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21.2 解一元二次方程
【提升训练】
一、单选题
1．若关于x 的一元二次方程
的一个根大于1，另一个根小于1，则a 的值可能为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
2．已知x1、x2是关于x 的方程x2﹣ax﹣2＝0 的两根，下列结论一定正确的是（ ）
A．x1+x2＞0
B．x1．x2＞0
C．x1＜0，x2＜0
D．x1﹣x2≠0
3．定义运算：x*y＝x2y﹣2xy﹣1，例如4*2＝42×2﹣2×4×2﹣1＝15，则方程x*1＝0 的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
4．关于
的一元二次方程
有实数根，则
满足（ ）
A．
B．
且
C．
且
D．
5．一元二次方程
的根的情况为（ ）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
6．关于
的一元二次方程
的根的情况是（ ）
A．无法确定
B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根
D．无实数根
7．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
且
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9．若关于x 的一元二次方程
有实数根，则整数a 的最大值为（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
10．定义运算：
．例如：
．则方程
的根的情况为（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．只有一个实数根
11．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．若关于x 的一元二次方程
有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
且
13．已知关于
的一元二次方程
有实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
且
B．
且
C．
D．
14．下列关于一元二次方程，说法正确的是（ ）
A．方程
配方变形为
B．方程
的解为
C．关于
的方程
有实数根，则
D．方程
的解为
15．下面是文明同学在考试中解答的填空题，其中答对的个数是（ ）
①方程
的解是
；②已知m 为方程
的一个根，则
的值
为2；③若关于x 的方程
有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是
；④若关
于x 的方程
的两根的平方和等于6，则
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
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16．下列说法不正确的是（ ）
A．打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件
B．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查
C．一元二次方程
只有一个根
D．甲、乙两人在相同条件下各射击10 次，他们的成绩平均数相同，方差分别是
，
，
甲的射击成绩稳定
17．一元二次方程
−2x−1＝0，其解的情况正确的是（ ）
A．有两个相等的实数解
B．有两个不相等的实数解
C．没有实数解
D．不确定
18．已知a，b 是一元二次方程
的两个根，则
的值等于（ ）
A．2020
B．2021
C．2022
D．2023
19．下列方程适合用因式分解法解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．若关于x 的方程
没有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．一元二次方程
的解为（ ）
A．
B．
C．
，
D．
，
22．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2＋3x＋2＝0
B．﹣x2＋x＋2＝0
C．（x＋1）
2＋2＝0
D．3（x﹣1）
2﹣2＝0
23．若关于x 的一元二次方程x2＋x－3m＋1＝0 有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）
A．m＞
B．m＜
C．m≥
D．m≤
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24．关于
的一元二次方程
有实数根，则
满足（ ）．
A．
B．
且
C．
D．
且
25．若关于
的一元二次方程
有实数根，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
且
26．x=－2 是关于x 的一元二次方程2x2+3ax－2a2=0 的一个根，则a 的值为（ ）
A．1 或4
B．－1 或－4
C．－1 或4
D．1 或－4
27．实数x 满足
，则
的值为( )
A．3
B．0
C．3 或0
D．
28．方程
的解是（ ）
A．
，
B．
，
C．
D．
，
29．若x=0 是关于x 的一元二次方程（a+2）x2-
x+a2+a-6=0 的一个根，则a 的值是（ ）
A．a ≠2
B．a=2
C．a=-3
D．a=-3 或a=2
30．如图，在矩形ABCD 中，AB=14，BC=7，M、N 分别为AB、CD 的中点，P、Q 均为CD 边上的动点
（点Q 在点P 左侧），点G 为MN 上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13 时，满足条件的点P 有（
）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
