文档文本内容
专题12 正余弦定理妙解三角形问题和最值问题
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
............................................................................................................................................10
考点一：倍长定比分线模型..................................................................................................................................10
考点二：倍角定理.................................................................................................................................................12
考点三：角平分线模型..........................................................................................................................................16
考点四：隐圆问题.................................................................................................................................................20
考点五：正切比值与和差问题..............................................................................................................................23
考点六：四边形定值和最值..................................................................................................................................26
考点七：边角特殊，构建坐标系...........................................................................................................................29
考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题..................................................................32
考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围.....................................................................................34
考点十：三角形中的几何计算..............................................................................................................................39
考点十一：三角形的形状判定..............................................................................................................................44
解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小
题位置，综合考查以解答题为主，中等难度．
考点要求
考题统计
考情分析
正弦定理
2023 年北京卷第7 题，4 分
【命题预测】
2023 年乙卷第4 题，5 分
2022 年II 卷第18 题，12 分
预测2024 年高考仍将重点考
查已知三角形边角关系利用
正弦定理解三角形及利用正
余弦定理解平面图形的边、
角与面积，题型既有选择也
有填空更多是解答题，若考
解答题，主要放在前两题位
置，为中档题，若为选题可
以为基础题，多为中档题，
也可为压轴题．
余弦定理
2022 年乙卷第17 题，12 分
2021 年乙卷第15 题，5 分
2021 年浙江卷第14 题，6 分
三角形的几何计算
2023 年甲卷第16 题，5 分
2023 年II 卷第17 题，10 分
2022 年天津卷第16 题，15 分
2021 年乙卷第9 题，5 分
范围与最值问题
2022 年上海卷第19 题，14 分
2022 年甲卷第16 题，5 分
2022 年I 卷第18 题，12 分
1、正弦定理和余弦定理的主要作用，是将三角形中已知条件的边、角关系转化为角的关系或边的关
系，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元
素．
2、与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当
选用公式，对于面积公式
，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
3、对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等
式，求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，
确定所求式的范围．
4、利用正、余弦定理解三角形，要注意灵活运用面积公式，三角形内角和、基本不等式、二次函数
等知识．
5、正弦定理和余弦定理是求解三角形周长或面积最值问题的杀手锏，要牢牢掌握并灵活运用．利用
三角公式化简三角恒等式，并结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基
本不等式等求其最值．
