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专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题
目 录
01 倍长定比分线模型...........................................................................................................................2
02 倍角定理..........................................................................................................................................6
03 角平分线模型.................................................................................................................................10
04 隐圆问题........................................................................................................................................17
05 正切比值与和差问题.....................................................................................................................19
06 四边形定值和最值.........................................................................................................................24
07 边角特殊，构建坐标系.................................................................................................................30
08 利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题.........................................................40
09 利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围............................................................................44
10 三角形中的几何计算.....................................................................................................................55
11 三角形的形状判定.........................................................................................................................59
01 倍长定比分线模型
1．（2023·四川成都·统考一模）在
中，角
所对的边分别为
，且
是
的中点，
，则
，
.
【答案】
/
【解析】空1：
在
中，则
，即
，
整理得：
，解得
或
（舍去），
故
，
在
中，则
，
故
；
空2：
在
中，由
，则
，
在
中，由
，则
，
故
.
故答案为：
；
.
2．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）在①
，②
，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在
中，内角
的对边分别为
，且满足____．
(1)求
；
(2)若
的面积为
在边
上，且
，
，求
的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
【解析】（1）方案一：选条件①.
由
，可得
，
由正弦定理得
，
因为
，所以
，
所以
，
故
，
又
，于是
，即
，
因为
，所以
方案二：选条件②．
，由正弦定理得
，
即
，
，
由余弦定理得
又
，所以
（2）由题意知
，得
．①
，即
②
联立①②解得
而
，
由余弦定理得
，故
即
的值为
3．（2023·辽宁·高三校联考期末）在①
，②
，③
，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题，在△ABC 中，
内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求C；
(2)若△ABC 的面积为
，D 在边AC 上，且CD=
CA，求BD 的最小值．
【解析】（1）方案一：选条件①．
由
，可得
，
由正弦定理得
，
因为
，所以
，
所以
，
故
，
又
，于是
，即
，
因为
，所以
．
方案二：选条件②．
因为
，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式得
，即
，
因为
，所以
，
又
所以
，因为
，所以
．
方案三：选条件③．
，由正弦定理得
，
即
，∴
，∴由余弦下定得
．
又
，所以
．
（2）由题意知
，得
．
由余弦定理得
，
当且仅当
且
，即
时取等号，所以
的最小值为
．
4．（2023·江苏南京·高三统考期末）如图，设
中角
、
、
所对的边分别为
、
、，
为
边上的中线，已知
，
，
．
(1)求边
、的长度；
(2)求
的面积；
(3)点
为
上一点，
，过点
的直线与边
、
（不含端点）分别交于
、
．若
，求
的值．
【解析】（1）因为
，
所以，
，即
，
所以，
，即
，即
．
又因为
，所以
，
.
（2）设
，因为
为
边上的中线，
所以，
，
则
，
，
，①
整理得
，即
，
得
或
，
由①，得
，所以，
，则
，
故
，
因此，
．
（3）由（2）知，
，
为
的中点，则
．
设
，
，其中
、
．
所以
，得
．
又
、
、
三点共线，则
、
共线，
设
，则
，所以，
，
因为
、
不共线，则
，即
，
由
，得
，
又
，
所以
，
即
，
又因为
，
所以，
，所以，
，解得
，
所以：
，
，
所以
．
02 倍角定理
5．（2023·河南·高三校联考阶段练习）从①
；②
；③
，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解答问题．
在锐角
中，角
所对的边分别为
，且________．
(1)证明：
；
(2)求
的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）选择①：由
及余弦定理可得
；
即
，
又
，
所以
，
即
，可得
．
又易知
，可得
，
所以
或
，
即
或
（舍），
故
．
选择②：由
及
，得
，
则由正弦定理得
，
又
，
，
即
，
所以
．
又
，可得
，
所以
，
故
．
选择③：由
可得
，
即
，所以
．
又
，可得
，
所以
，
故
．
（2）令
，
由（1）可知
，可得
．
由锐角
可得
，
即
，解得
，
所以
．
令
，
根据对勾函数的性质知
在
上单调递增，
可得
，
即
的取值范围是
．
6．（2023·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，
．
(1)证明：
；
(2)若
，且
为锐角三角形，求
的取值范围．
【解析】（1）证明：∵
，
∵
，∴
，
∴
，∴
，
∴
，
∴
，∴
，
∴
，
∴A，B，C∈（0，π），∴
即
．
（2）∵
，且a＝2，∴
∵A＝2C，∴
，
∵
为锐角三角形，所以
,
∴
，∴
，
由a＝2，
，所以
，则
，
且
，
设
,
，
设
，则
，
∴
，
，
所以
,
为减函数，
∴
．
7．（2023·湖南·高三校联考期末）记
的内角
的对边分别为
，已知
，且
.
