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专题16 妙解离心率问题
目 录
01 顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题..................................................................2
02 焦点三角形顶角范围与离心率........................................................................................................6
03 共焦点的椭圆与双曲线问题............................................................................................................8
04 椭圆与双曲线的4a 通径体............................................................................................................11
05 椭圆与双曲线的4a 直角体............................................................................................................14
06 椭圆与双曲线的等腰三角形问题..................................................................................................19
07 双曲线的4a 底边等腰三角形........................................................................................................21
08 焦点到渐近线距离为b...................................................................................................................25
09 焦点到渐近线垂线构造的直角三角形...........................................................................................29
10 以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题.......................................................................................32
11 渐近线平行线与面积问题..............................................................................................................36
12 数形结合转化长度角度.................................................................................................................38
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01 顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
1．（2024·安徽宣城·高三统考期末）已知椭圆
上一点
关于原点的对称点为点
，
为其右焦点，若
，设
，且
，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意设椭圆的左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN 为长方形，再根据
椭圆的定义化简得
，得到离心率关于
的函数表达式，再利用辅助角公式和三角函数
的单调性求得离心率的范围.由题意椭圆
上一点A 关于原点的对称点为点B，F 为
其右焦点，设左焦点为N，连接AN，BN，因为AF⊥BF，所以四边形AFBN 为长方形．
根据椭圆的定义：
，由题∠ABF＝α，则∠ANF＝α，
所以
，
利用
，
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∵
，∴
，
，即椭圆离心率的取值范围是
，
故选B.
2．（2024·河北唐山·高三统考期末）已知椭圆
上一点
关于原点的对称点为点
，
为其右焦点，若
，设
，且
，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设椭圆
的左焦点为：
,根据
，得到四边形为
为矩形，再由
，结合椭圆的定义得到
，然后由
求解.设椭圆
的左焦点为：
,
因为
，
所以四边形为
为矩形，
所以
因为
，
所以
由椭圆的定义得：
，
所以
，
因为
，
所以
，
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所以
，
所以
，
所以
，
故选：B
3．（2024·江西南昌·高三南昌十中校考期末）已知椭圆
上一点
关于原点的对称点
为
点，
为其右焦点，若
，设
，且
，则该椭圆的离心率的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
和
关于原点对称，
也在椭圆上，
设左焦点为
，根据椭圆的定义：
，
又
，
（1）
又原点是
的斜边中点，
，
又
（2）
（3）
将（2）（3）代入（1）
，
，即
，所以
，
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所以
，即
，
所以
，所以椭圆的离心率的取值范围为
，
故选：A
4．（2024·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）已知双曲线
：
（
，
）右支上非顶
点的一点
关于原点
的对称点为
，
为其右焦点，若
，设
，且
，则双曲
线
离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为
，连接
，
．
，
四边形
为矩形．
所以
．
则
，
．
．
．
即
，
则
，
，
，
则
，
,
，
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则
，
即
，
故双曲线离心率的取值范围是
，
故选：D．
02 焦点三角形顶角范围与离心率
5．（2024·河南南阳·高三郑州一中阶段练习）已知
，
是椭圆
的左右两
个焦点，P 为椭圆上的一点，且
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设点
，则
，由
得：
，
而
，即
，因此有
，即
，
因
，于是得
，即
，解得
，
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所以椭圆的离心率的取值范围为
.
故选：D
6．（2024·黑龙江·校联考）已知
，
，
，是双曲线
的两个焦点，若点Р 为椭
圆
上的动点，当P 为椭圆的短轴端点时，
取最小值，则椭圆
离心率的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】假设点
在
轴上方，设
，则
，
由已知得
，
，
设直线
的倾斜角为
，直线
的倾斜角为
，
∴
，
，
∴
考虑对勾函数
，
由于
为椭圆的短轴端点时，
，
取最小值，即
取最小值，
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也取最小值，此时
，
∵函数在
上单调递减，
∴
，即
，解得
.
即椭圆
离心率的取值范围为
.
故选：
.
7．（2024·贵州·高三凯里一中校考期末）已知椭圆
，
，
分别为椭圆的左右
焦点，若椭圆
上存在点
使得
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，
，
若椭圆
上存在点
使得
，
，
，
即
，
，
即
，
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.