6、三角形中的一些最值问题，可以通过构建目标函数，将问题转化为求函数的最值，再利用单调性
求解．
7、“坐标法”是求解与解三角形相关最值问题的一条重要途径．充分利用题设条件中所提供的特殊
边角关系，建立恰当的直角坐标系，选取合理的参数，正确求出关键点的坐标，准确表示出所求的目标，
再结合三角形、不等式、函数等知识求其最值．
1．（2023•北京）在
中，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由正弦定理
为三角形外接圆半径）可得：
，
，
，
所以
可化为
，
即
，
，
又
，
．
故选：
．
2．（2023•乙卷）在
中，内角
，
，
的对边分别是
，
，
，若
，且
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】由
得
，
得
，
即
，
即
，得
，
在
中，
，
，即
，
则
．
故选：
．
3．（2021•乙卷）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．
如图，点
，
，
在水平线
上，
和
是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为
“表高”，
称为“表距”，
和
都称为“表目距”，
与
的差称为“表目距的差”，则
海岛的高
A．
表高
B．
表高
C．
表距
D．
表距
【答案】
【解析】
，
，故
，即
，
解得
，
，
故
表高．
另如图所示，连接
并延长交
于点
，
，
，
表高．
故选：
．
4．（2022•上海）已知在
中，
，
，
，则
的外接圆半径为 ．
【答案】
．
【解析】在
中，
，
，
，
利用余弦定理
，整理得
，
所以
，解得
．
故答案为：
．
5．（2023•上海）已知
中，角
，
，
所对的边
，
，
，则
．
【答案】
．
【解析】
，
，
，
由余弦定理得，
，
又
，
，
．
故答案为：
．
6 ．（2021• 乙卷）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，面积为
，
，
，则
．
【答案】
．
【解析】
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，面积为
，
，
，
，
又
，（负值舍）
故答案为：
．
7．（2021•浙江）在
中，
，
，
是
的中点，
，则
；
．
【答案】
；
．
【解析】在
中：
，
，
，解得：
或
（舍去）．
点
是
中点，
，
，在
中：
，
；
在
中：
．
故答案为：
；
．
8．（2022•甲卷）已知
中，点
在边
上，
，
，
．当
取得最
小值时，
．
【答案】
．
【解析】设
，
，
在三角形
中，
，可得：
，
在三角形
中，
，可得：
，
要使得
最小，即
最小，
，
其中
，此时
，
当且仅当
时，即
或
（舍去），即
时取等号，
故答案为：
．
9．（2022•新高考Ⅱ）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，分别以
，
，
为边长的三
个正三角形的面积依次为
，
，
．已知
，
．
（1）求
的面积；
（2）若
，求
．
【解析】（1）
，
，
，
，
解得：
，
，
，即
，
，
，
解得：
，
．
的面积为
．
（2）由正弦定理得：
，
，
，
由（1）得
，
已知，
，
，
解得：
．
10 ．（2022• 乙卷）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
．
（1）证明：
；
（2）若
，
，求
的周长．
【解析】（1）证明：
中，
，
所以
，
所以
，
即
，
所以
，
由正弦定理得
，
由余弦定理得
，
所以
；
（2）当
，
时，
，
，
所以
，解得
，
所以
的周长为
．
11．（2022•天津）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
．已知
，
，
．
（1）求
的值；
（2）求
的值；
（3）求
的值．
【解析】解（1）因为
，
，
，
由余弦定理可得
，
解得：
；
（2）
，
，所以
，
由
，可得
，
由正弦定理可得
，即
，
可得
，
所以
；
（3）因为
，
，
所以
，
，
，可得
，
所以
，
所以
的值为
．
考点一：倍长定比分线模型
如图，若
在边
上，且满足
，
，则延长
至
，使
，连接
，易
知
∥
，且
，
．
．
例1．（2023·河南安阳·高三统考期末）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，且AB 边上的中线
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，
如图，作出平行四边形ACBE，则
与
的面积相等.在
中，
，
，则
，∴
.
又
，∴
，
∴
，
故
面积的最大值为
.
故选：A
例2．（2023·湖南长沙·高三宁乡一中校考期中）设a，b，c 分别为
的内角A，B，C 的对边，AD 为
BC 边上的中线，c＝1，
，
．
(1)求AD 的长度；
(2)若E 为AB 上靠近B 的四等分点，G 为
的重心，连接EG 并延长与AC 交于点F，求AF 的长度．
【解析】（1）依据题意，由
可得
，则
，
，
，
，解得
，
，解得AD 为
（2）G 为
的重心，
，
，
，
，
，
，
，
例3．（2023·辽宁·校联考二模）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
，
(1)求角B 的大小；
(2)若
，D 为边AB 上一点，且
，求
的值．
【解析】（1）
，
，
所以
，即
，
故
，
因为
，所以
；
（2）因为
，所以
，
，
在
中，由正弦定理得
，所以
，
在
中，由余弦定理得：
，
即
，故
，所以
或
，
当
时，
，
，
当
时，
，
.
所以
的值为
或1.
考点二：倍角定理
，这样的三角形称为“倍角三角形”．
推论1：
推论2：
例4．（2023·江苏连云港·高三统考期中）在
中，AB＝4，AC＝3．
(1)若
，求
的面积；
(2)若A＝2B，求BC 的长．
【解析】（1）在
中，设角A、B、C 所对的边分别为a，b，c．
由余弦定理得
，
即
，得
或
（舍），
由
，
，得
，
所以
的面积
．
（2）在
中，由正弦定理得
，
所以
．
在
中，再由余弦定理得
，
所以
，解得
．
例5．（2023·广西钦州·高三校考阶段练习）在锐角
中，角
所对的边为
，且
.
