟预测）（多选）在正方体
中，
分别是棱
的中点，则
（ ）
A．
平面
B．平面
平面
C．
平面
D．平面
平面
【答案】BD
【解析】
如图，取
的中点为
,连接
,易得
而
平面
，A 选项不正确；
因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
平面
，
平面
,所以
平面
；
又因为
平面
,
平面
，
所以平面
平面
，B 选项正确；
连接
，易得平行四边形
中，
不垂直
，所以
与平面
不垂直，所以C 选项不正
确；
取线段
的中点为
，连接
.由正方体的性质可知
,所以
.易知
为线段
的
中点，所以
.又因为
,所以
,
因为
,所以
平面
.因为
平面
,所以平面
平面
，所以D 选项
正确.
故选：BD.
3．（2023·福建南平·统考模拟预测）（多选）在棱长为1 的正方体
中，E，F 分别是AB，
BC 中点，则（ ）
A．
平面
B．
平面
C．平面
平面
D．点E 到平面
的距离为
【答案】ACD
【解析】在棱长为1 的正方体
中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
对于A，
，显然
，
即
平行于平面
，而
平面
，因此
平面
，A 正确；
对于B，
，
，即有
不垂直于
，
而
平面
，因此
不垂直于平面
，B 错误；
对于C，
，而
，显然
，
，即
平面
，
于是
平面
，而
平面
，因此平面
平面
，C 正确；
对于D，
，
，设平面
的一个法向量
，
则
，令
，得
，又
，
所以点E 到平面
的距离
，D 正确.
故选：ACD
考法三 空间距离
【例3】（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）在三棱柱
中，
是棱
长为
的正四面体，则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分别取
、
的中点
、
，连接
、
、
、
，如下图所示：
由题意可知，因为四面体
是棱长为
的正四面体，
则
是边长为
的等边三角形，则
，故
，
同理可得
，
，
因为
且
，所以，四边形
为平行四边形，则
且
，
因为
、
分别为
、
的中点，则
且
，
所以，四边形
为平行四边形，所以，
且
，
又因为
且
，所以，
且
，
所以，四边形
为平行四边形，则
，且
、
、
、
四点共面，
因为
，
，
，
、
平面
，
所以，
平面
，
过点
在平面
内作
，垂足为点
，
因为
平面
，所以，
，
又因为
，
，
、
平面
，则
平面
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理可得
，
所以，
，
因此，点
到平面
的距离为
.
因为
，
平面
，
平面
，所以，
平面
，
所以，点
到平面
的距离等于
.故选：C.
【变式】
1．（2023·河北唐山·统考三模）把边长为
的正方形
沿对角线
折成直二面角
，则三
棱锥
的外接球的球心到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由图所示，易知三棱锥D-ABC 的外接球球心为AC 的中点O，易得OB=OC=OD=1，且OC⊥OB，DO⊥面
OBC，
计算可得BC=CD=BD=
，设球心到平面
的距离为
，
则
.
故选：A
2．（2023·四川成都·成都外国语学校校考模拟预测）如图，底面同心的圆锥高为
，
，
在半径为3 的
底面圆上，
，
在半径为4 的底面圆上，且
，
，当四边形
面积最大时，点
到
平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】如图，直线
交大圆于点
，连接
，由
，知四边形
为等腰梯形，
取
的中点
，连接
，则
，由
，知四边形
是矩形，
因此四边形
为矩形，过O 作
于Q，连接
，
从而四边形
的面积
，
当且仅当
，即
时取等号，此时
，
如图，在几何体中，连接
，因为
平面
，
平面
，则
，又
，
平面
，于是
平面
，而
平面
，
则有平面
平面
，显然平面
平面
，在平面
内过O 作
于R，
从而
平面
，即
长即为点
到平面
的距离，
在
中，
，
，
，
所以点
到平面
的距离是
.
故选：A
3．（2020·四川眉山·校考二模）已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1=
E 为CC1的中点，则直
线AC1与平面BED 的距离为
A．2
B．
C．
D．1
【答案】D
【解析】因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．
平面
，
到平面
的距离等于
到平面
的距离，由题计算得
，在
中，
，
边上的高
，所以
，所以
，利
用等体积法
，得:
,解得:
考法四 空间角
【例4】．（2022·全国·统考高考真题）已知正方体
，则（ ）
A．直线
与
所成的角为
B．直线
与
所成的角为
C．直线
与平面
所成的角为
D．直线
与平面ABCD 所成的角为
【答案】ABD
【解析】如图，连接
、
，因为
，所以直线
与
所成的角即为直线
与
所成
的角，
因为四边形
为正方形，则
，故直线
与
所成的角为
，A 正确；
连接
，因为
平面
，
平面
，则
，
因为
，
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，故B 正确；
连接
，设
，连接
，
因为
平面
，
平面
，则
，
因为
，
，所以
平面
，
所以
为直线
与平面
所成的角，
设正方体棱长为，则
，
，
，
所以，直线
与平面
所成的角为
，故C 错误；
因为
平面
，所以
为直线
与平面
所成的角，易得
，故D 正确.
故选：ABD
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）在长方体
中，已知
与平面
和平面
所成
的角均为
，则（ ）
A．
B．AB 与平面
所成的角为
C．
D．
与平面
所成的角为
【答案】D
【解析】如图所示：
不妨设
，依题以及长方体的结构特征可知，
与平面
所成角为
，
与平面
所成角为
，所以
，即
，
，解得
．
对于A，
，
，
，A 错误；
对于B，过
作
于
，易知
平面
，所以
与平面
所成角为
，因为
，所以
，B 错误；
对于C，
，
，
，C 错误；
对于D，
与平面
所成角为
，
，而
，所以
．D 正确．
故选：D．
2．（2023·吉林白山·统考二模）已知正四面体
，E 为
的中点，则（ ）．
A．直线
与
所成的角为
B．直线
与
所成的角为
C．直线
与平面
所成角的余弦值为
D．直线
与平面
所成角的余弦值为
【答案】AC
【解析】对A，连接
，
因为
为正四面体，则
，因为E 为
的中点，
则
，
，
，且
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，故A 正确；
对B，取
的中点F，连接
，
，设正四面体
的棱长为2，
则
，
，又因为E 为
的中点，则
，
所以
为直线
与直线
所成的角，
，故B 错误；
对C，根据正四面体的特点可知顶点
在底面上的投影落在
上，
所以
为直线
与平面
所成的角，
所以
，故C 正确；
对D，根据正四面体的特点可知点
在平面
上的投影落在
上，
所以
为直线
与平面
所成的角，所以
，故D 错
误．
故选：AC
3．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）（多选）已知正方体
，则（ ）
A．异面直线
与
所成的角为
B．异面直线
与
所成角的正切值为
C．直线
与平面
所成的角为
D．直线
与平面
所成角的正切值为
【答案】ACD
【解析】如图，连接
，
，
，
．
因为
，所以
为直线
与
所成的角，故A 正确．
显然，
为直线
与
所成的角．
因为在正方体
中，
平面
，所以
．
在Rt
中，
，故B 错误．
连接
，设
．因为
平面
，
平面
，所以
．
因为在正方形
中，
，
，所以
平面
．
所以
为直线
与平面
所成的角，故
正确．
因为
平面
，所以
为直线
与平面
所成的角．
在Rt
中，
，故D 正确．
故选：ACD.
考法五 外接球与内切球
【例5-1】（2023·江西九江·统考一模）三棱锥
中，
与
均为边长为
的等边三角形，
若平面
平面
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
解：如图，取
中点
，连接
，
，则
，
，
因为平面
平面
，所以可得
平面
，
平面
，
取
的外心
，
的外心
，分别过
作平面
与平面
的垂线交于点
，
即为球
心，连接
，
易得
，
，
，
.
故选：B.
【例5-2】（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1 的相同的圆
锥形成的组合体，设它的体积为
，它的内切球的体积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，四边形
为该几何体的轴截面，
则四边形
的内切圆的半径即为该几何体内切球的半径，
设内切球的半径为，
由
，得
，则
，
，所以
.故选：D.
【变式】
1．（2023·河南·统考模拟预测）在菱形ABCD 中，
，
，AC 与BD 的交点为G，点M，N 分别
在线段AD，CD 上，且
，
，将
沿MN 折叠到
，使
，则三
棱锥
的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图所示，因为
，
，
所以
，设MN 与BD 的交点为H，连接
，
因为
，
，所以
，
则
，
，所以
，
又
，则
，则
，
又
，
，
平面ABC，
所以
平面ABC，
设
的外接圆圆心为
，
的外接圆圆心为
，
过
，
分别作平面ABC，平面
的垂线，
设两垂线交于点O，则O 是三棱锥
外接球的球心，
且四边形
为矩形，
设
的外接圆半径为
，在
中，由
，解得
，
同理可得
的外接圆半径
，所以
，
设三棱锥
的外接球半径为R，
则
，
则三棱锥
的外接球的表面积
.
