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专题14 圆锥曲线（选填题8 种考法）
考法一 曲线的定义及应用
【例1-1】（2023·北京·统考高考真题）已知抛物线
的焦点为
，点
在
上．若
到直线
的距离为5，则
（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】D
【解析】因为抛物线
的焦点
，准线方程为
，点
在
上，
所以
到准线
的距离为
，
又
到直线
的距离为，
所以
，故
.
故选：D.
【例1-2】．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知椭圆C：
的左右焦点分
､
别是
，
，
为椭圆C 上一点，则下列结论不正确的是（ ）
A．
的周长为6
B．
的面积为
C．
的内切圆的半径为
D．
的外接圆的直径为
【答案】D
【解析】由题意知，
，
，
，
由椭圆的定义知，
，
，
∴
的周长为
，即A 正确；
将
代入椭圆方程得
，解得
，
∴
的面积为
，即B 正确；
设
的内切圆的半径为r，则
，
即
，∴
，即C 正确；
不妨取
，则
，
，
∴
的面积为
，
即
，∴
，
由正弦定理知，
的外接圆的直径
，即D 错误，
故选:D.
【变式】
1．（2023·河南开封·统考三模）已知点
是椭圆
上一点，椭圆的左、右焦点分别为
、
，且
，则
的面积为（ ）
A．6
B．12
C．
D．
【答案】C
【解析】由椭圆
，得
，
，
.
设
，
，
∴
，在
中，由余弦定理可得：
，
可得
，得
，故
.故选：C.
2．（2023·全国·统考高考真题）设
为椭圆
的两个焦点，点
在
上，若
，
则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．5
【答案】B
【解析】方法一：因为
，所以
，
从而
，所以
．
故选：B.
方法二：
因为
，所以
，由椭圆方程可知，
，
所以
，又
，平方得：
，所以
．
故选：B.
3．（2023·北京·101 中学校考三模）已知
分别是双曲线
的左右焦点，
是
上的
一点，且
，则
的周长是 ．
【答案】34
【解析】因为
，所以
，
故
，则
，
又
，故
，则
，
，
所以
的周长为
.
故答案为：34.
4．（2023·全国·模拟预测）已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，点
在双曲线上，
且
，
的面积为8，则
到双曲线的渐近线的距离为 .
【答案】2
【解析】由题意及双曲线的定义知
，则
，
由余弦定理可得
，
所以
，
因为
，所以
，
，
因为
的面积为8，所以
，
所以
，所以
，
因为点
到该双曲线渐近线
的距离为
，
所以点
到该双曲线渐近线的距离为2.
故答案为：2.
考法二 曲线的标准方程
【例2-1】（2022·天津·统考高考真题）已知抛物线
分别是双曲线
的左、
右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点
，与双曲线的渐近线交于点A，若
，则双曲线的标
准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】抛物线
的准线方程为
，则
，则
、
，
不妨设点
为第二象限内的点，联立
，可得
，即点
，
因为
且
，则
为等腰直角三角形，
且
，即
，可得
，
所以，
，解得
，因此，双曲线的标准方程为
.
故选：C.
【例2-2】（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆
的离心率为
，
分别为C 的
左、右顶点，B 为C 的上顶点．若
，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为离心率
，解得
，
，
分别为C 的左右顶点，则
，
B 为上顶点，所以
.
所以
，因为
所以
，将
代入，解得
，
故椭圆的方程为
.
故选：B.
【例2-3】（2022·全国·统考高考真题）过四点
中的三点的一个圆的方程为
．
【答案】
或
或
或
．
【解析】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为
，
（1）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（2）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（3）若过
，
，
，则
，解得
，
所以圆的方程为
，即
；
（4）若过
，
，
，则
，解得
，所以圆的方程为
，即
；
故答案为：
或
或
或
．
[方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心）
设
（1）若圆过
三点，圆心在直线
，设圆心坐标为
，
则
，所以圆的方程为
；
（2）若圆过
三点， 设圆心坐标为
，则
，所以圆
的方程为
；
（3）若圆过
三点，则线段
的中垂线方程为
，线段
的中垂线方程 为
，
联立得
，所以圆的方程为
；
（4）若圆过
三点，则线段
的中垂线方程为
， 线段
中垂线方程为
，联立得
，所以圆的方程为
．
故答案为：
或
或
或
．
【例2-4】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线
的焦点为
，准线为，点
是抛物线
上一点，
于
.若
，则抛物线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，连接
，设准线与
轴交点为
抛物线
的焦点为
，准线：
又抛物线的定义可得
，又
，所以
为等边三角形，
所以
，
所以在
中，
，则
，所以抛物线
的方程为
.
故选：C.
【变式】
1．（2023·吉林白山·统考模拟预测）若抛物线
的焦点到准线的距离为3，且
的开口朝左，则
的标准
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意可设
的标准方程为
，
因为
的焦点到准线的距离为3，所以
，
所以
的标准方程为
.
故选：A
2．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知双曲线
的左顶点与抛物线
的焦点的距离为3，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为
，则双曲
线的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为
，
故抛物线的准线方程为
，即抛物线焦点为
，
渐近线方程
过
，则
，
双曲线的左顶点与抛物线焦点距离是，则左顶点为
，即
.
故双曲线方程为
.
故选：B.
3（2023·全国·校联考模拟预测）已知椭圆
的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点
分别为
，
，延长
交椭圆E 于点P．若点A 到直线
的距离为
，
的周长为16，则椭
圆E 的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意，得
，
，
，则直线
的方程为
，
所以点A 到直线
的距离
①．
由
的周长为16，得
，即a+c=8②，
联立①②，解得
③．
因为
，所以
④．
联立②④，解得a=6，c=2，所以
，
故椭圆E 的标准方程为是
.
