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专题16 妙解离心率问题
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01 顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题...................................................................2
02 焦点三角形顶角范围与离心率.........................................................................................................2
03 共焦点的椭圆与双曲线问题.............................................................................................................3
04 椭圆与双曲线的4a 通径体...............................................................................................................4
05 椭圆与双曲线的4a 直角体...............................................................................................................5
06 椭圆与双曲线的等腰三角形问题.....................................................................................................6
07 双曲线的4a 底边等腰三角形...........................................................................................................7
08 焦点到渐近线距离为b......................................................................................................................8
09 焦点到渐近线垂线构造的直角三角形..............................................................................................9
10 以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题........................................................................................10
11 渐近线平行线与面积问题...............................................................................................................10
12 数形结合转化长度角度...................................................................................................................11
01 顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
1．（2024·安徽宣城·高三统考期末）已知椭圆
上一点
关于原点的对称点为点
，
为其右焦点，若
，设
，且
，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河北唐山·高三统考期末）已知椭圆
上一点
关于原点的对称点为点
，
为其右焦点，若
，设
，且
，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·江西南昌·高三南昌十中校考期末）已知椭圆
上一点
关于原点的对称点
为
点，
为其右焦点，若
，设
，且
，则该椭圆的离心率的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）已知双曲线
：
（
，
）右支上非顶
点的一点
关于原点
的对称点为
，
为其右焦点，若
，设
，且
，则双曲
线
离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
02 焦点三角形顶角范围与离心率
5．（2024·河南南阳·高三郑州一中阶段练习）已知
，
是椭圆
的左右两
个焦点，P 为椭圆上的一点，且
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·黑龙江·校联考）已知
，
，
，是双曲线
的两个焦点，若点Р 为椭
圆
上的动点，当P 为椭圆的短轴端点时，
取最小值，则椭圆
离心率的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·贵州·高三凯里一中校考期末）已知椭圆
，
，
分别为椭圆的左右
焦点，若椭圆
上存在点
使得
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆
，
，
分别为椭圆的左右焦点，若椭
圆C 上存在点
（
）使得
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
03 共焦点的椭圆与双曲线问题
9．（2024·安徽·校联考）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为
、
，且两条曲
线在第一象限的交点为
，
是以
为底边的等腰三角形，若
，椭圆与双曲线的离心率分
别为
、
，则
与
满足的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选题）（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知椭圆
：
与双曲线
：
（
，
）有公共焦点
，
，且两条曲线在第一象限的交点为
，若
是以
为底边的等腰三角形，
，
的离心率分别为
和
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2024·湖北孝感·高三统考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
、
，
是它们的一个交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为
、
，则
的最大值为 ．
12．（2024·江苏苏州·高三江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为
，则
等于 ．
13．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
、
，
是它们的一
个交点，
，记椭圆和双曲线的离心率分别为
、
，则
的最小值是 .
04 椭圆与双曲线的4a 通径体
14．（2024·河南·高三统考阶段练习）已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别为
、
，过
的直线与椭圆
交于
、
两点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆
：
的左右焦点分别为
､
，
(如
图)，过
的直线交
于
，
两点，且
轴，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2024·云南·校联考模拟预测）已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
（如
图），过
的直线交
于
，
两点，且
轴，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2024·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知椭圆E:
的左，右焦点分别
为
，
（如图），过
的直线交E 于P，Q 两点，且
轴，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
05 椭圆与双曲线的4a 直角体
18．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点为
，
，过
的直线交
于
，
两
点，若
，且
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2024·重庆·校联考）已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，过
的直线交
双曲线C 的左支于P，Q 两点，若
，且
的周长为
，则双曲线C 的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
20．（2024·广西桂林·高三统考期末）设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，过点
的直线交椭圆
于
，
两点，
，若
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2024·湖南·校联考）已知
，
，
是双曲线
上的三个点，直线
经过原点
，
经过右焦
，若
，且
，则该双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