(1)证明:
(2)若
，求
的取值范围.
【解析】（1）∵
，
由正弦定理，得
，
即
，
∴
，
∴
或
（舍），即
，
（2）由锐角△ABC，可得
，
，
．
即
， ∴
．
由正弦定理可得：
，
所以
.
所以
的取值范围为：
.
例6．（2023·四川绵阳·统考一模）在锐角
中，角
，
，
所对的边为
，
，，且
．
(1)证明：
；
(2)求
的取值范围．
【解析】（1）∵
，
由正弦定理，得
，
即
，
∴
，
∴
或
（舍），即
，
∴
，
∴
．
（2）由锐角△ABC，可得
，
，
．
即
， ∴
．
∵
．
令
，
，
因为
在
上单调递增，
所以当
，
当
，
∴
．
例7．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考一模）已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，S 为
的面积，
．
（1）证明：
；
（2）若
，且
为锐角三角形，求S 的取值范围．
【解析】(1)证明：由
，即
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，B，
，
．
(2)
，
，
．
且
，
，
，
为锐角三角形，
，
，
，
为增函数，
．
考点三：角平分线模型
角平分线张角定理：如图，
为
平分线，
（参考一轮复习）
斯库顿定理：如图，
是
的角平分线，则
，可记忆：中方=上积一下
积．
例8．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）在
中，内角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)边
上存在点
，使
为
的角平分线，若
，求
的周长.
【解析】（1）因为在
中，
，
所以
，
所以由正弦定理得
，
即
，由余弦定理得
，
因为
，所以
.
（2）因为
，
且
所以
，
由余弦定理得：
，
整理得
，
解得
或
（舍去），
所以
，
所以
的周长为
.
例9．（2023·浙江·高三浙江省长兴中学校联考期中）已知在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，
的角平分线交
于
，求
的值.
【解析】（1）∵
，
由正弦定理得，
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
∵
，∴
.
（2）由余弦定理得，
，
∴
，解得
或
（舍去），
由
，
∴
，
∴
.
例10．（2023·福建福州·高三校联考期中）
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，设
.
(1)求A；
(2)若AD 为∠BAC 的角平分线，且
，求
的最小值.
【解析】（1）
，
即：
，
由正弦定理可得：
，
所以
，
又因为
，所以
.
（2）
为
的角平分线，
.
由
，得
，
又
，所以
，故
，
所以
，
当且仅当
，即
时，
的最小值为9.
例11．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）
的内角
，
，
的对边分别记为
，
，
，若
，
，从下面条件①②③中任选一个作为已知条件，完成以下问题：
①
；②
；③
．
(1)求
的面积；
(2)若
的角平分线与边
交于点
，延长
至点
使得
，求
．
【解析】（1）若选①
，则
，
，又
．
若选②
，
，则
，
，
，
由正弦定理可得：
．
若选③
，由
得
，且
，
则
，
由
得
，
则
，
由正弦定理可得：
；
（2）由角平分线的性质知：
，∴
，
，
在
中，
，∵
，∴
，由余弦定理知：
，
故
，
在
中，由正弦定理知：
，
即
，故
．
在
中，
，
，
由余弦定理知：
，
故
．
考点四：隐圆问题
若三角形中出现
，且
为定值，则点C 位于阿波罗尼斯圆上．
例12．（2023·全国·高三专题练习）若
满足条件
，
，则
面积的最大值为 .
【答案】
【解析】如图，以
的中点为原点，
为x 轴，
的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则
，
，设
，由
，
得
，
化简可得
,
则点
的轨迹是以
为圆心，半径
的圆，
且去掉点
，
和
，
；
所以
的面积的最大值为
，
故答案为：
.
