文档文本内容
22.2 二次函数与一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．如图，抛物线
顶点坐标为
，对于下列结论：①
；②
；③
；④若方程
没有实数根，则
．其中正确的结论有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．关于二次函数
，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为
B．对称轴为
C．抛物线与
轴有两个交点
D．
与
时函数值一样大
3．如图，抛物线
的对称轴为直线
，若关于
的一元二次方程
（为
实数）在
的范围内有解，则的取值错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，二次函数
图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为
，对称轴为
，结合图象给出下列结论：
①
；
②
；
③关于x 的一元二次方程
的两根分别为-3 和1；
④若点
，
，
均在二次函数图象上，则
；
⑤
（m 为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．如图，已知抛物线
与直线
交于
，
两点，则关于
的不等式
的解集是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
6．已知二次函数
图像上部分点的坐标
对应值列表如下：则关于x 的方程
的解是（ ）
x
…
0
50
200
…
y
…
1
1
…
A．
B．
C．
D．
7．二次函数
的顶点坐标为（-1，n），其部分图象如图所示．以下结论错误的是（
）．
A．
B．
C．
D．关于
的方程
无实数根
8．已知二次函数
（
，
）的图象经过点
，
，与x 轴交于点
，点
（点A 在点B 的左侧）．若
，则有下列结论：①
，
，②
，③
．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
9．若抛物线
与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为
，P 为这条抛物线的顶点，则点
P 关于x 轴的对称点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知直线
过一、二、三象限，则直线
与抛物线
的交点个数为（
）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．1 个或2 个
11．二次函数
的图象的一部分如图所示．已知图象经过点
，其对称轴为直线
．下列结论：①
；②
；③
；④若抛物线经过点
，则关于
的一元二次方程
的两根分别为
，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
12．在平面直角坐标系中，已知
和
是抛物线上
的两点，将抛物线
的图象向上平移
（
是正整数）个单位，使平移后的图象与
轴没有交点，则
的最小值
为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
13．若
、
（
）是关于
的一元二次方程
的两个根，
、
（
）是关于
的方程
的两根，则
、
、
、
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．根据表格中的信息，估计一元二次方程
（
、
、
为常数，
）的一个解
的
范围为（ ）
x
0
1
2
3
4
ax2+bx+c
-14.5
-11.5
-6.5
0.5
9.5
A．
B．
C．
D．
15．已知二次函数
的图象如图所示，有下列5 个结论：①
；②
；
③
；④
（
）；⑤若方程
＝1 有四个根，则这四个根的和为
2，其中正确的结论有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
16．已知函数
，当
时，函数值随
增大而增大，且对任意的
和
，
、
相应的函数值
、
总满足
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．若抛物线
的对称轴为直线
，且该抛物线与x 轴交于A、B 两点，若
的长是
6，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．对于一个函数，当自变量x 取a 时，其函数值y 等于2a，我们称a 为这个函数的二倍数．若二次函数y
＝x2+x+c（c 为常数）有两个不相等且小于1 的二倍数，则c 的取值范围是（ ）
A．c＜
B．0＜c＜
C．﹣1＜c＜
D．﹣1＜c＜0
19．二次函数
的图象如图所示，有下列结论：①
；②
；③抛物线
与
轴的另一个交点为
；④
．其中，正确的结论是（ ）
A．①②
B．①③
C．②④
D．①④
20．已知二次函数
，
，令
，（ ）
A．若
，
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
21．二次函数
（a，b，c 为常数，且
）中的x 与y 的部分对应值如下表：
x
0
1
3
y
3
5
3
下列结论：①
；②当
时，y 的值随x 值的增大而减小；③3 是方程
的一
个根；④当
时，
．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
22．对于一个函数自变量
取
时，函数值为0，则称
为这个函数的零点．若关于
的二次函数
有两个不相等的零点
，
，关于
的方程
有两
个不相等的非零实数根
和
，则下列式子一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
23．如图，经过原点的二次函数
的图象，对称轴是直线x=−2．关于下列结论：①
；②
；③方程
的两个根为
=0，
=−4；④ 若A（x1，1），B