故选：B．
4．（2022·全国·统考高考真题）设点M 在直线
上，点
和
均在
上，则
的方
程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：三点共圆
∵点M 在直线
上，
∴设点M 为
，又因为点
和
均在
上，
∴点M 到两点的距离相等且为半径R，
∴
，
，解得
，
∴
，
，
的方程为
.
故答案为：
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4 与直线
的交点(1,-1).
,
的方程为
.
故答案为：
5．（2023·北京·统考高考真题）已知双曲线C 的焦点为
和
，离心率为
，则C 的方程为
．
【答案】
【解析】令双曲线
的实半轴、虚半轴长分别为
，显然双曲线
的中心为原点，焦点在x 轴上，其半
焦距
，由双曲线
的离心率为
，得
，解得
，则
，
所以双曲线
的方程为
.故答案为：
考法三 离心率
【例3-1】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，点
是椭圆短轴的一个端点，且
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知
，
，
在
中，由余弦定理得
，化简得
，
则
，所以
，
故选：C.
【例3-2】．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知
为双曲线
：
的右焦
点，平行于
轴的直线分别交
的渐近线和右支于点
，
，且
，
，则
的
离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】双曲线
：
的渐近线方程为
.
设
，联立方程组
，解得
.
因为
，所以
，即
，可得
.
又因为点
在双曲线
上，所以
，
将
代入，可得
，
由
，所以
，所以
，即
，
化简得
，则
，所以双曲线的离心率为
.
故选：B.
【变式】
1．（2023·湖南郴州·统考一模）已知点
是椭圆
的左右焦点，点
为椭圆
上
一点，点
关于
平分线的对称点
也在椭圆
上，若
，则椭圆
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可作图如下：
由图可知：
，
由
平分
，则
，所以
，
由
，则解得
，
由
是
关于直线
的对称点，则
共线，
，
，
，
所以
，在
中，
，
可得
，解得
，
，
在
中，由余弦定理，可得
，
代入可得：
，化简可得：
，
所以其离心率
.
故选：C.
2．（2023·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为
的椭圆
：
上的三点
，
，
满
足直线
过坐标原点，若
于点
，且
，则
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设椭圆左焦点为
，连接
，
，
，
设
，
，结合椭圆对称性得
，
由椭圆定义得
，
，则
.
因为
，
，
则四边形
为平行四边形，
则
，而
，故
，
则
，即
，
整理得
，在
中，
，
即
，即
，
∴
，故
.
故选：A
3．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线
的右焦点为
，过点
的直线与双
曲线
的右支交于
，
两点，且
，点
关于原点
的对称点为点
，若
，则双曲
线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为
，连接
，
，
，如图所示，
又因为
，所以
，
所以四边形
为矩形，
设
，则
，
由双曲线的定义可得：
，
，
又因为
为直角三角形，
所以
，即
，解得
，
所以
，
，
又因为
为直角三角形，
，
所以
，即：
，
所以
，即
.
故选：D.
4（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）“
”是“方程
表示椭圆”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】方程
表示椭圆
，
所以“
”是“方程
表示椭圆”的必要不充分条件，
故选：B.
考法四 折线段距离最值
【例4-1】．（2023·江苏南通·统考三模）已知
为椭圆
：
的右焦点，
为
上一点，
为圆
：
上一点，则
的最大值为（ ）
A．5
B．6
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意
，设椭圆
的左焦点为
，
圆
的圆心为
，半径为，
，
当
三点共线，且
在
之间时等号成立.
而
，
所以
，
当
四点共线，且
在
之间，
是
的延长线与圆
的交点时等号成立.
故选：D
【例4-2】（2023 秋·北京）已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，
为双曲线内一点，点
A 在双曲线的右支上，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以要求
的最小值，
只需求
的最小值.
如图,连接
交双曲线的右支于点
.当点A 位于点
处时，
最小，最小值为
.
故
的最小值为
.
故选：C
【例4-3】（2023·湖南）设点P 是圆
上的一动点，
，
，则
的最小
值为（ ）．
A．
B．
C．6
D．12
【答案】B
【解析】设
，
则点P 的轨迹为以A，B 为焦点，
为实轴长的双曲线的上支，
∴点P 的轨迹方程为
，依题意，双曲线与圆有公共点，
将圆的方程代入双曲线方程得
，
即
，
判别式
，解得
，
当
时，
，且
，
∴等号能成立．∴
．
故选：B
【变式】
1．（2023 秋·黑龙江大庆 ）已知定点
，点
为椭圆
的右焦点，点M 在椭圆上移动，
求
的最大值和最小值为（ ）
A．12，
B．
，
C．12，8
D．9，
【答案】C
【解析】令椭圆
的左焦点为
，有
，由椭圆定义知
，
显然点
在椭圆内，
，直线
交椭圆于
，
而
，即
，当且仅当点
共线时取等
号，
当点
与
重合时，
，则
，
当点
与
重合时，
，则
，
所以
的最大值和最小值为12，8.
故选：C
2．（2023·宁夏中卫·统考一模）已知双曲线C：
的左右焦点为
，
，点P 在双曲线C 的右支
上，则
（ ）
A．－8
B．8
C．10
D．－10
【答案】A
【解析】设双曲线
的实半轴长为
，
则
，所以
，
因为双曲线C 的左右焦点为
，
，点P 在双曲线C 的右支上，
所以
，
故选：A
3．（2023·广西）已知
，双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
是双曲线左支上一点，
则
的最小值为（ ）
A．5
B．7
C．9
D．11
【答案】C
【解析】由双曲线
，则
，即
，且
，
由题意，
，
当且仅当
共线时，等号成立.
