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专题14 立体几何常见压轴小题全归纳
目 录
01 球与截面面积问题...........................................................................................................................1
02 体积、面积、周长、角度、距离定值问题.....................................................................................6
03 体积、面积、周长、距离最值与范围问题...................................................................................15
04 立体几何中的交线问题.................................................................................................................23
05 空间线段以及线段之和最值问题..................................................................................................27
06 空间角问题....................................................................................................................................31
07 轨迹问题........................................................................................................................................40
08 以立体几何为载体的情境题..........................................................................................................46
09 翻折问题........................................................................................................................................49
01 球与截面面积问题
1．（2023·浙江宁波·统考一模）已知二面角
的大小为
，球
与直线
相切，且平面
、
平面
截球
的两个截面圆的半径分别为、
，则球
半径的最大可能值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设点
在平面
、平面
内的射影点分别为
、
，
设球
切
于点
，连接
、
、
，如下图所示：
因为
平面
，
平面
，则
，
由球的几何性质可知，
，
因为
，
、
平面
，则
平面
，
同理可知，
平面
，
因为过点
作直线
的垂面，有且只有一个，所以，平面
、平面
重合，
因为
平面
，
平面
，则
，同理可知，
，
所以，
、
、
、
四点共圆，
由已知条件可知，
，
，
因为
平面
，
、
平面
，则
，
，
所以，二面角
的平面角为
或其补角.
①当
时，
由余弦定理可得
，故
，
易知，
为
外接圆的一条弦，
所以，球
半径
的最大值即为
外接圆的直径，即为
；
②当
时，
由余弦定理可得
故
，
易知，
为
外接圆的一条弦，
所以，球
半径
的最大值即为
外接圆的直径，即为
.
综上所述，球
的半径的最大可能值为
.
故选：D.
2．（2023·海南海口·海南中学校考二模）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一
个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，
为圆柱上下底面
的圆心，
为球心，
为底面圆
的一条直径，若球的半径
，则平面DEF 截球所得的截面面积最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由球的半径为，可知圆柱的底面半径为，圆柱的高为
，过
作
于
，如图所示：
则由题可得
，
设平面
截得球的截面圆的半径为
，
当EF 在底面圆周上运动时，
到平面
的距离
所以
所以平面
截得球的截面面积最小值为
，
故D 正确；
故选：D.
3．（2023·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球O 是正三棱锥
（底面是正三角
形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，
，
，点E 是线段BC 的中点，过点E 作
球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图：
是
在底面的射影，由正弦定理得，
的外接圆半径
.
由勾股定理得棱锥的高
设球
的半径为
，
则
，解得
，
所以
，即
与
重合，
所以当过点E 作球O 的截面垂直于
时，截面面积最小，
此时截面半径为
，截面面积为
.
故选：A.
4．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在正方体
中，
分别为
的中点，
该正方体的外接球为球
，则平面
截球
得到的截面圆的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，连接
，由题意易知
，
，故四边形
为平行四边形.
设
，取
的中点
，连接
，
在Rt
中，
，
故点
到
的距离为
，故点
到
的距离为
，
因此圆心
到平面
的距离为
.由题易知球
的半径
，
故平面
截球
得到的截面圆的半径
，故截面圆的面积
.
故选：D
02 体积、面积、周长、角度、距离定值问题
5．（多选题）（2021•新高考Ⅰ）在正三棱柱
中，
，点
满足
，
其中
，
，
，
，则
A．当
时，△
的周长为定值
B．当
时，三棱锥
的体积为定值
C．当
时，有且仅有一个点
，使得
D．当
时，有且仅有一个点
，使得
平面
【答案】
【解析】对于
，当
时，
，即
，所以
，
故点
在线段
上，此时△
的周长为
，
当点
为
的中点时，△
的周长为
，
当点
在点
处时，△
的周长为
，
故周长不为定值，故选项
错误；
对于
，当
时，
，即
，所以
，
故点
在线段
上，
因为
平面
，
所以直线
上的点到平面
的距离相等，
又△
的面积为定值，
所以三棱锥
的体积为定值，故选项
正确；
对于
，当
时，取线段
，
的中点分别为
，
，连结
，
因为
，即
，所以
，
则点
在线段
上，
当点
在
处时，
，
，
又
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，即
，
同理，当点
在
处，
，故选项
错误；
对于
，当
时，取
的中点
，
的中点
，
因为
，即
，所以
，
则点
在线的
上，
当点
在点
处时，取
的中点
，连结
，
，
因为
平面
，又
平面
，所以
，
在正方形
中，
，
又
，
，
平面
，
故
平面
，又
平面
，所以
，
在正方体形
中，
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
因为过定点
与定直线
垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点
，使得
平面
，故选项
正确．
故选：
．
6．（2023·全国·高三专题练习）正三棱柱
的各条棱的长度均相等，
为
的中点，
，
分别是线段
和线段
上的动点含端点，且满足
，当
，
运动时，下列结论正确的是
（ ）
A．在
内总存在与平面
平行的线段
B．平面
平面
C．三棱锥
的体积为定值
D．
可能为直角三角形
【答案】ABC
【解析】取
、
的中点
、
，连接
、
、
.