故答案为：
．
2．（2023·四川南充·模拟预测）已知四棱锥
的底面是边长为2 的正方形，
，二面
角
的余弦值为
，则四棱锥
的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】
如图，在四棱锥
中，
连接
，取
中点为
,连接
,
因为底面是边长为2 的正方形，所以
,
在等腰三角形
中，
,
所以
，
设等腰三角形
外接圆的圆心为
，
则由正弦定理可得
，则
，
而
,所以
,
易知正方形
的外接圆的圆心为
，
过
分别作平面
和平面
的垂线，两垂线交于点
,
则点
为四棱锥外接球的球心，
又易知，
,
,
所以二面角
的平面角为
,所以
，
则
，所以
，
所以
,
在直角三角形
中，
，即为外接球的半径，
所以外接球的表面积为
,
故答案为:
.
3．（2023·四川南充·模拟预测）已知四棱锥
的底面是边长为2 的正方形，
，三棱
锥
的体积为
，则四棱锥
的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如下图所示，连接
，设
，连接
，
因为
，所以
，
所以
，
设点
到平面
的距离为，
因为四棱锥
的底面是边长为2 的正方形，
则
的面积
，
所以三棱锥
的体积为
，则
，
记
是三棱锥
的高，则
，
在直角
中，
，
显然
为锐角，则
，
在
中，由余弦定理得，
，
即
，则
，则
，
因为
，
，
平面
，
，
所以
平面
，
又因为
平面
，所以
，
因为
平面
，
，
所以
平面
，
记
为四棱锥
的外接球球心，连接
，则
平面
，
则
，
所以四棱锥
的外接球的表面积为
.
故答案为：
考法六 轨迹与轨迹的长度
【例6】（2023·辽宁·校联考模拟预测）如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余
下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M 是该多面体的三个顶点，点N 是
该多面体表面上的动点，且总满足
，若
，则该多面体的表面积为 ，点N 轨迹
的长度为 ．
【答案】
【解析】根据题意该正四面体的棱长为
，点
分别是正四面体棱的三等分点．
该正四面体的表面积为
，
该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，
每个角上小正四面体的侧面面积为
，
每个角上小正四面体的底面面积为
，
所以该多面体的表面积为：
．
如图设点
为该多面体的一个顶点，
为
所在棱的顶点，则
，
在
中，
，
则
，所以
， 得
，即
；
同理
，
，
由
，
平面
，所以
平面
．
由点
是该多面体表面上的动点，且总满足
，
则点
的轨迹是线段
，
所以点
轨迹的长度为：
．
故答案为：
；
【变式】
1．（2023·江苏南京·校联考一模）如图，在矩形
中，
，
，
，
，
分别为
，
，
，
的中点，
与
交于点
，现将
，
，
，
分别沿
，
，
，
把这个矩形折成一个空间图形，使
与
重合，
与
重合，重合后的点分别记为
，
，
为
的中点，则多面体
的体积为 ；若点
是该多面体表面上的动点，满足
时，
点
的轨迹长度为 ．
【答案】
【解析】连接
，有
，而
，
为
中点，则有
，
，则
平面
，同理
平面
，又平面
与平面
有公共点
，
于是点
共面，而
，即有
，
，
因为
，
，
平面
，则
平面
，
又
平面
，即有
，则
，同理
，
即
，从而
，即四边形
为平行四边形，
，
，
等腰梯形
中，高
，其面积
，
显然
平面
，所以多面体
的体积
；
因为
平面
，同理可得
平面
，又
，则
平面
，
依题意，动点
所在平面与
垂直，则该平面与平面
平行，而此平面过点
，
令这个平面与几何体棱的交点依次为
，则
,
又
为
的中点，则点
为所在棱的中点，即点
的轨迹为五边形
，
长度为：
.
故答案为：
；
2．（2023 春·云南）在棱长为2 的正方体
中，E 为棱BC 的中点，F 是侧面
内的动
点，若
平面
，则点F 轨迹的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示：
取
中点
，
中点
，连接
，
因为
，
，
所以
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
同理可证明
平面
，
又因为
，
平面
，
所以平面
平面
，
当F 的轨迹为线段
时，此时
平面
，则有
平面
，
此时
.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知
是棱长为1 的正方体，点P 为正方体表面上任一点，
则下列说法不正确的是（ ）
A．若
，则点P 的轨迹长度为
B．若
，则点P 的轨迹长度为
C．若
，则点P 的迹长度为
D．若
，则点P 的轨迹长度为
【答案】D
【解析】当
时，如图1，此时点P 的轨迹为半径为1，圆心角为
的三段圆弧，
所以此时点P 轨迹的长度为
，故A 选项正确；
当
时，如图2，点P 的轨迹一部分是在面
三个面内以
为半径，圆心角
为
的三段弧，
另一部分是在面
三个面内以
为半径，圆心角为
的三段弧；所以此时点P 轨
迹的长度为
，故B 选项正确；
当
时，如图3，点P 的轨迹是在面
三个面内以1 为半径，圆心角为
的三
段弧，
所以此时点P 轨迹的长度为
，故C 选项正确；
当
，如图4，点P 的轨迹是在面
三个面内以
为半径，圆心角小于
的三
段弧，
所以此时点P 轨迹的长度小于
，故D 选项不正确；
故选：D．
4（2022·全国·高三专题练习）如图，在体积为6 的三棱锥
中，PA､PB､PC 两两互相垂直，
，
若点M 是底面
内一动点，且满足
，则点M 的轨迹长度的最大值为（ ）
A．6
B．3
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，过
作
于
，连接
.
，
，
两两垂直，所以
平面
，又
平面
即有
，而
，
平面
所以
平面
，又
平面
即
，故点
的轨迹为
斜边上的高线
，
因为三棱锥
的体积为6，所以
，即
，
又
可得
．
当且仅当
时取等号．
点M 的轨迹长度的最大值为
.
故选：C．
考法七 截面
【例7】．（2023·河南·校联考模拟预测）在正四棱柱
中，
，点
分别
是
，
的中点，则过点
的平面截正四棱柱
所得截面多边形的周长为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，延长
交
的延长线于点
，交
的延长线于点
，
连接
并延长交
于点
，交
的延长线于点
，
连接
，分别交
，
于点
，
，
连接
，
，则六边形
所在平面即为平面
，
六边形
即为过点
的平面截正四棱柱
所得的截面多边形，
由全等三角形可知，
，
，
分别为
，
，
的中点，
因为
，所以
，
所以六边形
的周长为
．
故选：D．
【变式】
1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）在正方体
中，以点A 为球心，棱AB 为半径的球将
正方体截为P（含球心的部分）和Q 两部分，则四边形
被球A 截得的区域面积与P 的表面积之比为
.
【答案】
/0.2
【解析】设正方体的棱长为1，由题可知
为球的
，
故P 的表面积为
，
设
交
于点
，则
，
⊥
，
又
⊥平面
，
平面
，故
⊥
，
因为
平面
，
，
所以
⊥平面
，
因为
，
故以
为圆心，半径为
的半圆即为四边形
被球A 截得的区域，如图所示，
故面积为
，
故四边形
被球A 截得的区域面积与P 的表面积之比为
.
故答案为：
2．（2022 秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）已知正四面体
的棱长为
，
为
上一点，
且
，则截面
的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
因为
，所以
，
所以在正三角形
中，由余弦定理可知：
因为
和
都是正三角形，
所以
,
所以
，所以
，
所以
是等腰三角形，取
中点
，则
，
所以
，
.
故选:D.
