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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题13 导数与极限第二辑
1．【2018 年广东预赛】设函数f (x)=e
x-1- x.
⑴求f (x)在区间[0, 1
n]
（n 为正整数）上的最大值bn
；
⑵令an=e
1
n -1-bn，pk = a2a4⋯a2k
a1a3⋯a2k -1
（n、k 为正整数）.求证：p1+ p2+⋯+ pn<❑√
2
an
+1-1.
2．【2018 年甘肃预赛】设函数f (x)= x - 2
x -aln x（a∈R ,a>0）．
（1）讨论f (x)的单调性；
（2）如果f (x)有两个极值点x1和x2，我们记过点A(x1,f (x1)),B(x2,f (x2))的直线斜率为k．问：是否
存在a，使得k =2-a？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．
3．【2018 年天津预赛】设f (x)=e
x-cos x，x>0，正实数数列{an}满足a1=1，且当n≥2时f (an)=an-1
.
求证： ⑴当n≥2时，an-1>an+an
2； ⑵∑
k =1
n
ak<2❑√n.
4．【2018 年河北预赛】判断曲线f ( x)=e
x -1与曲线g( x)=lnx的公切线的条数，并说明理由.
5．【2018 年四川预赛】设函数f (x)= px - p
x -2ln x.
（1）若f (x)在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；
（2）设g(x)= 2e
x
，且p>0，若在[1,e]上至少存在一点x0，使得f (x0)>g(x0)成立，求实数p的取值范围；
（3）求证：对任意的正整数n，都有∑
k =1
n
ln
2(1+ 2
k)<3成立.
6．【2018 年福建预赛】已知f (x)=e
x-mx．
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（1）当x>0时，不等式(x -2)f (x)+m x
2+2>0恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若x1、x2是函数f (x)的两个零点，求证：x1+ x2>2．
7 ．【2017 年河北预赛】已知函数f (x)= x
2-2ln x, 若存在x1, x2,⋯, xn∈[
1
e ,e]
, 使得
f (x1)+ f (x2)+⋯+ f (xn-1)= f (xn)
成立,求n的最大值.
8．【2017 年吉林预赛】已知函数f (x)= x -ln x -2,g(x)= xln x + x.
(1)求证：f (x)存在一个零点属于(3,4).
(2)若k ∈Z,且g(x)>k (x -1)对任意的x>1恒成立,求k的最大值.
9．【2017 年福建预赛】已知a>0,f (x)=ln(2 x +1)+2ax - 4 ae
x+ 4.
(1)证明：当a=1时,求f (x)的最大值;
(2)判断函数f (x)零点的个数,并说明理由.
10．【2017 年陕西预赛】已知函数f (x)=- x
3+a x
2+bx +c (a,b,c∈R)在(-∞,0)上单调递减,在(0,1)上
单调递增,且f (x)在R上有三个零点,1 是其中的一个零点.
(1)求f (2)的取值范围;
(2)试讨论直线l: y = x -1与曲线C : y = f (x)的公共点的个数.
11．【2017 年甘肃预赛】已知函数f (x)=ln x
x
,g(x)=e
x.
(1)若关于x的不等式f (x)≤mx ≤g(x)恒成立,求实数m的取值范围；
(2)若x1> x2>0,求证：[x1f (x1)- x2f (x2)](x1
2+ x2
2)>2 x2(x1- x2).
12．【2017 年黑龙江预赛】已知函数f (x)=ax -1-ln x (a∈R).
(1)讨论函数f (x)在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数f (x)在x =1处取得极值,对任意x∈(0,+∞),f (x)≥bx -2恒成立,求实数b的取值范围;
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(3)当x> y >e -1,证明:e
x - y>ln(x +1)
ln( y +1)
.
13．【2017 年广西预赛】设函数f (x)= 4 x
3+bx +1(b∈R),对任意的x∈[-1,1],都有f (x)≥0成立,求实数
b的取值范围.
14．【2017 年湖南预赛】已知a,b∈R+且a≠b.