(1)证明：
；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
的取值范围.
【解析】（1）证明：依题意知
，
故
，即
，
由余弦定理得
，
代入
可得
，
因为
，所以
，即
；
（2）由题意
为锐角三角形，且
，
由（1）知，则
，
由正弦定理得，
，其中
为锐角，所以
，
因为
，则
，解得
，
则
，则
，即
，
因此
.
03 角平分线模型
8．（2023·山东德州·德州市第一中学校联考模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，
，，
已知
．
(1)求角
和角
之间的等式关系；
(2)若
，
为
的角平分线，且
，
的面积为
，求的长．
【解析】（1）由
得
，
因为
，所以
，故
，
即
，
，
由于
，故
，
则
或
；
（2）由（1）
或
，
因为
，得
，
，
为
的角平分线，故
，
故
，
因为
，
在
中，由正弦定理得
，
即
，解得
，
在
中，由正弦定理得
，
即
，解得
，
由
的面积为
，得
，
因为
，所以
，解得
，
因为
，故
，所以
，
所以
.
9．（2023·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）在
中，角A，B，C 所对的边分
别a，b，c，且
(1)求角A 的值；
(2)若
，BC 边上的中线长为1，
为角A 的角平分线，求
的长．
【解析】（1）
，由正弦定理得，
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，故
，
因为
，所以
；
（2）
，由正弦定理得
，即
，
如图所示，
为
的中点，故
，
由（1）可知，
，
延长
至点
，使
，故
，
连接
，延长
，
相交于点
，
因为
，所以
≌
，
故
，
，所以
，
因为
，所以
，且
，
故
为等边三角形，
设
，则
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
，
故
，则
，
，
因为
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，
故
，
所以
.
10．（2023·河南·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，
的面积记为S，已
知
，
．
(1)求A；
(2)若BC 边上的中线长为1，AD 为角A 的角平分线，求CD 的长．
【解析】（1）因为
，所以
，即
，
由正弦定理可得
，即
所以
．
因为
，所以
．
（2）设AE 为BC 边上的中线，可得
，
如下图所示：
则
，
所以
，解得
．
因为
，
所以
，
所以
；由
可得
，
利用余弦定理可得
，
所以
．
11．（2023•甲卷）在
中，
，
，
，
为
上一点，
为
的平
分线，则
．
【答案】2．
【解析】如图，
在
中，
，
，
由正弦定理可得
，
，又
，
，
，
又
为
的平分线，且
，
，又
，
，
．
故答案为：2．
12．（2023·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第一中学校考阶段练习）记
的内角A，B，C 的对边分别为
a，b，c，已知
．
(1)求A；
(2)若
，
，
的角平分线交BC 于点D，求
的长．
【解析】（1）∵
，
∴由正弦定理得：
，
∴
，
即
，
又∵
，
∴
，则有
，
∴
，
即
，
又∵
，∴
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∵
，
∴
，解得
；
（2）由
得，
，所以
，
由（1）知，
，
由余弦定理得：
，
因为
，所以
，
∴
，
由
得：
，
∴
．
13．（2023·四川绵阳·统考二模）在三角形ABC 中，角A、B、C 所对边分别为a，b，c．已知
，
．
(1)求边b 的长；
(2)延长BC 至D，使得
，连接AD．已知
为锐角，且它的角平分线与AB 交于点E，若
外接圆半径为
．求
长．
【解析】（1）因为
，
所以由正弦定理可得
，
所以
又因为
，所以
，
∴
，即
，∴
（2）由（1）可知，
在
中，由正弦定理：
，
可得：
，所以
，
∵
为锐角，∴
由
可得：
即
①
因为
，所以
，
在
中，由余弦定理可求得
，求得
，
代入①可解得：
04 隐圆问题
14．（2023·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190 年）的著作
《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他
证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（
且
）的点的轨迹是圆，后人将这个圆
称为阿氏圆现有
，
，
，则当
的面积最大时，它的内切圆的半径为 .
【答案】
【解析】∵
，∴
为非零常数，故点B 的轨迹是圆.
