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专题13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题
目 录
01 正方体、长方体外接球...................................................................................................................2
02 正四面体外接球...............................................................................................................................3
03 对棱相等的三棱锥外接球................................................................................................................7
04 直棱柱外接球..................................................................................................................................8
05 直棱锥外接球.................................................................................................................................10
06 正棱锥与侧棱相等模型.................................................................................................................16
07 侧棱为外接球直径模型.................................................................................................................20
08 共斜边拼接模型.............................................................................................................................22
09 垂面模型........................................................................................................................................25
10 二面角模型....................................................................................................................................31
11 坐标法............................................................................................................................................36
12 圆锥圆柱圆台模型.........................................................................................................................42
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13 锥体内切球....................................................................................................................................45
14 棱切球............................................................................................................................................49
01 正方体、长方体外接球
1．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）在长方体
中，已知
，
，在该长方体内放置一个球，则最大球的体积为 .
【答案】
/
【解析】在长方体
中，
，
，由长方体的结构特征知，长方体的内置球
直径不超过最短棱长，
于是得球直径小于等于2，球半径的最大值为1，此时有
，
所以最大球的体积为
.
故答案为：
2．（2023·全国·高三专题练习）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为
【答案】
【解析】设正方体的棱长为
，因为正方体的表面积为
，可得
，解得
，
则正方体的对角线长为
，
设正方体的外接球的半径为
，可得
，解得
，
所以外接球的表面积为
.
故答案为：
.
3．（2023·吉林·高三校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为
，则球的表面积为
．
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【答案】
【解析】该球为正方体外接球，其半径
与正方体棱长
之间的关系为
，
由
，可得
，所以球的表面积
.
答案：
02 正四面体外接球
4．（2023·山东·高三济南一中校联考阶段练习）在正四面体
中，以
为直径作球
，点
在球
与
的中垂面相交所得的圆上运动，当三棱锥
的体积的最小值为
时，该正四面体
外接球的体积为 ．
【答案】
【解析】设正四面体
的棱长为a，设点D 到平面
的距离为h，则
当h 最小时，
最小.
因为球O 的半径为
，
如图所示，当D 在如图所示的位置时h 最小.取AC 的中点F，连接PF、BF，
则
，所以
.
因为
则
，
，
.
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所以h 最小值为
，
所以
，解得
.
设正四面体
的外接球的半径为
,球心为
.
如图所示，正四面体
的棱长为
，过P 作
平面
于
，
由于
,
所以
，
利用勾股定理得
，
所以
中，
，解得
，
所以正四面体
的外接球的体积为
.
故答案为：
5．（2023·河北·统考模拟预测）在正四面体
中，
为
的中点，点
在以
为球心的球上运动，
，且恒有
，已知三棱锥
的体积的最大值为
，则正四面体
外
接球的体积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知，
为
的中点，点
在以
为球心的球上运动，
，
所以
都在以
为球心的球上，
又因
，则
在
的中垂面上，如图，
连接
，
都为正三角形，且
为
的中点，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，平面
是
的中垂面，即
在平面
上，
所以点
在平面
与以
为球心，
为半径的球的交线上，
即
在以
为圆心，
为半径的平面
内的圆上，
取
中点
，连接
，延长
至点
，使
，
作在平面
内，以
为圆心，
为半径的圆，
则圆
上的点
到平面
的距离最远，故
在
处，
设
，则
，
，
平面
，
平面
，
,
,
,
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在
中，
，
点
到平面
的距离
，
所以
，
解得
，
如图则其外接正方体的边长为
，
所以正四面体
外接球即为边长为正方体的外接球，
故外接球半径
，
所以外接球体积
.
故选：A
6．（2023·山东济南·高三统考期末）若正四面体的表面积为
，则其外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设正四面体的棱长为
，由题意可知：
，解得：
，
所以正四面体的棱长为
，
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将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为
，正方体的体对角线长为
，
因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径
，
则外接球的体积为
，
故选：
.