（x2，2）是抛物线上两点，则x1＞x2 ．其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
24．如图，抛物线
与
轴交于
，
两点，与
轴交于点
，点
为抛物线上一动点，
过点
作
交
轴于
，若点
从点
出发，沿着直线
上方抛物线运动到点
，则点
经过
的路径长为（ ）
A．
B．
C．3
D．
25．利用函数知识对关于代数式
的以下说法作出判断，则正确的有（ ）
①如果存在两个实数
，使得
，则
②存在三个实数
，使得
③如果
，则一定存在两个实数
，使
④如果
，则一定存在两个实数
，使
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
26．如图是抛物线
，其顶点坐标为
，且与x 轴的一个交点在点
和
之
间，下列结论：
①
；
②
；
③
；
④
；
⑤关于x 的方程
的另一个解在
和
之间，
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
27．如图，函数图象C1与C2都经过x 轴上的点B 并关于垂直于x 轴的直线l 对称，已知C1是抛物线y＝﹣
2x2＋8x﹣6 在x 轴上方的部分，若直线y＝x＋m 与C1、C2共有3 个不同的交点，则m 的取值范围是
（ ）
A．﹣2＜m＜
B．﹣3＜m＜﹣
C．﹣3＜m＜﹣2
D．﹣3＜m＜﹣
28．已知抛物线
与x 轴有两个交点
，现有如下结论：①此抛物线
过定点
；②若抛物线开口向下，则m 的取值范围是
；③若
时，有
，
，则m 的取值范围是
．其中正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
29．如表是一组二次函数y＝x2﹣x﹣3 的自变量和函数值的关系，那么方程x2﹣x﹣3＝0 的一个近似根是（
）
x
1
2
3
4
y
﹣3
﹣1
3
9
A．1.2
B．2.3
C．3.4
D．4.5
30．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过点（﹣2，0）和（4，0），现有下四个结论：
8
①a+c＝0；
5
②a+2b+c＞0；
③若抛地物线与y 轴的交点在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），则﹣
＜a＜﹣
；
④已知m＞0，关于x 的一元二次方程a（x+2）（x﹣4）﹣m＝0 的解为x1，x2（x1＜x2），则x1＜﹣2＜4＜
x2，
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题
31．如图是抛物线
的部分图象，其顶点为
，且与
轴的一个交点在点
和
之间下列结论：①
；②
；③
；④关于
的方程
有两个不相等的实数根．其中正确结论的序号是______．
32．已知抛物线
的顶点坐标为
，试求：
（1）
______；
（2）若关于
的一元二次方程
在
或
的范围内有实数根，则的取
值范围是______．
33．如图所示，已知二次函数
的图象与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，对称轴为
直线
．直线
与抛物线
交于C，D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，
则下列结论：①
；②
；③
；④
．其中正确的结
论是________（只填写序号）．
34．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a）．下列结论：①abc＜
0；②5a﹣b+c＝0；③若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1 有两个根x1和x2，且x1＜x2， 则﹣5＜x1＜x2＜1；④
若方程|ax2+bx+c|＝1 有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有_______．
35．如图是抛物线
的部分图象，图象过点
，对称轴为直线
，有下列四个结论：
①
；②
；③y 的最大值为3；④方程
有实数根．其中正确的为
________（将所有正确结论的序号都填入）．
三、解答题
36．已知关于
的一元二次方程
，其中
为常数．
（1）求证：无论
为何值，方程总有两个不相等实数根．
（2）己知函数
的图象不经过第三象限，求
的取值范围．
37．已知二次函数
．
（1）若图像经过点
．
①
的值为______；
②无论
为何值，图像一定经过另一个定点______．
（2）若图像与
轴只有1 个公共点，求
与
的数量关系．
（3）若该函数图像经过
，写出函数图像与坐标轴的公共点个数及对应的
的取值范围．
38．已知二次函数
．
（1）当
时，求出该二次函数的图象与
轴的交点坐标；
（2）若
时，该二次函数的图象与
轴有且只有一个交点，求
的取值范围．
39．某公司决定投资燃油汽车与新能源汽车，该公司信息部的市场调研结果如下：
方案
：若单独投资燃油汽车时，则所获利润
（千万元）与投资金额
（千万元）之间存在正比例函数
关系例
，并且当投资2 千万元时，可获利润0.8 千万元；
方案
：若单独投资新能源汽车时，则所获利润
（千万元）与投资金额
（千万元）之间存在二次函数
关系：
，并且当投资1 千万元时，可获利润1.4 千万元；当投资3 千万元时，可获利润3 千
万元．
（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；
（2）如果该公司对燃油汽车与新能源汽车这两种产品投资金额相同，且获得总利润为5 千万元，求此时该
公司对这两种汽车的投资金额各是多少千万元？
（3）如果公司对燃油汽车投资
千万元，对新能源汽车的投资金额是燃油汽车的两倍，投资所获总利润的
利润率不低于60%，且获得总利润为不低于4 千万元，直接写出
的取值范围．
40．已知二次函数
的图象
与
轴有且只有一个公共点．