故选：C.
4．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线
的焦点为F，点
，若点A 为抛物线任意一点，
当
取最小值时，点A 的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设点A 在准线上的射影为D，如图，
则根据抛物线的定义可知
，
求
的最小值，即求
的最小值，
显然当D，B，A 三点共线时
最小，
此时
点的横坐标为1，代入抛物线方程可知
.
故选：B.
5．（2023 春·河南周口 ）已知点
是抛物线
上的一点，过点
作直线
的垂线，垂足为
，若
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【解析】由抛物线
可知其焦点为
，准线方程为
记抛物线
的焦点为
，
所以
，
当且仅当点
在线段
上时等号成立，
所以
的最小值为3．故选：A．
考法五 直线与曲线的位置关系
【例5-1】．（2023·全国·高三专题练习）直线l：
与椭圆C：
的位置
关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
【答案】A
【解析】将直线l：
变形为l：
，
由
得
，于是直线l 过定点
，
而
，于是点
在椭圆C：
内部，
因此直线l：
与椭圆C：
相交．
故选：A．
【例5-2】（2023·上海）已知双曲线
，直线
，若直线与双曲线的交点分别在两支上，
求
的范围 ．
【答案】
【解析】联立双曲线、直线方程，消去
整理得
，
由题意，设方程的两根为
，则
，解得
．
故答案为：
【变式】
1．（2023·上海）已知双曲线
，直线
，若直线与双曲线的右支有两个交点，求
的
取值范围 ．
【答案】
或
【解析】依题意，联立方程
，消去
，得
，
设直线与双曲线的右支的两个交点为
，
，
则
，解得
或
，
所以
或
.
故答案为：
或
.
2．（2024·全国·高三专题练习）直线
与双曲线
有且只有一个公共点，则实数
．
【答案】
或
【解析】由
消去y，整理得
，
当
时，由
得
；
又注意到直线
恒过点
，且渐近线的斜率为
时，直线与渐近线平行时也成立．
故答案为：
或
3．（2023·全国·高三专题练习）过抛物线
上一点
的抛物线的切线方程为 .
【答案】
【解析】解法一：设切线方程为
．
由
⇒
⇒
，
由
，得
，
∴
.
故切线方程为
，即
.
故答案为：
.
解法二：由
得
，∴
.
∴
.
∴切线方程为
，即
.
故答案为：
.
4．（2023·全国·高三专题练习）设直线
和椭圆
有且仅有一个公共点，求
和
的取值
范围 ．
【答案】
，
【解析】令
，则已知椭圆和直线变为相应的圆
和直线
，
要使已知的直线与椭圆有且仅有一个公共点，只要相应的直线与圆相切．
由直线和圆相切的充要条件可知
，即
，
故得
，即
，
解得
．
考法六 弦长
【例6-1】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线
的离心率为
，C 的一条渐
近线与圆
交于A，B 两点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，则
解得
，
所以双曲线的一条渐近线不妨取
，
则圆心
到渐近线的距离
，
所以弦长
.
故选：D
【例6-2】．（2022·全国·统考高考真题）设F 为抛物线
的焦点，点A 在C 上，点
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【解析】由题意得，
，则
，
即点
到准线
的距离为2，所以点
的横坐标为
，
不妨设点
在
轴上方，代入得，
，
所以
.
故选：B
【变式】
1．（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为
，过
作直线交抛物线于
、
两点，若线段
的中点横坐标为2，则线段
的长为
【答案】6
【解析】
是抛物线
的焦点，
准线方程
，
设
，线段
的中点横坐标为2,
.
，
线段
的长为6.
故答案为：6.
2．（2022·天津·统考高考真题）若直线
与圆
相交所得的弦长为
，
则
．
【答案】
【解析】圆
的圆心坐标为
，半径为
，
圆心到直线
的距离为
，
由勾股定理可得
，因为
，解得
.
故答案为：
.
3（2023·广西钦州 ）已知椭圆
与直线
交于A，B 两点，且
，则实数m 的值
为（ ）
A．±1
B．±
C．
D．±
【答案】A
【解析】由
，消去y 并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0．
设
，
则
，
．
由题意，得
，解得
．故选:A
考法七 中点弦
【例7-1】．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线
与椭圆
交于
两点，
若点
恰为弦
的中点，则椭圆
的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意，直线的斜率为
，设
，则
，且
，
由
两式相减得：
，于是
，
解得
，此时椭圆
，显然点
在椭圆
内，符合要求，
所以椭圆
的离心率
.
故选：A
【例7-2】．（2023·贵州·统考模拟预测）已知椭圆
的右焦点为
，过点
且
斜率为1 的直线交椭圆于
两点.若
的中点坐标为
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，
由已知有，
，
作差得
，
则
，
所以
，解得
，
则
的方程为
.
故选：D．
【例7-3】．（2023·河南郑州·统考二模）已知椭圆
的上顶点为B，斜率为
的直线l
交椭圆于M，N 两点，若△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
的中点为
，
因为
都在椭圆
上，
所以
，作差可得
，
即
，所以
，
即
，因为
，所以
，
又因为
为△BMN 的重心，所以
，
所以
，则
，
所以
，整理得
，即
，
所以
，则
，
所以离心率
.
故选: A.
【变式】
1．（2023·陕西渭南·统考二模）已知直线过双曲线
的左焦点
，且与
的左右两支分别交
､
于
两点，设
为坐标原点，
为
的中点，若
是以
为底边的等腰三角形，则直线的斜率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
,
由
均在
上，
为
的中点，
得
，则
，
∴
，
∴
，
设直线
的倾斜角为
，则
，不妨设
为锐角，
∵
是以
为底边的等腰三角形，∴直线
的倾斜角为
，则
.