3．（2022 秋·福建福州 ）（多选）如图，已知正方体
的棱长为1，E 为
的中点，P 为
对角线上
的一个动点，过P 作与平面ACE 平行的平面，则此平面截正方体所得的截面（ ）
A．截面不可能是五边形
B．截面可以是正六边形
C．P 从D 点向
运动时，截面面积先增大后减小
D．截面面积的最大值为
【答案】ACD
【解析】在正方体
中，取
的中点F，连接
，而E 为
的中点，则
，
取
的中点T，Q，连接
，有
，
平面
平面
，
则
平面
，连
交
分别于点
，连BD 交AC，TQ 分别于
，连
交
于
，如图，
显然
，又
，则四边形
是平行四边形，即
，
平面
，
平面
，有
平面
，而
平面
，
于是得平面
平面
，并且四边形
与四边形
面积相等，
当点P 从D 点向
的移动过程中，点P 在线段
（不含端点）上时，截面与射线
相交，
当交点在线段
（不含点D）时，截面为三角形，并且逐渐变大，当交点在线段
的延长线上时，
截面还与平面
相交，截面为四边形，并且逐渐变大，当点P 在线段
（不含端点）上时，
截面与正方体的六个面相交，截面为六边形，并且先逐渐增大，截面经过
的中点时截面面积最大，之
后逐渐减小，
当点P 在线段
（不含点
）时，截面由四边形变形为三角形，并且逐渐减小，
因此，截面不可能为五边形，A，C 正确；
，
，
即
，两边与
两边分别平行的截面六边形顶角不等于
，因此截面六边形不是正六边
形，B 不正确；
令过
中点的截面为六边形
，有
，令
，连
ON，
有
，
，又
分别为等腰梯形
两底的中点，
即有
，有
，N 为GH 中点，O 为KL 中点，连HK，GL，即四边形
为矩形，点
分别为棱
中点，
，等腰
底边上的高
,
所以最大截面面积
，D 正确.
故选：ACD
4．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）在三棱锥
中，侧面PAC 是等边三角形，底
面ABC 是等腰直角三角形，
，
，点M，N，E 分别是棱PA，PC，AB 的中点，过
M，N，E 三点的平面
截三棱锥
所得截面为
，给出下列结论：
①截面
的形状为正方形；
②截面
的面积等于
；
③异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为
；
④三棱锥
外接球的表面积等于
．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①④
B．②③
C．①③④
D．②③④
【答案】C
【解析】取
的中点为
，连接
，
因为点
分别是棱
的中点，所以
，
，可得
；
又
，
，即
；
所以
四点共面，且四边形
为平行四边形，
取
的中点为
，连接
，如下图所示：
易知
，又
是等腰直角三角形，且
，所以
，可得
；
又
，
平面
，所以
平面
；
易知
平面
，可得
；
又
，
，所以
，
且
，所以四边形
为正方形，
即截面
的形状为正方形，所以①正确；
由正方形面积公式可知，四边形
的面积为
，即②错误；
设
，可得
，
所以
，
易知
，
，
在
中，
，所以
，可得
；
所以
，
所以异面直线PA 与BC 所成角的余弦值为
，即③正确；
易知
，
，所以可得
；
又
，且
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
；
所以可得外接球球心
在
上，设
，半径为
，
则
，解得
，
；
所以三棱锥
外接球的表面积等于
，即④正确；
所有正确结论的序号是①③④.故选：C
考法八 最值
【例8-1】（2022·全国·统考高考真题）已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球
O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD 所在小圆半径为r，
设四边形ABCD 对角线夹角为
，
则
（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为
又设四棱锥的高为，则
，
当且仅当
即
时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为
，底面所在圆的半径为，则
，所以该四棱锥的高
，
(当且仅当
，即
时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高
.
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为
，底面所在圆的半径为，则
，所以该四棱锥的高
，
，令
，
，设
，则
，
，
，单调递增，
，
，单调递减，
所以当
时，
最大，此时
．
故选：C.
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵球的体积为
，所以球的半径
,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为
，高为，
则
，
,
所以
，
所以正四棱锥的体积
，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，正四棱锥的体积
取最大值，最大值为
，
又
时，
，
时，
,
所以正四棱锥的体积
的最小值为
，
所以该正四棱锥体积的取值范围是
.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以
当且仅当
取到，
当
时，得
，则
当
时，球心在正四棱锥高线上，此时
，
，正四棱锥体积
，故该正四棱锥体积的取值范围是
2．（2023·河南·校联考模拟预测）在三棱锥
中，
平面
，且
，当三棱锥
的体积取最大值时，该三棱锥外接球的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，则
，故三棱锥
的体积
，
设
，则
，
由
，得
，由
，得
，则
在
上单调递增，
在
上单调递减，从而
，
即三棱锥
体积的最大值是
，此时
，即
，
因为
平面
，把三棱锥
不成一个长方体，则三棱锥
与所补成的长方体
有相同的外接球，
所以外接球的半径
，则三棱锥
外接球的体积为
．
故选：B.
3．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知正六棱锥
的各顶点都在球
的球面上，球心
在该正
六棱锥的内部，若球
的体积为
，则该正六棱锥体积的最大值是 .
【答案】
【解析】若球
半径为，则
，可得
，
又外接球的球心
在正六棱锥的内部，如下图示，
若
为底面中心，正六棱锥的侧棱长为
，底面边长为
，易知
，
则体高
，且
，则
，故
，
所以
，即
，
由棱锥的体积
，
令
，
，
当
时
，
递增；当
时
，
递减；
所以
，故
，
仅当
，
时等号成立，此时
满足题设.
故答案为：
4．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积
为
，则该四棱锥体积的最大值是 ．
【答案】
/
【解析】
球的体积
,
球的半径
要使该四棱锥体积最大，如图四棱锥
，对于底面
所在的小圆中，顶点
到该小圆面距离
最大，也就是高最大，即点
位于小圆圆心
与球心
所在直线与球面的交点（远离小圆圆心的那点）；
同时要使四棱锥体积最大，底面四边形
面积取最大，
（其中
为
与
的夹角）
所以当
、
取最大即小圆的直径，
取最大为1 时，即
时，底面四边形
面积最
大，也就是四边形
为正方形时，其面积最大，因此当四棱锥
为正四棱锥时，其体积最大.
设
，高
，
则
,在Rt
中，
,即
，
所以正四棱锥的体积
，故当
时，
，函数
单调递增；当
时，
，函数
单
调递减，
所以
时，函数
取得最大值
故答案为：
.
考法九 存在性
【例9】（2023·广西柳州·统考模拟预测）（多选）如图所示的几何体是由正方形
沿直线
旋转
得到的，设
是圆弧
的中点，
是圆弧
上的动点（含端点），则（ ）
A．存在点
，使得
B．不存在点
，使得
C．存在点
，使得
平面
D．不存在点
，使得直线
与平面
的所成角为
【答案】ABC
【解析】由题意可将图形补全为一个正方体，
如图示：
对于
因为正方体
中，
平面
,
平面
，
所以
所以当
重合时，由
故
正确；
对于
因为
,若
，则
,又
,
则
重合，而
是圆弧
上的动点，
不可能重合，
所以
不成立，故
正确；
对于
,以
为原点，
为
轴的正方向建立空间直角坐标系，
设
则
所以
，
设
为平面
的一个法向量，
则
令
，得
，则
假设
平面
，
则
所以
因为
，所以
即
是圆弧
的中点，符合题意，故
正确；
对于
,当点
与点
重合时，直线
与平面
所成角最大，
因为
所以
此时直线
与平面
的所成角的正弦值为
，
由
，得直线
与平面
的所成角的最大角大于
，
所以存在点
，使得直线
与平面
的所成角为
，故
错误.
故选：
【变式】
1．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）（多选）已知
表示空间内两条不同的直线，则使
成立的必
要不充分条件是（ ）
A．存在平面
，有
B．存在平面
，有
C．存在直线，有
D．存在直线，有
【答案】AC
【解析】A：若
，则直线
可以平行，也可以相交，还可以异面；若
，则存在平面
，
有
，所以本选项正确；
B：若
，则
，即垂直于同一平面的两条直线平行；若
，则存在平面
，有
，所以本选项不正确；
C：若
，则直线
可以平行，也可以相交，还可以异面；若
，则存在直线，有
，所以本选项正确；
D：若
，则
，即平行于同一直线的两直线平行，若
，则存在直线，有
，
所以本选项不正确，
故选：AC
2．（2023·海南·海南中学校考模拟预测）（多选）如图，在矩形
中，
和
交于
点
，将
沿直线
翻折，则正确的是（ ）
A．存在
，在翻折过程中存在某个位置，使得
B．存在
，在翻折过程中存在某个位置，使得
C．存在
，在翻折过程中存在某个位置，使得
平面
D．存在
，在翻折过程中存在某个位置，使得
平面
【答案】ABC
【解析】对A，当
时，所以此时矩形
为正方形，则
将
沿直线
翻折，若使得面
面
时,
由
，
面
，面
面
，
所以
面
,又
面
,所以
，故选项A 正确.
对B，又
，
，且
，
所以
面
，又
面
，所以
，故选项B 正确，
对C，在矩形
中，
,
，
所以将
沿直线
翻折时，总有
，
取
，当将
沿直线
翻折到
时，有
，
即
，且
，则此时满足
平面
，故C 正确.