故选D
8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆
，
，
分别为椭圆的左右焦点，若椭
圆C 上存在点
（
）使得
，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题意作图如下：
由图可得：当点P 在椭圆的上（下）顶点处时，
最大，
要满足椭圆C 上存在点
（
）使得
，则
，
∴
，即：
，整理得：
，
又
，∴得到：
，∴
，
∴椭圆离心率的取值范围为
，
故选:B．
03 共焦点的椭圆与双曲线问题
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9．（2024·安徽·校联考）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为
、
，且两条曲
线在第一象限的交点为
，
是以
为底边的等腰三角形，若
，椭圆与双曲线的离心率分
别为
、
，则
与
满足的关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由椭圆与双曲线定义得
，所以
，选B.
10．（多选题）（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知椭圆
：
与双曲线
：
（
，
）有公共焦点
，
，且两条曲线在第一象限的交点为
，若
是以
为底边的等腰三角形，
，
的离心率分别为
和
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】设
，
的焦距为
，由
，
共焦点知
，故
正确；
△
是以
为底边的等腰三角形知
，由
在第一象限知：
，
即
，即
，即
，故
，
错；
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由
，得
，又
，得
，所以
，
从而
，故
正确．
故选：
．
11．（2024·湖北孝感·高三统考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
、
，
是它们的一个交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为
、
，则
的最大值为 ．
【答案】
/
【解析】不妨设
为第一象限的点，
为左焦点，
设椭圆的长半轴长为
，双曲线的实半轴长为
，
则根据椭圆及双曲线的定义可得
，
，所以
，
，
，在△
中，
，
由余弦定理得
，
化简得
，即
．
所以
，从而
，
当且仅当
，且
，即
，
时等号成立．
故答案为：
12．（2024·江苏苏州·高三江苏省苏州第十中学校校考阶段练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为
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，则
等于 ．
【答案】
【解析】设椭圆长半轴长为
，双曲线实半轴长为
，
，
，
为两曲线在第一象限的交点，
为两曲线在第三象限的交点.
由椭圆和双曲线定义知：
，
，
，
，
由椭圆和双曲线对称性可知：四边形
为平行四边形，
，
，
，
即
，
.
故答案为：
.
13．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
、
，
是它们的一
个交点，
，记椭圆和双曲线的离心率分别为
、
，则
的最小值是 .
【答案】
【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为
，
，设两曲
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线的焦距为
，
设
，
，则
，
，所以，
，
，
化为
，
，
，
，
当且仅当
时，取等号，则
的最小值是
.
故答案为：
.
04 椭圆与双曲线的4a 通径体
14．（2024·河南·高三统考阶段练习）已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别为
、
，过
的直线与椭圆
交于
、
两点，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，椭圆的焦距为
，由题意得出
，椭圆的离心率为
，
.
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由椭圆的定义可得
，
由余弦定理得
，
设
，由椭圆的定义可得
，
由余弦定理得
，
即
，解得
.
所以，
，
，因此，
.
故选D.
15．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆
：
的左右焦点分别为
､
，
(如
图)，过
的直线交
于
，
两点，且
轴，
，则
的离心率为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，
，
将
代入椭圆方程知
，解得：
，即
过点
作
轴，则
，又
，得
，
所以点
的坐标为
，即
又点
在椭圆上，
，即
又
，
，
，即
故选：D
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16．（2024·云南·校联考模拟预测）已知椭圆
：
的左、右焦点分别为
，
（如
图），过
的直线交
于
，
两点，且
轴，
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设椭圆
的半焦距为
，
由题意可得：
，则
，
因为
，则
，解得
，
即
，且点
在椭圆
上，
则
，整理得
，解得
，即
.
故选：A.
17．（2024·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习）已知椭圆E:
的左，右焦点分别
为
，
（如图），过
的直线交E 于P，Q 两点，且
轴，
，则
的离心率为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】依题意设
，则
，所以
；
由于
，所以
由
得
，化为
，所以
，得
故选：A
05 椭圆与双曲线的4a 直角体
18．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知椭圆
的左、右焦点为
，
，过
的直线交
于
，
两
点，若
，且
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】运用特殊值法进行求解. 不妨设
，利用勾股定理、余弦定理，结合椭圆的定义和离心率公
式进行求解即可.不妨设
，则
，
，
∴
，
，
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∴由
得
或
（舍），
∴
，∴
，
又由
得
，
∴
.