∴
，
∴
，解得
，
∴由对称性知直线的斜率为
.
故选：D
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线
的离心率为
，直线与
交于
两点，
为线段
的中点，
为坐标原点，则与
的斜率的乘积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
，
，
，
则
，两式作差，并化简得，
，
所以
，
因为
为线段
的中点，即
所以
，
即
，由
，得
.
故选：B.
3．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知抛物线
，直线与抛物线
交于
、
两点，线段
的中点为
，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设点
、
，则
，
若直线
轴，则线段
的中点在
轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在，
由已知
，两式作差可得
，
所以，直线的斜率为
，
因此，直线的方程为
，即
.
故选：A.
4．（2023·陕西商洛·统考三模）如图，已知过原点的直线与双曲线
相交于
两
点，双曲线
的右支上一点
满足
，若直线
的斜率为-3，则双曲线
的离心率为
.
【答案】
/
【解析】如图，取
的中点
，连接
，则
，
所以
，设直线
的倾斜角为
，则
，
所以
，
所以直线
的斜率为
.设
，则
.
由
，得到
.
，
所以
，所以
，则
.
故答案为：
5．（2023·四川内江·统考模拟预测）若双曲线
上存在两个点关于直线
对称，
则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】依题意，双曲线上两点
，
，
，
，
若点A、B 关于直线
对称，则
设直线
的方程是
，代入双曲线方程
化简得：
，
则
，且
，解得
，且
又
，设
的中点是
，
，
所以
，
．
因为
的中点
在直线
上，
所以
，所以
，又
所以
，即
，所以
所以
，整理得
，
所以
或
，
实数
的取值范围为：
故答案为：
.
考法八 综合运用
【例8-1】．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O 为坐标原点，直线
过抛物线
的焦点，且与C 交于M，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）．
A．
B．
C．以MN 为直径的圆与l 相切
D．
为等腰三角形
【答案】AC
【解析】A 选项：直线
过点
，所以抛物线
的焦点
，
所以
，则A 选项正确，且抛物线
的方程为
.
B 选项：设
，
由
消去
并化简得
，
解得
，所以
，B 选项错误.
C 选项：设
的中点为
，
到直线的距离分别为
，
因为
，
即
到直线的距离等于
的一半，所以以
为直径的圆与直线相切，C 选项正确.
D 选项：直线
，即
，
到直线
的距离为
，
所以三角形
的面积为
，
由上述分析可知
，
所以
，
所以三角形
不是等腰三角形，D 选项错误.
故选：AC.
【例8-2】（2023·湖南·模拟预测）（多选）已知O 为坐标原点，
，
分别是双曲线E：
的左、右焦点，P 是双曲线E 的右支上一点，若
，双曲线E 的离心率
为
，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线E 的标准方程为
B．双曲线E 的渐近线方程为
C．点P 到两条渐近线的距离之积为
D．若直线
与双曲线E 的另一支交于点M，点N 为PM 的中点，则
【答案】ACD
【解析】根据双曲线的定义得，
，故
，由
，得
，
所以
，所以双曲线E 的标准方程为
，渐近线方程为
，即
，所
以A 正确，B 不正确；
设
，则点P 到两条渐近线的距离之积为
，所以C 正确；
设
，
，因为P，M 在双曲线E 上，所
①，
②，
①－②并整理得，
，即
，所以
，所以D 正确．
故选：ACD．
【变式】
1（2023·云南·校联考模拟预测）设O 为坐标原点，
，
是双曲线C：
的左、右焦
点，过
作圆O：
的一条切线
，切点为T．线段
交C 于点P，若
的面积为
，且
，则C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
由圆
的方程
知，
，
又
，在直角△
中，
，
且
.
在△
中
，则
，故
.
在△
中，
，
由正弦定理，
，则
，
∴由双曲线定义，
，又
，
，则
，
∴
，即
.
∵
为直角，易知
为钝角，由
知，
，
在△
中，由余弦定理，
，
∴
，
∴
，整理得
，
∴
.
又
，将
代入，解得
.
∴双曲线C 的方程：
.
故选：A
2．（2022·全国·统考高考真题）（多选）双曲线C 的两个焦点为
，以C 的实轴为直径的圆记为D，
过
作D 的切线与C 交于M，N 两点，且
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N 在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在
轴，设过
作圆
的切线切点为B，
所以
，因为
，所以
在双曲线的左支，
，
，
，设
，由即
，则
，
选A
情况二
若M、N 在双曲线的两支，因为
，所以
在双曲线的右支，
所以
，
，
，设
，
由
，即
，则
，
所以
，即
，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过
且与圆相切的一条直线为
，
两交点都在左支,
，
，
则
，
特值双曲线
，
过
且与圆相切的一条直线为
，
两交点在左右两支，
在右支，
，
，
则
，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在
轴，设过
作圆
的切线切点为
，
若
分别在左右支，
因为
，且
，所以
在双曲线的右支，
又
，
，
，
设
，
，
在
中，有
，
故
即
，
所以
，
而
，
，
，故
，
代入整理得到
，即
，
所以双曲线的离心率
若
均在左支上，
同理有
，其中
为钝角，故
，
故
即
，
代入
，
，
，整理得到：
，
故
，故
，
故选：AC.
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）设椭圆
的离心率分别为
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，因此
，而
，所以
.故选：A
2．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，直线
与C 交
于A，B 两点，若
面积是
面积的2 倍，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】将直线
与椭圆联立
，消去
可得
，
因为直线与椭圆相交于
点，则
，解得
，
设
到
的距离
到
距离
，易知
，
则
，
，
，解得
或
（舍去），
故选：C.