对D，若
平面
，又
平面
，则
，
所以在
中，
为斜边，这
与相矛盾.故D 不正确.
故选：ABC
3．（2022 秋·湖北武汉）（多选）如图，已知正方体
的棱长为1，点M 为棱AB 的中点，
点P 在侧面
及其边界上运动，则下列选项中正确的是（ ）
A．存在点P 满足
B．存在点P 满足
C．满足
的点P 的轨迹长度为
D．满足
的点P 的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】对于A 选项，假设
，点
到
距离可以转化成
，
正好点
，且
始终垂直平面
，所以只需要让
即可，点
轨迹是以B 为圆心，
长度为1 的圆上，同理
，
，只需要让
即可，点P 轨迹是以C1为圆心，长度
为
的圆上，如图1.
又因为
，所以两个圆相交有交点，即存在点P 满足
，
选项A 正确；
对于B 选项，建立空间直角坐标系，如图2，
，
，若点
在正方形
中
心处，即
，则
，
，可得
，
，存在点
，故选项B 正确；
对于C 选项，取
的中点
，
的中点
，连接
，
，
.因为
在平面
的射影
为
，又
，所以
，同理
在平面
的射影为
，又
，
所以
，因为
，所以
平面
，
又因为点P 在侧面
上，平面
平面
，所以点
的轨迹为
，所以选项C 错误；
对于D 选项，过M 点作
交BC 于点G，过M 点作
交
于H，则
，
因为
，所以
，同理
，
，
平面
，平面
平面
，所以点
的轨迹为
，
所以选项D 正确.
故选：ABD
考法十 两点距离与折线段
【例10-1】（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）如图，直三棱柱
中，
，
，
，点
是
的中点，点
是线段
上一动点，点
在平面
上移动，则
，
两点之间距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】连接
交
于点
，连接
，
∵
分别为
的中点，则
，
且
平面
，
平面
，
∴
平面
，
则点
到平面
的距离相等，设为
，则
，
两点之间距离的最小值为
，
即点
到平面
的距离为
，
∵
的中点
在
上，则点
到平面
的距离为
，
由题意可得为
，
由
，则
，解得
，
故
，
两点之间距离的最小值为
.
故选：A.
【例10-2】．（2023·吉林长春·统考模拟预测）已知正方体
的棱长为1，点
，
分别为
线段
，
上的动点，点
在平面
内，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
点关于
的对称点为
，
关于
的对称点为
，
记
为直线
与
之间的距离，则
，
由
，
为
到平面
的距离，
因为
，
而
，故
，
故选：B.
【变式】
1．（2023·江西九江·统考三模）如图，棱长为1 的正方体
中，P 为
内一点（包括边
界），且线段
的长度等于点P 到平面ABCD 的距离，则线段
长度的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设直线
与
交于点
，连接
，过点
作
的平行线交
于点
，
由于
，
平面
，所以
平面
，故
．
设
，则
，由
，知
．即
，解得
由图可知
，即
，
∴
，∴则线段
长度的最小值是
.
故选：D．
2．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）如图，长方体
中，
，
，点P
是BC 的中点，点M 是BD1 上一动点﹐点N 在平面
上移动，则MN 的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解析】连接
交
于O，连接OP，
因为O，P 分别为
，BC 的中点﹐所以OP 为
的中位线，则
，
所以
平面
，所以MN 长度的最小值等于三棱锥
的高﹐
记三棱锥
的高为h，
由等体积法知，三棱锥
的体积
与三棱锥
的体积
相等，
即
．
因为
，
，所以
，
，
，
，所以
，
所以
．
故选：C
3．（2023·江西南昌）在棱长为1 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F 分别是棱C1D1，B1C1的中点，P 是上
底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP 长度的取值范围是（ ）
A．[
，
]
B．[
，
]
C．[
，
]
D．[
，
]
【答案】B
【解析】如图所示，分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N，连接MN，连接B1D1，
∵M、N、E、F 为所在棱的中点，∴MN∥B1D1，EF∥B1D1，
∴MN∥EF，又MN⊄平面BDEF，EF⊂平面BDEF，∴MN∥平面BDEF；
连接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB，
可得NF∥AB，NF＝AB，则四边形ANFB 为平行四边形，
则AN∥FB，而AN⊄平面BDEF，FB⊂平面BDEF，则AN∥平面BDEF．
又AN∩NM＝N，∴平面AMN∥平面BDEF．
又P 是上底面A1B1C1D1内一点，且AP∥平面BDEF，∴P 点在线段MN 上．
在Rt△AA1M 中，AM
，
同理，在Rt△AA1N 中，求得AN
，则△AMN 为等腰三角形．
当P 在MN 的中点时，AP 最小为
，
当P 与M 或N 重合时，AP 最大为
．
∴线段AP 长度的取值范围是[
，
]．
故选：B．
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为
，则该圆锥的体积为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则
，所以
，
，
所以圆锥的体积为
.故选：B
2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，
其一为鳖臑”.意思是一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑
堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若
长方体的体积为
，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为
，
，
，则下列等式错
误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题设，
，
，则
，A 对；
如下图，连接
，将阳马一分为二，又
，
所以
，
，则
，故
，所以B 错，C、D 对.故选：B
3．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）在一个正方体内放置一个最大的圆锥，使圆锥的底面
在正方体的底面上，圆锥的顶点在正方体的上底面内，记正方体的体积为
，圆锥的体积为
，则
约为（注：
）（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】设正方体的棱长为
，则正方体的体积
，
由正方体内放置一个最大的圆锥，得圆锥的底面圆为正方体的底面的内切圆，圆锥的高为正方体的棱长，
因此圆锥的体积为
，所以
．故选：D
4．（2023·海南·统考模拟预测）已知三棱锥
的四个顶点都在球
的球面上，
平面
，在
底面
中，
，
，若球
的体积为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】由题意，设球
的半径为
，则
，
由
，
外接圆半径
，
根据线面垂直模型知：
.
故选：A
5．（2023·全国·统考高考真题）已知
为等腰直角三角形，AB 为斜边，
为等边三角形，若二
面角
为
，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】取
的中点
，连接
，因为
是等腰直角三角形，且
为斜边，则有
，
又
是等边三角形，则
，从而
为二面角
的平面角，即
，
显然
平面
，于是
平面
，又
平面
，
因此平面
平面
，显然平面
平面
，
直线
平面
，则直线
在平面
内的射影为直线
，
从而
为直线
与平面
所成的角，令
，则
，在
中，由余弦定理得：
，
由正弦定理得
，即
，
显然
是锐角，
，
所以直线
与平面
所成的角的正切为
.故选：C
6．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱
，E，F 分别是棱
上的
点．记
与
所成的角为
，
与平面
所成的角为
，二面角
的平面角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示，过点
作
于
，过
作
于
，连接
，
则
，
，
，
，
，
，
所以
，
故选：A．
7．（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为
和
，其顶点都在
同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径
，所以
，即
，设球
心到上下底面的距离分别为
，球的半径为
，所以
，
，故
或
，即
或
，解得
符合题意，所以球的表面积为
．
故选：A．
8．（2022·北京·统考高考真题）已知正三棱锥
的六条棱长均为6，S 是
及其内部的点构成的
集合．设集合
，则T 表示的区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设顶点
在底面上的投影为
，连接
，则
为三角形
的中心，
且
，故
.
因为
，故
，
故的轨迹为以
为圆心，1 为半径的圆，
而三角形
内切圆的圆心为
，半径为
，
故的轨迹圆在三角形
内部，故其面积为
故选：B
9．（2023·福建龙岩·统考二模）正方体
的棱长为2，若点M 在线段
上运动，当
的周长最小时，三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的周长为
，由于
为定值，即
最小时，
的周长最小，
如图，将平面
展成与平面
同一平面，则当点
共线时，此时
最小，在展开图
中作
，垂足为
，
，解得：
，
如图，以点
为原点，建立空间直角坐标系，
，
，
连结
，因为
平面
，
平面
，
所以
，又因为
，且
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
同理
，且
，
所以
平面
，且三棱锥
是正三棱锥，所以
经过△
的中心．
所以三棱锥
外接球的球心在
上，设球心
，
，
，则
，
即
，
解得：
，
，所以外接球的表面积
.
故选：C.
10．（2023·河南·校联考模拟预测）等边
的边长为2，D，E 分别为AB，AC 的中点，将
沿DE
折起，使点A 到达点
的位置.若平面
平面BCED，则线段
的长为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，易知
是边长为1 的等边三角形，过
作DE 的垂线，垂足为H，
由平面
平面BCED，交线为
，
,
则
平面BCED，且H 为线段DE 的中点，
，
连接BH，则
，取BC 的中点F，则
，且
，
所以
，
所以
.