故选：C
19．（2024·重庆·校联考）已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，过
的直线交
双曲线C 的左支于P，Q 两点，若
，且
的周长为
，则双曲线C 的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由双曲线定义知
，
则
，
，所以
，
∴
的周长为
，
∴
，
，
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由
，
所以
，故
，∴
，
∴
，
，∴
，
在
中，
，故
.
故选：A.
20．（2024·广西桂林·高三统考期末）设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，过点
的直线交椭圆
于
，
两点，
，若
，则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，
，
∴
，
，
∵
，
在
中，由余弦定理，
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得：
，
∴
，
化简可得
，而
，
故
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，且
，
∴
是等腰直角三角形，
，
∴
，
∴椭圆的离心率
.
故选：D.
21．（2024·湖南·校联考）已知
，
，
是双曲线
上的三个点，直线
经过原点
，
经过右焦
，若
，且
，则该双曲线的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
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如图，因为
，所以四边形
为矩形，设
，则
，又
，所以
，
，所以
，得
，所以
，又因为
，即
，所以得离心率
，选择A
22．（2024·湖北·高三开学考试）已知
是双曲线
上的三个点，
经过原点
，
经过右焦点
，若
且
，则该双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
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设左焦点为
，
，连接
则
，
，
，
因为
，且
经过原点
所以四边形
为矩形
在Rt△
中，
，代入
化简得
所以在Rt△
中，
，代入
化简得
，即
所以选B
23．（2024·山东聊城·统考）已知A，B，C 是双曲线
上的三点，直线AB 经过原点
O，AC 经过右焦点F，若
，且
，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为
，连接
由题意知
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∴四边形
为矩形，令
∵
，
∴在
中，
将
带入可得
∴
∴在
中，
即
可得
故选：D
06 椭圆与双曲线的等腰三角形问题
24．（2024·江西上饶·高三阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线与双曲线
的右支相交于
两点，若
，且
，则双曲线的离心率
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
且
，所以
为等腰直角三角形，所以
,
由双曲线定义可得
，
，
两式相加得
，所以
，又
，
在
中，由余弦定理，可得
，解得
.
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故选：A.
25．（2024·北京海淀·校考模拟预测）双曲线
：
的左、右焦点分别为F1、F2，过
F1的直线与双曲线C 的右支在第一象限的交点为A，与y 轴的交点为B，且△ABF2为等边三角形，则双曲
线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
为等边三角形，则
，设
为原点，
中，
，故
，故
.
故选：B
26．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，已知
，
分别为双曲线
：
的左
右焦点，过
的直线与双曲线
的左支交于
、
两点，连接
，
，在
中，
，
，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
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C．
D．
【答案】D
【解析】设
，由双曲线的定义可得
，
由
，可得
，即有
，
因为
为等腰三角形，
所以
，
解得
，
在△
中，
，
化为
，即有
．
故选：
．
07 双曲线的4a 底边等腰三角形
27．（2024·四川成都·石室中学校考）已知
，
是双曲线
的左，右焦点，过点
作斜率为
的直线与双曲线的左，右两支分别交于
，
两点，以
为圆心的圆过
，
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】取MN 中点A，连AF2，由已知令
，则
，如图：
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因点M，N 为双曲线左右两支上的点，由双曲线定义得
，
，
则
，令双曲线半焦距为c，
中，
，
中，
，
则有
，即
，
因直线的斜率为
，即
，而
，即
，
，于是有
，
，
，
所以双曲线
的离心率为
.
