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24.3 正多边形和圆
【提升训练】
一、单选题
1．如图，六边形
是正六边形，点
是边
的中点，
，
分别与
交于点
，
，
则
的值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．如图，
与正五边形
的两边
相切于
两点，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，点
为正六边形
对角线
上一点，
，
，则
的值
是（ ）
A．20
B．30
C．40
D．随点
位置而变化
4．在圆内接正六边形ABCDEF 中，正六边形的边长为2，则这个正六边形的中心角和边心距分别是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，点
，
，
在
上，若
，
，
分别是
内接正三角形．正方形，正
边形的
一边，则
（ ）
A．9
B．10
C．12
D．15
6．尺规作图是初中数学学习中一个非常重要的内容．小明按以下步骤进行尺规作图：①将半径为
的
六等分，依次得到
六个分点；②分别以点
为圆心，
长为半径画弧，两弧交
于点
；③连结
．则
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，正方形
内接于
．点
为
上一点，连接
、
，若
，
，
则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．正六边形的边心距为
，则该正六边形的外接圆半径为（ ）
A．
B．2
C．3
D．
9．若正方形的外接圆半径为2，则其边长为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
10．如图，有公共顶点O 的两个边长为3 的正五边形（不重叠），以O 点为圆心，半径为3 作圆，构成一
个“蘑菇”形图案，则这个“蘑菇”形图案（阴影部分）的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．下列命题正确的是（ ）
A．正三角形的内切圆的半径与外接圆半径之比为2﹕1
B．正六边形的边长等于其外接圆的半径
C．圆的外切正多边形的边长等于其边心距的2 倍
D．各边相等的圆的外切四边形是正方形
12．如图，等边三角形ABC 的边长为4，点O 是△ABC 的中心，∠FOG＝120°，绕点O 旋转∠FOG，分别
交线段AB、BC 于D、E 两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形
ODBE 的面积始终等于
；④△BDE 周长的最小值为6．上述结论中不正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
13．如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度b＝3cm，则螺帽边长a 等于
（ ）
A．
cm
B．2
cm
C．2cm
D．
cm
14．如图，正三角形PMN 的顶点分别是正六边形ABCDEF 三边的中点，则三角形PMN 与六边形
ABCDEF 的面积之比（ ）
A．1：2
B．1：3
C．2：3
D．3：8
15．边长为2 的正六边形的边心距为（ ）
A．1
B．2
C．
D．2
16．如图，
是正六边形ABCDEF 的外接圆，P 为
上除C，D 外的任意一点，则
的值
为（ ）
A．
B．1
C．
D．
17．如图，在面积为135cm2的正六边形ABCDEF 中有两个等边三角形组成的菱形AMDN．则剪掉这个菱
形后剩余部分的面积为（ ）
A．75cm2
B．70cm2
C．65cm2
D．60cm2
18．下列关于正多边形的叙述，正确的是（ ）
A．正七边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．存在一个正多边形，它的外角和为
C．任何正多边形都有一个外接圆
D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形
19．如图所示，
为
的内接三角形，
，则
的内接正方形的面积（ ）
A．
B．
C．
D．
20．已知正六边形
内接于
，若
的直径为
，则该正六边形的周长是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．如图，圆内接正方形的边长为2，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4
B．
C．
D．
22．如图，有一个半径为
的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边
形纸片的边心距是（ ）．
A．
B．
C．
D．
23．如图，正六边形
内接于
，连接
，则
的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
24．正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为
，则这个正多边形为（ ）
A．正十二边形
B．正六边形
C．正四边形
D．正三角形
25．⊙O 内有一个内接正三角形和一个内接正方形，则内接三角形与内接正方形的边长之比为（ ）
A．1∶
B．
∶
C．3∶2
D．1∶2
26．如图，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，⊙O 的半径长为a，下列说法中不正确的是（ ）
A．正六边形ABCDEF 的中心角等于60°
B．正六边形ABCDEF 的周长等于6a
C．正六边形ABCDEF 的边心距等于
D．正六边形ABCDEF 的面积等于3
27．公元3 世纪，刘徽发现可以用圆内接正多边形的周长近似地表示圆的周长．如图所示，他首先在圆内
画一个内接正六边形，再不断地增加正多边形的边数；当边数越多时，正多边形的周长就越接近于圆的周
长．刘徽在《九章算术》中写道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无
所失矣．”我们称这种方法为刘徽割圆术，它开启了研究圆周率的新纪元．小牧通过圆内接正
边形，使
用刘徽割圆术，得到π 的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
28．图，已知正五边形
内接于
，连接
，
相交于点
，则
的度数（ ）
A．
B．
C．
D．
29．如图，在⊙O 中，点B 是弧AC 上的一点，∠AOC=140°，则∠ABC 的度数为（ ）
A．70°
B．110°
C．120°
D．140°