7．（2023·河南·西平县高级中学校联考模拟预测）一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的
体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，四面体
是正四面体，棱长
，将其补形成正方体
，
则正方体
的棱长
，此正方体的体对角线长为
，
正四面体
与正方体
有相同的外接球，则正四面体
的外接球半径
，
所以正四面体
的外接球体积为
．
故选：A
03 对棱相等的三棱锥外接球
8．（2023•罗湖区月考）已知在四面体
中，
，则四面体
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的外接球表面积为 ．
【解析】解：如下图所示，将四面体
放在长方体
内，在四面体
中，
，设该长方体的长、宽、高分别为2、2、1，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为
，
所以，该四面体的外接球直径为
，
因此，四面体
的外接球的表面积为
，
故答案为：
．
9．（2023•孟津县校级期末）若四面体
中，
，
，则四面体
的外接球的表面积为
．
【解析】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体
的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以
，
，
为三边的三角形作为底面，
且以分别
，
，
长、两两垂直的侧棱的三棱锥，
从而可得到一个长、宽、高分别为
，
，
的长方体，
并且
，
，
，
则有
为球的半径），
所以球的表面积为
．
故答案为：
．
10．（2023•三模拟）在四面体
中，
，
，
，则其外接球的
表面积为 ．
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【解析】解：如下图所示，
将四面体
放在长方体
内，设该长方体的长、宽、高分别为
、
、
，
则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为
，
由勾股定理得
，
上述三个等式全加得
，
所以，该四面体的外接球直径为
，
因此，四面体
的外接球的表面积为
，
故答案为：
．
04 直棱柱外接球
11．（2023·陕西西安·高三高新一中校考阶段练习）在直三棱柱
中，
，则三棱柱
外接球体积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在直三棱柱
中，因
，即
，则
，
于是得
，将其补形成棱长为2 的正方体
，如图，
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则直三棱柱
的外接球即为棱长为2 的正方体
的外接球，
球半径
，因此，
，
所以三棱柱
外接球体积等于
.
故选：A
12．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知球O 为正三棱柱
的外接球，正
三棱柱
的底面边长为1，高为3，则球O 的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设三棱柱
的高为h，底边边长为a．设球O 的半径为R，
则三棱柱底面三角形的外接圆半径满足：
，解得：
由题知，
，
，
故球O 的表面积为
，
故选：B.
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05 直棱锥外接球
13．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）如图，在体积为
的三棱锥P﹣ABC 中，AC⊥BC，AD＝
BD，PD⊥底面ABC，则三棱锥P﹣ABC 外接球体积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示，
由题意
是直角三角形，AB 的中点为D，连结PD，很明显球心在PD 上，
设球心为O，PD＝h，AC＝x，
，OC＝R，则
，解得
，
在
中，
，
，则
，
解得
，当且仅当
时等号成立，
即
，当且仅当
，即
时等号成立，
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即R 的最小值是在
时取得
，经检验正确，
即满足题意时三棱锥的高为2，
，故外接球体积的最小值为：
，
故选：A.
14．（2023·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）在三棱锥
中，
平面BCD，
，则已知三棱锥
外接球表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，设
，
，
为
的外心，
为三棱锥
外接球的球心，则
平面
，又
平面
，所以
，
平面
，则
，四边形
是
直角梯形，
设
，
，
，
由
平面
，
平面
，得
，
则
，
，
，即
，
又
，则
，
，
令
，则
，
，
，当且仅当
，即
时等号成立，
所以三棱锥
外接球表面积
，
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故选：B．
15．（2023·浙江温州·统考模拟预测）在三棱锥
中，
平面
，
，
，则三棱锥
外接球表面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，在等腰
中，
，设
的外心是
，外接圆半
径是，则
，∴
，
设外接球球心是
，则
平面
，
平面
，则
，同理
，
，
又
平面
，所以
，
是直角梯形，
设
，外接球半径为
，即
，
则
，所以
，
在直角
中，
，
，
，
，∴
，
，
令
，则
，
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，当且仅当
，
时等号成立，
所以
的最小值是
．
故选：D.
16．（2023·河南开封·高三河南省杞县高中校联考开学考试）在四棱锥
中，四边形
为正方
形，
平面
，且
，则四棱锥
的外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】B
【解析】设四棱锥
的外接球与内切球的半径分别为
.
因为
，
四棱锥
的表面积
，
所以
，
因为
两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以
，
所以四棱锥
的外接球与内切球的表面积之比为
.
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故选：B.