(1)求证:❑√ab<
a-b
lna-lnb < a+b
2
;
(2)如果a,b是f (x)=ln x -
1
2017 x的两个零点,求证:ab>e
2.
15．【2017 年江苏预赛】设函数f n(x)=1+ x + 1
2! x
2+⋯+ 1
n! x
n.
(1)求证:当x∈(0,+ ∞),n∈N +
时,e
x>f n(x)；
(2)设x>0,n∈N +.若存在y ∈R使得e
x = f n(x)+
1
(n+1)! x
n+1e
y求证:0< y < x.
16．【2016 年陕西预赛】设函数f ( x)=ln x +a( 1
x -1)（a∈R ）， 且f(x)的最小值为0.
（1）求a 的值；
（2）若数列{an}满足a1=1，an+l=f(an)+2(n∈Z+)，记Sn=[a1]+[a2]+…+[an]，[m]表示不超过实数m 的最大整数，
求Sn.
17．【2016 年福建预赛】已知f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).
（1）若曲线y=f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y=x，求a、b 的值；
（2）若f(x)≤x2+x 恒成立，求ab 的最大值.
18．【2016 年吉林预赛】设f (x)= A (x
2-2 x)e
x -e
x+1，若对任意的x ≤0，有f (x)≥0，求实数A 的取值
范围.
19．【2016 年吉林预赛】设f (x)= A (x
2-2 x)e
x -e
x+1，若对任意的x ≤0，有f (x)≥0，求实数A 的取值
范围.
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20．【2016 年四川预赛】已知a 为实数，函数f (x)=|x
2-ax|- ln x.请讨论函数f (x)单调性.
21．【2016 年湖南预赛】已知函数f ( x)= x ln x - 1
2 m x
2- x(m∈R).
（1）当m=-2时，求函数f ( x)的所有零点；
（2）若f ( x)有两个极值点x1、x2( x1< x2)，证明：x1 x2>e
2.
22．【2016 年甘肃预赛】已知函数f (x)= ln x
x
.
（1）设实数k 使得f (x)<kx恒成立，求k 的取值范围.
（2）设g(x)= f (x)-kx (k ∈R).若函数g(x)在区间[
1
e ,e
2]
内有两个零点，求k 的取值范围.
23．【2015 年四川预赛】已知a 为实常数，函数f (x)=e
- xsin x +ax(x∈[0,2π ])
（1）记f (x)的导函数为g(x)，求g(x)在区间[o,2π ]内的单调区间；
（2）若f (x)在区间(0,2π )的极大值、极小值恰各有一个，求实数a 的取值范围。
24．【2015 年陕西预赛】已知函数f (x)= x ln x，g(x)=- x
2+ax -3(a∈R).
（1）若对任意x∈(0,+ ∞)，恒有不等式f (x)≥1
2 g(x)，求a的取值范围；
（2）证明：对任意x∈(0,+ ∞)，有ln x> 1
e
x - 2
e x .
25．【2015 年吉林预赛】已知对任意的x ≥1，均有ln x -a(1- 1
x)≥0.求实数a的取值范围.
26．【2015 年湖南预赛】已知a>0，函数f (x)= ln x -a(x -1), g(x)=e
x.
（1）经过原点分别作曲线y = f (x)、y = g(x)的切线，若两切线的斜率互为倒数，证明：e -1
e
<a< e
2-1
e
；
（2）设h(x)= f (x +1)+ g(x)，当x ≥0时，h(x)≥1恒成立，试求实数a的取值范围.
27．【2015 年黑龙江预赛】设函数
．
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（1）若函数
在
上为减函数，求实数
的最小值；
（2）若存在
，使
成立，求实数
的取值范围．
28．【2015 年甘肃预赛】已知函数f (x)=lnx - a(x -1)
x +1
(1)若函数f (x)在区间(0,+ ∞)上为单调增函数,求a的取值范围;
(2)设m>n>0,证明: lnm-lnn> 2(m-n)
m+n
①
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