以线段
中点为原点，
所在直线为x 轴建立直角坐标系，则
，
，设
，
∵
，
，
，整理得
，
因此，当
面积最大时，
边上的高为圆的半径4.此时
，
，
设内切圆的半径为r，则
，解得
.
故答案为：
15．（2023·江苏南京·高三南京市雨花台中学校考阶段练习）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世
界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平
面内与两定点距离的比为常数
（
且
）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有
，
，当
的面积最大时，则
的长为 .
【答案】
【解析】因为
，由正弦定理可得
，即
，因为
，不妨令
，
，
建立如图所示的平面直角坐标系，
设点
的坐标为
，点
的轨迹方程满足：
，
整理可得：
，
，
即点
的轨迹是以
为圆心，4 为半径的圆（除与
轴两交点外），
当点
的坐标
或
时三角形的面积最大，其最大值为
，
由勾股定理可得
．
故答案为：
．
16．（2023·四川·校联考二模）阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓
氏命名的
“阿氏圆”，是“指平面内到两定点的距离的比值为常数
的动点轨迹”，设
的角A，
B，C 所对的边分别为a，b，c，顶点C 在以A，B 为定点，
的一个阿氏圆上，且
，
的面
积为
，则
.
【答案】
【解析】由已知，不妨设
，
，
，
解得
，则
，
由余弦定理有
，
所以
.
17．（2023·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）材料一：已知三角形三边长分别为
，则三角形的面积为
，其中
.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯
（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点
的距离的和等于常数
（大于
）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知
中，
，则
面积的最大值为（ ）
A．6
B．10
C．12
D．2
【答案】C
【解析】用材料一：根据海伦-秦九韶公式，
，其中
，
由题意，可知
，
，
，且
，
故
，
当且仅当
，即
时取等号.
用材料二：以
的中点为原点，
所在直线为
轴，
的垂直平分线为
轴，
由椭圆的定义易知，椭圆方程为
，
所以
面积
（
为
到
的距离），，
可知当点
位于短轴的顶点时，
取到最大值为4，
所以
，
当且仅当
时取等号.
故选：C.
05 正切比值与和差问题
18．（2023·江苏南京·高三金陵中学校考期中）已知△ABC 为锐角三角形，设角A，B，C 所对的边分别为
a，b，c．R 为△ABC 外接圆半径．
（1）若R＝1，且满足
，求
的取值范围；
（2）若
，求
的最小值．
【解析】（1）因为
，
所以由正弦定理，得
，
又由余弦定理，得
，所以
，
即
，所以
，
又因为△ABC 为锐角三角形，所以
，
所以
，
因为△ABC 为锐角三角形，所以
，即
，所以
，
所以
，即
，所以
，
所以
，
即
的取值范围为
.
（2）因为
，
所以
，即
，
又因为△ABC 为锐角三角形，所以
，所以
，
所以由正弦定理，得
，
又因为
，所以
，
所以
，即
,
两边同时除以
，得
，
因为
且△ABC 为锐角三角形，
所以
，所以
所以
，
所以
，
令
，则
，
所以
，
当且仅当
时，即
时等号成立，
所以
的最小值为.
19．（多选题）（2023·湖北咸宁·高三统考期末）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
的面积为
D．
的周长为
【答案】BC
【解析】因为
，
，所以
，
由正弦定理知
，
化简得
，
所以
A，
因为
，所以
，所以
又因为
，所以
，
故B 正确；
由
，可得
，
所以
，
所以
，
由正弦定理可得
，即
故A 错误；
故
的面积为：
，故C 正确；
由余弦定理知
，
所以
，
，故
的周长为
，故D 错误；
故选：BC.
20．（2023·湖北·统考一模）锐角
中，角A 所对的边为
，
的面积
，给出以下结论：①
；②
；③
；
④
有最小值8.其中结论正确的是
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】分析：由三角形的面积公式得
，结合正弦定理证得①正确；把①中的
用
表示，
化弦为切证得②正确；由
，展开两角和的正切证得③正确；由
，结合
②转化为关于
的代数式，换元即可求得最值，证得④正确.
由
，得
，
又
，得
，故①正确；
由
，得
，
两边同时除以
，可得
，故②正确；
由
且
，
所以
，整理移项得
，
故③正确；
由
，
，
且
都是正数，
得
，
设
，则
，
，
当且仅当
，即
时取“=”，
此时
，
，
所以
的最小值是，故④正确，故选D.
