专题1.1 集合与常用逻辑用语【七大题型】
【新高考专用】
【题型1 集合中元素个数问题】..............................................................................................................................3
【题型2 子集的个数问题】......................................................................................................................................5
【题型3 集合的交、并、补集运算】......................................................................................................................6
【题型4 集合中的含参问题】..................................................................................................................................7
【题型5 集合的新定义问题】..................................................................................................................................8
【题型6 充分条件与必要条件】..............................................................................................................................9
【题型7 全称量词与存在量词命题】....................................................................................................................11
1、集合
集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查
集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1 题，以简单题为主。
2、常用逻辑用语
常用逻辑用语是高考数学的重要考点，常见于考查真假命题的判断；全称量词命题、存在量词命题以
及命题的否定；偶尔涉及充分条件与必要条件以及根据描述进行逻辑推理等，中等偏易难度。但一般很少
单独考查，常常与函数、不等式、数列、三角函数、立体几何等知识交汇，热点是“充要条件” ,考生复习
时需多注意加强这方面练习。
【知识点1 集合】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A 都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A 且属于B 的所有元素组
成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A 或属于B 的元素组成的
集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U 中不属于A 的元素组成
的集合称为集合A 相对于集合
U 的补集
{x|x∈U，x∉A}
∁UA
【知识点2 常用逻辑用语】
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p,则q”是真命题
"若p,则q"是假命题
推出关系及
符号表示
由p 通过推理可得出
q，记作：p⇒q
由条件p 不能推出结论
q，记作：
条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件
q 不是p 的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此
时p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件．我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件，即如果p⇔q，那么p 与q 互为充要条件．
3．全称量词与全称量词命题
全称量词
所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号
∀
全称量词
命题
含有全称量词的命题
形式
“对M 中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为
“∀ x ∈ M
，
p ( x ) ”
4.存在量词与存在量词命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
∃
存在量词
命题
含有存在
量词
的命题
形式
“存在M 中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为
“∃ x ∈ M
，
p ( x ) ”
5．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
【题型1 集合中元素个数问题】
【例1】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知集合P ={n|n=2k −1,k ∈N ∗,k ≤10}，Q = {2,3,5}，则
集合T ={xy|x∈P , y ∈Q}中元素的个数为（ ）
A．30
B．28
C．26
D．24
【解题思路】根据题意得到P = {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}，再结合T ={xy|x∈P , y ∈Q}求解即可.
【解答过程】P ={n|n=2k −1,k ∈N ∗,k ≤10}= {1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}，Q = {2,3,5}，
因为T ={xy|x∈P , y ∈Q}，
当x∈P , y =2时，xy为偶数，共有10个元素.
当x∈P , y =3时，xy为奇数，
此时xy =3,9,15,21,27,33,39,45,51,57，共有10个元素.
当x∈P , y =5时，xy为奇数，
此时xy =5,15,25,35,45,55,65,75,85,95，有重复数字15,45，去掉，共有8个元素.
综上T ={xy|x∈P , y ∈Q}中元素的个数为10+10+8=28个.
故选：B.
【变式1-1】（2023 上·辽宁大连·高一校考阶段练习）已知A是由0，m，m
2−3m+2三个元素组成的集合，
且2∈A，则实数m为（ ）
A．2
B．3
C．0或3
D．0，2，3均可
【解题思路】由2∈A，可得m=2或m
2−3m+2=2，解方程求m，再去验证是否符合集合中元素性质即
可．
【解答过程】因为集合A是由0，m，m
2−3m+2三个元素组成的集合，
所以A ={0,m,m
2−3m+2}，又2∈A，
所以m=2或m
2−3m+2=2，解方程可得m=2或m=0或m=3，
当m=2时，A = {0,2}，与已知矛盾，舍去；
当m=0时，A = {0,2}，与已知矛盾，舍去；
当m=3时，A = {0,3,2}，满足题意，∴m=3，B 正确，
故选：B.
【变式1-2】（2022 上·河南商丘·高一校考阶段练习）已知集合A ={x|a x
2-3 x +2=0}的元素只有一个，则
实数a 的值为（ ）
A．9
8
B．0
C．9
8
或0
D．无解
【解题思路】集合A有一个元素，即方程a x
2-3 x +2=0有一解，分a=0，a≠0 两种情况讨论，即可得解.