故选：C
11．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）正四棱柱
中，
，
为底面
的
中心，
是棱
的中点，正四棱柱的高
，点
到平面
的距离的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设底面四边形
的中心为
，连接
，则
，设点
到平面
的距离为
，
，
，
则
中，
边上的高为
，
则
，
由
，
得
，
所以
，
由
，得
，则
，则
，
所以
，
即点
到平面
的距离的取值范围是
，
所以点
到平面
的距离的最大值为
.
故选：C.
12．（2023·广东广州·统考三模）正四棱柱
中，
，P 为上底面
的中心，M
是棱AB 的中点，正四棱柱的高
，点M 到平面PCD 的距离的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设底面四边形ABCD 的中心为O，连接PO，则PO=h，
设点M 到平面PCD 的距离为
，
，
，
则
中，
边上的高为
，
则
，
由
，得
，所以
，
由
，得
，则
，则
，所以
，
即点M 到平面PCD 的距离的取值范围是
.
故选：B.
13．（2023·四川广安·统考二模）已知四棱柱
的底面是正方形，
，
，点
在底面ABCD 的射影为BC 中点H，则点
到平面ABCD 的距离为( )
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【解析】如图，
连接
，则
⊥平面ABCD，且
，
由题可知
∥
，
又∵
平面ABCD，
平面ABCD，
∴
∥平面ABCD，
∴点
到平面ABCD 的距离与点B1 到平面ABCD 的距离
相等．
故选：B．
14．（2020·四川遂宁·统考二模）用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体.已知正六面体
的棱长为
，则平面
与平面
间的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知：正六面体
是棱长为
的正方体，
，
，
，
，
平面
平面
，
连接
，
，
，
，
平面
，
又
平面
，
，同理可证得：
，
又
平面
，
，
平面
，
平面
，
设垂足分别为
，则平面
与平面
间的距离为
.
正方体的体对角线长为
.
在三棱锥
中，由等体积法求得：
，
∴平面
与平面
间的距离为：
.
故选：
.
15．（2022·青海海东·校考模拟预测）已知在正四面体P－ABC 中，D，E，F 分别在棱PA，PB，PC 上，
若PE＝4，PF＝PD＝2，则点P 到平面DEF 的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，由题意，
，易知正
，结合余弦定理
，可得DF＝2，
，取DF 的中点G，过点P 作EG 的垂线
交EG 的延长线于点H，易知点P 到平面DEF 的距离为PH 的长，因为
，则
，即
，即
，两
边平方
，化简得
.
故选：B
16．（2022 秋·河南洛阳·高三校联考阶段练习）已知三棱锥P-ABC 的棱长均为6，且四个顶点均在球心为
O 的球面上，点E 在AB 上，
，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，因为三棱锥的棱长均为6，所以点P 在平面ABC 内的射影H 是
的中心，
取BC 的中点D，连接AD，则点H 在AD 上，且
，
所以
，
，
，则
．
设三棱锥P-ABC 的外接球半径为R，则OP＝OA＝R，
在
中，
，解得
．
因为
，所以AE＝2，取AB 的中点F，则EF＝1，且
，
所以
．
当过点E 的球O 的截面与OE 垂直时，截面面积最小，
设截面圆的半径为r，则
，
所以截面面积为
．
故选：A．
二、多选题
17．（2023·全国·统考高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器
壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为
的球体
B．所有棱长均为
的四面体
C．底面直径为
，高为
的圆柱体
D．底面直径为
，高为
的圆柱体
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为
，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为
，且
，
所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为
，且
，
所以不能够被整体放入正方体内，故C 不正确；
对于选项D：因为
，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过
的中点
作
，设
，
可知
，则
，
即
，解得
，
且
，即
，
故以
为轴可能对称放置底面直径为
圆柱，
若底面直径为
的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心
，与正方体的下底面的切点
为
，
可知：
，则
，
即
，解得
，
根据对称性可知圆柱的高为
，
所以能够被整体放入正方体内，故D 正确；
故选：ABD.
18．（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，
，
，点C 在底面圆周上，且二面角
为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．
的面积为
【答案】AC
【解析】依题意，
，
，所以
，
A 选项，圆锥的体积为
，A 选项正确；
B 选项，圆锥的侧面积为
，B 选项错误；
C 选项，设
是
的中点，连接
，
则
，所以
是二面角
的平面角，
则
，所以
，
故
，则
，C 选项正确；
D 选项，
，所以
，D 选项错误.
故选：AC.
19．（2022·全国·统考高考真题）如图，四边形
为正方形，
平面
，
，记三棱锥
，
，
的体积分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】
设
，因为
平面
，
，则
，
，连接
交
于点
，连接
，易得
，
又
平面
，
平面
，则
，又
，
平面
，则
平面
，
又
，过
作
于
，易得四边形
为矩形，则
，
则
，
，
，则
，
，
，
则
，则
，
，
，故A、B 错误；C、D 正确.
故选：CD.
20．（2023·河南·校联考模拟预测）如图，正三棱柱
的底面边长为1，高为3，
为棱
的
中点，
分别在棱
上，且满足
取得最小值．记四棱锥
、三棱锥
的体积分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】正三棱柱
的体积为
，由图可知
，所以
，所以A 正确；
沿着侧棱
将棱柱展开得到一个矩形
，连接
，
因为
取得最小值，即线段
，
由于四边形
为边长为3 的正方形，所以
，因为
为
的中点，所以
，
，
，所以B 正确，C 不正确，D 正确．
故选:ABD．
21．（2023·河南·校联考模拟预测）在长方体
中，
，
，
，M 为
的中点，P，Q 分别是直线
，
上的动点，则（ ）
A．三棱锥
的体积为4
B．直线
，
所成角的余弦值为
C．
D．
的最小值为
【答案】AD
【解析】
，故A 正确；
以A 为原点，
，
，
所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
，
，
则
，
，则
，故B 错误；
，故C 错
误；
设
，
，则
，
，故
，所
以
，当且仅当
时取等号，故D 正确．
故选:AD．
22．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）在长方体
中，
，点
在底面
的边界及其内部运动，且满足
，则下列结论正确的是（ ）
A．若点
满足
，则
B．点
到平面
的距离范围为
C．若点
满足
，则不存在点
使得
D．当
时，四面体
的外接球体积为
【答案】ABD
【解析】如图所示：
对于A，当
时，
与底面
所成的角
，又点
所在区域为以
为圆心，1 为半径的
圆在正方形
内部部分（包含边界弧长），
所以
，故A 正确；
对于B，设
，作
交
于
，由正方体性质可得
平面
，又
平面
，故
.
又
，
平面
，故
平面
.
则当点
位于线段
上时，点
到平面
的距离最大，最大距离
，
设
，作
交
于
，同理
平面
.
则当
与点
重合时，此时点
到平面
的距离最小，最小距离为
，
由直角三角形性质可得
，所以
，所以
，
故点
到平面
的距离的取值范围为
，故B 正确．
对于C．不妨设点
与点
重合，此时
，
，
，由余弦定理得
，则
，故存在点
使得
，故C 错误．
对于D．当
时，因为
，故此时
在线段
上，则四面体
的外接球半径为
．外接球体积为
，故D 正确．
故选：ABD
23．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考三模）如图，
，
是直三棱柱
棱
上的两
个不同的动点，
，
，则（ ）
A．
平面
B．若
为定长，则三棱锥
的体积为定值
C．直线
与平面
所成角等于
D．平面
平面
．
【答案】AB
【解析】
连接
，
，因为
，直棱柱侧面矩形
为正方形，所以
，
因为
，且三棱柱为直棱柱，
平面
，
平面
，所以
，
，
平面
，
所以
平面
，即
平面
，故A 正确；
由A 知直线
与平面
所成的角为
，
为正方形，
，故C 不正确；
若
为定长，则
的面积为定值，因为
，且三棱柱为直棱柱，可知
平面
，
所以三棱锥
的体积为定值，即三棱锥
的体积为定值，故B 正确；
因为平面
平面
，过点
作
交
于点
，又
平面
，所以
不垂
直平面
，故D 不正确．
故选：AB .