17．（2023·浙江丽水·高三统考期末）如图，在三棱柱
中，
底面
，
，
，
，
在上底面
（包括边界）上运动，则三棱锥
的外接球体积的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图，取
中点为
，
中点为
，连接
，取
的中点为
，连接
.
因为
为直角三角形，所以
外接圆的圆心即为
.
同理，
外接圆的圆心即为
.
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所以，当
位于
顶点时（不妨假设点
与点
重合），三棱锥
的外接球的球心恰好与三
棱柱
的外接球的球心重合，即三棱锥
的外接球的半径等于三棱柱
的外
接球的半径，此时体积有最大值.
因为
分别为
的中点，
根据三棱柱的性质可知，
，且
，
所以，四边形
是平行四边形，
所以
，且
，
.
根据三棱柱的性质可知
平面
，
所以
平面
.
又
分别为
以及
外接圆的圆心，
所以，线段
的中点
即为三棱柱
的外接球的球心，
所以，三棱柱
的外接球的半径即等于
.
又
，所以
，
.
因为
平面
，
平面
，所以
，即
，
所以，
，
所以，三棱锥
的外接球体积的最大值为
.
故选：C.
18．（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥
中，
平面
，
，
．过点
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分别作
，
交
于点
，记三棱锥
的外接球表面积为
，三棱锥
的外接球表面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取
的中点
，
的中点
，连
，
，
，
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
，
，
因为
，
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
在直角三角形
中，
是斜边
的中点，所以
，
在直角三角形
中，
是斜边
的中点，所以
，
所以
是三棱锥
的外接球的球心，
为该球的直径.
因为
，
是斜边
的中点，所以
，
因为
，
是斜边
的中点，所以
，
所以
是三棱锥
的外接球的球心，
为该球的直径.
设
，则
，
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则
，
，
所以
.
故选：B.
06 正棱锥与侧棱相等模型
19．（2023·云南保山·高三统考期末）已知正三棱锥
的侧棱与底面所成的角为
，高为
，则
该三棱锥外接球的表面积为 .
【答案】
/
【解析】设顶点P 在底面
的投影为
（
为等边
的中心），则该三棱锥外接球的球心O 在
上，连接
，
因为
底面
，则侧棱与底面所成的角为
，可得
，
设棱锥外接球的半径为R，
因为
，即
，解得
，
所以外接球的表面积为
.
故答案为：
.
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20．（2023·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥
中，
，
，该三棱锥的外接球体积为 ．
【答案】
【解析】在正三棱锥
中
为等边三角形，顶点
在底面的射影为底面的重心，所以
，
又
，
，所以
，所以
，同理可得
、
，
即
，
，
两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
正方体的体对角线就是外接球的直径，易得三棱锥的外接球半径
，
所以三棱锥的外接球体积
.
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故答案为：
21．（2023·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体
积为
，则该正四棱锥的体积最大值为 ．
【答案】
/
【解析】因为球的体积为
，所以球的半径为
，
如图，设正四棱锥的底面边长
，高
，外接球的球心为
，
根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，又
，
在
中，
，即
，
所以正四棱锥的体积为
，
整理得
，
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递增，在
上递减，
所以当
时，
取得最大值
，
故答案为：
．
22．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知正四棱锥的侧面是边长为3 的正三角形，它的侧棱的所有三等
分点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ．
【答案】
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【解析】如图，正四棱锥的侧棱的所有三等分点构成一个正四棱台，
棱台上底面是边长为1 的正方形，棱台下底面是边长为2 的正方形，侧棱长为1，
可求得棱台的高为
，
设该棱台的外接球的半径为，
球心到下底面的距离
，
球心到上底面的距离
，
①球心在两个底面之间时，
所以
，
因为
，则
，则上式无解；
②球心在下底面下方时，
，
，
两边同时平方：
，
，解得：
，
表面积
，
故答案为：
.