例13．（2023·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）在
中，
，则
的面积最大值为 ．
【答案】3
【解析】因为
，所以由正弦定理得
，即
，
以线段
所在直线为x 轴，以
的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，
由
得
，
因为
，所以整理得
，
由此可知点C 的轨迹是以
为圆心，以
为半径的圆，
所以当点C 在圆上运动时，点C 到x 轴的最大距离为半径
，
所以
的面积
在
上单调递减，
所以
．
故答案为：.
例14．（2023·福建·高三统考阶段练习）波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190 年）的著作《圆锥
曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过
这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（
且
）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿
波罗尼斯圆.现有
，
，则当
的面积最大时，AC 边上的高为
.
【答案】
【解析】
，
,即
．根据阿波罗尼斯圆可得：点B 的轨迹为圆, 以线段AC 中
点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系,求出B 的轨迹方程，进而得出结论．
为非零常数，
根据阿波罗尼斯圆可得：点B 的轨迹是圆.
以线段AC 中点为原点，AC 所在直线为x 轴建立直角坐标系
则
，设
，∵
∴
，整理得
因此，当
面积最大时，BC 边上的高为圆的半径
.
例15．（2023·安徽马鞍山·高三和县第二中学校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、
欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离
之比为定值
（
）的动点的轨迹.已知在
中，角
的对边分别为
，
则
面积的最大值为 ．
【答案】
【解析】由已知条件结合余弦定理，可求出
，
，建立坐标系求出点
所在的圆的方程，
求出点
到
距离的最大值，即可求出结论.依题意，
，得
，
即
，以
边所在的直线为
轴，
的垂直平分线为
轴
建立直角坐标系，则
，设
，
由
，则
的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为
，边
高的最大值为
，
∴
.
故答案为：
例16．（2023·四川眉山·统考三模）阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓
名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数
的动点的轨迹．已知在
中，
角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
，则
面积的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由正弦定理可得
，设
的外接圆半径为，
则
，
以
的中点
为原点，
所在直线为
轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
则
、
，
设点
，由
，可得
，
化简可得
，
所以，
的边
上的高的最大值为
，因此，
.
故选：A.
考点五：正切比值与和差问题
定理1：
定理2：
定理3：（正切恒等式）
中，
．
例17．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知
的三个内角A，B，C 满足
，
则（ ）
A．
是锐角三角形
B．角
的最大值为
C．角
的最大值为
D．
【答案】D
【解析】由
得
，则
，所以
是钝角三角形，故A 不正确；
由
得
，则
，整理得
，
所以
，当且仅当
等号成立，∴
，故B 不正确；
由
得
，化简可得
，则
，
因为
为钝角，所以
为锐角，取
，得
，
，
符合题意，即
可以取大于
的值，故C 错误；
由
得
，
，
，所以
，即
，结合正弦定理可得
，故D 正确.
故选：D.
例18．（2023·河南安阳·高三统考阶段练习）在
中，角
所对的边分别为
，若
，且
，则
．
【答案】
【解析】
中，
，
，
，
由正弦定理有
，
，
由
，得
，
有
，即
，
，得
，
由
，可得
，
即
，代入
，
得
，∴
，
由余弦定理，
，得
，
故答案为：
例19．（2023·江苏南通·高三统考期中）在
中，点D 在边BC 上，且
，记
.
(1)当
，
，求
；
(2)若
，求
的值.
【解析】（1）当
，
时，
，
，
设
，
，
，
，
∴在△ACD 中，根据余弦定理得：
，
．
（2）分别过
作
，
，
，
，
易知
，
，且
，
，
，
．
例20．（2023·河南焦作·高三统考期中）在锐角
中，
分别为角
所对的边，
，且
的面积
．
(1)若
，求
；
(2)求
的最大值．
【解析】（1）
，解得：
；
，
，
，
由余弦定理得：
，解得：
.
（2）
，即
，
由正弦定理得：
，
，
，
；
，
，
，
则当
时，
取得最小值
，
的最大值为
.