24．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知正方体
的棱长为1，M 是棱
的中点．P 是平面
上的动点(如图)，则下列说法正确的是（ ）
A．若点P 在线段
上，则
平面
B．平面
平面
C．若
，则动点P 的轨迹为抛物线
D．以
的一边
所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周，在旋转过程中，三棱锥
体
积的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
对于A 项，如图所示，连接对应面对角线，
根据正方体的性质可知：
，
平面
，
平面
，
∴
平面
，
同理可知
平面
，
又
平面
，∴平面
平面
，
又
，∴
平面
，
∴
平面
，故A 正确;
对于B 项，
易知
面
，
面
，则
，
又
平面
，
∴
平面
，
而
平面
，∴
，
同理
，
又
平面
，
∴
平面
，
又∵
平面
，∴平面
平面
，故B 正确;
对于C 项，因为
为定直线，
是定角，
到
的距离为定值，
所以
时，
在以
为旋转轴，
到
的距离为半径的圆锥上，
又
平面
，故平面
截圆锥的轨迹为双曲线的一支，即C 错误；
对于D 项，设
中点分别为N，Q，
则点A 的运动轨迹是平面
内以N 为圆心，
为半径的圆(如图)，
易知
平面
，
∴
平面
，
∵
平面
，∴平面
平面
，
而
，
设
与圆的交点分别为E，F(点E 位于点F，Q 之间，如上图所示)，
易知当点A 分别位于点E，F 时，点A 到平面
的距离分别取到最小值和最大值，
且距离的最小值
，
距离的最大值
，
∵
的面积
，
故选项D 正确．综上，正确选项为ABD．
故选：ABD
25．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）直三棱柱
中，
，
，
点
是线段
上的动点（不含端点），则（ ）
A．
与
不垂直
B．
平面
C．
的最小值为
D．
的取值范围为
【答案】BC
【解析】由题设，构建如下空间直角坐标系
，则
，
，
，
，
设
，
，则
，
所以
，
，则
，
当
时
；当
且
时
与
不垂直，故A 错误.
因为
，
面
，
面
，所以
面
，故B 正确，
将
补成如下正方体，面
翻折至与面
共面，此时
与
重合，
所以
的最小值为
，且
，故C 正确.
判断以
为直径的球与
的交点情况，取
中点
，则
，
而
，以
为直径的球与
没有交点.
所以
，故D 错误.
故选：BC
26．（2023·湖南永州·统考一模）菱形
的边长为
，且
，将
沿
向上翻折得到
，使二面角
的余弦值为
，连接
，球
与三棱锥
的6 条棱都相切，下列结
论正确的是（ ）
A．
平面
B．球
的表面积为
C．球
被三棱锥
表面截得的截面周长为
D．过点
与直线
所成角均为
的直线可作4 条
【答案】AC
【解析】如图在菱形
中，连接
，则
，设
交于E，
则
，
平面
,
平面
，
即
为二面角
的平面角，即
，
又
，即
为正三角形，即
，
为正三角形，
故
，故
，即
，
故三棱锥
为棱长为a 的正四面体；
如图，将该四面体补成正方体
，四面体的各棱为正方体的面对角线，
则正方体棱长为
，
因为球
与三棱锥
的6 条棱都相切，则O 点即为正方体的中心，
连接
，则O 为正方体体对角线
的中点，
因为
平面
平面
，故
，
又
,而
平面
，
故
平面
，
平面
，故
；
同理可证
,
平面
，
故
平面
，即
平面
，A 正确；
因为球
与三棱锥
的6 条棱都相切，
故球O 即为正方体
的内切球，球的直径为正方体棱长
，
则球的半径为
，故球
的表面积为
，B 错误；
球O 被平面截得的截面圆即为正三角形
的内切圆，
由于
，故正三角形
的内切圆半径为
，
故内切圆周长即球O 被平面截得的截面圆周长为
，
故球
被三棱锥
表面截得的截面周长为
，C 正确；
连接
，因为
，即四边形
为平行四边形，
故
，而
，故
，
不妨取空间一点S，作
的平行线
，如图，
则和
所成角均为
的直线即为它们形成的角的角平分线
，
假设平面
过且垂直于
所确定的平面，当绕点S 且在
内转动时，
则此时直线l 与
所成角相等，但会变大，大于
，
即在
所确定的平面外过点S 不存在直线l 与
所成角为
，
故过点
与直线
所成角均为
的直线可作2 条，D 错误，
故选：AC
27．（2023·河北唐山·模拟预测）如图，在三棱台
中，
表示体积，下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
成等比数列
C．若该三棱台存在内切球，则
D．若该三棱台存在外接球，则
【答案】ABD
【解析】对于A，如图1，因为
，
，
又在梯形
因为
，所以
，所以
.故A 正确；
对于B，设三棱台
上底面面积为
，下底面面积为，高为h,
则
，
又
，
所以
，所以
，
所以
成等比数列，故B 正确；
对于C，如图2，设
平面
，三棱锥
的内切球为球
，作截面
与球
相切，
则球
也是三棱台
的内切球，
显然
中
最小，即
不一定相等，故C 错误；
对于D，如图3，若该三棱台的外接球为为球
，球
在上下底面的投影点为
，
则
分别为
的外心，所以
，
，
平面
，
平面
，
因为
平面
，所以
，同理可证
，
所以四边形
是一个直角梯形，同理可得四边形
，
也是直角梯形，
所以三个直角梯形全等，则
，故D 正确.
故选：ABD.
28．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在正方体
中，
分别为棱
上的一点，且
，
是
的中点，
是棱
上的动点，则（ ）
A．当
时，
平面
B．当
时，
平面
C．当
时，存在点
，使
四点共面
D．当
时，存在点
，使
三条直线交于同一点
【答案】BCD
【解析】已知正方体
，则可分别以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标
系
，
对选项A，当
时，
.
设正方体棱长为，
则
假设
平面
，则存在
使得
，
则
，无解.所以
平面
，
故选项A 错误；
对选项B，当
时，设正方体棱长为2，
则
，
，
假设
平面
，则存在
使得
，
则
，解得
，则
四点共面，
即当
时，
平面
.
故选项B 正确；
对选项C，当
时，设正方体棱长为1，
由
，得
，
由
是棱
上的动点，设
，
则
，
假设存在点
，使
四点共面，则存在
使得
，
则
得
，其中
，
设
，
则
在
单调递减，则
，又
所以任意
，都存在
，使
，其中
，
即存在点
，使
四点共面，
故选项C 正确；
对选项D，当
时，
，
连接
，取
的中点
，连接
，
因为
是
的中点，则
，且
，
又
，且
，
则
，故四边形
是平行四边形，
所以
，由平行传递性知，
，且
，
故四边形
是梯形，则
与
相交，
延长
交于点
.
平面
，
平面
，
故
平面
，且
平面
，又平面
平面
，
则
.所以
相交于一点
.
即当
时，存在点
，
为
中点，使
三条直线交于同一点.
故选项D 正确.
故选：BCD.
29．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图，棱长为
的正方体
中，点
、
满
足
，
，其中
、
，点
是正方体表面上一动点，下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
平面
B．当
时，若
平面
，则
的最大值为
C．当
时，若
，则点
的轨迹长度为
D．过
、
、
三点作正方体的截面，截面图形可以为矩形
【答案】AC
【解析】以点
为原点，
、
、
所在直线分别为
、
、轴建立如下图所示的空间直角坐标
系，
则
、
、
，
、
、
，
对于A 选项，当
时，
，
设平面
的法向量为
，
，
，
则
，取
，可得
，
所以，
，则
，
因为
平面
，故当
时，
平面
，A 对；
对于B 选项，当
时，
为
中点，
分别取
、
中点
、
，连接
、
、
、
、
，
因为
、
分别为
、
的中点，所以，
，
又因为
且
，所以，四边形
为平行四边形，则
，
所以，
，
因为
平面
，
平面
，所以，
平面
，
因为
且
，
、
分别为
、
的中点，
所以，
且
，所以，四边形
为平行四边形，可得
且
，
又因为
且
，所以，
且
，
故四边形
为平行四边形，则
，
因为
平面
，
平面
，则
平面
，
因为
，
、
平面
平面
，
当点
为
的边上一点（异于点
）时，则
平面
，则
平面
，
故点
的轨迹为
的边（除去点
），
因为
，同理可得
，
结合图形可得
，B 错；
当
时，
、
分别为
、
的中点，如下图所示：
此时点
、
、
，
，
当点
在平面
内运动时，设点
，其中
，
，
则
，
因为
，则
，解得
，
设点
的轨迹分别交棱
、
于点
、
，则
、
，
当点
在平面
内运动时，设点
，其中
，
，
，则
，
设点
的轨迹交棱
于点
，则
，设点
的轨迹交棱
于点
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，所以，
，同理可得
，
所以，四边形
为平行四边形，且
，
，
因此，点
的轨迹的长度即为平行四边形
的周长
，C 对；
对于D 选项，设截面
交棱
于点
，连接
、
，
题意可知，截面
与平面
重合，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，所以，
，同理可得
，
所以，四边形
为平行四边形，
易知
，其中
，所以，
，
，
所以，
，故
与
不可能垂直，
故平行四边形
不可能为矩形，故过
、
、
三点的截面不可能是矩形，D 错.