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07 侧棱为外接球直径模型
23．（2023•保山期末）已知三棱锥
的顶点都在球
的球面上，
是边长为6 的正三角形，
为球
的直径，且此三棱锥的体积为
，则球
的表面积为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：
是边长为6 的正三角形，
外接圆的半径
，
设点
到平面
的距离为
，
则棱锥
的体积
，解得
，
又
为球
的直径，
点
到平面
的距离为
，则三棱锥外接球
的半径
，
可得球的表面积
．
故选：
．
24．（2023•大连模拟）球
的直径
，
，
是该球球面上的两点，
，
，
则棱锥
的体积为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：
球
的直径
，
，
是该球球面上的两点，
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，
，
由题意知，在棱锥
中，
，
都是等腰直角三角形，其中
，
，
．
取
的中点
，则
，
，
垂直于面
，
棱锥
的体积为两个棱锥
和
的体积和，
棱锥
的体积
．
故选：
．
25．（2023•迎泽区校级月考）已知球
的直径
，
、
是该球面上的两点，且
，
，
，则三棱锥
的体积为
A．
B．
C．
D．
【解析】解：设球心为
，连结
、
，
为球的直径，
、
是球面上的点，
．
又
，
，
，
，
，
．
又
，
，
为直角△，
的外心为
中点
，
连接
，根据球的性质，可得
面
，
在
中，
，
，
，
，
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，三棱锥
的体积为
．
故选：
．
08 共斜边拼接模型
26．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥
中，
底面
是边长为
的等边三
角形若二面角
､
的大小为
，则三棱锥
的外接球表面积大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】解：取
的中点
，连接
，
因为
，
所以
，
所以
，所以
，
因此
为二面角
的平面角，
设
，则
，
，
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得：
，
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所以三棱锥的外接球的直径
，
所以三棱锥的外接球的表面积为
．
故选：C．
27．（2023·全国·高三专题练习）三棱锥D-ABC 中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD， AB⊥DB．则三棱
锥D-ABC 外接球的表面积是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】取
的中点为
，连接
，因为AC⊥CD， AB⊥DB
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∴
即
为棱锥D-ABC 外接球的球心，
又AB=DC=3，AC=DB=2，
∴
，
∴三棱锥D-ABC 外接球的表面积为
．
故选：B．
28．（多选题）（2023·山东·泰安一中高一期中）三棱锥
中，平面
平面ABC，
，
，则（ ）
A．
B．三棱锥
的外接球的表面积为
C．点A 到平面SBC 的距离为
D．二面角
的正切值为
【答案】AD
【解析】对于A，因为平面
平面ABC，
，即
，
平面
平面
，
平面SAB，所以
平面ABC，
又因为
平面ABC，所以
，故A 正确；
对于B，因为
，
，
，
所以
平面SAB，因为
平面SAB，
所以
．又
平面ABC，
平面ABC，
所以
，即
，
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所以三棱锥
外接球的直径为SC．因为
，
所以
，
所以三棱锥
的外接球的表面积
，故B 错误；
对于C，因为
平面SAB，
平面SBC，
所以平面
平面SBC，过点A 作
，交SB 于点G，
根据面面垂直的性质定理，可得
平面SBC，
故点A 到平面SBC 的距离为AG，由
，
，
得
，则
，
则
，故C 错误；
对于D，
，
，所以∠SBA 为二面角
的平面角，
在
中，
，故D 正确；
故选：AD．
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09 垂面模型
29．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）在三棱锥
中，已知
，
且平面
平面ABC，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，设外接球的半径为R，取AB 的中点
，连接
，则由
，得
，
因为平面
平面ABC，平面
平面
，
平面
，
所以
平面ABC，则球心O 在直线
上．
连接OA，则
，
因为
，所以
；
因为
，所以
.
因为
，所以球心在线段
上．
在
中，由勾股定理，得
，
即
，解得
，
所以三棱锥
的外接球表面积为
.
故选：B．
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30．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）如图，在梯形
中，
，将
沿对角线
折起，使得点
翻折到点
，若面
面
，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，
设
为
的中点，
为
的中点，
为
的外心，
为三棱锥
的外接球球心，
则
面
面
.
由题意得
为
的外心，
在
中，
，
所以
，
又四边形
为矩形，
，设外接球半径为
，
则
外接球表面积
，
故选：B.
31．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知四棱锥
的底面
是矩形，其中
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
，平面
平面
，
，且直线
与
所成角的余弦值为
，则四棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示四棱锥
，平面
平面
，
，取
中点E，
则
，
平面
，故
，又
，可知
平面
，
故
.
