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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题14 概率与统计（理选填）
概率与统计题型主要包含二项式定理，排列组合，随机抽样，统计与概率等主要考查题型为：
考点01 排列组合与二项式定理
考点02 事件概率
考点03 随机事件分布列
考点01：排列组合与二项式定理
一选择题：
1．(2023 年新课标全国Ⅰ卷)某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从这8 门课中
选修2 门或3 门课，并且每类选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
【答案】64
【解析】：(1)当从8 门课中选修2 门，则不同的选课方案共有
种；
(2)当从8 门课中选修3 门，
①若体育类选修课1 门，则不同的选课方案共有
种；
②若体育类选修课2 门，则不同的选课方案共有
种；
综上所述：不同的选课方案共有
种．
故答案为：64．
2．(2020 年高考课标Ⅱ卷理科)4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个
小区至少安排1 名同学，则不同的安排方法共有__________种．
【答案】
【解析】：
4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个小区至少安
排1 名同学
先取2 名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3 组同学分配到3 个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法
种
故答案为：
．
2
二、填空题
1．(2023 年天津卷)在
的展开式中，
项的系数为_________．
【答案】
【解析】：展开式的通项公式
，
令
可得，
，则
项的系数为
．故答案为：60．
2．(2021 年高考浙江卷·)已知多项式
，则
___________，
___________
【答案】(1)．
; (2)．
．
【解析】:
，
，
所以
，
，所以
故答案为
．
3．(2020 年高考课标Ⅲ卷理科)
的展开式中常数项是__________(用数字作答)．
【答案】
【解析】：
其二项式展开通项：
当
，解得
的展开式中常数项是：
．故答案为：
．
【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握
的
展开通项公式
，考查了分析能力和计算能力，属于基础题．
4．(2020 年浙江省高考数学试卷)设
，则a5=________；a1+a2 +
a3=________．
【答案】(1)．80 (2)．122
【解析】：
的通项为
，令
，则
，
；
5．(2022 新高考全国I 卷·)
展开式中
的系数为________________(用数字作答)．
3
【答案】-28
【解析】：因为
，
所以
的展开式中含
的项为
，
的展开式中
的系数为-28 故答案为：-28
6．(2021 高考天津)在
的展开式中，
的系数是__________．
【答案】160
【解析】：
的展开式的通项为
，
令
，解得
， 所以
的系数是
．故答案
：160．
7．(2021 高考北京)在
的展开式中，常数项为__________．
【答案】
【解析】：
的展开式的通项
令
，解得
， 故常数项为
．
8．(2020 天津高考)在
的展开式中，
的系数是_________．
【答案】10
【解析】因为
的展开式的通项公式为
，令
，解得
．所以
的系数为
．故答案为：
．
9．(2019·浙江·)在二项式
的展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是
．
【答案】
，
【解析】
展开式的通项为
，当
时，可得二项式
展开式的常数项是
．若系数为有理数，则
为偶数即可，故
可取
1,3,4,5,7,9，即
共5 项．
10．(2019·天津·理·)
的展开式中的常数项为 ．
4
【答案】28
【解析】：
的展开式中的常数项为
．
考点02 事件概率
1．(2023 年天津卷)甲乙丙三个盒子中装有一定数量
黑球和白球，其总数之比为
．这三个盒子中
黑球占总数的比例分别为
．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概
率为_________；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_________．
【答案】①．
②．
##
【解析】：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为
，所以总数为
，
所以甲盒中黑球个数为
，白球个数为
；
甲盒中黑球个数为
，白球个数为
；
甲盒中黑球个数为
，白球个数为
；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件
，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件
，
黑球总共有
个，白球共有
个，
所以，
．故答案为：
；
．
2．(2022 年高考全国甲卷数学(理)·)从正方体的8 个顶点中任选4 个，则这4 个点在同一个平面的概率
为________．
【答案】
．
【解析】从正方体的
个顶点中任取
个，有
个结果，这
个点在同一个平面的有
个，故所求概率
．故答案为：
．
3．(2022 年高考全国乙卷数学(理))从甲、乙等5 名同学中随机选3 名参加社区服务工作，则甲、乙都
入选的概率为____________．
【答案】
【解析】：从5 名同学中随机选3 名的方法数为
5
甲、乙都入选的方法数为
，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
4．(2021 高考天津·)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜
对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为
和
，且每次活动
中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为
____________，3 次活动中，甲至少获胜2 次的概率为______________．
【答案】①．
②．
【解析】：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为
；
则在3 次活动中，甲至少获胜2 次的概率为
．故答案为：
；
．
5．(2020 天津高考·)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为
和
．假定两球是否落入盒子互不影响，
则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
【答案】 (1)．
(2)．
【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为
，且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子
概率为
，
甲、乙两球都不落入盒子的概率为
，
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
．故答案为：
；
．
6．(2020 江苏高考·)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2 次，观察向上的点数，则点数和为5 的概