21．（2023·江西·高三校联考阶段练习）在
中，角A、B、C 的对边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，求
的值．
【解析】（1）由题意得
，所以
，
则由正弦定理得
，
因为
，所以
，
因为
，
所以
，所以
．
（2）
，则
，
又
，可得
，
因为
，所以
，
则
，所以
，
所以
，则
．
06 四边形定值和最值
22．（2023·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）广州市从化区政府拟在云岭湖建一个旅
游观光项目，设计方案如下：如图所示的圆O 是圆形湖的边界，沿线段AB，BC，CD，DA 建一个观景长
廊，其中A，B，C，D 是观景长廊的四个出入口且都在圆O 上，已知：BC=12 百米，AB=8 百米，在湖中
P 处和湖边D 处各建一个观景亭，且它们关于直线AC 对称，在湖面建一条观景桥APC．观景亭的大小、
观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计，设
．
(1)当
时，求三角形区域ADC 内的湖面面积的最大值；
(2)若CD=8 百米且规划建亭点P 在三角形ABC 区域内（不包括边界），试判断四边形ABCP 内湖面面积是
否有最大值？若有，求出最大值，并写出此时
的值；若没有，请说明理由．
【解析】（1）∵
，∴在
中，
令AD=x，CD=y， 在
中，
∴
，
∵
，
∴
（当且仅当x=y 时，取等号）
∵
，∴
（平方百米）
所以三角形区域ADC 内的湖面面积最大值
平方百米．
（2）∵点P 和点D 关于直线AC 对称，∴
，PC=CD=8
由（1）知
，∴
∵
，∴
∵点P 在
区域内
∴
，∴
，
∵在
中，
在
中，
∴
解得
或
（舍去），
∵
，∴四边形ABCP 内的湖面面积有最大值，
所以当
时，四边形ABCP 内的湖面面积取到最大值，最大值为32 平方百米
23．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）在平面四边形
中，
，
，
，
.
(1)若
，求
的面积.
(2)求
的最大值.
【解析】（1）
由
，
，
，
则
，
即
，有
，故
，
由
，
，则
为正三角形，
即有
，
，
则
；
（2）
由
，
，
作出
外接圆，令圆心为
，
则
外接圆半径
，
即有
，
，
则
，则
，
即有
，
即
，
则
，当且仅当
、
、
三点共线时等号成立，
即
的最大值为
.
24．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
满足
.
(1)求
的大小；
(2)如图，
，在直线
的右侧取点
，使得
，求
为何值时，四边形
面积
的最大，并求出该最大值．
【解析】（1）由题意，
，
由正弦定理得
即
又因为
中，
，
所以
，
又因为
，所以
，即
．
又
，故
.
（2）由（1）知，
，
因为
，所以
为等边三角形，
在
中，由余弦定理得，
，
而
，
，
所以四边形
的面积为
，
因为
，
，
当
，即
时，取得最大值，为
，
故四边形
面积的最大值为
．
25．（2023·辽宁·高三统考期中）如图，已知
三个内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
，
．
(1)求
；
(2)
是
外一点，连接
，
构成平面四边形
，若
，求
的最大值．
【解析】（1）由已知
，
则
，
所以
，
化简可得
，
又在
中，
，所以
，
则
，即
，
又
，
，
所以
，
，
所以
；
（2）由（1）得
，
设
，则
，
在
中，由正弦定理得
，
即
，且
，
即
，
在
中，
由余弦定理得
，
即
，
由
，所以
，
所以当
，即
时，
取得最大值为，
所以
的最大值为.
26．（2023·上海浦东新·高三上海市建平中学校考期中）如图所示为某小区在草坪上活动区域的平面示意
图，在
四个点分别建造了供老年人活动的器械.
四个点所围成的四边形即为老年人的活
动区域.为了便于老年人在草坪上行走，小区建造了
，
，
，
，
，
六条步行道，其中
，
，
，
.设
，
，为四边形
的面积.
(1)若
，求的值:
(2)求的最大值，并求取到最大值时
的值.
【解析】（1）在
中，由余弦定理得，
，
在直角
中，
，故
，
设
和
分别为
和
的面积，
故
，
，
故
.
（2）在
中，由余弦定理得，
，
在直角
中，
，
设
和
分别为
和
的面积，
故
，
，
可得
，
故
，当且仅当
时取到.