考点六：四边形定值和最值
正常的四边形我们不去解释，只需多一次余弦定理即可，我们需要注意一些圆内接的四边形，尤其是
拥有对角互补的四边形，尤其一些四边形还需要引入托勒密定理．
勒密定理：在四边形
中，有
，当且仅当四边形ABCD 四点共圆时，
等号成立．
例21．（2023·全国·高三专题练习）如图．在平面四边形
中，
．设
，证明：
为定值．
【解析】证明：设
，则
．
在
中，因为
，
，所以
．
在
中，由余弦定理
，
即
，
则
，即
，
故
为定值．
例22．（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）如图，平面四边形
的对角线分别为
，
，
其中
，
，
．
(1)若
，
的面积为
，求
的面积；
(2)若
，
，求
的值．
【解析】（1）由题意得，
，
，
在
中，由余弦定理得，
．
由余弦定理得，
，
∵
，
∴
，
∴
，
故
，
∴
．
（2）在
中，由正弦定理得，
，
∴
．
在
中，
，
，
由正弦定理得，
，
∴
．
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
又
，
解得
．
例23．（2023·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）在四边形
中，
，
.
(1)若
，求
；
(2)若
，求
.
【解析】（1）在三角形ABD 中，根据余弦定理可得，
，
由题得：
，所以
，
在三角形BCD 中，根据余弦定理可得，
，
所以，
.
（2）设
，在三角形ABD 中，根据余弦定理可得，
，
在三角形BCD 中，根据余弦定理可得，
，
所以
，得：
或
（舍），
则
.
考点七：边角特殊，构建坐标系
利用坐标法求出轨迹方程
例24．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知三角形
中，
，角
的平分线交
于
点
，若
，则三角形
面积的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】在
中
，在
中
，
故
，
，
因为
，故
，
又角
的平分线交
于点
，则
，故
.
故
.
以
为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为
，
，
故
，
，设
，则
，
即
，故
，
化简可得
，即
，故点
的轨迹是以
为圆心，2 为半径的圆（除
去
）.
故当
纵坐标最大，即
时
面积取最大值为
.
故选：C
例25．（2023·山东聊城·统考三模）在
中，
，点
在边
上，且
，若
，则
长度的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】如图，
以
点为原点，
所在直线为
轴建立直角坐标系，
设
，因为
，则
，
所以
，即
，
所以
点轨迹是一个圆，圆心
，半径
，
，
，
，
求
长度的最大值即为求
长度的最大值,
在
中，由正弦定理
，
则
，当
时，即
与圆
相切时，
，
则
长度的最大值为4，
长度的最大值为5.
故选：C.
例26．（2023·全国·高三专题练习）在等边
中，
为
内一动点，
，则
的最
小值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示，
以
的BC 边的中点O 为原点，BC 为x 轴，过O 点垂直于BC 的直线为y 轴，建立建立直角坐标系如
图，
再将
延x 轴翻折得
，求得
的外接圆的圆心为Q，
，
M 点
的
劣弧
上，
不妨设等边
的边长为2，可得：
，
，
，
，
点
所在圆的方程为：
.
设参数方程为：
，
，
，
其中
，
即
，解得
，
；
故选：C.
考点八：利用正、余弦定理求解与三角形的周长、面积有关的问题
与三角形面积或周长有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理，进行边和角的转化．要适当选用
公式，对于面积公式
，一般是已知哪一个角就使用哪个公式．
例27．（2023·四川·高三校联考阶段练习）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，求
的周长.
【解析】（1）因为
，
由正弦定理得
，
又
，所以
，
所以
，
即
，所以
，
又
，所以
，所以
，
又
，所以
.
（2）由
，又
，
所以
，所以
，
由余弦定理得
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
即
的周长为
.