依题意，底面
是矩形，直线
与
所成角的余弦值为
，即直线
与
所成角
的余弦
值为
，故
中，
，由
知，
，故
，又由
，
知，
是等边三角形，故
的三等分点F（距离E 近的三等分点）是三角形中心，过F 作平面
的垂线，过矩形
的中心O 作平面
的垂线，两垂线交于点I，则I 即外接球球心.
，
，设外接球半径R，
则
，
所以四棱锥
的外接球表面积为
.
故选：A.
32．（2023·四川泸州·统考一模）已知三棱锥
中，平面
平面
，且
和
都
是边长为2 的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意画出图形分别取
与
的外心
，过
分别作两面的垂线，相交于
，结合
已知由
，求出三棱锥外接球的半径，则外接球的表面积可求.如图，
由已知可得，
与
均为等边三角形，
取
中点
，连接
，
，则
，
∵平面
平面
，则
平面
，
分别取
与
的外心
，过
分别作两面的垂线，相交于
，
则
为三棱锥
的外接球的球心，
由
与
均为边长为
的等边三角形，
可得
，
，
，
∴三棱锥A−BCD 的外接球的表面积为
.
故选：D.
33．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）在边长为2 的菱形
中，
，将菱形
沿对角线
折起，使得平面
平面
，则所得三棱锥
的外接球表面积为（ ）
资料来源：微信公众号 智慧学库
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
在边长为2 的菱形
中，
，
如图，
由已知可得，
与
均为边长为2 的等边三角形，
取
中点
，连接
，
，则
，
，
平面
平面
，交线为
，
而
平面
，则
平面
，
分别取
与
的外心
，
，
过
，
分别作两面的垂线，相交于
，
则
为三棱锥
的外接球的球心，
由
与
均为等边三角形且边长为2，
可得
，
，
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
即三棱锥外接球的半径：
，
三棱锥
的外接球的表面积为：
.
故选：C.
34．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，
，且面
面ABCD，则四棱锥P-ABCD 的外接球表面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】P-ABCD 的外接球转化为三棱柱PAB-EDC 的外接球，球心位于上下底面中心连线段中点
､
O 处，
由正弦定理求出
，勾股定理求出
，代入球体表面积公式即可得解.P-ABCD 的外接球与三棱柱PAB-
EDC 外接球相同.
球心位于上下底面中心连线段中点
､
O 处，设外接球半径为R，
因为
，所以△PAB 为等边三角形，由正弦定理得
，
，
.
.
故选：D
10 二面角模型
35．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）在边长为
的菱形
中，
，沿对角线
折
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成二面角
为
的四面体
（如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，取
的中点M，
和
的外接圆半径为
，
和
的外心
，
到弦
的距离（弦心距）为
.
法一：四边形
的外接圆直径
，
，
；
法二：
，
，
；
法三：作出
的外接圆直径
，则
，
，
，
，
，
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
，
，
，
.
故选：A
36．（2023·湖南郴州·高三统考阶段练习）在边长为
的菱形ABCD 中，
，沿对角边
折
成二面角
为
的四面体
，则四面体
外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示，
，
，
，
，
设
，则
，
，
由勾股定理可得
，
，
四面体的外接球的表面积为
，
故选：
．
37．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）在边长为2 的菱形
中，
，将菱形
沿对角线
折起，使二面角
的大小为
，则所得三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
资料来源：微信公众号 智慧学库
【答案】B
【解析】由于四边形
是边长为
的菱形，且
，则
，
所以，
、
都是边长为
的等边三角形，
由于菱形的对角线互相垂直，则
，
，
所以，
为二面角
的平面角，即
，
过点
作平面
的垂线
，垂足为点
，则点
在线段
上，
由
，
，可得
，
且
是等边三角形，所以，
，
设
的外心为点
，
的中点
，
在平面
内，过点
、
分别作平面
、
的垂线交于点
，
则点
为三棱锥
的外接球的球心，则
，
，
，则
，
由于
、
、
、
四点共圆，可得
，
所以，三棱锥
的外接球的表面积为
.
故选：B.
38．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在三棱锥
中，
底面
是边长为
的
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等边三角形若二面角
､
的大小为
，则三棱锥
的外接球表面积大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】取
的中点
，连接
，
因为
，
所以
，
所以
，所以
，
因此
为二面角
的平面角，
设
，则
，
，
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得：
，
所以三棱锥的外接球的直径
，
所以三棱锥的外接球的表面积为
.