故选：B
28．（2024·江西九江·统考）设双曲线
的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直
线分别交双曲线左、右两支于点P，Q，点M 为线段PQ 的中点，若P，Q，F1都在以M 为圆心的圆上，且
，则双曲线C 的离心率为（ ）
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A．
B．2
C．
D．2
【答案】C
【解析】以PQ 为直径的圆经过点F1，则
，又
，
可知PQ⊥MF1，则|PF1|＝|QF1|，故三角形PF1Q 是等腰直角三角形，
设|PF1|＝t，则|PQ|
t，
由双曲线的定义可知：|PF2|＝t+2a，|QF2|＝t
2
﹣a，可得|PQ|＝4a，
则
t＝4a，即t＝2
a，则：|PF2|
，
在Rt△MF1F2中，|MF1|
2a，|MF2|＝|PF1|
|
﹣PM|＝2
a，
由勾股定理可知|F1F2|＝2
a＝2c，
则双曲线C 的离心率为：e
．
故选：C．
29．（2024·安徽合肥·校联考模拟预测）设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线与双曲线左右两支交于
，
两点，以
为直径的圆过
，且
，则双曲线
C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【解析】因为
即
所以
在三角形
中，有余弦定理可得：
所以
即
因为以MN 为直径的圆经过右焦点F2，
所以
，又|MF2|＝|NF2|，
可得△MNF2为等腰直角三角形，
设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|
m，
由|MF2|
|
﹣MF1|＝2a，|NF1|
|
﹣NF2|＝2a，
两式相加可得|NF1|
|
﹣MF1|＝|MN|＝4a，
即有m＝2
a，
在直角三角形HF1F2中可得
4c2＝4a2+（2a+2
a
2
﹣a）
2，
化为c2＝3a2，
即e
．
故选：B．
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30．（2024·河北石家庄·统考）已知
，
分别为椭圆
的左、右焦点，点
是椭圆上
位于第一象限内的点，延长
交椭圆于点
，若
，且
，则椭圆的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则
，
，
，
因为
，故
.
因
，故
，
整理得到
，即
，故选A.
31．（2024·山东烟台·统考）已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，点
在
的右支上，
与
交于点
，若
，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
且
知：△
为等腰直角三角形且
、
，即
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，
∵
，
∴
，故
，则
，
而在△
中，
，
∴
，则
，故
.
故选：B.
08 焦点到渐近线距离为b
32．（2024·四川泸州·高三统考期末）已知F1，F2为双曲线C：
＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，
过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P，且与C 的右支交于点Q，若
（O 为坐标原点），则C
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【解析】根据对称性不妨设P 为第一象限的点，
∵O 为F1F2的中点，又
，∴Q 为PF2的中点，
又F2（c，0）到
的距离
，
|
∴PF2|＝b，∴|QF2|＝
，
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连接
，所以
，又|F1F2|＝2c，
∵PO 的斜率为
，又QF2⊥PO，
∴QF2的斜率为
，∴
，∴
，
在△QF2F1中，由余弦定理可得：
，化简可得a＝b，
∴双曲线C 的离心率为
＝
.
故选：A.
33．（2024·安徽滁州·高三统考期末）设F1，F2分别是双曲线
的左、右焦点，过
F2作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为H，若|HF1|=3|HF2|，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设条件推导出
，
，可得
的坐标，由两点间的距离公式得
，计算求出
离心率．由题设知双曲线C：
的一条渐近线方程为：
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
∵右焦点
，且
，
∴
，
∴
，由
，解得
，
∴
，∴
，
平方化简得
，
又
，
∴
，即
，
，即
，
所以
，故得
，
故选：D.
34．（2024·辽宁葫芦岛·统考）设F1，F2是双曲线C：
（a>0，b>0）的左、右焦点，O 是坐标
原点．过F2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝3|OP|，则C 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
资料来源：微信公众号 智慧学库
【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为
，
则
，
，
，
在
中，
，
在
中，
，
，即
，
所以
故选：A ．
35．（2024·广西玉林·统考模拟预测）已知双曲线
的焦点在
，过点
的直线与
两条渐近线的交点分别为M､N 两点(点
位于点M 与点N 之间)，且
，又过点
作
于
P(点O 为坐标原点)，且
，则双曲线E 的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，可得如下示意图：
资料来源：微信公众号 智慧学库
其中，
知：
，又
，
，即
且
，
∴
中，有
，得
，
∴在
中，
，若
与x 轴夹角为
，即
，
∴
，由
，即可得
.