对于A 选项，
且
，
，
，且
，
易知四边形
为梯形或平行四边形，
因为
、
分别为
、
的中点，所以，
，则
，
且
，
为
的中点，
，
所以，四边形
为平行四边形，
，
平面
，
平面
，
平面
，A 选项正确；
对于B 选项，
为等边三角形，
为
的中点，则
，
平面
，
平面
，
，
，
平面
，
，
平面
，
平面
，因此，平面
平面
，B 选项正确；
对于C 选项，因为
的面积为定值，
，
平面
，
平面
，所以，
平面
，
因为
，所以，点
到平面
的距离为定值，进而可知，三棱锥
的体积为定值，C 选
项正确；
对于D 选项，
平面
，
平面
，
，
为
的中点，则
，
若
为直角三角形，则
为等腰直角三角形，则
，
设正三棱柱
的棱长为
，则
，则
，
因为
，故
，所以，
不可能为直角三角形，D 选项错误.
故选：ABC.
7．（2023·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）如图，在棱长为的正方体
中，
为线段
上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（ ）
A．三棱锥
外接球表面积为
B．三棱锥
的体积为定值
C．过点
平行于平面
的平面被正方体
截得的多边形的面积为
D．直线
与平面
所成角的正弦值的范围为
【答案】ABD
【解析】对于A 选项，三棱锥
外接球即为正方体
的外接球，
正方体
的外接球直径为
，
故三棱锥
外接球的表面积为
，A 对；
对于B 选项，因为
且
，故四边形
为平行四边形，
所以，
，
平面
，
平面
，
平面
，
，所以点
到平面
的距离等于点
到平面
的距离，
，
，B 对；
对于C 选项，
且
，则四边形
为平行四边形，
所以，
，
平面
，
平面
，所以，
平面
，
又因为
平面
，
，所以，平面
平面
，
所以，过点
平行于平面
的平面被正方体
截得的多边形为
，
易知
是边长为
的等边三角形，该三角形的面积为
，C 错；
设点
到平面
的距离为，由
知，
点
到平面
的距离为
，
当点
在线段
上运动时，因为
，若
为
的中点时，
，
，
当点
为线段
的端点时，
，即
，
设直线
与平面
所成角为
，
，D 正确.
故选：ABD．
8．（2023·广东实验中学高一期中）已知正四面体
的棱长为，其外接球的球心为
．点
满足
，过点
作平面
平行于
和
，设
分别与该正四面体的棱
、
、
相交
于点
、
、
，则（ ）
A．四边形
的周长为定值
B．当
时，四边形
为正方形
C．当
时，
截球
所得截面的周长为
D．
，使得四边形
为等腰梯形
【答案】ABC
【解析】对于A 选项，因为
平面
，
平面
，平面
平面
，
，同理可得
，所以，
，同理
，
所以，四边形
为平行四边形，则
，
，
因为
，则
，同理
，
所以，
，因此，四边形
的周长为定值，A 对；
对于B 选项，取线段
的中点
，连接
、
，
因为
，
为
的中点，所以，
，同理
，
因为
，所以，
平面
，
平面
，
，
当
时，则
，
因为
，
，
，
，
所以，四边形
为正方形，B 对；
对于C 选项，将正四面体
补成正方体
，
则正方体
的棱长为
，
该正方体的体对角线为
，
所以，线段
的中点
为正四面体
的外接球球心，则球
的半径为
，
因为
且
，则四边形
为平行四边形，所以，
，
因为
，
平面
，
平面
，
平面
，
因为
，则
，因为
平面
，
平面
，
平面
，
因为
，所以，平面
平面
，
设平面
分别交棱
、
、
、
于点
、
、
、
，连接
、
、
、
，
因为平面
平面
，平面
平面
，平面
平面
，
，
同理
，因为
，
，同理
，
所以四边形
为平行四边形，
，
，则
，则
，
，
因为点
到平面
的距离为
，
易知平面
与平面
之间的距离为
，
所以，球心
到平面
的距离为
，
所以，球
被平面
所截的圆的半径为
，
因此，当
时，
截球
所得截面的周长为
，C 对；
对于D 选项，由A 选项可知，四边形
必为平行四边形，D 错.