【解答过程】集合A有一个元素，即方程a x
2-3 x +2=0有一解，
当a=0时，A =¿，符合题意，
当a≠0时，a x
2-3 x +2=0有一解，
则Δ=9-8a=0，解得：a=9
8
，
综上可得：a=0或a=9
8
，
故选：C.
【变式1-3】（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若集合U 有71 个元素，S ,T ⊆U且各有14，28 个
元素，则∁S∪T (S∩T )的元素个数最少是（ ）
A．14
B．30
C．32
D．42
【解题思路】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解.
【解答过程】设S∩T = M , M中有x个元素，则0≤x ≤14 , x∈N,
所以S∪T中的元素个数为14 +28−x = 42−x，因此∁S∪T (S∩T )中的元素个数为S∪T中的元素减去
S∩T中的元素个数，即为42−x−x = 42−2 x，
由于0≤x ≤14 , x∈N，所以42−2 x∈[14,42]，故当x =14时，有最小值14
故选：A.
【题型2 子集的个数问题】
【例2】（2023·河南·校联考二模）集合A ={x|1< x
2 −1<3, x∈N}的子集的个数为（ ）
A．3
B．4
C．7
D．8
【解题思路】解不等式可求得集合A，由集合元素个数与子集个数的关系直接求解即可.
【解答过程】∵A ={x|1< x
2 −1<3, x∈N}={x|4< x<8, x∈N }= {5,6,7}，
∴集合A的子集个数为2
3=8.
故选：D.
【变式2-1】（2023·山东·校联考模拟预测）满足条件{2,3}⊆A ⊆{1,2,3,4}的集合A有（ ）
A．6 个
B．5 个
C．4 个
D．3 个
【解题思路】根据子集的定义即可得解.
【解答过程】解：∵{2,3}⊆A ⊆{1,2,3,4}，
∴A ={1,2,3,4}或{1,2,3}或{2,3,4 }或{2,3}，共4 个．
故选：C．
【变式2-2】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合A = {a,b}的所有非空子集的元素之和等于12，
则a+b等于（ ）
A．1
B．3
C．4
D．6
【解题思路】首先列出集合A的非空子集，即可得到方程，解得即可.
【解答过程】解：集合A = {a,b}的非空子集有{a}、{b}、{a,b}，
所以a+b+a+b=12，
解得a+b=6.
故选：D.
【变式2-3】（2023·湖南·校联考模拟预测）设集合A ={a1,a2,a3,a4}，若A 的所有三元子集的三个元素之
和组成的集合为B = {−1,3,5,8}，则集合A =（ ）
A．{−1,3,5,8}
B．{−3,0,2,6}
C．{4,8,10,13}
D．{7,10,12,16}
【解题思路】不妨设a1<a2<a3<a4，由题意可得¿，即可得解.
【解答过程】不妨设a1<a2<a3<a4，
则A 的所有三元子集为{a1,a2,a3},{a1,a2,a4},{a1,a3,a4},{a2,a3,a4}，
由题意可得¿，解得¿，
因此集合A = {−3,0,2,6}.
故选：B.
【题型3 集合的交、并、补集运算】
【例3】（2023·全国·模拟预测）已知集合A =¿，则A ∩B =（ ）
A．(−1,4]
B．[−1,4)
C．(−3,−1)
D．(−3,−1]
【解题思路】根据交集概念进行计算.
【解答过程】因为A =¿，
所以A ∩B =(−1,4]．
故选：A．
【变式3-1】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）设集合A = {x| x−1≤1}，集合B = {x| x ≥−1}，则A ∪B =
（ ）
A．(−∞,−1]∪[2,+ ∞)
B．[−1,2]
C．RD．∅
【解题思路】利用并集定义即可求得A ∪B.
【解答过程】A = {x| x−1≤1}= {x| x ≤2}，
则A ∪B = {x| x ≤2}∪{x| x ≥−1}= R
故选：C.
【变式3-2】（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知全集U ={x∈N ∣0< x ≤6}，集合
A = {1,2,3,4},B = {1,3,5}，则∁U( A ∪B)=（ ）
A．{6}
B．{1,6}
C．{2,4,5,6}
D．{1,2,4,5,6}
【解题思路】根据集合的并集运算求得A ∪B，再根据补集的定义即可求得答案.
【解答过程】由题意知U = {1,2,3,4,5,6}, A ∪B = {1,2,3,4,5}，
所以∁U( A ∪B)= {6},
故选：A.