故选：C
09 焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
36．（2024·安徽宣城·统考）设
是双曲线
的一个焦点，过
作双曲线的一条渐近线
的垂线，与两条渐近线分别交于
两点．若
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．5
【答案】C
【解析】不妨设
，过
作双曲线一条渐近线的垂线方程为
，
与
联立可得
；
资料来源：微信公众号 智慧学库
与
联立可得
，
∵
，∴
，
整理得，
，即
，
∵
，∴
．
故选：C．
37．（2024·浙江台州·高三台州一中校考阶段练习）如图，已知双曲线
，过其右焦
点F 作渐近线的垂线，垂足为H，交另一条渐近线于点A，已知O 为原点，且
，则该双曲线的
离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】D
【解析】由题意直线
方程为
，
由
，解得
，即
，
由
，解得
，即
，
由图知，
在第二象限，
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以
，
，
代入
可得
，
化简得
，
，
因为
，所以
，即
，
．
故选：D．
38．（2024·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知双曲线
，过其右焦点
作
渐近线的垂线，垂足为
，交
轴于点
，交另一条渐近线于点
，并且点
位于点
，
之间．已知
为原点，且
，则双曲线离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】双曲线
的右焦点
，渐近线
的方程为
，即
，
渐近线OA 的方程为
，即
．所以
，
，
．
所以
，
．
解得
或
（舍去），
资料来源：微信公众号 智慧学库
所以双曲线的离心率为
，
故选：C．
39．（2024·四川巴中·统考模拟预测）已知双曲线
：
（
，
），过
的右焦点
作垂
直于渐近线的直线交两渐近线于
，
两点，
，
两点分别在一、四象限，若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先根据点到直线距离公式求得
，再由
用
表示出
.根据双曲线的渐近线方程
及正切二倍角公式，即可求得
与
的等量关系式，进而求得双曲线的离心率.双曲线
：
（
，
），右焦点
，渐近线方程为
.
将渐近线方程化为一般式为
，双曲线满足
，
过
的右焦点
作垂直于渐近线的直线交两渐近线于
，
两点，
，
两点分别在一、四象限，如下
图所示:
资料来源：微信公众号 智慧学库
由点到直线距离公式可知
，
根据题意
，则
，
设
，由双曲线对称性可知
，
而
，
，
由正切二倍角公式可知
，
即
，化简可得
，
由双曲线离心率公式可知
，
故选：B.
10 以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
40．（2024·湖南长沙·高三长沙市明德中学校考开学考试）已知双曲线C：
（
，
）的
左、右焦点分别为
、
，过
的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若
，
，
则C 的离心率为（ ）
资料来源：微信公众号 智慧学库
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如下图示，
因为
，
，
是
中点，
所以
是
中点且
，则
，
，
因为直线
是双曲线
的渐近线，
所以
，
，直线
的方程为
，
联立
，解得
，则
，整理得
，
因为
，所以
，
.
故选：A
41．（2024·江苏徐州·统考模拟预测）已知
是双曲线
的左焦点，圆
与双曲
线在第一象限的交点为
，若
的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可设右焦点为
，因为
，且圆
：
，所以点
在以焦距为直径的
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圆上，则
，
设
的中点为点
，则
为
的中位线，所以
，则
，又点
在渐近线上，
所以
，且
，则
，
，所以
，所以
，
则在
中，可得，
，即
，解得
，所以
，
故选：A．
42．（2024·山东烟台·统考）设双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
作倾斜角
为
的直线与
轴和双曲线的右支分别交于点
、
，若
，则该双曲线的离心率为
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分析：由题意求出直线方程，再根据
，可得
为
的中点，根据中点坐标公
式求出
的坐标，代入双曲线方程可得
，化简整理即可求出
∵
，∴
为
的中点，由题意可得直线方程为
当
时，
设
∴
，即
资料来源：微信公众号 智慧学库
即
整理可得
即
解得
．故选C．
43．（2024·甘肃兰州·校联考）(2017·兰州模拟)已知F1，F2为双曲线
(a>0，b>0)的左、右焦
点，以F1F2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P，PF1与双曲线相交于点Q，且|PQ|＝2|QF1|，则该双
曲线的离心率为( )
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，连接
.由
|，可设
则|
；由
，得|
由
得
点
在
以
为直径的圆上，
由
，得
解得
，化简得
双曲线的离心率
故选A.