故选：ABC.
9．（2023·江苏苏州·模拟预测）在棱长为1 的正方体
中，点P 满足
，
，
，则（ ）
A．当
时，
B．当
时，三棱锥
的体积为定值
C．当
时，
的最小值为
D．当
时，存在唯一的点P，使得点P 到
的距离等于到
的距离
【答案】ABD
【解析】当
时，
的轨迹为线段
，连接
，则
，
又
平面
，
，
∴
平面
，
，
同理可得
，
故
平面
，
平面
，所以
，故A 正确；
当
时，点
的轨迹为线段
（
为
的中点），直线
平面
，故三棱锥
的体积
为定值，故B 正确；
当
时，
点轨迹为线段
，将三角形
旋转至平面
内，可知
，由余弦
定理可得
，故C 错误；
当
时，
点轨迹为以
为为圆心，1 为半径的四分之一圆弧
，
由点P 到
的距离等于到
的距离，即点P 到点
的距离等于到
的距离，
则
点轨迹为以
为焦点，以
为准线的抛物线上，
故存在唯一的点P，使得点P 到
的距离等于到
的距离，故D 正确.
故选：ABD．
03 体积、面积、周长、距离最值与范围问题
10．（2022•乙卷）已知球
的半径为1，四棱锥的顶点为
，底面的四个顶点均在球
的球面上，则当该
四棱锥的体积最大时，其高为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】对于圆内接四边形，如图所示，
，
当且仅当
，
为圆的直径，且
时，等号成立，此时四边形
为正方形，
当该四棱锥的体积最大时，底面一定为正方形，设底面边长为
，底面所在圆的半径为
，
则
，
该四棱锥的高
，
该四棱锥的体积
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
该四棱锥的体积最大时，其高
，
故选：
．
11．（2022•新高考Ⅰ）已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为
，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】
【解析】如图所示，正四棱锥
各顶点都在同一球面上，连接
与
交于点
，连接
，则
球心
在直线
上，连接
，
设正四棱锥的底面边长为
，高为
，
在
中，
，即
，
球
的体积为
，
球
的半径
，
在
中，
，即
，
，
，
，又
，
，
该正四棱锥体积
，
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
（4）
，
又
，
，且
，
，
即该正四棱锥体积的取值范围是
，
，
故选：
．
12．（2023·四川省内江市第六中学高二期中）已知四面体
的所有棱长均为
，
分别为棱
的中点，
为棱
上异于
的动点．有下列结论：
①线段
的长度为； ②点
到面
的距离范围为
；
③
周长的最小值为
； ④
的余弦值的取值范围为
．
其中正确结论的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
四面体
所有棱长均为
，
四面体
为正四面体；
对于①，作
平面
，垂足为
，
四面体
为正四面体，
为
的中心，
且
；
取
中点
，连接
，则
，
且
平面
；
，
，
；
平面
，
平面
，
，
，①正确；
对于②，在
上取点
，使得
，则
，
，
则以
为坐标原点，
正方向为
轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量
，
则
，令
，解得：
，
，
，
点
到平面
的距离
，
令
，则
，
，
，
，即点
到平面
的距离的取值范围为
，②正确；
对于③，将等边三角形
与
沿
展开，可得展开图如下图所示，
则
（当且仅当
为
中点时取等号），
四边形
为菱形，
分别为
中点，
，
，
则在四面体
中，
周长的最小值为
，③正确；
对于④，设
为
中点，若点
在线段
上，设
，则
，其中
，
在
中，
；
在
中，同理可得：
，
；
当
时，
；
当
时，
，
，
，
；
的取值范围为
；
同理可得：当
在线段
上时，
的取值范围为
；
综上所述：
的余弦值的取值范围为
，④正确.