22．（2024·湖北·高三开学考试）已知
是双曲线
上的三个点，
经过原点
，
经过右焦点
，若
且
，则该双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（2024·山东聊城·统考）已知A，B，C 是双曲线
上的三点，直线AB 经过原点
O，AC 经过右焦点F，若
，且
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
06 椭圆与双曲线的等腰三角形问题
24．（2024·江西上饶·高三阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线与双曲线
的右支相交于
两点，若
，且
，则双曲线的离心率
A．
B．
C．
D．
25．（2024·北京海淀·校考模拟预测）双曲线
：
的左、右焦点分别为F1、F2，过
F1的直线与双曲线C 的右支在第一象限的交点为A，与y 轴的交点为B，且△ABF2为等边三角形，则双曲
线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，已知
，
分别为双曲线
：
的左
右焦点，过
的直线与双曲线
的左支交于
、
两点，连接
，
，在
中，
，
，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
07 双曲线的4a 底边等腰三角形
27．（2024·四川成都·石室中学校考）已知
，
是双曲线
的左，右焦点，过点
作斜率为
的直线与双曲线的左，右两支分别交于
，
两点，以
为圆心的圆过
，
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
28．（2024·江西九江·统考）设双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直
线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M 为线段PQ 的中点，若P，Q，F1都在以M 为圆心的圆上，且
，则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．2
29．（2024·安徽合肥·校联考模拟预测）设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线与双曲线左右两支交于
，
两点，以
为直径的圆过
，且
，则双曲线
C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（2024·河北石家庄·统考）已知
，
分别为椭圆
的左、右焦点，点
是椭圆上
位于第一象限内的点，延长
交椭圆于点
，若
，且
，则椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
31．（2024·山东烟台·统考）已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，点
在
的右支上，
与
交于点
，若
，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
08 焦点到渐近线距离为b
32．（2024·四川泸州·高三统考期末）已知F1，F2为双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，
过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P，且与C 的右支交于点Q，若
（O 为坐标原点），则C
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
33．（2024·安徽滁州·高三统考期末）设F1，F2分别是双曲线
的左、右焦点，过
F2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若|HF1|=3|HF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
34．（2024·辽宁葫芦岛·统考）设F1，F2是双曲线C：
（a>0，b>0）的左、右焦点，O 是坐标
原点．过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝3|OP|，则C 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
35．（2024·广西玉林·统考模拟预测）已知双曲线
的焦点在
，过点
的直线与
两条渐近线的交点分别为M､N 两点(点
位于点M 与点N 之间)，且
，又过点
作
于
P(点O 为坐标原点)，且
，则双曲线E 的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
09 焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
36．（2024·安徽宣城·统考）设
是双曲线
的一个焦点，过
作双曲线的一条渐近线
的垂线，与两条渐近线分别交于
两点．若
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．5
37．（2024·浙江台州·高三台州一中校考阶段练习）如图，已知双曲线
，过其右焦
点F 作渐近线的垂线，垂足为H，交另一条渐近线于点A，已知O 为原点，且
，则该双曲线的
离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
38．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知双曲线
，过其右焦点
作
渐近线的垂线，垂足为
，交
轴于点
，交另一条渐近线于点
，并且点
位于点
，
之间．已知
为原点，且
，则双曲线离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
39．（2024·四川巴中·统考模拟预测）已知双曲线
：
（
，
），过
的右焦点
作垂
直于渐近线的直线交两渐近线于
，
两点，
，
两点分别在一、四象限，若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
10 以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
40．（2024·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考开学考试）已知双曲线C：
（
，
）的
左、右焦点分别为
、
，过
的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若
，
，
则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
41．（2024·江苏徐州·统考模拟预测）已知
是双曲线
的左焦点，圆
与双曲
线在第一象限的交点为
，若
的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A．
B．2
C．
D．
42．（2024·山东烟台·统考）设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
作倾斜角
为
的直线与
轴和双曲线的右支分别交于点
、
，若
，则该双曲线的离心率为
A．2
B．
C．
D．
43．（2024·甘肃兰州·校联考）(2017·兰州模拟)已知F1，F2为双曲线
(a>0，b>0)的左、右焦
点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双
曲线的离心率为( )
A．
B．2
C．
D．
44．（2024·福建莆田·统考）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，以线段
为
直径的圆与
的渐近线在第一象限的交点为
，且
.设
的离心率为，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
11 渐近线平行线与面积问题
45．（2024·安徽芜湖·统考）设
为双曲线
上任意一点，过点
作双曲线两渐近线
的平行线，分别与两渐近线交于
，
两点．若
的面积为4，则双曲线D 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
46．（2024·浙江·校联考模拟预测）过双曲线
上的任意一点
，作双曲线渐近线的
平行线，分别交渐近线于点
，
，若
，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
47．（2024·福建·）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过双曲线C 上任意一点
P 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为
，
等于
展开式的常数项，
则双曲线C 的离心率为
A．3
B．3 或
C．
D．
或
12 数形结合转化长度角度
48．（2024·山东泰安·统考）已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，椭圆C 在第一
象限存在点M，使得
，直线
与y 轴交于点A，且
是
的角平分线，则椭圆C 的
离心率为 .
49．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆
的左、右顶点分别为
，
，右焦点为
，
为椭圆上一点，直线
与直线
交于点
，
的角平分线与直线
交
于点
，若
，
的面积是
面积的6 倍，则椭圆
的离心率是 .
50．（2024·四川凉山·高三统考期末）已知椭圆
，左、右焦点分别为
、
，若过
的直线与圆
相切，与椭圆在第一象限交于点P，且
垂直于x 轴，则椭圆的离心率
为 ．