30．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接正四边形，△AEF 为⊙O 的内接正三角形，若DF 恰好是同圆的一
个内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．15
二、填空题
31．如图，直线
经过正五边形
的中心
，与
、
边分别交于点
、
，点
是点
关于直线
的对称点，连接
，
，则
的度数为______°．
32．如图是四个全等的正八边形和一个正方形拼成的图案，已知正方形的面积为4，则一个正八边形的面
积为____．
33．如图，点
为正八边形
的中心，则
的度数为______．
34．下图是某经营摄影器材公司的
（公司的徽标）它由六个全等的直角三角形拼成，根据所学知识求
出
是______．
35．如图，已知AB 为⊙O 直径，若CD 是⊙O 内接正n 边形的一边，AD 是⊙O 内接正（n+4）边形的一边，
BD＝AC，则n＝__．
三、解答题
36．如图，正方形
内接于
，
为
上的一点，连接
，
．
（1）求
的度数；
（2）当点
为
的中点时，
是
的内接正
边形的一边，求
的值．
37．如图，六边形ABCDEF 是
的内接正六边形．
（1）求证：在六边形ABCDEF 中，过顶点A 的三条对角线四等分
．
（2）设
的面积为
，六边形ABCDEF 的面积为
，求
的值．
38．如图正六边形
的边长为1，请分别在图1，图2 中使用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1 中，画出一条长度为0.5 的线段，
（2）在图2 中，画一个边长与正六边形的边长不相等的菱形．
39．已知：如图，A 为⊙O 上一点；求作：⊙O 的内接正方形ABCD．
40．如图，正五边形
内接于
，
为
上的一点（点
不与点
重合），求
的余
角的度数．
41．如图M、N 分别是⊙O 的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n 边形
ABCDEFG…的边AB、BC 上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1 中∠MON 的度数
（2）图2 中∠MON 的度数是 ，图3 中∠MON 的度数是
（3）试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系是____
42．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，∠1＝112°，求∠CDE．
43．如图，正方形
内接于
，
为
任意一点，连接
、
．
（1）求
的度数．
（2）如图2，过点
作
交
于点
，连接
，
，
，求
的长度．
44．已知，如图，四边形ABCD 的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．
（1）求∠A、∠B 的度数；
（2）若D 为
的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD 的面积．
45．如图，
是
的外接圆，
．点D 在
上，连结AD，BD，延长CD 至点E．
求证：AD 平分
．
46．如图，A，B 是⊙O 上两点，∠AOB=120°，C 为弧AB 上一点．
（1）求∠ACB 的度数；
（2）若C 是弧AB 的中点，求证：四边形OACB 是菱形．
47．已知已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
（1）在图①中，以AB 为边作等边三角形；
（2）在图②中，作一个含30°的直角三角形．
48．如图，已知圆内接四边形
的边长分别为
，
，
，求四边形
的面积．
49．如图，已知
是
的直径，弦
于点
是
上的一点，
的延长线相交于点
．
（1）若
的半径为
，且
，求弦
的长．
（2）求证：
．
50．如图，已知A、B、C、D 四点都在⊙O 上．
（1）若∠ABC=120°，求∠AOC 的度数；
（2）在（1）的条件下，若点B 是弧AC 的中点，求证：四边形OABC 为菱形．
51．如图，四边形
内接于
，
，
，垂足为
．
（1）若
，求
的度数；
（2）求证：
．
52．如图，
的内接四边形
两组对边的延长线分别交于点
，
．
（1）当
时，求证
；
（2）当
时，求
的度数；
（3）若
且
，请你用含有
、
的代数式表示
的度数．
53．如图，已知A､B､C､D､E 是
上五点，
的直径
，A 为
的中点，延长
到点P，
使
，连接
．
（1）求证：直线
是
的切线．
（2）若
，求线段
的长．
54．已知：如图，
是
的直径，弦
于点
，
是
上一点，
与
的延长线交于
点
．
（1）求证：
．
（2）当
，
时，求
的半径．
55．如图，
的直径
为10，弦
为6，
是
的中点，弦
和
交于点
，且
．
（1）求证：
；
（2）求
的长．
56．如图，在
中的内接四边形
中，
，
为弧
上一点．
（1）若
，求
和
的度数；
（2）若
，求证：
为等边三角形．
57．如图，四边形ABCD 内接于圆，AD，BC 的延长线交于点E，F 是BD 延长线上任意一点，AB=AC．
（1）求证：DE 平分∠CDF；
（2）求证：∠ACD=∠AEB．
58．如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形， BC 与 AD 的延长线相交于点 E ， 且 DC DE ．
（1）求证： A AEB；
（2）连接 OE，交 CD 于点 F， DC OE ，求证：
△ABE 是等边三角形．
59．如图①，
的内切圆
与
、
、
分别相切于点D、E、F，
、
、
的延
长线分别交
于点G、H、I，过点G、H、I 分别作
、
、
的平行线，从
上截得六边
形
．通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和
它们的对角的夹边称为六边形的对边．
（1）求证：六边形
的对角相等；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，如图②，连接
、
、
、
，他发现
、
，于是猜想六边形
的对边也相等．请你证明他的发现与猜
想．
60．（阅读理解）如图1，
为等边
的中心角，将
绕点O 逆时针旋转一个角度
，
的两边与三角形的边
分别交于点
．设等边
的面积为
S，通过证明可得
，则
．
（类比探究）如图2，
为正方形
的中心角，将
绕点O 逆时针旋转一个角度
，
的两边与正方形的边
分别交于点
．若正方形
的面积为
S，请用含S 的式子表示四边形
的面积（写出具体探究过程）．
（拓展应用）如图3，
为正六边形
的中心角，将
绕点O 逆时针旋转一个角度
，
的两边与正六边形的边
分别交于点
．若四边形
面积为
，请直接写出正六边形
的面积．