3．（2022·全国·统考高考真题）椭圆
的左顶点为A，点P，Q 均在C 上，且关于y
轴对称．若直线
的斜率之积为
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】[方法一]：设而不求
设
，则
则由
得：
，
由
，得
，
所以
，即
，
所以椭圆
的离心率
，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故
，
由椭圆第三定义得：
，
故
所以椭圆
的离心率
，故选A.
4．（2023·浙江·模拟预测）已知圆
和点
，由圆外一点
向圆
引切线，切点分别为
，若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，连接
，则
，可得
，
所以
，
即
，可得
，
所以
，
当
时，
.
故选：C.
5．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆
四个顶点构成的四边形的
面积为
，直线
与椭圆C 交于A，B 两点，且线段
的中点为
，则椭圆C 的方
程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，
，则
，
，两式作差并化简整理得
，因为线段AB 的中点为
，所以
，
，
所以
，由
，得
，又因为
，解得
，
，
所以椭圆C 的方程为
．
故选：A．
6．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知抛物线
的焦点和椭圆的一个焦点重合，且抛物线
的准线截椭圆的弦长为3，则椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】抛物线
的焦点为
，准线为
，
设椭圆的方程为
，椭圆中，
，当
时，
，故
又
，所以
，故椭圆方程为
，
故选：B
7．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知椭圆E：
的焦距为4，平行四边形ABCD 内
接于椭圆E，且直线AB 与AD 的斜率之积为
，则椭圆E 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，由对称性可得
，
则
，
所以两式相减可得
，
因为直线AB 与AD 的斜率之积为
，
所以
，即
，所以
，
设椭圆
的半焦距为，
因为椭圆
的焦距为4，所以
，所以
，
又
，所以
，
所以椭圆
的标准方程为
，
故选：A.
8．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知集合
，
则集合
的真子集的个数为（ ）
A．3
B．7
C．15
D．31
【答案】A
【解析】方法一：联立
，解得
或
，
,
集合
的真子集的个数为
.
方法二：在同一直角坐标系中画出函数
以及
的图象，由图象可知两图形有2 个交点，所
以
的元素个数为2，进而真子集的个数为
.
故选：A.
9．（2023·四川泸州·泸县五中校考模拟预测）设
分别是双曲线
的左、右焦点，
为坐标原点，过左焦点
作直线
与圆
切于点
，与双曲线右支交于点
，且满足
，
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵
为圆
上的点，
，
，∴
是
的中点，
又
是
的中点，
，
且
，
又
，
，
是圆的切线，
，
又
，
，
，
∴双曲线方程为
．
故选：D
10．（2023·天津南开·统考二模）已知拋物线
的准线过双曲线
的左焦点，点
为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若
到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
由题意知，拋物线
的准线方程为
，所以双曲线的左焦点坐标为
，所以双曲线的
.
又因为点
为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若
到抛物线焦点的距离为5，所以
，所
以
，代入抛物线方程即可得
.
因为
在双曲线的渐近线方程
上，所以
，又因为双曲线中，
，所以
，
所以双曲线的方程为：
.
故选：D
11．（2023·全国·校联考三模）若双曲线
与双曲线
有相同的焦距，且
过点
，则双曲
线
的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【解析】因为
和
有相同的焦距，又双曲线
的焦距为
，所以双曲线
的焦距
，又
过点
，
当
的焦点在x 轴上，设双曲线
的方程为
，
若将点
代入
，得
①，
又
②，联立①②两式得
，
，所以双曲线
的标准方程为
.
当
的焦点在y 轴上，设双曲线
的方程为
，将点
代入
，
得
③，又
④，
联立③④两式得
，
，所以双曲线
的标准方程为
，
综上所述，双曲线
的标准方程为
或
.
故选：C.
12．（2023·全国·统考高考真题）已知实数
满足
，则
的最大值是（ ）
A．
B．4
C．
D．7
【答案】C
【解析】法一：令
，则
，
代入原式化简得
，
因为存在实数
，则
，即
，
化简得
，解得
，
故
的最大值是
，
法二：
，整理得
，
令
，
，其中
，
则
，
，所以
，则
，即
时，
取得最大值
，
法三：由
可得
，
设
，则圆心到直线
的距离
，
解得
故选：C.
13．（2023·全国·统考高考真题）设O 为坐标原点，
为椭圆
的两个焦点，点 P 在C 上，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】方法一：设
，所以
，
由
，解得：
，
由椭圆方程可知，
，
所以，
，解得：
，
即
，因此
．
故选：B．
方法二：因为
①，
，
即
②，联立①②，
解得：
，
而
，所以
，
即
．
故选：B．
方法三：因为
①，
，
即
②，联立①②，解得：
，
由中线定理可知，
，易知
，解得：
．
故选：B．
14．（2023·全国·统考高考真题）设A，B 为双曲线
上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
的中点
，
可得
，
因为
在双曲线上，则
，两式相减得
，
所以
.
对于选项A： 可得
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；
对于选项B：可得
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；
对于选项C：可得
，则
由双曲线方程可得
，则
为双曲线的渐近线，
所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；
对于选项D：
，则
，
联立方程
，消去y 得
，
此时
，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；
故选：D.
15．（2023·天津·统考高考真题）双曲线
的左、右焦点分别为
．过
作其中一
条渐近线的垂线，垂足为
．已知
，直线
的斜率为
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，
因为
，不妨设渐近线方程为
，即
，
所以
，
所以
.
设
,则
，所以
，所以
.