故选：D.
13．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为
的正方体
，棱
中点为
，动点
、
、
分别满足：点
到异面直线
、
的距离相等，点
使得异面直线
、
所成角正弦值为定值
，点
使得
．当动点
、
两点恰好在正方体侧面
内时，则多面体
体积最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意
都在平面
内，其中
为定点.
点
到异面直线
、
的距离相等，
在正方体中，
平面
, 故连接
,有
,所以
为点
到直线
的距离.
所以在平面
上，点
满足到点
的距离等于到直线
的距离.
所以动点
的轨迹是为以
为焦点，以
为准线的抛物线在正方体侧面
内的部分．
由
，所以异面直线
、
所成角为
（或其补角）
在正方体中，
平面
,又
平面
，所以
所以
,又
所以
，则
所以
，即动点
的轨迹是为以
为圆心，
为半径的
圆．
在四边形
中，
,又
在平面
内，取
的中点
，连接
,以
为
轴，
为
轴
则直线
的方程为：
，即
，
则点
到直线
的距离的最值为：
所以
的最小值为
.
动点
的轨迹方程为：
，设
所以点
到直线
的距离
（当
时取得等号）
所以
面积最小值
所以四边形
面积
点
满足
，又
.
所以点
在以
为弦的劣弧上，由
，则圆心角为
. 其半径为2，圆心到
的距离为
.
所以圆弧上的点到
的距离的最大值为
.
当劣弧所在的平面垂直于平面
时，圆弧上的点到平面
的距离最小值为
所以动点
到面
距离最小值为
，
所以多面体
体积最小值为
故选：A
04 立体几何中的交线问题
14．（2023·四川成都·高三校联考期末）在正方体
中，
为线段
的中点，设平面
与平面
的交线为
，则直线
与
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设正方体
的棱长为2，
以点A 为坐标原点，AB、AD、
所在直线分别为x、y、z 轴建系，如图所示：
则
、
、
、
、
．
设平面
的法向量为
，
，
，
由
，
取
可得
；
设平面
的法向量为
，
，
，
由
，
取
可得
，
设直线
的方向向量为
，
∵直线
平面
，直线
平面
，
，
，
∴
，
取
可得
，
已知
，设直线
与
所成角为
，
，
即直线
与
所成角的余弦值为
，
故选：B．
15．（2023·河北保定·高三统考期末）已知三棱锥
的所有棱长均为2，以BD 为直径的球面与
的交线为L，则交线L 的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】取BD 的中点为
，所以
为球心，过
作
平面
于点
，
即
为
的中心，延长
交所以
交
于点
，则
为
的中点，
所以
，
，
取
的中点
，连接
，
，则
平面
，
因为
平面
，即
，且
，
，
所以
为以BD 为直径的球面上一点，
分别取
的中点
，连接
，
且
，所以
也为以BD 为直径的球面上一点，
则
为等边三角形，
的外接圆即为四边形
的外接圆，
为外接圆的半径，所以
，
所以以BD 为直径的球面与
的交线L 长为
外接圆周长的
，
所以
.
故选：A.
16．（2023·安徽·统考一模）安徽徽州古城与四川阆中古城､山西平遥古城､云南丽江古城被称为中国四大
古城.徽州古城中有一古建筑，其底层部分可近似看作一个正方体
.已知该正方体中，点
分别是棱
的中点，过
三点的平面与平面
的交线为，则直线与直线
所成角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
如图所示，在平面
中，连接
与
交于
，则
，
在平面
中，连接
与
交于
，则
，
则
为平面
与平面
的交线，且
，
而在等边
中
与
所成的角为
，
故与直线
所成角
.
故选：
05 空间线段以及线段之和最值问题
17．（2023·河北·高一校联考期末）已知四棱锥
的底面
是边长为2 的正方形，
底面
，
，则四棱锥
外接球表面积为 ；若点
是线段
上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图，
设
中点为O，
由
底面
，
底面
，所以
,
又
，
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，同理可得
，
因为
，
，所以
，
所以在
中，
，
所以O 为四棱锥
外接球的球心，
为该球半径，
所以其表面积为
；
将
绕AC 翻折到与
所在面重合，此时
运动到
处，连接
，交AC 于点Q，如图，
此时
最小，因为
，
，
所以
，又
，
，
所以
.