27．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考阶段练习）2023 年8 月27 日，哈尔滨马拉松在哈尔滨音乐公园
音乐长廊鸣枪开跑，比赛某补给站平面设计图如图所示，根据需要，在设计时要求
，
，
(1)若
，
，求
的值；
(2)若
，四边形ABCD 面积为4，求
的值．
【解析】（1）在
中，∵
，则
∴
．
在
中，由正弦定理得，
，
∴
．
由
，得
，
∴
，
∴
．
（2）在
、
中，由余弦定理得，
，
，
从而
①，
由
得，
②，
得，
，
即
，
∴
．
07 边角特殊，构建坐标系
28．（2023·江苏南京·统考一模）在△ABC 中，角
所对的边分别为
．若
，
则△ABC 的面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】方法1：在△ABC 中，以线段
所在的直线为
轴，
的中垂线为
轴，建立平面直角坐标系，
则
，
，设
，
因为
，所以
.
得
，
整理得
，即
是如图1 所示的圆上的动点.
如图2，当点C 在y 轴上时，即
时，△ABC 面积最大，
故
，当
时，即
时，△ABC 面积取得最大值为
.
方法2：如图3，CD 是△ABC 边AB 上的高，设
，
，
，由
，得
，即
，又
，得
当且仅当
时取等号)，所以
，
又
，
当且仅当
时，等号成立，即
，
将
与
代入
中，得
.
所以△ABC 面积的最大值为
.
方法3:由三角形面积公式，得
，即
，
由
，得
，由余弦定理，得
，
所以
(当且仅当
时取等号)，
当
时，即
时，
取得最大值
，即
，所以△ABC 面积的最大值为
.
(也可以用基本不等式求
的最大值，
即
，
当
时，即
时取等号，所以△ABC 面积的最大值为
.)
方法4：在△ABC 中，由余弦定理，得
，由
，得
，即
，又
，所以
，即
，故
，又
，所以
，令
，
，得
，令
，得
，
0
极大值
即当
时，
，
，所以△ABC 面积的最大值为
.
29．（2023·全国·高三专题练习）在
中，角
所对的边分别为
，
，．若
，在
所在的平面内存在点
，使得
，则
的面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】以
所在直线为
轴，
边的垂直平分线为
轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设
，
，
，
，
，
.
由
，得
，即
①，又
，
故
②，其中①式可以看作以(0，0)为圆心，半径为
的圆的轨迹方程，②式可以看作
以
为圆心，半径为的圆的轨迹方程，
由题意知两圆有公共点，即点
，则
③，
又
，得
④，由③，④得
，
因为
，所以
，
当
时，
取得最大值
，所以
的最大值为
.
故答案为：
.
30．（2023·河北张家口·高三统考开学考试）在
中，
，
为
边上的中线，
，
则该三角形面积最大值为 ．
【答案】8
【解析】法一：如图建立直角坐标系，
设
，由
得：
，
即：
，
所以点A 的轨迹为以
为圆心，半径为
的圆，
，
所以当A 到x 轴距离最大时，即为半径
时，
面积最大.
故
．
法二：设
，则
，在
中，
由余弦定理可知，
，
，
而
，
，
由图可知，
为半圆上的点与
连线的斜率，其最小值为直线
的斜率
，
故
面积的最大值为
.
故答案为：8.
31．（2023·四川成都·高三川大附中校考阶段练习）在
中，内角
所对的三边分别为
，
且
，若
的面积为，则
的最小值是 .
【答案】
【解析】因为△ABC 的面积为1，所以
，
可得
，由
，可得
，
设
，其中
，
因为
表示点
与点
连线的斜率，
如图所示，当过点P 的直线与半圆相切时，此时斜率最小，
在直角△OAP 中，
，可得
，
所以斜率的最小值为
，
所以m 的最大值为
，所以
，所以
，
即BC 的最小值为
，
故答案为：
32．（2023·全国·高三专题练习）
为等边
内一动点，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，
不妨设等边
的边长为2，
为
的中点，
延长
至
，使得
，以点
为圆心，
为半径作圆弧
，
为
内一动点，
，
点
在弦
所对的弧
上，
由图可知：当点
取与
轴的交点时，
，
以
为原点，
为
轴，建立平面直角坐标系，
可得：
，
，
，
．
点
所在圆的方程为：
．
设参数方程为：
，
，
令
，化为：
，
设
，
，
则
，
解得
，
，故
的最小值为
．
故答案为：
.
33．（2023·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）正三角形
中，
为
中点，
为三角形内满足
的动点，则
最小值为 .