因为
,所以
，所以
，所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，解得
，
所以双曲线的方程为
故选：D
16．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知点
是直线：
和
：
的交点，点
是圆
：
上的动点，则
的最大值
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为直线：
，即
，
令
，解得
，可知直线过定点
，
同理可知：直线
过定点
，
又因为
，可知
，
所以直线与直线
的交点
的轨迹是以
的中点
，半径
的圆，
因为圆
的圆心
，半径
，
所以
的最大值是
.
故选：B.
17．（2023·湖南永州·统考一模）已知椭圆
的左、右焦点分别是
，点
是椭圆
上位于第一象限的一点，且
与
轴平行，直线
与
的另一个交点为
，若
，则
的
离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
令
，得
，
由于
与
轴平行，且
在第一象限，所以
.
由于
，
所以
，
即
，将
点坐标代入椭圆
的方程得
，
，
，
所以离心率
.
故选：B
18．（2023·浙江·模拟预测）费马原理是几何光学中的重要原理，可以推导出圆锥曲线的一些光学性质，
如：点
为椭圆（
为焦点）上一点，则点
处的切线平分
外角.已知椭圆
为坐
标原点，是点
处的切线，过左焦点
作的垂线，垂足为
，则
为（ ）
A．
B．2
C．3
D．
【答案】A
【解析】依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为
，
代入
得
，
整理得
，
由于直线和椭圆
相切，则
，
整理得
，
所以直线的方程为
，
对于椭圆
，
，所以
，
所以直线
的方程为
，
由
解得
，所以
.
故选：A
19．（2023·浙江·模拟预测）已知椭圆
的左右焦点分别是
，过
的直线交椭圆于
两点，若
（
为坐标原点），
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图所示：
设
，因为
，所以
.
又因为
，所以
，即
.
因为
，所以
.
因为
，所以
.
在
中，
，解得
，
即
，所以
，即
.
所以
，
.
故选：B
二、多选题
20．（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线
焦点F 的直线与C 交于
A，B 两点，其中A 在第一象限，点
，若
，则（ ）
A．直线
的斜率为
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，易得
，由
可得点
在
的垂直平分线上，则
点横坐标为
，
代入抛物线可得
，则
，则直线
的斜率为
，A 正确；
对于B，由斜率为
可得直线
的方程为
，联立抛物线方程得
，
设
，则
，则
，代入抛物线得
，解得
，则
，
则
，B 错误；
对于C，由抛物线定义知：
，C 正确；
对于D，
，则
为钝角，
又
，则
为钝角，
又
，则
，D 正确.
故选：ACD.
21．（2022·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，点
在抛物线
上，过点
的直线交C 于P，Q 两点，则（ ）
A．C 的准线为
B．直线AB 与C 相切
C．
D．
【答案】BCD
【解析】将点
的代入抛物线方程得
，所以抛物线方程为
，故准线方程为
，A 错误；
，所以直线
的方程为
，
联立
，可得
，解得
，故B 正确；
设过
的直线为，若直线与
轴重合，则直线与抛物线
只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为
，
，
联立
，得
，
所以
，所以
或
，
，
又
，
，
所以
，故C 正确；
因为
，
，
所以
，而
，故D 正确.
故选：BCD
22．（2023·河北保定·统考二模）已知直线
，圆
的圆心坐标为
，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过点
B．
C．直线被圆
截得的最短弦长为
D．当
时，圆
上存在无数对点关于直线对称
【答案】ABD
【解析】直线
，恒过点
，所以A 正确；
圆
的圆心坐标为
，
，
，所以B 正确；
圆
的圆心坐标为
，圆的半径为2．
直线
，恒过点
，圆的圆心到定点的距离为：
，
直线被圆
截得的最短弦长为
，所以C 不正确；
当
时，直线方程为：
，经过圆的圆心，所以圆
上存在无数对点关于直线对称，所以D
正确．
故选：ABD．
23．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知双曲线
的上焦点为
，过焦点
作
的一条渐近线的垂线，垂足为
，并与另一条渐近线交于点
，若
，则
的离心率可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】当
时，两渐近线的斜率为
，此时直线
与另一渐近线平行，不满足题意.
当
时，如图1 所示，
.
，又
，解得
，
，
，
，即渐近线
的斜率为
，
当
时，如图2 所示，设
与
轴交于点P，
，
，
又
，解得
，即渐近线
的斜率为
，
综上，双曲线
的离心率为
或
.
故选：AC.
24．（2023·辽宁锦州·校考一模）设双曲线
的右焦点为
，若直线与
的右支交于
两点，且
为
的重心，则（ ）
A．
的离心率的取值范围为
B．
的离心率的取值范围为
C．直线斜率的取值范围为
D．直线斜率的取值范围为
【答案】AC
【解析】
为
的中点，根据重心性质可得
，
因为
，则
，
因为直线与
的右支交于
两点，所以点
在双曲线右支内部，
故有
，解得
，
当直线斜率不存在时，
的中点
在
轴上，
故
三点不共线，不符合题意舍，
设直线斜率为
，设
，
所以
，
，
因为
在双曲线上，所以
，
两式相减可得：
，
即
，
即有
成立，
即有
，因为
不共线，
即
，即
，即
，
所以
的离心率的取值范围为
，
因为
，
因为
，即
，
所以
，
所以
.
故选：AC
25（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）设
，
为椭圆
：
的两个焦点，
为
上一点且
在第一象限，
为
的内心，且
内切圆半径为1，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】如下图所示，设切点为
，
，
，
对于A，由椭圆的方程
知：
，
由椭圆的定义可得：
，
易知
，所以
，
所以
，故A 正确；
对于BCD，
，
又因为
，解得：
，
又因为
为
上一点且在第一象限，所以
，解得：
，故B 正确；
从而
，所以
，
所以
，而
，所以
，故C 错误；
从而
，故D 正确.
