27.2相似三角形同步练习新人教版_初高中资料库_初中资料库（转存避免链接过期失效）_初中数学

27.2　相似三角形
专题一  相似形中的开放题
1．如图，在正方形网
2．格中，点A、B、C、D 都是格点，点E 是线段AC 上任意一点．如果AD=1，那么当AE=　 
时，以点A、D、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．
1．已知：如图，△ABC 中，点D、E 分别在边AB、AC 上.连接DE 并延长交BC 的延长线于点F，
连接DC、BE，∠BDE+∠BCE=180°.
(1)写出图中三对相似三角形（注意：不得添加字母和线）；
(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对，说明它们相
似的理由.
专题二  相似形中的实际应用题
3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳
（两条尺长AC 和BD 相等）去量，若OA:OC=OB:OD=n，且量得CD=b，求厚度x.
专题三  相似形中的探究规律题
4．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝30 cm，AB＝50 cm，依次裁下宽为1 cm 的矩形纸条a1、a2、
a2…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5 cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条
的总数是(    )
A．24              B．25           C．26         D．27
5．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3．
（1）如图①，四边形DEFG 为△ABC 的内接正方形，求正方形的边长；
（2）如图②，正方形DKHG，EKHF 组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长； 
（3）如图③，三个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长； 
（4）如图④，n 个正方形组成的矩形内接于△ABC，求正方形的边长．
专题四  相似形中的阅读理解题
6．某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓
展到扇形的相似中去，例如，可以定义：圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形
叫相似扇形；相似扇形有性质：弧长比等于半径比，面积比等于半径比的平方…，请你协助
他们探索下列问题：
 (1)写出判定扇形相似的一种方法：若                   ，则两个扇形相似；
(2)有两个圆心角相同的扇形，其中一个半径为a，弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长
为              ；
(3)如图1，是—完全打开的纸扇，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 为30cm,现要做
一个和它形状相同，面积是它的一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心角和半
径.
  
                            图1              图2
专题五 相似形中的操作题
7．宽与长的比是
2
1
5 
的矩形叫黄金矩形，心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我
们以协调、匀称的美感．
现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD，BC 的中点M，N，连接MN；
第三步：以N 为圆心，ND 长为半径画弧，交BC 的延长线于E；
第四步：过E 作EF⊥AD，交AD 的延长线于F．
请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形．
8．如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD 和△ECF，固定△ABD，
并把△ABD 与△ECF 叠放在一起．
（1）操作：如图②，将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处，△ECF 绕点    F 在
BD 边上方左右旋转，设旋转时FC 交BA 于点H（H 点不与B 点重合），FE 交DA 于点G（G 点不
与D 点重合）．求证：BH•GD=BF 2；
（2）操作：如图③，△ECF 的顶点F 在△ABD 的BD 边上滑动（F 点不与B、D 点重合），      
且CF 始终经过点A，过点A 作AG∥CE，交FE 于点G，连接DG．
探究：FD+DG= DB，请给予证明．
专题六 相似形中的综合题
9．正方形ABCD 的边长为4，M、N 分别是BC、CD 上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=　 
时，四边形ABCN 的面积最大．
10．如图，在锐角△ABC 中，AC 是最短边，以AC 的中点O 为圆心，2
1 AC 长为半径作⊙O，交BC
于E，过O 作OD∥BC 交⊙O 于D，连接AE、AD、DC．
（1）求证：D 是 ⌒的中点；
（2）求证：∠DAO =∠B +∠BAD；
（3）若
2
1



OCD
CEF
S
S
，且AC=4，求CF 的长. 
【知识要点】
1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例.
2．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等.
3．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
4．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
5．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
6．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
7．相似三角形周长的比等于相似比.相似多边形周长的比等于相似比.
8．相似三角形对应高的比等于相似比.
9．相似三角形面积的比等于相似比的平方. 相似多边形面积的比等于相似比的平方.
【温馨提示】
1．平行线分线段成比例时，一定找准对应线段.
2．当已知两个三角形有一组对应角相等，利用夹这个角的两边对应成比例来判定它们相似
时，比例式常有两种情况，考虑不全面是遗漏解的主要原因.
3．数学猜想需要严密的推理论证说明其正确性，规律的发现与提出需要从特殊到一般的数
学归纳思想，平时要养成观察、分析问题的习惯.
【方法技巧】
1．相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形对应中线的比等于相似比.
2．在平面几何中，求图形中等积式或等比式时，一般地首先通过观察找出图形中相似的三角
形，再从理论上证明观察结论的正确性，最后运用相似形的性质来解决问题.
参考答案
1．
2
2
或
4
2 
　　【解析】根据题意得AD=1，AB=3，AC=
2
2
6
6