故选：AC.
30．（2023·广东湛江·校考模拟预测）在棱长为1 的正方体
中，M 为底面
的中心，
，
，N 为线段AQ 的中点，则（ ）
A．CN 与QM 共面
B．三棱锥
的体积跟
的取值无关
C．
时，过A，Q，M 三点的平面截正方体所得截面的周长为
D．
时，
【答案】ABC
【解析】在
中，因为
为
的中点，所以
，
所以
与
共面，所以A 正确；
由
，因为
到平面
的距离为定值
，且
的面积为定值
，
所以三棱锥
的体积跟
的取值无关，所以B 正确；
当
时，过
三点的正方体的截面
是等腰梯形，
所以平面截正方体所得截面的周长为
，
所以C 正确；
当
时，可得
为
的中点,
为
的中点
，
则
，所以
不成，所以D 不正确．
故选：ABC
31．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）棱长为1 的正方体
中，点
为线段
上一点（不
包括端点），点
为
上的动点，下列结论成立的有（ ）
A．过
的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形
B．
的最小值为
C．当点
为线段
中点时，三棱锥
的外接球的半径为
D．
两点间的最短距离为
【答案】ABD
【解析】在正方体
中，平面
平面
，
设过
的截面截正方体所得的截面为
，M 为截面与
的交点，
因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
，又
，故
，
即
∽
，而
，
则
，
又点
为线段
上一点（不包括端点），
，
即过
的截面截正方体所得的截面多边形为等腰梯形，A 正确；
根据正方体性质可知
≌
，
故可将
沿
转到和
重合位置，则
的最小值为
的长，
而正方体棱长为1，故
，即
的最小值为
，B 正确；
当点
为线段
中点时，设
的中点为N，连接
，
由于
，故
，
连接
交于G，连接
，则四边形
为矩形，
故
，
平面
，
故
平面
，又
，则N 为
的外心，
故三棱锥
的外接球的球心在
上，设为H，而
,
，则
，
设三棱锥
的外接球半径为r，则
，
解得
，C 错误；
当
分别为
的中点时，由C 的分析可知Q 位于N 点位置，
此时
，即此时
间距离最短，最短距离为
，D 正确，
故选：ABD
32．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在棱长为1 的正方体
中，点
满足
，其中
，则（ ）
A．
B．当
时，有且仅有一个点
，使得
平面
C．当
时，有且仅有一个点
，使得
D．当
时，三棱锥
的体积为定值
【答案】AD
【解析】如图建立空间直角坐标系，
则
因为
，
，所以
所以
，
对于选项A，则
，所以
，
因为
，所以
，故A 答案正确；
对于选项B，
当
时，
，
,设面
的法向量为
，
则
，令
，所以
，
若
平面
，则
，
无解，所以不存在点
，使得
平面
,故选项B
错误；
对于选项C，当
时，
,
若
，则
，
，无解，所以不存在点
，使得
，故C 错误；
对于选项D，
为边长为
的等边三角形，所以
,
点P 到平面
的距离为
，当
时，
点P 到平面
的距离为定值，则三棱锥
的体积为定值，故D 选项正确.
故选：AD.
33．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）正方体
棱长为
是直线
上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）
A．
的最小值为
B．
的最小值为
C．若
为直线
上一动点，则线段
的最小值为
D．当
时，过点
作三棱锥
的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为
【答案】AC
【解析】对于A，在
中，
，
所以
为边长为
的等边三角形，
所以
的最小值为
的高，此时
为
中点，
即
，故A 正确；
对于B，将
与矩形
沿着
翻折到一个平面内，
如图所示，所以
的最小值为
，此时
三点共线，
又
，
，
，即
，
由余弦定理得，
，
即
，
即
，故B 错误；
对于C，根据题意，即求异面直线
和
之间的距离，
分别以
，
，
为
，
，轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
则
，
，
，
设直线
与
的共垂线向量为
，
则
，即
，
即
，可取
，
所以异面直线
和
之间的距离为
，
所以线段
的最小值为
，故C 正确；
对于D，设三棱锥
的外接球心为
，当
过点
的外接球的截面时，所得截面面积最小，
因为
，由选项C 知，
，
则
，
而三棱锥
的外接球即为正方体
的外接球，
所以三棱锥
的外接球直径为正方体
的体对角线，
即
，即三棱锥
的外接球半径为
，
所以
所在圆的直径
，
所以所得截面面积为
，故D 错误.
故选：AC.
34．（2023·广东广州·统考二模）已知正四面体
的棱长为2，点
，
分别为
和
的
重心，
为线段
上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若
取得最小值，则
B．若
，则
平面
C．若
平面
，则三棱锥
外接球的表面积为
D．直线
到平面
的距离为
【答案】BCD
【解析】将正四面体
放入正方体
中，以点
为原点，以
，
，
所在直线
为
轴，
轴，轴，如图所示，
因为正四面体
的长为2，
所以正方体的棱长为
，
则
，
，
，
因为点
，
分别为
和
的重心，
所以点
的坐标为
，点
的坐标为
所以
设
，则
，
所以
，
所以
，
，
对于Ａ：因为
，
，
所以
，
当
时，即
，
，取得最小值
，故A 错误；
对于B：若
，则
，
所以
，
因为
，
，设平面
的一个法向量为
，
则
，取
，则
，
因为
，
所以
平面
，即
平面
，故B 正确；
对于C：若
平面
，则
，即
，
，即
，
设平面
的一个法向量为
，因为
，
，
则
，取
，则
，
因为
，
所以
平面
，则三棱锥
外接球的球心在直线
上，
又因为点
为等边三角形
的重心，
所以点
为等边三角形
的外心，
外接圆半径为
，
设三棱锥
外接球的半径为
，
则
，即
，解得
，
所以三棱锥P－ABC 外接球的表面积为
，故C 选项正确；
对于D：因为点
的坐标为
，点
的坐标为
，
所以
，
设平面
的一个法向量为
，
因为
，
，
所以
，取
，则
，
因为
，且直线
平面
，
所以直线
平面
，
所以点
到平面
的距离就是直线
到平面
的距离，
则点
到平面
的距离
，
即直线
到平面
的距离为
，故D 正确，
故选：BCD．
35．（2022 秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）在正四棱柱
中，
，
，
，其中
，
，则（ ）
A．存在实数
，使得
在平面
内
B．存在实数
，使得平面
截该正四棱柱所得到的截面是五边形
C．存在实数
，使得平面
截该正四棱柱所得到的截面是六边形
D．存在实数
，使得直线
与该正四棱柱的
条棱所在直线所成的角都相等
【答案】ABD
【解析】对于A，取
，设
，则
，
则
，
四边形
为菱形，
在平面
内，A 正确；
对于B、C，截面
与四棱柱的底面
仅有一个交点
，则平面
截该正四棱柱所得到的截面最
多是五边形，不能是六边形，C 错误；
当
且
时，
平面
，此时截面如下图所示，其中
，则截面为五边形，B
正确；
对于D，假设存在
，使得直线
与该正四棱柱的
条棱所在直线所成的角都相等，
则只需
与
，
，
所成角相等即可；
以
为坐标原点，
正方向为
轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，整理可得：
，即
，
则当满足
时，直线
与该正四棱柱的
条棱所在直线所成的角都相等，D 正确.
故选：ABD.
36．（2022·全国·模拟预测）已知正方体
中，
，
，
分别为棱AB，BC 的中点，
过点E，F 作正方体的截面，则下列说法正确的是（ ）
A．若截面过点
，则截面周长为
B．若点
是线段
上的动点（不含端点），则
的最小值为
C．若截面是正六边形，则直线
与截面垂直
D．若截面是正六边形，S，T 是截面上两个不同的动点，设直线
与直线ST 所成角的最小值为
，
则
【答案】AC
【解析】A 选项：如图1 所示，设直线EF 与直线DA，DC 分别交于点K，L，连接
交
于点
，连
接
交
于点
，因此有
，
为
的靠近点
的三等分点，
为
的靠近点
的三等分点，
.连接ME，NF，则过点
的截面即五边形
.易得
，
，
，故截面
的周长为
.故A 正确.
B 选项：连接
，以
所在直线为轴，将
旋转到平面
上，连接
，则线段
的长即
的最小值.
在
中，
，
，则由余弦定理，得
，所以B 错误.