【变式3-3】（2023 下·河南新乡·高二统考期末）设全集U = R，集合M =¿，N =¿，则¿（ ）
A．∁U (M ∩N )
B．∁U (M ∪N )
C．M ∩(∁U N )
D．N ∪(∁U M )
【解题思路】根据集合的交并补运算即可结合选项逐一求解.
【解答过程】由题意可得M ∩N =¿,M ∪N =¿,
∁U M =¿或x ≥3}，
对于A, ∁U (M ∩N )= ¿或x ≥3}，故A 错误，
对于B，∁U (M ∪N )= ¿，故B 正确，
对于C，M ∩(∁U N )=¿，故C 错误，
对于D，N ∪(∁U M )=¿，故D 错误，
故选：B.
【题型4 集合中的含参问题】
【例4】（2023·陕西咸阳·武功县校考模拟预测）已知集合A ={x|−1< x<4}，B ={x|x−2a<0}，若
A ∩B =∅，则实数a的取值范围为（ ）
A．{a|a> 1
2}
B．{a|a<−1
2}
C．{a|a≤−1
2}
D．{a|a<0}
【解题思路】先求出集合B，再利用A ∩B =∅可得实数a的取值范围.
【解答过程】由x−2a<0，得x<2a，所以B ={x|x<2a}，
因为A ∩B =∅，所以2a≤−1，故a≤−1
2
．
故选：C．
【变式4-1】（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合A ={x∈N ||x|<2},B = {x∣ax−1=0}，若BA，则
实数a=（ ）
A．1
2
或1
B．0 或1
C．1
D．1
2
【解题思路】先求得合A = {0,1}，再分a=0和a≠0，两种情况讨论，结合题意，即可求解.
【解答过程】解：由集合A ={x∈N
∗||x|<2}= {0,1}，
对于方程ax−1=0，
当a=0时，此时方程无解，可得集合B =∅，满足BA；
当a≠0时，解得x = 1
a
，要使得BA，则满足1
a =1，可得a=1，
所以实数a的值为0或1.
故选：B.
【变式4-2】（2023·江苏镇江·扬中市校考模拟预测）若集合A =¿,则能使A ⊆B成立的所有a组成的集合为
（ ）
A．¿
B．¿
C．¿
D．¿
【解题思路】考虑A =∅和A ≠∅两种情况,得到不等式组,解得答案.
【解答过程】当A =∅时,即2a+1>3a−5,a<6时成立;
当A ≠∅时,满足¿,解得6≤a≤7;
综上所述:a≤7.
故选:C.
【变式4-3】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知集合A ={x∈Z|−1< x<3}，
B ={x|3 x−a<0}，且A ∩(∁R B)= {1,2}，则a的取值范围为（ ）
A．(0,4)
B．(0,4]
C．(0,3]
D．(0,3)
【解题思路】先求得A ={0,1,2},B ={x| x< a
3 }，得到∁R B ={x| x ≥a
3 }，结合题意得到不等式0< a
3 ≤1，
即可求解.
【解答过程】由集合A ={x∈Z|−1< x<3}={0,1,2}，B ={x|3 x−a<0}={x| x< a
3 }，
可得∁R B ={x| x ≥a
3 }，
因为A ∩(∁R B)= {1,2}，所以0< a
3 ≤1，解得0<a≤3，即实数a的取值范围是(0,3].
故选：C.
【题型5 集合的新定义问题】
【例5】（2023·湖南·校联考模拟预测）定义集合A ÷ B =¿．已知集合A = {4,8}，B = {1,2,4}，则A ÷ B的
元素的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解题思路】根据题中条件，直接进行计算即可.
【解答过程】因为A = {4,8}，B = {1,2,4}，
所以A ÷ B = {1,2,4,8}，故A ÷ B的元素的个数为4．
故选：B.
【变式5-1】（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合A −B =¿且x∉B}，已知
集合U ={x|−3< x<7 , x∈Z}，E = {−1,0,2,4,6}，F = {0,3,4,5}，则∁U(E−F)=（ ）
A．{−2,0,1,3,4,5}
B．{0,1,3,4,5}
C．{−1,2,6} D．{−2,0,1,3,4}
【解题思路】结合新定义可知E−F = {−1,2,6}，求得U，进而根据补集的定义求解即可.