【答案】
【解析】不妨设正三角形
的边长为
，
以
为坐标原点，
正方向为
轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
则
，
，
，
设
，则
，
，
，
，
，即
，
点轨迹为：
，
；
当
时，
，
；
当
时，令
，则表示
与
连线的斜率，
设直线
与圆
相切，
则圆心到直线距离
，解得：
或
，
，
则当
时，
取得最小值
，
；
综上所述：
的最小值为
.
故答案为：
.
34．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，面积为
，有以下四个命题中正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．当
，
时，
不可能是直角三角形
C．当
，
，
时，
的周长为
D．当
，
，
时，若
为
的内心，则
的面积为
【答案】ACD
【解析】对于选项A：
（当且仅当
时取等号）．
令
，
，故
，
因为
，且
，
故可得点
表示的平面区域是半圆弧上的点，如图所示：
目标函数
上，表示圆弧上一点到点
点的斜率，
数形结合可知，当且仅当目标函数过点
，即
时，取得最小值
，
故可得
，
又
，故可得
，
当且仅当
，
，即三角形为等边三角形时，取得最大值，故选项A 正确；
对于选项B：因为
，所以由正弦定理得
，若
是直角三角形的斜边，
则有
，即
，得
，故选项B 错误；
对于选项C，由
，可得
，由
得
，
由正弦定理得，
，即
，
所以
，化简得
，
因为
，所以化简得
，
因为
，所以
，所以
，则
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
，
所以
的周长为
，故选项C 正确；
对于选项D，由C 可知，
为直角三角形，
且
，
，
，
所以
的内切圆半径为
，
所以
的面积为
.
所以选项D 正确.
故选：ACD
35．（2023·福建·统考模拟预测）在
中，
，
，
，
为
所在平面上的一
点，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．25
C．
D．
【答案】B
【解析】以
为原点，
，
分别为
轴，
轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，
，设
，则
，
，
，
所以
，
而
与
的距离为
，故其最大值为
，
的最大值为
．
故选：B
08 利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
36．（2023·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）在
中，
所对的边分别为
，且
，
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长.
【解析】（1）因为
，由正弦定理可得
，
又因为
，
即
，则
，
且
，则
，可得
，
因为
，所以
.
（2）因为
的面积为
，可得
，
由余弦定理可得
，即
，
整理得
，可得
，
所以
的周长为
.
37．（2023·福建泉州·高三福建省德化第一中学校联考阶段练习）已知函数
(1)当
，求
的最值，及取最值时对应的
的值；
(2)在
中，
为锐角，且
，求
的面积．
【解析】（1）
，
，
，
当
，即
时，
；
当
，即
时，
；
（2）由
，即
，
而
为锐角，
，则
，
，
又
，
由余弦定理得
，即
，即
，
.
38．（2023·四川甘孜·统考一模）已知①
，②
，③
，从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题.在
中，内
角
的对边分别为
，并且满足__________.
(1)求角
；
(2)若
为角
的平分线，点
在
上，且
，求
的面积.
【解析】选①：由
，
得
，
因为
，则sin B>0，
可得
，
所以
.
选②：由正弦定理得
，即
，
由余弦定理得
，
选③：由
得
则
即
，
且
，可知
，则
，
解得
，即
，
，故
.
（2）由
，得
，
即
.
由余弦定理得
，所以
.
解得
（舍去）或
，所以
.
39．（2023·全国·高三专题练习）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)若
的面积为
，求a 的最小值；
(2)若
，BC 边上的中线长为
，且
的外接圆半径为
，求
的周长．
【解析】（1）
，
又
，则
，
又
，则
.
，
又
，所以
，
则
，解得
，当且仅当b＝c＝1 时取等号，故a 的最小值为1；
（2）由正弦定理得
，
设BC 的中点为E，则
，两边平方得
，
即
①
由余弦定理得
②，
①－②得
，又
，解得
，
故
的周长为
．
40．（2023·江西上饶·高三校联考期末）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任
意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形
的顶点”.如图，在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.以
AB，BC，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为
，
，
.
(1)求角A；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长.
【解析】（1）因为
，
有余弦定理可得
，
即
，
由正弦定理可得
，
即
，即
，
因为
，所以
，
因为
，所以
.
（2）如图，连接
，
，则
，
，
正
面积
，∴
，
而
，则
，
在
中，由余弦定理得：
，
即
，则
，
在
中，
，
，由余弦定理得
，
则
，∴
，
，
∴
，所以
的周长为
.