44．（2024·福建莆田·统考）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，以线段
为
直径的圆与
的渐近线在第一象限的交点为
，且
.设
的离心率为，则
=
A．
B．
C．
D．
【答案】B
资料来源：微信公众号 智慧学库
【解析】由
得
，结合已知
可求得
，由渐近线上
点
满足
可得
（
为双曲线右顶点）且
，利用面积可建立
的关系式，变形
后可求得
．由题意
，则
①，又
②，
得
＝
，∵
在渐近线上且
，设
为双曲线右顶点，如图，则
，且
，由
得
，于是
，变形为
，解得
（
舍去），故选B．
11 渐近线平行线与面积问题
45．（2024·安徽芜湖·统考）设
为双曲线
上任意一点，过点
作双曲线两渐近线
的平行线，分别与两渐近线交于
，
两点．若
的面积为4，则双曲线D 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
资料来源：微信公众号 智慧学库
【答案】D
【解析】设
，设过点
与双曲线渐近线
平行的直线交双曲线渐近线
于
点，过
点
与双曲线渐近线
平行的直线交双曲线渐近线
于
点，
因此
是平行四边形，因为
的面积为4，所以平行四边形
的面积为8，过点
与双曲
线渐近线
平行的直线为
，于是有：
，
过点
与双曲线渐近线
平行的直线为：
，与直线
的距离为：
，而
，
于是有：
，
而
，所以
因为
在双曲线
上，所以
，
解得
，因此
，
故离心率为
46．（2024·浙江·校联考模拟预测）过双曲线
上的任意一点
，作双曲线渐近线的
平行线，分别交渐近线于点
，
，若
，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
资料来源：微信公众号 智慧学库
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】双曲线
的渐近线方程：
，
即
，
设点
，可得
，
分别联立两组直线方程可得
，
，
，
∵
，∴
，
∴
，由题意
，
所以
，即
，
所以
，即
∴
.
故选：B.
47．（2024·福建·）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，过双曲线C 上任意一点
P 分别作C 的两条渐近线的垂线，垂足分别为
，
等于
展开式的常数项，
资料来源：微信公众号 智慧学库
则双曲线C 的离心率为
A．3
B．3 或
C．
D．
或
【答案】B
【解析】根据二项展开式求得的值，再根据点到直线的距离公式结合
，可求得
的值，再
代入离心率公式，即可得答案；由已知可得，
展开式的常数项为
，
设双曲线半焦距为c，
.
设
，得
，
.
P 到两条渐近线
的距离分别为
，
，
.
.
①又
②，由①②可得
或
，
或
.
故选：B
12 数形结合转化长度角度
48．（2024·山东泰安·统考）已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，椭圆C 在第一
象限存在点M，使得
，直线
与y 轴交于点A，且
是
的角平分线，则椭圆C 的
离心率为 .
【答案】
资料来源：微信公众号 智慧学库
【解析】由题意得
，
又由椭圆的定义得
，
记
，则
，
，
则
，所以
，
故
，
则
，则
，即
等价于
，得：
或
（舍）
故答案为：
49．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆
的左、右顶点分别为
，
，右焦点为
，
为椭圆上一点，直线
与直线
交于点
，
的角平分线与直线
交
于点
，若
，
的面积是
面积的6 倍，则椭圆
的离心率是 .
【答案】
【解析】由题意知，
，
，
，当
时，
.
由
，得
，
.
又
的角平分线与直线
交于点
，可知
，所以
.
，解得
，椭圆
的离心率是
.
故答案为：
.
资料来源：微信公众号 智慧学库
50．（2024·四川凉山·高三统考期末）已知椭圆
，左、右焦点分别为
、
，若过
的直线与圆
相切，与椭圆在第一象限交于点P，且
垂直于x 轴，则椭圆的离心率
为 ．
【答案】
/
【解析】如图，设过
的直线与圆
相切于点
，则
，
由于
，所以
，
因为
垂直于x 轴，
所以
，所以
，则
，
因为
，
所以
，化简得
，
所以离心率
，
故答案为：