故选：C.
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39．（2023·湖北·高三统考期末）在三棱锥
中，
，
，设侧面
与底面
的夹角为
，若三棱锥
的体积为
，则当该三棱锥外接球表面积取最小值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【解析】因为
，
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以
为
的外接圆的直径，
设
的中点为
，则
为
的外接圆的圆心，
因为
，设
到平面
的距离为，
则
，所以
，
当该三棱锥外接球表面积取最小值时，半径最小，
设三棱锥
的外接球的球心为
，半径为
，则
平面
，
若点
和点
在平面
的同侧，如图：
则
，即
，当且仅当
三点共线时，取等号，
在
中，
，所以
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以
，所以
，当且仅当
三点共线时，取等号，
若点
和点
在平面
的异侧，
则
，所以
，
若
与
重合时，
，不合题意，
综上所述：
的最小值为
，且当
时，
三点共线，
此时
平面
，取
的中点
，连
，
，则
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
又
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
所以
是侧面
与底面
的夹角，即
，
因为
，
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以
.
故选：B
11 坐标法
40．（2023·河南郑州·模拟预测）在长方体中
中，
，AD＝2，M 是棱
的中
点，过点B，M，
的平面
交棱AD 于点N，点P 为线段
上一动点，则三棱锥
外接球表面
积的最小值为 ．
【答案】
【解析】设三棱锥
外接球球心为
，半径为R，
则
在过直角
斜边的中点
与平面
垂直的直线上，且满足
.
以D 为原点，
为x 轴，
为y 轴，
为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
设球心
，
，又
，
设
，
，则
，
由
，得
，
则
，由
，
，可得
，
又
，所以当
时，
取最小值，最小值为
，
所以三棱锥
外接球表面积的最小值为
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
故答案为：
.
41．（2023·上海·统考模拟预测）一个四面体的顶点在空间直角坐标系
中的坐标分别是
、
、
、
，则该四面体的内切球与外接球体积之比为
【答案】
/
【解析】点
、
、
、
恰为棱长为
的正方体的四个点，
该四点构成了一个棱长为
的正四面体（如图所示）.
设该正四面体
的内切球和外接球半径分别为、
，体积分别为
、
，
则该正四面体的外接球也是正方体的外接球，
则
，即
.
由图可得该四面体的体积为：
资料来源：微信公众号 智慧学库
，
又
，
所以
，解得
，
则
，
.
故答案为：
.
42．（2023·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：
）
的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表
面积的最小值为
【答案】
【解析】如图将正方体补全，依题意可得
、
、
、
为正方体底面边上的中点，
要使球的表面积最小，即为求
的外接球的表面积，
如图建立空间直角坐标系，则
，
，则几何体
外接球的球心必在上、下底
面中心的连线上，
设球心为
，球的半径为
，则
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
即
，解得
，
所以
，
所以外接球的表面积
，即该球表面积的最小值为
.
故答案为：
43．（2023·福建龙岩·统考二模）正方体
的棱长为2，若点M 在线段
上运动，当
的周长最小时，三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的周长为
，由于
为定值，即
最小时，
的周长最小，
如图，将平面
展成与平面
同一平面，则当点
共线时，此时
最小，在展开图
中作
，垂足为
，
，解得：
，
如图，以点
为原点，建立空间直角坐标系，
资料来源：微信公众号 智慧学库
，
，
连结
，因为
平面
，
平面
，
所以
，又因为
，且
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
同理
，且
，
所以
平面
，且三棱锥
是正三棱锥，所以
经过△
的中心．
所以三棱锥
外接球的球心在
上，设球心
，
，
，则
，
即
，
解得：
，
，所以外接球的表面积
.
故选：C.
44．（2023·江苏扬州·高三统考期中）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直
于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3 的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，
则该“阳马”的内切球表面积为 ，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为 ．
【答案】
/
【解析】
如图，
为正方形，设
垂直于平面
，由题
，
，
因为
，
，所以
平面ADP，所以
，
为直角三角形，
资料来源：微信公众号 智慧学库
由题，
，四棱锥表面积
，体积
，
设内切球半径为r，则
，得
，内切球表面积为
；
以DA，DC，DP 分别为x，y，z 轴建立如图空间直角坐标系，
因为内切球半径
，所以内切球球心
，
因为该四棱锥可以补全为棱长分别为3，3，4 的长方体，所以外接球球心
，
两点间距离
.