09 利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
41．（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
．
(1)求证：
；
(2)求
的取值范围．
【解析】（1）因为
，
所以
.
所以
，
所以
，
所以
．因为在
中，
，
所以
，由
，
得
．
（2）在锐角
中，
，
，
因为
，得
，C 为锐角，
故
，故
，令
，
又函数
在
上都单调递增，则
在
上都单调递增，
所以
在
上单调递增，
所以
．
42．（2022•上海）如图，在同一平面上，
，
，
为
中点，曲线
上任一点到
距离相等，角
，
，
关于
对称，
；
（1）若点
与点
重合，求
的大小；
（2）
在何位置，求五边形
面积
的最大值．
【解析】（1）点
与点
重合，由题意可得
，
，
，
由余弦定理可得
，
所以
，在
中，由正弦定理得
，
所以
，解得
，
所以
的大小为
；
（2）如图，连结
，
，
，
，
曲线
上任意一点到
距离相等，
，
，
关于
对称，
点在劣弧
中点或劣弧
的中点位置，
，
则
，
则五边形面积
，其中
，
当
时，
取最大值
，
五边形
面积
的最大值为
．
43．（2020•新课标Ⅱ）
中，
．
（1）求
；
（2）若
，求
周长的最大值．
【解析】（1）设
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，
因为
，
由正弦定理可得
，
即为
，
由余弦定理可得
，
由
，可得
；
（2）由题意可得
，
又
，可设
，
，
，
由正弦定理可得
，
可得
，
，
则
周长为
，
，
当
，即
时，
的周长取得最大值
．
另
，
，又
，
，
由
，则
（当且仅当
时，“
”成立），
则
周长的最大值为
．
44．（2022•新高考Ⅰ）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
．
（1）若
，求
；
（2）求
的最小值．
【解析】（1）
，
，
．
，
化为：
，
，
，
，
，
，
．
（2）由（1）可得：
，
可得
为钝角，
，
．
在三角形中，
，
，当且仅当
时取等号．
的最小值为
．
45．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）在
中，角
的对边分别为
，
.
(1)求角
；
(2)若
为钝角三角形，且
，求
的取值范围.
【解析】（1）由
，得
，
即
，所以
，
又
，所以
，又
且
，所以
.
（2）由正弦定理，得
，
所以
，所以
，
因为
是钝角三角形，不妨设
为钝角，则
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
的取值范围是
.
46．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，
b，c，且a，b，
成等比数列．
(1)若
，求角C；
(2)若
的面积为S，求
的取值范围．
【解析】（1）由题设
，即
，且
，
由
，即
，
所以
，即
，
所以
，故
，
所以
或
（舍），可得
，故
.
（2）由（1）知
，
为锐角三角形，则
，可得
，
又
，则
，
所以
，
又
，
，故
，
整理得
，令
，则
，
所以
，令
，则
，
故
在
上递减，
，即
，
所以
在
上递减，故
.
47．（2023·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）已知H 为锐角
的垂心，
为三角形
的三条高线，且满足
.
(1)求
的值.
(2)求
的取值范围.
【解析】（1）记
的三个内角为
.
因为H 为锐角
的垂心，
为三角形的三条高线，
所以
，故
，
所以
，
同理可得
，
，
所以
，
因为
，
所以
；
（2）因为
，
，
故
，
即
，
设
，则
，解得
，
故
当
时，等号成立，
又
为锐角三角形，故当
等号成立，
所以当
时，
取得最小值，
当
时，
取得最大值，
因此，
的范围是
.
48．（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）如图，在平面凸四边形
中，
为边
的中点．
(1)若
，求
的面积；
(2)求
的最大值．
【解析】（1）因为
，
，由余弦定理可得，
，
则
，且
，
，所以
，
则
的面积为
.
（2）
取线段
的中点为
，连接
，
设
，
，因为
，
由余弦定理可得，
，
由正弦定理可得，
，则
，
因为
分别为
的中点，所以
，且
，
所以
，且
，所以
，
在
中，由余弦定理可得，
，
由
可得，
，
所以当
时，即
时，
取得最大值
，
所以
的最大值为
.
49．（2023·广东肇庆·高三统考阶段练习）如图，在四边形
中，
，
，
，
.
(1)若
，求
；
(2)求
的最大值.
【解析】（1）由题意知
，
，
，所以
.