①求
的顶点坐标；
②将
向下平移若干个单位后，得抛物线
，如果
与
轴的一个交点为
，求
的函数关系
式，并求
与
轴的另一个交点坐标；
（2）若
，
是
上的两点，且
，求实数
的取值范围．
41．已知关于
的一元二次方程
．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求
的取值范围；
（2）二次函数
的部分图象如图所示，求一元二次方程
的解．
42．已知抛物线
（其中
为常数）
（1）求证：不论
为何值，该抛物线与
轴一定有两个公共点；
（2）若
，
两点在抛物线上，试比较
与0 的大小；
（3）若该抛物线在
的部分与直线
有两个公共点，试求出
的取值范围．
43．在平面直角坐标系中，抛物线
经过
，点D 为抛物线
的顶点．
（1）求抛物线
的表达式；
（2）抛物线
与抛物线
关于x 轴对称，在抛物线
是否存在一点P，使得
与
的面积比
，若存在，求出点P 的坐标，若不村在，请说明理由．
44．已知二次函数
．
（1）直接写出该函数图象的对称轴和与
轴的交点坐标．
（2）若该函数图象开口向上，且图象上的一点
在
轴的下方，求证：
．
（3）已知点
，
，
，
在该函数图象上，若
，
，
，
四个函数值中
有且只有一个小于零，试求
的取值范围．
45．在平面直角坐标系xOy 中，点
，
为抛物线
上的两
点．
（1）当h=1 时，求抛物线的对称轴；
（2）若对于
，
，都有
，求h 的取值范围．
46．如图，抛物线
交
轴于
，
两点，点
在点
左侧，点
的坐标为
，
，过点
作
轴交抛物线于点
，过点
作
交抛物线于点
．
（1）若点
的坐标为
，求
的长．
（2）当
时，求
的值．
47．如图，在平面直角坐标系中，二次函数
图象的顶点是
，与
轴交于
两点，与
轴交于
，点
的坐标是
．
（1）求二次函数图象的顶点坐标并直接写出直线
的函数关系式．
（2）作一条平行于
轴的直线交二次函数的图象于点
，与直线
于点
．若点
的横坐
标分别为
，且
，求
的取值范围．
48．已知二次函数
（
是常数）．
（1）若该函数图像与
轴有两个不同的公共点，求
的取值范围；
（2）求证：不论
为何值，该函数图像的顶点都在函数
的图像上；
（3）
，
是该二次函数图像上的点，当
时，都有
，则
的取值
范围是___________．
49．已知抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m 其中m 是常数．
（1）求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝4．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．
50．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c 的图象如图所示，解决下列问题：
（1）关于x 的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0 的解为 ；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）当x 为值时，y＜0；
（4）若直线y＝k 与抛物线没有交点，直接写出k 的范围．
51．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：
①abc＜0；
4
②a+2b+c＞0；
5
③a﹣b+c＝0；
④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1 有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1 有四个根，则这四个根的和为﹣8，
其中正确的结论有__．
52．定义：对于二次函数
，其相依函数为一次函数
，例如：二次函数
的相依函数为：
（1）求二次函数
的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数
与其相依函数的图象分别交于点
、
，过该抛物线的
顶点作直线平行于
轴，已知点
到直线的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图象上；
②点
为抛物线
段上的一个动点，求
面积的最大值．
53．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
与两坐标轴分别相交于A，B，C 三点
（1）求证：∠ACB=90°
（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E，交x 轴于点F．
①求DE+BF 的最大值；
②点G 是AC 的中点，若以点C，D，E 为顶点的三角形与
AOG 相似，求点D 的坐标．
54．已知二次函数
的图象开口向上，且经过点
，
．
（1）求
的值（用含
的代数式表示）；
（2）若二次函数
在
时，
的最大值为1，求
的值；
（3）将线段
向右平移2 个单位得到线段
．若线段
与抛物线
仅有一
个交点，求
的取值范围．
55．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x 轴交于A（﹣
，0），B（2，0）两
点，与y 轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D 为第一象限内抛物线上一点，连接AD，BC 交于点E，求
的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O 作直线l∥BC，点P，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第
四象限内是否存在这样的点P，使△BPQ∽△CAB．若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标，若不
存在，请说明理由．