率是_____．
【答案】
【解析】根据题意可得基本事件数总为
个．
点数和为5 的基本事件有
，
，
，
共4 个．
6
∴出现向上的点数和为5 的概率为
．故答案为：
．
7．(2019·上海·)某三位数密码锁，每位数字在
数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是
_______.
【答案】
【解析】法一：
(分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字)
法二：
(分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同)
8．(2019·江苏·第6 题)从3 名男同学和2 名女同学中任选2 名同学参加志愿者服务，则选出的2 名同学
中至少有1 名女同学的概率是 .
【答案】
【解析】从5 名学生中抽取2 名学生，共有10 种方法，其中不含女生的方法有3 种，因此所求概率为
．
考点03 随机事件分布列
1．(2020 年浙江省高考数学试卷)一个盒子里有1 个红1 个绿2 个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，
拿出红球即停，设拿出黄球的个数为
，则
_______；
______．
【答案】(1)．
(2)．
【解析】：因为
对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，
所以
，
随机变量
，
，
，所以
．
2．(2022 年浙江省高考数学试题)现有7 张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7 张卡片中随
机抽取3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为
，则
__________，
_________．
7
【答案】 ①．
， ②．
##
【解析】:从写有数字1,2,2,3,4,5,6 的7 张卡片中任取3 张共有
种取法，其中所抽取的卡片上的数字
的最小值为2 的取法有
种，所以
，
由已知可得
的取值有1，2，3，4，
，
，，
所以
,故答案为：
，
．
3．(2019·全国Ⅰ·理·)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，
决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主” ．设甲队主场取胜的
概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1 获胜的概率是
．
【答案】
【解析】：因为甲队以4：1 获胜，故一共进行5 场比赛，且第5 场为甲胜，前面4 场比赛甲输一场，
若第1 场或第2 场输1 场，则
，
若第3 场或第4 场输1 场，则
，
所以甲以4：1 获胜的概率是
．
4．(2021 年高考浙江卷)袋中有4 个红球m 个黄球，n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为
，
若取出的两个球都是红球的概率为
，一红一黄的概率为
，则
___________，
___________．
【答案】 (1)． 1 (2)．
【解析】:
，所以
，
, 所以
, 则
．
由于
．故答案为1；
．
5．(2022 新高考全国II 卷)．已知随机变量X 服从正态分布
，且
，则
____________．
8
【答案】
【解析】
因
为
，
所
以
，
因
此
． 故答案为：
．
9
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资料提供形式：QQ 群+网盘群（两个群一起，QQ 群每日实时更新，网盘群分类汇总）
资料包含内容：
1、2021 年9 月份到2022 年6 月份高三各地名校卷、各地联考卷、一二模模拟卷
2、2022 年8 月份到2023 年6 月份高三各地名校卷、各地联考卷、一二模模拟卷
3、2023 年8 月份到2024 年6 月份高三各地名校卷、各地联考卷、一二模模拟卷（2023 年
8 月开始，每天实时更新）
4、各科知识点总结、笔记、答题模板
5、全套专题讲义训练、复习讲义
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时间期限：资料持续更新到2024 年6 月高考结束，资料截止更新
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