例28．（2023·湖北宜昌·高三统考期中）在
中，内角
的对边分别为
，且
，
．
(1)求证：
是等腰三角形；
(2)若
，求
的周长和面积．
【解析】（1）证明：因为
，所以
，
则
，
因为
，所以
，
又因为
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
是等腰三角形．
（2）因为
，
所以
，
所以
的周长为
，
的面积
．
例29．（2023·全国·模拟预测）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，且
．
(1)求
；
(2)若
为
的中点，且
，求
的面积．
【解析】（1）因为
，所以
，
由正弦定理得
，
化简得
．
因为
，
，所以
．
因为
，所以
．
（2）因为
为
的中点，所以
，
等式两边平方得
，
即
①．
在
中，由余弦定理得
②，
联立①②解得
，
所以
．
考点九：利用正，余弦定理求解三角形中的最值或范围
对于利用正、余弦定理解三角形中的最值与范围问题，主要有两种解决方法：一是利用基本不等式，
求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围，确定
所求式的范围．
例30．（2023·全国·模拟预测）已知在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
，求
的面积S 的取值范围．
【解析】（1）由题意及正弦定理，得
，
即
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
，
又因为
，所以
．
（2）由（1）得
，
由正弦定理
，得
，
所以
，
因为
是锐角三角形，所以
，解得
，
所以
，
从而
．
例31．（2023·全国·模拟预测）已知
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)若
，求c 的值以及
的面积；
(2)若
，求
的值以及
的取值范围．
【解析】（1）由
，可得
，
因为
，所以
，所以
，可得
，
由余弦定理得
，
所以
的面积
．
（2）因为
，所以
，
解得
，
在
中，由正弦定理得
，则
，
因为
，故
，所以
，
即
的取值范围为
.
例32．（2023·重庆·高三重庆市万州沙河中学校联考阶段练习）在锐角
中，内角
的对边分别
为
，已知
.
(1)求A;
(2)求
的取值范围.
【解析】（1）因为
，由正弦定理可得
，
因为
为锐角三角形，可知
，
则
，所以
，
且
，所以
.
（2）因为
，可知DC =b ，即
，
且
为锐角三角形，则
，解得
，
又因为
，
由
，可知
，则
，
所以
.
例33．（2023·全国·模拟预测）已知
为锐角三角形，其内角A，B，C 所对的边分别为
，
，，
.
(1)求
的取值范围；
(2)若
，求
周长的取值范围.
【解析】（1）因为
为锐角三角形，所以
，
，
.
又因为
，所以
，
由正弦定理得
，
因为
为锐角三角形，所以
，即
，
解得
，
所以
，即
，
所以
的取值范围为
.
（2）因为
，由（1）知，
，
由正弦定理
，得
，
故
的周长
，
令
，由（1）知
，则
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
周长的取值范围为
.
例34．（2023·江西·高三临川一中校联考阶段练习）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已
知
．
(1)求B；
(2)若
，
，从下面两个条件中选一个，求
的最小值．
①点M，N 分别是边
，
上的动点（不包含端点），且
；
②点M，N 是边
上的动点（不包含端点且
），且
．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）由正弦边角关系得
，
所以
，
由余弦定理得
，即
，
所以
，又
，则
．
（2）由（1）及题设，则
，
选①，此时
，设
，
，
由余弦定理得
，即
，
因为
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的最小值为
．
选②，此时
，
，
设
，因为
，则
，
在
中由余弦定理得
，
在
中由余弦定理得
，
所以
，
所以当
时，
取得最小值
．
例35．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
是
上的一点，且
，求
的最小值．
【解析】（1）
，
又
，则
或
，
若
，则
；
若
，则
，又
，不符合题意，舍去，
综上所述
.
（2）
①，又
②，
÷
①②得：
令
，又
，
，
令
令
，
令
，
当
时
，当
时
，
由对勾函数性质可得当
时，
为减函数，故
，
同理当
时
，
所以当三角形
为等边三角形时
最小，最小值为
考点十：三角形中的几何计算
解决三角形中几何计算的方法：
方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，
相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选
择；
方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可
以将其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更
加直观化.