所以
的最小值为
.
故答案为：
；
18．（2023·浙江绍兴·高一统考期末）直三棱柱
中，
，
，
、
分
别为线段
、
的动点，则
周长的最小值是 .
【答案】
/
【解析】如下图所示：
将面
、面
沿着
延展为一个平面，
将面
、面
沿着
延展为一个平面，连接
,
此时，线段
的长即为
周长的最小值，
则
，
，
由于
，
，
，则
，
延展后，则四边形
为矩形，
因为
，
，则
为等腰直角三角形，所以，
，
延展后，则
，
由余弦定理可得
.
故答案为：
.
19．（2023·广西玉林·统考二模）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在
鳖臑PABC 中，
平面ABC，
，AB＝3，
，PA＝4，D，E 分别为棱PC，PB 上一点，
则AE＋DE 的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为
平面ABC，
平面
，所以
，又
，
，
平面
，所以
平面
，
平面
，则
．因为
平面ABC，
平面
，
所以
，则PB＝5，
．设
，
，
，
，
，
．如图，将
沿着PB 转动到P，A，B，C 四点共面，此时
，
过A 作
于H，则AE＋DE 的最小值为
．
故答案为：
.
20．（2023·北京门头沟·统考一模）在正方体
中，棱长为，已知点
、
分别是线段
、
上的动点（不含端点）.
①
与
垂直；
②直线
与直线
不可能平行；
③二面角
不可能为定值；
④则
的最小值是
.
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①④
【解析】对于①，因为
，则
、
、
、
四点共面，
因为四边形
为正方形，则
，
因为
平面
，
平面
，则
，
因为
，
、
平面
，所以，
平面
，
因为
平面
，所以，
，①对；
对于②，当
、
分别为
、
的中点时，
，
又因为
，此时
，②错；
对于③，因为
、
，平面
即为平面
，平面
即为平面
，
所以，二面角
即为二面角
，
而二面角
为定值，
故二面角
为定值，③错；
对于④，因为
平面
，
平面
，则
，同理可得
，
因为
，同理可得
，
，
将
和
延展至同一平面，如下图所示：
在
中，
，
，
因为
，
，
，所以，
，
所以，
，故
，
所以，
，
当
时，
取最小值，且最小值为
，④对.
故答案为：①④.
06 空间角问题
21．（2022•浙江）如图，已知正三棱柱
，
，
，
分别是棱
，
上的点．
记
与
所成的角为
，
与平面
所成的角为
，二面角
的平面角为
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
正三棱柱
中，
，
正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1，
如图，过
作
，垂足点为
，连接
，则
，
与
所成的角为
，且
，
又
，
，
，
，
与平面
所成的角为
，且
，
，
，
①，
再过
点作
，垂足点为
，连接
，
又易知
底面
，
底面
，
，又
，
平面
，
二面角
的平面角为
，且
，又
，
，
，
，
，
②，
又
，
，
③，
由①②③得
，又
，
，
，
，
在
，
单调递增，
，
故选：
．
22．（2022•甲卷）在长方体
中，已知
与平面
和平面
所成的角均为
，
则
A．
B．
与平面
所成的角为
C．
D．
与平面
所成的角为
【答案】
【解析】如图所示，连接
，
，不妨令
，
在长方体
中，
面
，
面
，
所以
和
分别为
与平面
和平面
所成的角，
即
，
所以在
中，
，
，
在
中，
，
，
所以
，
，
，
故选项
，
错误，
由图易知，
在平面
上的射影在
上，
所以
为
与平面
所成的角，
在
中，
，
故选项
错误，
如图，连接
，
则
在平面
上的射影为
，
所以
为
与平面
所成的角，
在
△
中，
，所以
，
所以选项
正确，
故选：
．
23．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图，斜三棱柱
中，底面
是正三角形，
分别
是侧棱
上的点，且
，设直线
与平面
所成的角分别为
，平面
与底面
所成的锐二面角为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图：延长EF，AB 交于M，延长EG，AC 交于N，延长FG，BC 交于D，易得MN 为平面ABC 和平面
EFG 的交线，
又D 在平面ABC 和平面EFG 上，则D 在直线MN 上，即M，N，D 三点共线，由外角定理可得
.