故答案为：
；
45．（2023·山西·统考一模）如图①，在
中，
，
，D，E 分别为
，
的中
点，将
沿
折起到
的位置，使
，如图②.若F 是
的中点，则四面体
的
外接球体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意
，
，
，
平面
，所以
平面
，
又
，如图建立空间直角坐标系，则
、
、
、
、
、
资料来源：微信公众号 智慧学库
，依题意
为直角三角形，所以
的外接圆的圆心在
的中点
，设外接球
的球心为
，半径为
，则
，即
，解得
，所以
，所以外接球的体积
；
故选：B
12 圆锥圆柱圆台模型
46．（2023·全国·高三专题练习）已知一个圆柱的高是底面半径的2 倍，且其上､下底面的圆周均在球面上，
若球的体积为
，则圆柱的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设圆柱的底面圆半径为，高为
，球O 的半径为
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
由题可知
，解得
，
则
，可得
，
所以
.
故选：C.
47．（2023·云南昆明·高三开学考试）“云南十八怪”描述的是由云南独特的地理位置、民风民俗所产生
的一些特有的现象或生活方式，是云南多元民族文化的写照.“云南十八怪”中有一怪“摘下草帽当锅盖”
所指的锅盖是用秸秆或山茅草编织成的，因其形状酷似草帽而传为佳话.一种草帽锅盖呈圆锥形，其母线长
为6dm，侧面积为
，若此圆锥的顶点和底面圆都在同一个球面上，则该球体的表面积等于
______
.
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为，由
，解得
，
如图
，设外接球的球心为
半径为
，
由
圆
得
，即
，解得
，
由
得
，
所以该球体的表面积等于
.
故答案为：
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
48．（2023·云南师大附中高三阶段练习）已知一个半球内含有一个圆台，半球的底面圆即为圆台的下底面，
圆台的上底面圆周在半球面上，且上底面圆半径为3，若半球的体积为
，则圆台的体积为
___________.
【答案】
【解析】设半球半径为
，圆台上底面圆半径为
，圆台的高为.
所以，作出轴截面，如图，
因为半球的体积为
，所以
，解得
，
由题意知
，代入解得
，
所以，圆台体积
.
故答案为：
49．（2023·全国·高三专题练习）已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表
面积为______．
【答案】
【解析】如图所示，
资料来源：微信公众号 智慧学库
设外接球半径为r，球心到上底的距离为h，则球心到下底的距离为
则有
，
，解得
，
．所以外接球的表面积为
．
故答案为：
13 锥体内切球
50．（2023·江苏·校联考模拟预测）已知菱形ABCD 的边长为1，
，将
沿AC 翻折，当三
棱锥
表面积最大时，其内切球表面积为 .
【答案】
【解析】因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直
三棱锥
中，面
与面
的面积是确定的，所以要使三棱锥表面积最大，则需要面
与面
最大即可，而且
；
，当
时，
取得最大值.
过点
向平面
作垂线，设
的中点为
垂足为
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
因为
，
，所以由余弦定理知
，
所以
，易得
.
所以
.
因为
，
设内切球的半径为，则根据等体积法，有：
，
即
，解之得
，
所以其内切球的表面积为
故答案为：
51．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知圆锥的顶点为
，轴截面为锐角
，
，则当
时，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值最大，最大值为 ．
【答案】
/
/
【解析】如下图所示：
不妨设
，
，
为线段
的中点，
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连接
，圆锥的内切球球心为
，半径为；外接球球心为
，半径为
.
圆锥的内切球与外接球的表面积之比为
，
在
中，
，
，
，
在
中，
，
，
，
即
，所以，
，
所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，
所以，圆锥的内切球与外接球的表面积的比值的最大值为
.
故答案为：
；
.
52．（2023·江西抚州·高三临川一中校考期末）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公
路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更
是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体
的内切球，中等球与最大球和
正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体
棱长为
，则
模型中九个球的表面积和为 .