在
中，
，
，
所以
.
在
中，由余弦定理得，
，
所以
.
（2）过点
作
于点
，由
，
，
，
，
可得
，
，
设
，当
时，点
在点
的右侧，如图①，
，则
.
当
时，点
在点
的左侧，如图②，
，则
.
又
，所以当
，且
时，
.
当
时，点
与点
重合，
，满足上式，
所以
，其中
.
令
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，此时
取得最大值
，
因为
，所以
为锐角，
所以当
时，
取得最大值
.
50．（2023·山东青岛·高三统考期中）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知
．
(1)若
，求C；
(2)若
，且
，求
的最小值．
【解析】（1）∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
或者
，
由
，得
，从而
，
由
得
，
∴
，则
，而
，故
综上，
或
；
（2）∵
，∴
，即
，
由（1）知
，
，
又
，∴
，
∴
，
由正弦定理，
，
，
，当且仅当
时取等号，
∴
的最小值为
.
10 三角形中的几何计算
51．（2023·广东汕头·高三统考期中）在凸四边形
中，对角线
交于点
，且
.
(1)若
，求
的余弦值；
(2)若
，求边
的长.
【解析】（1）因为
，所以
，设
，
在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
，解得
，所以
，
在
中，由余弦定理得
；
（2）在
中，由正弦定理得
，
所以
，又
为三角形的内角，所以
，
所以
，
，且
，
所以
，又
，
在
中，由余弦定理得
，所以
.
52．（2023·河南·高三内黄县第一中学校联考阶段练习）已知平面四边形ABDC 中，对角线CB 为钝角
的平分线，CB 与AD 相交于点O，
，
，
.
(1)求CO 的长；
(2)若
，求
的面积.
【解析】（1）在
中，由余弦定理得
，
解得
或
（舍去）.
因为
，所以
.
所以
，解得
（负值舍去），
所以
.
因为
，
所以
.
所以
.
所以
.
（2）在
中，由正弦定理可得
，
则
，由于
为锐角，所以
.
因为
，所以
，
所以
，所以
，
由余弦定理可得
，解得
.
因为
，
所以
，
所以
.
53．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）在
中，
，
的面积为
，
为
的中点，
于点
于点
.
(1)求
的面积；
(2)若
，求
的值.
【解析】（1）在四边形
中，
，
，
故
，
故
，
作
于点
，
于点
，
又
为
的中点，
则
，
，
故
.
（2）设
的三条边
，
，
分别为
，
，，
由
，知
，
延长
到点
，使
，连接
，
则
，
，
则在
中，
，
，
故由
与
可得，
，则
，
，则
，
由正弦定理得
，
则
.
11 三角形的形状判定
54．（2023·全国·高三专题练习）设△
的三边长为
，
，
，若
，
，则△
是（ ）．
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】设
，△
的内切圆半径为r，如图所示，
法一：
∴
①；
②.
÷
①②，得：
，即
．
于是
，
，
，
从而得
或
，
∴
或
．故△
为等腰三角形或直角三角形，
（1）当
时，内心I 在等腰三角形
的底边上的高
上，
，从而得
．
又
，代入①式，得
，即
，
上式两边同时平方，得：
，化简
，即
．即△
直角三角形，
∴△
为等腰直角三角形．
（2）当
时，易得
．
代入②式，得
，此式恒成立，
综上，△
为直角三角形．
法二：
利用
，
及正弦定理和题设条件，得
①，
②.
∴
③；
④.
由③和④得：
，即
，
，
因为
为三角形内角，
∴
或
，即
或
．
（1）若
，代入③得：
⑤
又
，将其代入⑤，得：
．
变形得
，
即
⑥，
由
知A 为锐角，从而知
．
∴由⑥，得：
，即
，从而
，
．
因此，△
为等腰直角三角形．
（2）若
，即
，此时③④恒成立，
综上，△
为直角三角形．
故选：B
55．（2023·内蒙古呼伦贝尔·高三海拉尔第一中学校考阶段练习）
的内角
的对边分别为
，
且
，则
的形状为（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形或直角三角形
【答案】B
【解析】∵
，∴
，即
，
又由余弦定理可得
，
∴
，可得：
∴
是以∠C 为直角的直角三角形．
故选：B．
56．（2023·河南·高三校联考阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，则
为（ ）
A．钝角三角形
B．正三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】由
结合正弦定理可得
，
即
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，故
为直角三角形，
故选：C