过A 作
面EFG，垂足为P，过A 作
，垂足为Q，连接
，易得
即为直线
与
平面
所成的角
，
则
，又
面EFG，
面EFG，则
，又
，
面
，
，
所以
面
，
面
，则
，则
即为平面
与底面
所成的锐二面角
，
则
，
又
，则
，同理可得
，则
，
又由
，
，
则
，
故
，A，C 错误；
故
，由
可知
，所以
，
即
，整理可得
，
即
，即
，
故
，又
，故
，
B 正确，D 错误.
故选：B.
24．（2023·浙江·高三专题练习）在三棱锥
中，顶点P 在底面的射影为
的垂心O（O 在
内部），且PO 中点为M，过AM 作平行于BC 的截面
，过BM 作平行于AC 的截面
，记
，
与底面ABC 所成的锐二面角分别为
，
，若
，则下列说法错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
可能值为
D．当
取值最大时，
【答案】C
【解析】
如图所示，连接延长
交
与
，连接延长
交
与
，设平面
平面
顶点P 在底面的射影为
的垂心
，
平面
，平面
平面
则有：直线
与平行
又
，则
平面
，则
又
则
平面
从而
故
为
与平面
的二面角，即
同理可得：
对选项A，
，又
，则有：
可得：
与
全等，则
又根据
是
的垂心，则，
综上可得：直线
垂直并平分线段
可得：
，故选项A 正确；
对选项B，易知有如下角关系：
又
，则有：
可得：
解得：
则
，故选项B 正确；
对选项C，若
，则有：
则有：
化简后可得：
令
，则有：
则有：
，此时方程无解，故选项C 错误；
对选项D，设
（
），则有：
可化简为：
令
，则有：
则有：
解得：
故
取得最大值时，
，此时
同理可得：
故
，且
则有：
，故选项D 正确；
故选：C
25．（2023·全国·高二课时练习）已知正方体
的棱长为3，
为棱
上的靠近点
的三等
分点，点
在侧面
上运动，当平面
与平面
和平面
所成的角相等时，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图1，
为棱
上靠近
的三等分点，由正方体的对称性可知平面
与平面
和平
面
所成角相等，取棱AB 上靠近B 的三等分点E，取棱DC 上的三等分点N,M，容易证明：
，则
共面，即平面
与平面
和平面
所成角相等，于是点P 在
线段FN 上.
如图2，过点
作
垂直于FN 于
，容易知道当P 位于
时，
最小.
如图3，由勾股定理可以求得
，由等面积法，
.
故选：A.
07 轨迹问题
26．（2023·全国·高三专题练习）已知正方体
的棱长为
，
，
分别为
，
的中
点，点
在平面
中，
，点
在线段
上，则下列结论正确的个数是（ ）
①点
的轨迹长度为
；
②线段
的轨迹与平面
的交线为圆弧；
③
的最小值为
；
④过
、
、
作正方体的截面，则该截面的周长为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
的中点为
，则点
的轨迹是平面
上以
为圆心，以2 为半径的圆，所以点
的
轨迹长度为
，故①错误；
连接
，易知线段
的轨迹是圆锥
的侧面，而平面
与轴
不垂直，所以线段
的轨迹与
平面
的交线不是圆弧，故②错误；
以
的中点
为原点，分别以
水平向右、垂直平分
为
轴、
轴建立平面直角坐标系，则
所在的直线方程为
，则点
到直线
的距离为
，所以
的最小值为
，故③正确；
如下图，过
作正方体的截面，为五边形
，其中
为
的靠近
的三等分点，
为
的靠近
的四等分点.
可计算得
，
，
所以该截面的周长为
，故④错误.
故选：D.