二、填空题
31．已知关于
的一元二次方程
有实数根，则
的取值范围是__________．
32．若
，且
，
，则（1）
的值为______；（2）
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的值为_____．
33．已知关于x 的一元二次方程
﹣（2k+1）x+
+1＝0 有两个不相等的实数根
．若
＝3，则
k 的值为_____．
34．关于x 的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0 的根的情况是_____．
35．若分式
的值为零，则
的值为_______．
三、解答题
36．关于x 的一元二次方程
有两个不相等的实数根
，
．
（1）求实数m 的取值范围；
（2）是否存在实数m，使得
成立？如果存在，求出m 的值：如果不存在，请说明理由．
37．解方程：
（1）
（2）
38．解下列方程：
（1）
；
（2）
．
39．若关于
的方程
有两个实数根，请求出实数
的取值范围．
40．解方程．
（1）2x2﹣4x﹣3＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
41．解方程：
（1）x2-4x-3=0 （2）（x-3）+2x（x-3）=0
（3）
（4）
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42．（1）解方程：（2x﹣5）
2＝9．
（2）解方程：（x﹣3）
2＝2（x﹣3）．
43．用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）3x（x+2）=5（x+2）
（4）
44．已知关于x 的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根
45．解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)(x＋1)(x＋8)＝－12
46．用适当方法解下列方程
（1）144x2-1=0
（2）（3x-1）
2=6．
（3）x2-5x+6=0
（4）
（5）3x（x-1）=2（x-1）
（6）x2-x-1=0
47．解方程：
（1）
；
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（2）
．
48．解答题：（1）用适当方法解方程：
．
（2）计算：
49．解答下列各题：
（1）计算
（2）解方程：
50．解下列方程．
（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
51．阅读理解：
解方程时，我们经常将整体多次出现的部分打包进行换元处理，从而达到了降次、转整等目的，这一“神
奇”的方法叫换元法．
例如：解方程
解：设
原方程化为：
∴
∴
或
∴
，
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当
时，即
∴
或
，
当
时，即
∴
或
∴
，
∴原方程的解是：
，
，
，
请你利用换元法解方程：
52．如果关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，则
称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程的两个根是2 和4，则方程x2﹣6x+8＝0 就是“倍根方
程”．
（1）若一元二次方程x2﹣3x+c＝0 是“倍根方程”，求c 的值；
（2）若（x﹣2）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；
（3）若点（p，q）在反比例函数y＝
的图象上，请说明关于x 的方程px2+3x+q＝0 是“倍根方程”；
（4）若关于x 的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“倍根方程”，请说明2b2＝9ac．
53．如果关于
的一元二次方程
有两个实数根，且其中一个根为另一个根的
倍，
那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程
的两个根是
和
，则方程
就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程
是“倍根方程”，则
＝
．
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（2）若关于
的一元二次方程
是“倍根方程”，则
，
，
之间的关系为
．
（3）若
是“倍根方程”，求代数式
的值．
54．若两个一次函数的图象与x 轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x 牵手函数”，这个交点为“x 牵手
点”．
（1）一次函数y＝x﹣1 与x 轴的交点坐标为
；一次函数y＝ax+2 与一次函数y＝x﹣1 为一对“x 牵手函
数”，则a＝
；
（2）已知一对“x 牵手函数”：y＝ax+1 与y＝bx﹣1，其中a，b 为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0 的两根，求
它们的“x 牵手点”．
55．阅读理解：
解方程：
．
解：方程左边分解因式，得
，
解得
，
，
．
问题解决：
（1）解方程：
．
（2）解方程：
．
（3）方程
的解为
．
56．（换元思想）阅读材料：
材料1 若一元二次方程
的两根为
、
，则
，
.
材料2 已知实数
、
满足
，
，且
，求
的值.
解：由题知
、
是方程
的两个不相等的实数根，根据材料1，得
，
.
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∴
.
根据上述材料解决下面的问题：
（1）一元二次方程
的两根为
，
，则
，
___________；
（2）已知实数
，
满足
，
，且
，求
的值；
（3）已知实数
，
满足
，
，且
，求
的值.
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