故选:ABD．
26．（2023·重庆·统考模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过点
作x 轴的
垂线与双曲线交于A，B 两点，若
为直角三角形，则（ ）
A．
B．双曲线的离心率
C．双曲线的焦距为
D．
的面积为
【答案】BD
【解析】如图所示：
若
为直角三角形，由双曲线的对称性可知：
，且
.
设
，则由双曲线的定义得：
，
.
所以在直角三角形
中，由勾股定理得：
.
解得：
，所以
，
所以
的面积为：
.故D 正确；
，所以
，故C 不正确；
由
可知，
，
，
所以
，故A 不正确；
，故B 正确.
故选：BD.
三、填空题
27．（2023·全国·统考高考真题）已知点
在抛物线C：
上，则A 到C 的准线的距离为
.
【答案】
【解析】由题意可得：
，则
，抛物线的方程为
，
准线方程为
，点
到
的准线的距离为
.
故答案为：
.
28．（2023·天津·统考高考真题）过原点的一条直线与圆
相切，交曲线
于
点
，若
，则
的值为 ．
【答案】
【解析】易知圆
和曲线
关于
轴对称，不妨设切线方程为
，
，
所以
，解得：
，由
解得：
或
，
所以
，解得：
．
当
时，同理可得．
故答案为：．
29．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为 ．
【答案】
/
【解析】方法一：
依题意，设
，则
，
在
中，
，则
，故
或
（舍去），
所以
，
，则
，
故
，
所以在
中，
，整理得
，
故
.
方法二:
依题意，得
，令
，
因为
，所以
，则
，
又
，所以
，则
，
又点
在
上，则
，整理得
，则
，
所以
，即
，
整理得
，则
，解得
或
，
又
，所以
或
（舍去），故
.
故答案为：
.
30．（2023·全国·统考高考真题）已知直线
与
交于A，B 两点，写出满足
“
面积为
”的m 的一个值 ．
【答案】
（
中任意一个皆可以）
【解析】设点
到直线
的距离为
，由弦长公式得
，
所以
，解得：
或
，
由
，所以
或
，解得：
或
．
故答案为：
（
中任意一个皆可以）．
31．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线
的左焦点为F，过F 且斜率为
的直线
交双曲线于点
，交双曲线的渐近线于点
且
．若
，则双曲线的离心
率是 ．
【答案】
【解析】过
且斜率为
的直线
，渐近线
，
联立
，得
，由
，得
而点
在双曲线上，于是
，解得：
，所以离心率
.
故答案为：
．
32．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l 与椭圆
在第一象限交于A，B 两点，l 与x 轴，y 轴分
别交于M，N 两点，且
，则l 的方程为 ．
【答案】
【解析】[方法一]：弦中点问题：点差法
令
的中点为
，设
，
，利用点差法得到
，
设直线
，
，
，求出
、
的坐标，
再根据
求出
、
，即可得解；
解：令
的中点为
，因为
，所以
，
设
，
，则
，
，
所以
，即
所以
，即
，设直线
，
，
，
令
得
，令
得
，即
，
，
所以
，
即
，解得
或
（舍去），
又
，即
，解得
或
（舍去），
所以直线
，即
；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点
既为线段
的中点又是线段MN 的中点，
设
，
，设直线
，
，
，
则
，
，
，因为
，所以
联立直线AB 与椭圆方程得
消掉y 得
其中
，
AB
∴
中点E 的横坐标
,又
，∴
∵
，
，∴
,又
，解得m=2
所以直线
，即
33．（2022·全国·统考高考真题）设点
，若直线
关于
对称的直线与圆
有公共点，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
关于
对称的点的坐标为
，
在直线
上，
所以
所在直线即为直线，所以直线为
，即
；
圆
，圆心
，半径
，
依题意圆心到直线的距离
，
即
，解得
，即
；
故答案为：
34．（2022·全国·统考高考真题）记双曲线
的离心率为e，写出满足条件“直线
与C 无公共点”的e 的一个值 ．
【答案】2（满足
皆可）
【解析】
，所以C 的渐近线方程为
,
结合渐近线的特点，只需
，即
，
可满足条件“直线
与C 无公共点”
所以
，
又因为
，所以
，
故答案为：2（满足
皆可）
35．（2022·全国·统考高考真题）若双曲线
的渐近线与圆
相切，则
．
【答案】
【解析】双曲线
的渐近线为
，即
，
不妨取
，圆
，即
，所以圆心为
，半径
，
依题意圆心
到渐近线
的距离
，
解得
或
（舍去）．
故答案为：
．
36．（2022·北京·统考高考真题）已知双曲线
的渐近线方程为
，则
．
【答案】
【解析】对于双曲线
，所以
，即双曲线的标准方程为
，
则
，
，又双曲线
的渐近线方程为
，
所以
，即
，解得
；
故答案为：
37．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆
和
都相切的一条直线的方程
．
【答案】
或
或
【解析】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为
，
于是
，
故
①，
于是
或
，
再结合①解得
或
或
，
所以直线方程有三条，分别为
，
，
填一条即可
[方法二]：
设圆
的圆心
，半径为
，
圆
的圆心
，半径
，
则
，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然
符合题意；
又由方程
和
相减可得方程
，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为
，
直线OC 与直线
的交点为
，
设过该点的直线为
，则
，解得
，
从而该切线的方程为
填一条即可
[方法三]：
圆
的圆心为
，半径为，
圆
的圆心
为
，半径为
，
两圆圆心距为
，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l 时，因为
，所以
，设方程为
O 到l 的距离
，解得
，所以l 的方程为
，
当切线为m 时，设直线方程为
，其中
，
，
由题意
，解得
，
当切线为n 时，易知切线方程为
，
故答案为：
或
或
.