27．（2023·江西·模拟预测）已知正方体
的棱长为3，点P 在
的内部及其边界上运
动，且
，则点P 的轨迹长度为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】连接
、
、
，
则
，
，
，
∴
⊥平面
，∴
，
同理
，∴
平面
．
设
，连接BE 交
于O，
由△BOD∽△
且BD=
可知OD=
，则
，
连接OP，则
，∴
，
可得点P 的轨迹为以点O 为圆心，
为半径的圆在
内部及其边界上的部分，
OB=2OE，E 为
中点，及△
为等边三角形可知O 为△
中心，
OE=
，如图：
，
，
，
则∠OFE=∠
=
，∴OF∥
，同理易知OG∥
，
故四边形
是菱形，则
∴
的长度为
，故点P 的轨迹长度为
．
故选：A．
28．（2023·重庆·模拟预测）已知棱长为3 的正四面体
，
是空间内的任一动点，且满足
，E 为AD 中点，过点D 的平面
平面BCE，则平面
截动点P 的轨迹所形成的图形的面积为
（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
【答案】C
【解析】设
的外心为
，过
点作
的平行线，以
为坐标原点，建立的空间直角坐标系，
如图所示，因为
，所以
，
，
则
，设
，
由
，可得
，
整理得
，
所以动点
的轨迹为以
为球心，半径为
的球及球的内部，
分别延长
到点
，使得
，
可得
，可证得
平面
，
平面
，
又由
，所以平面
平面
，即平面
为平面
，
如图（1）所示，过
点作
，可得证得
平面
，
即
为点
到平面
的距离，
连接
，根据面面平行的性质，可得
，
在直角
中，可得
，
在直角
中，可得
，
所以
，即截面圆的半径为
，
所以球与平面
的截面表示半径为
的圆面，其面积为
.
故选：C.
29．（2023·浙江·模拟预测）在棱长为
的正方体
中，P 为侧面
内的动点，且直
线
与
的夹角为30°，则点P 的轨迹长为___________；若点
与动点P 均在球O 表面上，球O 的表
面积为___________．
【答案】
【解析】
①
与
的夹角为30°，
，
∴
与
的夹角为30°，
即
，
平面
，
∴
，
则
，
P 点轨迹长度
．
②
，
， P 都在球O 上，
O 在
上，
令半径为R，
，
，
，
∴
．
故答案为：
；
.
30．（2023·江苏无锡·高三期末）正四面体
的棱长为
，在平面
内有一动点
，且满足
，则
点的轨迹是__________；设直线
与直线
所成的角为
，则
的取值范围为
__________.
【答案】 圆
【解析】设底面
的中心为
，则
平面
，
，
,
由
，
则
，
点轨迹是圆；
又
，
如图在平面BCD 内建立平面直角坐标系，以BC 中点为原点，过点O 和BC 垂直的直线为y 轴，
则
，
，
故
在
上运动，
则可设
，
,
，
故
，
故答案为：圆；
08 以立体几何为载体的情境题
31．（2023·河北·高三校联考期末）由空间一点
出发不共面的三条射线
，
，
及相邻两射线所
在平面构成的几何图形叫三面角，记为
．其中
叫做三面角的顶点，面
，
，
叫做
三面角的面，
，
，
叫做三面角的三个面角，分别记为
，
，
，二面角
、
、
叫做三面角的二面角，设二面角
的平面角大小为
，则一
定成立的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，
，
，
在
上取一点
，过
在平面
内作
，交
于
，
过
在平面
内作
，交
于
，连接
，
则
是二面角
的平面角，即
.
设
，在直角三角形
中，
，
在直角三角形
中，
，
，
在
中，
，
在
中，
，
即为
，
所以
.
故选：A.
32．（2023·辽宁沈阳·统考一模）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规
定：多面体顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度
用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八
面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】正八面体每个面均为等比三角形，且每个面的面角和为
，该正面体共个顶点，
因此，该正八面体的总曲率为
.
故选：B.
33．（2023·山西长治·高三统考阶段练习）设P 为多面体M 的一个顶点，定义多面体M 在P 处的离散曲率
为
为多面体M 的所有与点P 相邻的顶点，
且平面
，
，……，
遍及多面体M 的所有以P 为公共点的面如图是正四面体、正八面体、
正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d 的大小关系
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于正四面体，其离散曲率为
，
对于正八面体，其离散曲率为
，
对于正十二面体，其离散曲率为
，
对于正二十面体，其离散曲率为
，
则
，
所以
.
故选：B.