例36．（2023·广东珠海·高三统考期末）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求B；
(2)已知
，D 为边
上的一点，若
，
，求
的长．
【解析】（1）∵
，根据正弦定理得，
，
即
，
所以
，因为
，
所以
，所以
，
因为
，所以
．
（2）因为
，
，
，根据余弦定理得
，∴
．
∵
，∴
．
在
中，由正弦定理知，
，∴
，
∴
，
，所以
∴
，∴
．
例37．（2023·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）如图，在
中，
为
的中点，且
,
(1)证明：
；
(2)若
，求
．
【解析】（1）证明：在
中，
为
的中点，所以
，
则
，
即
，又因为
，
则
，则
．
（2）设
，则
，因为
，
在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
两式相加得：
在
中，由余弦定理得：
，
得：
，
又
，所以
．
例38．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在梯形
中，
，
，
，
．
(1)若
，求梯形
的面积；
(2)若
，求
．
【解析】(1)设
，在
中，由余弦定理
得：
，即
，而x>0，解得
，
所以
，则
的面积
，
梯形
中，
，
与
等高，且
，
所以
的面积
，
则梯形
的面积
；
(2)在梯形
中，设
，而
，
则
，
，
，
，
在
中，由正弦定理
得：
，
在
中，由正弦定理
得：
，
两式相除得：
，
整理得
，
即
解得
或
，
因为
，则
，即
．
例39．（2023•新高考Ⅱ）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，已知
面积为
，
为
的中点，且
．
（1）若
，求
；
（2）若
，求
，
．
【解析】（1）
为
中点，
，
则
，
过
作
，垂足为
，如图所示：
中，
，
，
，解得
，
，
，
故
；
（2）
，
，
，
，
则
，
①，
，即
②，
由①②解得
，
，
，又
，
．
例40．（2023·广东惠州·高三统考阶段练习）如图，在平面四边形
中，
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
【解析】（1）在
中，
，所以
，
在
中，
，所以
，又
，
所以
，
在
中由余弦定理
，
即
，
所以
.
（2）由已知可得
，又
，所以
，
，
设
，
，则
，
在
中由正弦定理
，即
，所以
，
在
中由正弦定理
，即
，所以
，
又
，所以
，解得
或
，
由
，
当
时
，
当
时
，
所以
或
.
考点十一：三角形的形状判定
余弦定理判定：三角形三条边从小到大排列，即a<b<c ，
若a2+b2−c2>0 ，则
是锐角三角形；
若a2+b2−c2=0 ，则
是直角三角形；
若a2+b2−c2<0 ，则
是钝角三角形；
例41．（2023·上海浦东新·高三上海市进才中学校考期中）已知
的三条边
和与之对应的三个角
满足等式
则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰或直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】由余弦定理，可得
，
整理，得
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
或
或
，故三角形为等腰三角形.
故选：A
例42．（2023·四川内江·统考一模）在
中，
、
、分别为角
、
、
的对边，若
，
则
的形状为（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为
，所以
，整理得到
，
又由正弦定理
，得到
，
所以
，得到
，
又
，所以
，得到
，又
，所以
，
故选：B.
例43．（2023·全国·高三专题练习）在
中，
，
，分别为角
，
，
的对边，已知
．若
，
，成等比数列，则
是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．不确定
【答案】B
【解析】因为
，由诱导公式得
，
由正弦定理得
，
又
，所以
，即
，
又
，所以
.
又因为
，
，成等比数列，所以
，
由余弦定理得
，解得
，
所以
为等边三角形.
故选：B.
例44．（2023·甘肃酒泉·统考三模）
中，
，
，分别是角
，
，
的对边，且
，则
的形状为（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．直角或钝角三角形
D．钝角三角形
【答案】D
【解析】因为
，
，
所以
，即
，
所以
，即
，
所以
，
所以
，
又因为
，所以
，
所以
为钝角三角形.
故选：D.