38．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）设
为椭圆
的两个焦点，点
在椭圆
上，若
，则
.
【答案】2
【解析】因椭圆方程为
，则
.
因
，则
.
又由椭圆定义，可得
，
则
.
故答案为：2
39．（2023·河南·校联考模拟预测）写出与圆
和圆
都相切的一条直线
的方程 .
【答案】
（或
或
，写出一个即可）
【解析】由题意得，圆
，可得圆心
，半径为
，
圆
，可得圆心
，半径为
，
因为
，可得
，所以圆
与圆
相外切，
将两圆的方程相减，可得
，此方程为圆
与圆
的公切线，
又由圆
与圆
的半径相等，故外公切线与直线
平行，
因为
，所以圆C 与圆D 的外公切线的方程可设为
，
即
，则
，解得
或
，
所以两条外公切线的方程为
或
，
综上所述，圆C 与圆D 公切线的方程为
或
或
.
故答案为：
或
或
.
40．（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知双曲线
的左焦点为
，坐标原点为
，若在双曲线右支上存在一点
满足
，且
，则双曲线
的离心率为 .
【答案】
【解析】如图，因为
，所以
，
所以
，
则
，
，
，
解得
.
故答案为：
41．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆
的右焦点为
外的一点
满足
（
为坐标原点），过点
的直线与
交于
两点，且
，若直线
的斜率之积
为
，则
．
【答案】
【解析】如图，取线段
的中点为
，连接
，
则由题意可得，
，又
，所以
．
因为直线
的斜率之积为
，所以
．
设
，则
，
两式相减可得
，
整理得
，即
，
所以
，所以
．
故答案为：
．
42．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C：
的焦距为2c，
左焦点为F，直线l 与C 相交于A，B 两点，点P 是线段AB 的中点，P 的横坐标为
．若直线l 与直线PF
的斜率之积等于
，则C 的离心率为 ．
【答案】
/
【解析】
，
设
，
因为点P 是线段AB 的中点，P 的横坐标为
，
所以
，
则
，
由直线l 与C 相交于A，B 两点，
得
，
两式相减得
，
即
，
所以
，
即
，所以
，
则
，
所以
，
所以离心率
.
故答案为：
.
43．（2023·河南开封·统考三模）不与x 轴重合的直线l 过点N（
,0）（xN≠0），双曲线C：
（a＞0，b＞0）上存在两点A、B 关于l 对称，AB 中点M 的横坐标为
．若
，则C 的离心率为
．
【答案】2
【解析】设
，
则
，两式相减得
，
即
，
即
，
所以
，
因为是AB 垂直平分线，有
，所以
，
即
，化简得
，故
.
故答案为：2
44．（2023·贵州遵义·统考三模）已知抛物线
上两点A，B 关于点
对称，则直线AB 的斜率
为 .
【答案】2
【解析】设
，
代入抛物线
，得
，
则
①，
因为两点A，B 关于点
对称，则
，
所以由①得
，
直线AB 的斜率为2.
则直线AB：
与代入抛物线
联立，得
，
，解得
.
所以直线AB 的斜率为2.
故答案为：2.
45．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知
是椭圆
上的点，
、
分别是椭圆的左、
右焦点，若
，则
的面积为 ．
【答案】
/
【解析】因为
，
，所以
，
若
，因为
，
则可得
，
由余弦定理可得
，
所以
，
则
.
故答案为：
.
46．（2023 秋·黑龙江伊春 ）已知椭圆
的左、右焦点分别为
为椭圆
上任意一点，
为圆
：
上任意一点，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意知
为椭圆
上任意一点，
为圆
：
上任意一点，
故
，
故
，当且仅当
共线时取等号，
所以
，
当且仅当
共线时取等号，
而
,
故
的最小值为
，
故答案为：
47．（2023 春·宁夏石嘴山 ）已知F 是双曲线C：
的右焦点，P 是C 的左支上一点，
，
则
的最小值为 .
【答案】6
【解析】由双曲线C：
可得
，
设双曲线的左焦点为
，则
，即
，
可得
，
当且仅当P 是线段
与双曲线的交点时，等号成立，
所以
的最小值为6.
故答案为：6.
48．（2023 秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知
，若点P 是抛物线
上任意一点，
点Q 是圆
上任意一点，则
的最小值为 .
【答案】4
【解析】如图所示：
抛物线
的焦点
，准线
，
圆
的圆心为
，半径
，
过点
作
垂直准线，垂直为点
，
由抛物线的定义可知
，
则
，
当且仅当
三点共线时，等号成立,
综上所述：
的最小值为4.
故答案为：4.
49．（2023 秋·广东广州·高三广州大学附属中学校考开学考试）设动点
在抛物线
上，点
在
轴
上的射影为点
，点
的坐标是
，则
的最小值是 ．
【答案】
/
【解析】抛物线
的焦点
，准线方程为
，
延长PM 交准线于N，连PF，显然
垂直于抛物线的准线，由抛物线定义知：
，当且仅当点
是线段
与抛物线的交点时取等号，
而
，所以
的最小值为
.
故答案为：
50．（2023·全国·高三专题练习）过点
作双曲线
：
的两条切线，切点分别为
，求直
线
的方程 ．
【答案】
【解析】设
，易得两条切线的斜率存在，设
的斜率为
，
则
，联立方程
，
消去
得
，
因为
与双曲线相切，所以
，
即
，即
，
即
，
因为
，所以
，
代入可得
，即
，所以
，
所以
，即
，
同理可得
的方程为
，
因为
在切线
上，所以
，
所以
满足方程
，
又由两点确定一条直线，所以
满足直线方程
，
所以过
的直线方程为
.
故答案为：
.