09 翻折问题
34．（2023·江苏南京·高一南京师大附中校考阶段练习）如图，在菱形
中，
，
为
的中点，将
沿直线
翻折成
，连接
和
，
为
的中点，则在翻折过程中，下列
说法中错误的是（ ）
A．
B．不存在某个位置，使得
//平面
C．存在某个位置，使得
D．
与
的夹角为
【答案】C
【解析】设
，对于A：因为四边形
为菱形，
，
所以
，则
是等边三角形，
又因为
为
中点，所以
，即
，
因为
，又因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，因为
平面
，所以
，故A 正确；
对于B：连接
，
，设
交
为
，连接
，当
//平面
时，
平面
，
平面
，所以
//
，
因为
为
的中点，所以
为
的中点，又
//
，所以
∽
，
所以
，矛盾，所以不存在某个位置，使得
//平面
，故B 正确；
对于D：取
的中点
，连接
，
，
则
//
，则
（或补角）就是
与
所成的角，
又
//
，
，所以四边形
为平行四边形，所以
//
，
所以
，因为
平面
，
平面
，所以
，
，
，所以
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，则
与
所成角为
，故D 正确；
对于C，连接
，若
，则
，又
，
所以
，在
中，
，所以
，
又
，则
，矛盾，故不存在某个位置，使得
，故C 错误.
故选：C
35．（2023·浙江衢州·高一统考期末）在矩形
中，
，
为
的中点，将
和
沿
，
翻折，使点
与点
重合于点
，若
，则三棱锥
外接球的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
.
又
平面PAD，
平面PAD，所以MP⊥平面PAD.
设△ADP 的外接圆的半径为r，则由正弦定理可得
，即
，
所以
，设三棱锥M-PAD 的外接球的半径为R，则
，
所以外接球的表面积为
.
故选：B
36．（2023·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期中）已知正方形
的边长为
，现将△
沿对
角线
翻折，得到三棱锥
.记
的中点分别为
，则下列结论错误的是（ ）
A．
与平面
所成角的范围是
B．三棱锥
体积的最大值为
C．
与
所成角的范围是
D．三棱锥
的外接球的表面积为定值
【答案】C
【解析】对于A，如图，取
，
的中点为
，
，连接
，
，
，
，
则可得
，
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理可证得
平面
，又
、
平面
，
，
所以平面
平面
，
依题意可得
，
，
，所以
平面
，
所以
平面
，因为
，所以
平面
，
所以
即为直线
与平面
所成的角，
在折叠过程中，设
，则
，
由
，
为
，
的中点，所以
，
在
中，可得
，
所以
的取值范围是
，即
与平面
所成角的范围是
，
所以A 正确；
对于B，当平面
平面
时，点
到平面
的距离最大，
即三棱锥
高的最大值为
，
此时三棱锥
的最大体积为
，
所以B 正确；
对于C，因为
，所以
为异面直线
与
所成的角，
所以
，
所以
的取值范围是
，所以C 错误；
对于D，由
，所以三棱锥
的外接球的球心为
，
即外接球半径
，所以三棱锥
的外接球的表面积为
为定值，
所以D 正确.
故选：C
37．（2023·全国·高三对口高考）如图，已知矩形
，
．将
沿矩形的对角线
所在的直线进行翻折，在翻折过程中，（ ）
A．对任意位置，三组直线“
与
”，“
与
”，“
与
”均不垂直
B．存在某个位置，使得直线
与直线
垂直
C．存在某个位置，使得直线
与直线
垂直
D．存在某个位置，使得直线
与直线
垂直
【答案】D
【解析】在平面
内，作
于E，作
于F，连接
.
对于选项B，假设存在某个位置，使得直线
与直线
垂直.
连接
，由
，
平面
，可得
平面
，又
平面
，
则
，这与平面
内
矛盾，
故假设不成立，则不存在某个位置，使得直线
与直线
垂直.判断错误；
对于选项C，假设存在某个位置，使得直线
与直线
垂直.
由
，
，
平面
，可得
平面
，又
平面
，
则
，则
为
的斜边，则
，
这与
矛盾.
故假设不成立，则不存在某个位置，使得直线
与直线
垂直.判断错误；
对于选项D，假设存在某个位置，使得直线
与直线
垂直.
由
，
，
平面
，可得
平面
，又
平面
，
则
，又
，则
，
又
中，
，
则
，
中，
则
中，
，
，
，三边长可以构成三角形.
故假设成立，即存在某个位置，使得直线
与直线
垂直.
则选项D 判断正确；选项A 判断错误.
故选：D