【解答过程】结合新定义可知E−F = {−1,2,6}，又U = {−2,−1,0,1,2,3,4,5,6}，
所以∁U(E−F)= {−2,0,1,3,4,5}．
故选：A.
【变式5-2】（2023·全国·校联考三模）如图所示的Venn 图中，A、B是非空集合，定义集合A ⊗B为阴影
部分表示的集合．若A ={x|x =2n+1,n∈N ,n≤4}，B = {2,3,4,5,6,7}，则A ⊗B =（ ）
A．{2,4,6,1}
B．{2,4,6,9}
C．{2,3,4,5,6,7}
D．{1,2,4,6,9}
【解题思路】分析可知A ⊗B =¿，求出集合A、A ∪B、A ∩B，即可得集合A ⊗B.
【解答过程】由韦恩图可知，A ⊗B =¿，
因为A ={x|x =2n+1,n∈N ,n≤4}= {1,3,5,7,9}，B = {2,3,4,5,6,7}，
则A ∪B = {1,2,3,4,5,6,7,9}，A ∩B = {3,5,7}，因此，A ⊗B = {1,2,4,6,9}.
故选：D.
【变式5-3】（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集A，B，定义A + B = {x| x =a+b,a∈A ,b∈B}，
A ÷ B ={x| x = a
b
，a∈A ,b∈B)，若集合A = {1,2}，则集合( A + A )÷ A中所有元素之和为（ ）
A．10
2
B．15
2
C．21
2
D．23
2
【解题思路】由题意，理解新定义，可得( A + A )={2，3，4}，通过A ÷ B的集定义与集合运算即可得
出结论.
【解答过程】试题分析：根据新定义，数集A，B，定义A + B = {x| x =a+b,a∈A ,b∈B}，
A ÷ B ={x| x = a
b
，a∈A ,b∈B)，集合A = {1,2}，( A + A )={2，3，4 }，
( A + A )÷ A ={1，2，3，4，1.5}，则可知所有元素的和为11.5，
故选：D.
【题型6 充分条件与必要条件】
【例6】（2023·山东德州·德州市校联考模拟预测）若a>0，则“a
2<b
2”是“a<−b”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题思路】举出反例得到充分性不成立，a<−b两边平方得到必要性成立.
【解答过程】若a=1,b=2，满足a
2<b
2，不能得到a<−b，充分性不成立，
因为a>0，若0<a<−b，两边平方得a
2<b
2，必要性成立.
则“a
2<b
2”是“a<−b”的必要不充分条件.
故选：B．
【变式6-1】（2023·山西吕梁·统考二模）已知命题p：∀x∈[−4,2]，1
2 x
2−a≥0，则p为真命题的一个
充分不必要条件是（ ）
A．a≤−2
B．a≤0
C．a≤8
D．a≤16
【解题思路】先分离参数求出a的取值范围，则p为真命题的一个充分不必要条件应该是(−∞,0]的一个真
子集，即可得出答案.
【解答过程】由题设命题为真，即a≤1
2 x
2在x∈[−4,2]上恒成立，
所以a≤(
1
2 x
2)min
=0，
则p为真命题的一个充分不必要条件应该是(−∞,0]的一个真子集，
故选：A．
【变式6-2】（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知集合A =¿，B =¿，若x∈A是x∈B的必要
不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．{−1,0,1}
B．{−1,1}
C．{1}
D．{−1}
【解题思路】由题意，对集合B分等于空集和不等于空集两种情况讨论，分别求出符合题意的a的值即可．
【解答过程】由题，A = {−2,2}，BA，
当B =∅时，有a=0，符合题意；
当B≠∅时，有a≠0，此时B ={
2
a}，所以2
a =2或2
a =−2，所以a=±1.
综上，实数a的所有可能的取值组成的集合为{−1,0,1}.
故选：A.
【变式6-3】（2023·江苏南京·南京校考模拟预测）设A，B，C，D 是四个命题，若A 是B 的必要不充分条
件，A 是C 的充分不必要条件，D 是B 的充分必要条件，则D 是C 的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题思路】利用充分条件必要条件之间的关系进行推理判断即可.
【解答过程】因为A是B的必要不充分条件，所以B⇒A，A推不出B，
因为A是C的充分不必要条件，所以A ⇒C，C推不出A，
因为D是B的充要条件，所以D⇒B，B⇒D，
所以由D⇒B，B⇒A，A ⇒C可得D⇒C，
由C推不出A，A推不出B，B⇒D可得C 推不出D.