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【答案】
【解析】如图所示正四面体
，记棱长为
，高为，
为正四面体
内切球的球心，延长
交底面
于
，
是等边三角形
的中心，过
作
交
于
，连接
，
则
为正四面体
内切球的半径，
因为
，
，
，
所以
，
所以
，解得
，
由图可知最大球内切于高
的正四面体中，最大球半径
，
中等球内切于高
的正四面体中，中等球半径
，
最小求内切于高
的正四面体中，最小球半径
，
所以九个球的表面积之和
，
故答案为：
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53．（2023·山西长治·高三统考期末）如图，正四棱台
的上下底面边长分别为
､
2，
分别为
的中点，8 个顶点
构成的十面体恰有内切球，则
该内切球的表面积为 .
【答案】
【解析】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，如图所示：
，可得
故
故答案为：
．
14 棱切球
54．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱柱
的各棱长均为
，以A 为球心的球与棱
相切，则球A 于正三棱柱
内的部分的体积为 .
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【答案】
【解析】如图，
正三棱柱
的各棱长均为
，
以A 为球心与棱
相切的球的半径为
，
则以平面
为截面的上半球的体积为
.
又
，
球A 位于正三棱柱
内的部分的体积为
.
故答案为：
.
55．（2023·河南商丘·高三商丘市第一高级中学校考期中）已知正三棱锥
，球O 与三棱锥
的所有棱相切，则球O 的表面积为 ．
【答案】
/
【解析】取等边△ABC 的中心E，连接SE，则SE⊥平面ABC，
连接AE 并延长，交BC 于点D，则D 为BC 中点，且AD⊥BC，
在SE 上找到棱切球的球心O，连接OD，则OD 即为棱切球的半径，
过点O 作OF⊥SA 于点F，则OF 也是棱切球的半径，设
，
因为
，所以求得
，
由勾股定理得：
，且∠ASE=30°，设OE=h，
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，SO=3-h，
，
由题意得：
，解得：
或
，
当
时，
，此时球O 的表面积为
；
当棱切球的半径最大时，切点为A，B，C，由于∠ASE=30°，
，
可求得最大半径
，
而当
时，
，
显然不成立，故
舍去，
综上：球O 的表面积为
故答案为：
56．（2023·全国·统考模拟预测）已知三棱锥A﹣BCD 所有棱长都相等，球
与它的六条棱都相切，球
与它的四个面都相切，则球
与球
的表面积之比为 ．
【答案】3
【解析】显然此三棱锥为正四面体，如图1
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取
中点
，连结
，由
，所以
，同理：
则可知
为球
的一条直径，连结
，
设正四面体棱长为2，则
，
所以
，所以
，球
半径
．
如图2
过点
作
平面
，垂足为
，显然
为
的重心，
连结
并延长交
于
，则
为
的中点，
，
所以
，
所以
，
由
．
得
，所以
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故答案为：3
57．（2023·山东·高三校联考阶段练习）与棱长为
的正方体所有棱都相切的球的体积为 ．
【答案】
【解析】与正方体所有棱都相切的球的球心为正方体的体对角线的交点，
半径为面对角线的一半，因为正方体的棱长为
所以正方体的面对角线长为
，则球的半径为
所以球的体积为
故答案为：
58．（2023·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）在正三棱锥
中，
，
，
若球O 与三棱锥
的六条棱均相切，则球O 的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图示：
取
的中心E，连接PE，则
平面ABC，且与棱均相切的球的球心O 在PE 上.
连接AE 并延长交BC 于D，则D 为BC 的中点，
，连接OD.
因为
平面ABC，所有
.
因为
平面
，
平面
，
，所有
平面
.
因为
平面
，所有
.过O 作
，交PA 于点F.
球O 的半径为r，则
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
由题意：
为正三角形，因为
，所以
，
，
.
因为
，
，所以
，所以
.
设
，所以
，因为
，所以
，解得:
，所以
，故球O 的表面积为
．
故答案为：
59．（2023·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）在正三棱锥
中，
，
若球
与三棱锥
的六条棱均相切，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】取
的中心
，连接
，
则
平面
，且与棱均相切的球的球心
在
上，
连接
并延长交
于
，则
为
的中点，
，
连接
，易证
，
过
作
，交
于点
，
设球
的半径为，则
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
由题意易求得
，
由勾股定理得
，
在
中，
，所以
，
设
，则
，
因为
，从而
，所以
，
所以
，
故球
的表面积为
.