C，D 选项：若截面是正六边形，则截面如下图中六边形PQRFEG 所示，其中各顶点是所在棱的中点.以
，
，
所在直线分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，所以
，
，
，
，所以
，
，故
，
，又
，所以
与截面垂直.设直线
与截面所成角为
，则
.因为
截面，所以易知直线
与直线ST 所成的最小
角即直线
与截面所成的角，所以
，故C 正确，D 错误.
故选：AC
37．（2022 秋·重庆巴南·高三重庆市实验中学校考期中）已知正四棱柱
中，
，点
是线段
的中点，点
是线段
上靠近
的三等分点，若正四棱柱
被过点
，
，
的平面所截，则所得截面多边形的周长不能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】作出图形如图所示．
延长
至Q，使得
，连接MQ，NQ，
记MQ 与BC 交于点R，NQ 与CD 交于点P，
取
的中点
，连结
，
，所以
，即
，且
，
所以四边形
是平行四边形，得
，且
又因为
，且
，所以四边形
是平行四边形，
得
，
，
所以
，且
，所以四边形
是平行四边形，
则截面为五边形为
，
则
，
，
因为
，所以
，所以
，
，
同理：
，
，
，
，
，
故所得截面的周长为
.
故选：ACD
三、填空题
38．（2023 春·四川内江·高二四川省资中县第二中学校考开学考试）如图所示，在棱长为3 的正方体
中，E 在棱
上，
，
是侧面
上的动点，且
平面
，则
在
侧面
上的轨迹的长度为 ．
【答案】
【解析】设
在棱
上，且
，
在棱
上，且
，
在棱
上，且
连接
，
，IH，
，EG，BG，则
，
所以
，B，E，G 四点共面，
由
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理
平面
，又
，
平面
，所以平面
平面
，
又因为
平面
，所以F 落在线段HI 上，
因为正方体
的棱长为3，所以
，
即F 在侧面
上的轨迹的长度是
．
故答案为：
.
39．（2022 秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）已知正方体
的棱长为1，点
M，N 是线段
上的两个三等分点，动点G 在
内，且
的面积为
，则G 点的轨迹长度为
.
【答案】
【解析】连接
交于点
，以
为原点，
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系.
则
,
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，即
，令
，则
则
平面
，且点
到平面
的距离
，
所以
的面积
，则
所以G 点的轨迹是以点
为圆心，
为半径的圆，圆的周长为
.
又因为点G 在
中，则点G 的轨迹为圆在三角形内部的弧长.
如图所示：
因为
平面
，所以
则
,
,即
，
，
根据对称性知圆内弧长占圆周长的
，则G 点的轨迹长度为
.
故答案为：
.
40．（2022 秋·新疆省直辖县级单位·高二新疆石河子一中校考阶段练习）如图，长方体
中，
，
，
，点
是侧面
上的一个动点（含边界），
是棱
的中点，则下列结
论正确的是
①当
长度最小时，三棱锥
的体积为
②当
长度最大时，三棱锥
的体积为
③若保持
，则点
在侧面内运动路径的长度为
④若
在平面
内运动，且
，则点
的轨迹为圆弧
【答案】①②③
【解析】对于①，当
长度最小时，点
在线段
的中点，
，
，①正确．
对于②，当
长度最大时，点
与点
或点
重合，若点
与点
重合，
，②正确．
对于③，作
中点
，连接
，
，如图所示，易证
平面
，
平面
，则
，若保持
，则
，
则点
的轨迹是以1 为半径的半圆弧，长度为
，③正确．
对于④，以点
为原点建立空间直角坐标系如图所示：
则
，
，
，设
，
则有
，
，
，
若
，则有
，即
，
化简得：
，即
，
即
或
（此时
，
，
），
故点
的轨迹为一段直线，④错误．
故答案为：①②③
41．（2023·山东青岛）如图，在长方体
中，
，
，
，
、
分别为
棱
、
的中点，动点
在长方体的表面上，且
，则点
的轨迹长度为 .
【答案】
【解析】连接
，则在正方体中
分别为棱
、
的中点，则
,
在侧面
内过点
作
且交
于点
,
因为
，
平面
，所以
平面
，
因为平面
截正方体得到截面为矩形
，如下图所示，
所以动点
的轨迹为矩形
的四条边组成的图形，
因为
，所以
，
所以
所以
所以
又因为
，
所以矩形
的周长为：
故答案为：
.
42．（2023·全国·统考高考真题）已知点
均在半径为2 的球面上，
是边长为3 的等边三角形，
平面
，则
．
【答案】2
【解析】如图，将三棱锥
转化为正三棱柱
，
设
的外接圆圆心为
，半径为，
则
，可得
，
设三棱锥
的外接球球心为
，连接
，则
，
因为
，即
，解得
.
故答案为：2.
43．（2023·全国·统考高考真题）在正方体
中，
为
的中点，若该正方体的棱
与球
的球面有公共点，则球
的半径的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设球的半径为
.
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包
含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径
为体对角线长
，即
，故
；
分别取侧棱
的中点
，显然四边形
是边长为
的正方形，且
为正方形
的对角线交点，
连接
，则
，当球的一个大圆恰好是四边形
的外接圆，球的半径达到最小，即
的最
小值为
.
综上，
.
故答案为：
44．（2023·全国·统考高考真题）在正四棱台
中，
，则该棱台的
体积为 ．
【答案】
/
【解析】如图，过
作
，垂足为
，易知
为四棱台
的高，
因为
，
则
，
故
，则
，
所以所求体积为
.
故答案为：
.
45．（2023·全国·统考高考真题）底面边长为4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边
长为2，高为3 的正四棱锥，所得棱台的体积为 ．
【答案】
【解析】方法一：由于
，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为，
所以正四棱锥的体积为
，
截去的正四棱锥的体积为
，
所以棱台的体积为
.
方法二：棱台的体积为
.
故答案为：
.
46．（2023·河北保定·统考二模）如图，在四面体
中，
，则四
面体
体积的最大值为 ．
【答案】
【解析】过
作
且
，连结
，如下图所示：
则
为平行四边形，且
，
设异面直线
与
的距离为
与
所成的角为
，
则
或
，
所以，当异面直线
与
垂直且距离最大时，四面体
的体积最大．
又
，所以
两点在以
两点为焦点的椭球面上，
过
作轴
的垂面，交轴
于
，
垂面与椭球面的交线是一个半径为的圆，
是它的一条弦，
所以四面体
体积为
，
当点
位于椭球的中心时最大，最大值为
，
所以四面体
体积的最大值为
．
故答案为：
47．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在四面体
中，
，
，
，且
，
，异面直线
，
所成的角为
，则该四面体外接球的表面积为 .
【答案】
或
【解析】依题意，将四面体
放到长方体中，则
在长方体的后侧面所在的平面内，
因为异面直线
，
所成的角为
，
，
所以可得
或
，所以
应为图中
或
，如下图所示：
由对称性可知，当
点在轴负方向时，解法与
或
位置相同；
可设
的中点为
，四面体
外接球的球心为
，球的半径为
，
由题意可知，球心
在过点
且垂直于平面
的垂线上，且满足
，
建立如上图所示的空间直角坐标系，因为
，
，
，
设
，又
，
由
，所以
，或
，
解得
或
,
所以
或
，
即可知四面体
外接球的表面积为
或
.
故答案为：
或
48．（2023·贵州·校联考模拟预测）如图，在四棱锥
中，四边形
为矩形，
平面
，
，
，该四棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图所示，可以将四棱锥
补成一个长方体
，故长方体的外接球即为四棱
锥的外接球，
即
的中点
即为外接球球心，
所以半径
，
所以外接球表面积
.
故答案为：
.
49．（2023·海南·统考模拟预测）如图，四棱锥
内接于圆柱，
为
的中点，
和
为圆柱
的两条母线，
，四边形
为正方形，平面
与平面
的交线
平面
，当四棱
锥
的体积最大时，异面直线
与
所成角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
设
，因为
，所以
，
则
，
，令
，得
或
（舍去），
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
取得最大值，此时
，
建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
所以
，
则
，
所以
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
，
故答案为：
50．（2023·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知正四棱柱
的每个顶点都在球
的球
面上，若球
的表面积为
，则该四棱柱的侧面积的最大值为 .
【答案】
【解析】设
，则正四棱柱的体对角线长为
，
所以正四棱柱外接球的半径为
，
因为球
的表面积为
，所以
，
化简得
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
所以
，当且仅当
，即
时取等号，
所以该四棱柱的侧面积为
，当且仅当
，即
时取等号，
所以该四棱柱的侧面积的最大值为
，
故答案为：