故D 是C 的充分不必要条件.
故选：B.
【题型7 全称量词与存在量词命题】
【例7】（2023·全国·模拟预测）已知命题p:∀x∈R ,sin x +√3cos x ≤1，则¬ p为（ ）
A．∃x∈R ,sin x +√3cos x ≤1
B．∃x∈R ,sin x +√3cos x>1
C．∃x∈R ,sin x +√3cos x ≥1
D．∀x∈R ,sin x +√3cos x>1
【解题思路】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.
【解答过程】解：因为命题p:∀x∈R ,sin x +√3cos x ≤1是全称命题，
所以¬ p为∃x∈R ,sin x +√3cos x>1．
故选：B．
【变式7-1】（2023·河北·模拟预测）命题p：∀x>1，√x +2 x−3>0，命题q：∃x∈R，
2 x
2−4 x +3=0，则（ ）
A．p真q真
B．p假q假
C．p假q真
D．p真q假
【解题思路】对于命题p：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题q：根据存在命题结合二次函数
的Δ判别式分析判断.
【解答过程】对于命题p：令t =√x>1，则y =t +2t
2−3=2t
2+t −3开口向上，对称轴为t =−1
4
，
且y |x =1=0，则y =2t
2+t −3>0，
所以∀x>1，√x +2 x−3>0，即命题p为真命题；
对于命题q：因为Δ=(−4)
2−4×2×3=−8<0，
所以方程2 x
2−4 x +3=0无解，即命题q为假命题；
故选：D.
【变式7-2】（2022 上·广西柳州·高二校考学业考试）已知命题P的否定为“∃x∈R , x
2+1≤1”,则下列
说法中正确的是（ ）
A．命题P为“∃x∈R,x
2+1>1”且为真命题
B．命题P为“∀x∉R,x
2+1>1”且为假命题
C．命题P为“∀x∈R,x
2+1>1”且为假命题
D．命题P为“∃x∈R,x
2+1≥1”且为真命题
【解题思路】根据特称命题的否定为全称命题排除AD,再举出反例即可得到答案.
【解答过程】∵命题P的否定为特称命题,
∴P:∀x∈R,x
2+1>1,排除AD;
因为当x =0时,x
2+1=1,
∴P为假命题,排除B.
故选:C.
【变式7-3】（2022 上·河南·高三校联考阶段练习）已知命题p:∀x∈R，x
2+1≥a，若¬ p为真命题，
则a 的取值范围是（ ）．
A．(−∞,1)
B．(−∞,1]
C．(1,+∞)
D．[1,+∞)
【解题思路】根据全称命题的否定得到¬ p，然后将存在问题转化为最值问题，求出(x
2+1)min
即可.
【解答过程】¬ p：∃x∈R，x
2+1<a，
因为¬ p为真命题，
所以(x
2+1)min<a，即a>1.
故选：C.
1．（2023·北京·统考高考真题）已知集合M ={x∣x +2≥0}, N ={x∣x−1<0}，则M ∩N =（ ）
A．{x∣−2≤x<1}
B．{x∣−2< x ≤1}
C．{x∣x ≥−2}
D．{x∣x<1}
【解题思路】先化简集合M , N，然后根据交集的定义计算.
【解答过程】由题意，M ={x∣x +2≥0}={x| x ≥−2}，N ={x∣x−1<0}={x| x<1}，
根据交集的运算可知，M ∩N ={x|−2≤x<1}.
故选：A.
2．（2023·全国·统考高考真题）设全集U = {0,1,2,4,6,8}，集合M = {0,4,6}, N = {0,1,6}，则M ∪∁U N =
（ ）
A．{0,2,4,6,8}
B．{0,1,4,6,8}
C．{1,2,4,6,8}
D．U
【解题思路】由题意可得∁U N的值，然后计算M ∪∁U N即可.
【解答过程】由题意可得∁U N = {2,4,8}，则M ∪∁U N = {0,2,4,6,8}.
故选：A.
3．（2022·浙江·统考高考真题）设集合A ={1,2},B ={2,4,6}，则A ∪B =（ ）
A．{2}
B．{1,2}
C．{2,4,6}
D．{1,2,4,6}
【解题思路】利用并集的定义可得正确的选项.
【解答过程】A ∪B = {1,2,4,6}，
故选：D.