=
2
6
， 
　　∵∠A=∠A，∴若△ADE∽△ABC 时，
AC
AE
AB
AD 
，即
2
6
3
1
AE

，解得AE=
2
2
.
若△ADE∽△ACB 时，
AB
AE
AC
AD 
，即
1
3
6 2
AE

，解得AE=
4
2 .
∴当AE=
2
2
或
4
2 时，以点A、D、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．
2．解：（1）△ADE∽△ACB，△CEF∽△DBF，△EFB∽△CFD (不唯一).
　　　 （2）由∠BDE+∠BCE=180°，可得∠ADE=∠BCE. ∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB;
   ∴AC
AD = AB
AE .∵ ∠A=∠A，
   ∴△AEB∽△ADC;∵∠BDE+∠BCE=180°，∠BCE+∠ECF=180°，
   ∴∠ECF=∠BDF，
   又∠F=∠F， 
   ∴△CEF∽△DBF;∴BF
EF
= DF
CF
，而∠F=∠F，∴△EFB∽△CFD.
3．解：∵ OA:OC＝OB:OD＝n 且∠AOB＝∠COD,∴△AOB∽△COD.
  
∵ OA:OC＝AB:CD＝n ,
  又∵CD＝b,
∴AB=CD·n ＝nb，
∴x＝＝.
4 ．C 【解析】设裁成的矩形纸条的总数为n ，且每条纸条的长度都不小于5cm ，
2
2
40(cm)
BC
AB
AC



．设矩形纸条的长边分别与AC、AB 交于点M、N，因为
△AMN∽△ACB ，所以
BC
MN
AC
AM 
．又因为AM=AC-1·n=30-n ，MN≥5 cm ，所以
40
5
30
30

n
，得n≤26.25，所以n 最多取整数26． 
5．解：（1）在题图①中过点C 作CN⊥AB 于点N，交GF 于点M． 
因为∠C=90°，AC=4，BC=3，所以AB=5． 因为2
1
×5CN= 2
1
×3×4，所以CN= 5
12
．
因为GF∥AB，所以∠CGF=∠A，∠CFG=∠B，所以△CGF∽△CAB，所以
AB
GF
CN
CM 
．
设正方形的边长为x，则
12
5
12
5
5
x
x


，解得
37
60

x
．所以正方形的边长为37
60
．
 （2）同（1），有
12
2
5
12
5
5
x
x


，解得
49
60

x
． 
（3）同（1），有
12
3
5
12
5
5
x
x


，解得
61
60

x
．
 （4）同（1），有
12
5
12
5
5
x
nx


，解得
n
x
12
25
60


． 
6．解：(1)答案不唯一，如“圆心角相等” “半径和弧长对应成比例”
(2)由相似扇形的性质知半径和弧长对应成比例，设另一个扇形的弧长为x，则a
a
2
= x
m
,
∴x=2m.
(3)∵两个扇形相似，∴新做扇形的圆心角与原来扇形的圆心角相等，等于120°.
设新做扇形的半径为，则
2
30







=
2
1 ，=15
2 ，即新做扇形的半径为15
2 ㎝.
7．证明：在正方形ABCD 中，取AB=2a，∵N 为BC 的中点，∴
1
2
NC
BC
a


.
在Rt△DNC 中，
2
2
2
2
(2 )
5 .
ND
NC
CD
a
a
a





∵NE=ND，∴
( 5
1)
CE
NE
CN
a




.
∴
2
1
5
2
)1
5
(




a
a
CD
CE
，故矩形DCEF 为黄金矩形.
8．解：（1）证明：∵将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，∴∠B=∠D.
   ∵将△ECF 的顶点F 固定在△ABD 的BD 边上的中点处，△ECF 绕点F 在BD 边上方
左右旋转，∴BF=DF.
∵∠HFG=∠B，∴∠GFD=∠BHF，∴△BFH∽△DGF，∴ BF
BH
DG
DF

，
∴BH•GD=BF2.
  （2）证明：∵AG∥CE，∴∠FAG∥∠C.∵∠CFE=∠CEF，∴∠AGF=∠CFE，∴AF=AG.
   ∵∠BAD=∠C，∴∠BAF=∠DAG，△ABF≌△ADG，∴FB=DG，∴FD+DG=DB，
9．2
10．解：（1）证明：∵AC 是⊙O 的直径，∴AE⊥BC. ∵OD∥BC，∴AE⊥OD，∴D 是 ⌒的中点. 
（2）方法一：证明：如图，延长OD 交AB 于G，则OG∥BC .
　 
∴∠AGD=∠B. 
∵
OA=OD
，
∴
∠
DAO=∠ADO. 
∵∠ADO=∠BAD+∠AGD ，∴∠DAO=∠B +∠BAD. 
方法二：证明：如图，延长AD 交BC 于H ，则∠ADO=∠AHC.
∵∠AHC=∠B +∠BAD，∴∠ADO =∠B +∠BAD. ∵OA=OD，∴∠DAO=∠B +∠BAD. 
（3） ∵AO=OC，∴
1
2
OCD
ACD
S
S



.∵
1
2
CEF
OCD
S
S



，∴
1
4
CEF
ACD
S
S



. 
∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，∴△ACD∽△FCE.  
∴
2
CEF
ACD
S
CF
S
AC








，即
2
1
4
4
CF






，∴CF=2.