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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题12 导数与极限第一辑
1．【2021 年福建预赛】若关于x 的不等式( x -2)e
x<ax +1 有且仅有三个不同的整数解，则整数a 的最
小值为
.
2．【2019 年贵州预赛】已知函数f ( x)=(e
x -e
- x)⋅x
3,若m 满足f (log2m)+ f (log0.5m)⩽2(
e
2-1
e )
.则实
数m 的取值范围是
.
3．【2018 年广西预赛】若定义在R 上的函数f (x)满足f ' (x)-2f (x)- 4>0，f (0)=-1，则不等式
f (x)>e
2 x-2的解为___________.
4．【2018 年甘肃预赛】已知函数f (x)= x
3+sin x（x∈R），函数g(x)满足g(x)+ g(2- x)=0（x∈R
），若函数h(x)= f (x -1)- g(x)恰有2019 个零点，则所有这些零点之和为______．
5．【2018 年四川预赛】设直线y =kx +b与曲线y = x
3- x有三个不同的交点A 、B、C，且
|AB|=|BC|=2，则k的值为______.
6．【2017 年广西预赛】设函数f (x)在R上存在导数f
' (x),对任意的x∈R有f (x)+ f (- x)= x
2,在(0,+∞)上
f
' (x)> x
.若f (1+a)- f (1-a)≥2a
,则实数a
的范围是
.
7 ．【2017 年湖南预赛】设函数f (x)是定义在(-∞,0)上的可导函数, 其导函数为f
' (x), 且有
2f (x)+ x f
' (x)> x
2,则不等式(x +2017)
2f (x +2017)- f (-1)>0的解集为
.
8．【2016 年福建预赛】函数f(x) =x2ln x+x2-2 零点的个数为________.
9．【2015 年山东预赛】设a>1.若关于x的方程a
x = x无实根,则实数a的取值范围是______.
10．【2015 年福建预赛】函数f (x)=e
x(x -ae
x)恰有两个极值点x1, x2(x1< x2)，则a的取值范围是
__________．
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11．【2018 年湖南预赛】函数f (x)= ln(x
2+1)的图像大致是（ ）
12．【2018 年湖南预赛】设函数f ( x)是R 上的奇函数，当x>0时，f ( x)=e
x+ x -3，则f ( x)的零点个数
是
A．1 B．2 C．3 D．4
13．【2017 年四川预赛】已知函数f (x)=aln x + x
2在x =1处有极值,则实数a的值是(
)
(A)-2
(B)-1
(C)1
(D)2
14．【2016 年陕西预赛】设函数f(x)=x3+ax2+6x+c(a、b、c 均为非零整数).若f(a)=a3，f(b)=b3，则c 的值为
（ ）.
A．-16 B．-4 C．4 D．16
15．【2015 年黑龙江预赛】设
，若
，则
（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.256
16．【2015 年黑龙江预赛】设函数f (x)=sin
5 x +1.则∫
- π
2
π
2
f (x)dx值为 （）。
A．1
6 + π
2
B．0 C．1 D．π
17．【2021 年福建预赛】已知f ( x)=e
x - x
a, x>0, a∈R .
(1)若f ( x)≥0 恒成立，求a 的最大值;
(2)若x1, x2 是f ( x) 的两个零点，且x1> x2 ,求证:x1+ x2>2a .
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18．【2020 年福建预赛】已知f ( x)=(x
2+(a-1)x +1)e
x .若f ( x)+e
2⩾0 恒成立,求实数a 的取值范围.
19．【2020 年浙江预赛】已知函数f ( x)=| x +1|e
- 1
x -a .
(1)若f ( x)=0 恰有三个根,求实数a 的取值范围;
(2)在(1)的情况下,设f ( x)=0 的三个根为x1, x2, x3 ,且x1< x2< x3 ,证明: x2- x1<a.
20．【2019 年重庆预赛】已知 x , y ≥0，x
2019+ y =1，求证 x + y
2019>1- 1
300
.
注：可直接应用以下结论（1）ln x ≤x -1( x>0)；（2）ln2019≈7.610。
21．【2019 年福建预赛】已知f(x)=ex
(1)若x≥0 时，不等式(x-1)f(x)≥mx2-1 恒成立，求m 的取值范围；
(2)求证:当x>0 时，f(x)>4lnx+8-8ln2.
22．【2019 年广西预赛】已知函数f ( x)=(a+ 1
a )ln x + 1
x - x.
(1)设a>1,讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性;
(2)设a>0,求f(x)的极值.
23．【2018 年陕西预赛】已知函数
，
．
（1）证明：
，直线
都不是曲线
的切线；
（2）若
，使
成立，求实数
的取值范围．
24．【2018 年陕西预赛】已知函数f ( x)= x
ln x ，g( x)=k( x -1)．
（1）证明：∀k ∈R，直线y = g( x)都不是曲线y = f ( x)的切线；
（2）若∃x∈[e ,e
2]，使f ( x)≤g( x)+ 1
2
成立，求实数k的取值范围．
25．【2018 年陕西预赛】已知函数f ( x)= x
ln x ，g( x)=k( x -1)．
（1）证明：∀k ∈R，直线y = g( x)都不是曲线y = f ( x)的切线；
（2）若∃x∈[e ,e
2]，使f ( x)≤g( x)+ 1
2
成立，求实数k的取值范围．
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