4．（2023·全国·统考高考真题）设集合U = R，集合M ={x|x<1}，N ={x|−1< x<2}，则{x|x ≥2}=
（ ）
A．∁U (M ∪N )
B．N ∪∁U M
C．∁U (M ∩N )
D．M ∪∁U N
【解题思路】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为{x| x ≥2}即可.
【解答过程】由题意可得M ∪N = {x| x<2}，则∁U (M ∪N )= {x| x ≥2}，选项A 正确；
∁U M = {x| x ≥1}，则N ∪∁U M = {x| x>−1}，选项B 错误；
M ∩N = {x|−1< x<1}，则∁U (M ∩N )=¿或x ≥1}，选项C 错误；
∁U N =¿或x ≥2}，则M ∪∁U N = ¿或x ≥2}，选项D 错误；
故选：A.
5．（2023·天津·统考高考真题）已知集合U = {1,2,3,4,5}, A = {1,3},B = {1,2,4}，则∁U B∪A =（ ）
A．{1,3,5}
B．{1,3}
C．{1,2,4}
D．{1,2,4,5}
【解题思路】对集合B 求补集，应用集合的并运算求结果；
【解答过程】由∁U B ={3,5}，而A ={1,3}，
所以∁U B∪A ={1,3,5}.
故选：A.
6．（2023·全国·统考高考真题）设集合A = {0,−a}，B = {1,a−2,2a−2}，若A ⊆B，则a=（ ）．
A．2
B．1
C．2
3
D．−1
【解题思路】根据包含关系分a−2=0和2a−2=0两种情况讨论，运算求解即可.
【解答过程】因为A ⊆B，则有：
若a−2=0，解得a=2，此时A = {0,−2}，B = {1,0,2}，不符合题意；
若2a−2=0，解得a=1，此时A = {0,−1}，B = {1,−1,0}，符合题意；
综上所述：a=1.
故选：B.
7．（2023·天津·统考高考真题）“a
2=b
2”是“a
2+b
2=2ab”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【解题思路】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【解答过程】由a
2=b
2，则a=±b，当a=−b≠0时a
2+b
2=2ab不成立，充分性不成立；
由a
2+b
2=2ab，则(a−b)
2=0，即a=b，显然a
2=b
2成立，必要性成立；
所以a
2=b
2是a
2+b
2=2ab的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2023·北京·统考高考真题）若xy ≠0，则“x + y =0”是“ y
x + x
y =−2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解题思路】解法一：由x
y + y
x =−2化简得到x + y =0即可判断；解法二：证明充分性可由x + y =0得到
x =−y，代入x
y + y
x
化简即可，证明必要性可由x
y + y
x =−2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证
明充分性可由x
y + y
x
通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x + y =0代入即可，证明必要性可由x
y + y
x
通
分后用配凑法得到完全平方公式，再把x + y =0代入，解方程即可.
【解答过程】解法一：
因为xy ≠0，且x
y + y
x =−2，
所以x
2+ y
2=−2 xy，即x
2+ y
2+2 xy =0，即(x + y)
2=0，所以x + y =0.
所以“x + y =0”是“ x
y + y
x =−2”的充要条件.
解法二：
充分性：因为xy ≠0，且x + y =0，所以x =−y，
所以x
y + y
x = −y
y + y
−y =−1−1=−2，
所以充分性成立；
必要性：因为xy ≠0，且x
y + y
x =−2，
所以x
2+ y
2=−2 xy，即x
2+ y
2+2 xy =0，即(x + y)
2=0，所以x + y =0.
所以必要性成立.
所以“x + y =0”是“ x
y + y
x =−2”的充要条件.
解法三：
充分性：因为xy ≠0，且x + y =0，
所以x
y + y
x = x
2+ y
2
xy
= x
2+ y
2+2 xy −2 xy
xy
= (x + y)
2−2 xy
xy
= −2 xy
xy
=−2，
所以充分性成立；
必要性：因为xy ≠0，且x
y + y
x =−2，
所以x
y + y
x = x
2+ y
2
xy
= x
2+ y
2+2 xy −2 xy
xy
= (x + y)
2−2 xy
xy
= (x + y)
2
xy
−2=−2，
所以(x + y)
2
xy
=0，所以(x + y)
2=0，所以x + y =0，
所以必要性成立.
所以“x + y =0”是“ x
y + y
x =−2”的充要条件.
故选：C.
