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专题十
计数原理
第三十一讲
二项式定理
答案部分
2019
年
1. 解析
解析
解析
解析
解析
2
4
(1
2
)(1
)
x
x
+
+
的展开式中
3
x 的系数为
3
1
3
4
4
1 C
1 2 C
1
12
+
=
．故选
．
A
2．
：二项式
解析
解析
解析
解析
解析
(
)
9
2
x
+
的展开式的通项为
9
9
2
1
9
9
C ( 2)
2
C
r
r
r
r
r
r
r
T
x
x
−
−
+ =
=
．
由
0
r =
，得常数项是
1
16 2
T =
；当r=1，3，5，，
7
9时，系数为有理数，
系数为有理
所以
数的项的个数是5个．
3.
3.
3.
3.
3.解析
解析
解析
解析
解析 由题意，可知此二项式的展开式的通项为
(
)
8
r+1
8
3
1
C
2
8
r
r
r
T
x
x
−
=
−
=
(
)
8
8
8 4
8 4
8
8
3
1
1
C 2
C
1 2
8
r
r
r
r
r
r
r
r
r
x
x
x
−
−
−
−
−
=
−
．
所以当
8 4
0
r
−
=
，即
2
r =
时，
r 1
T + 为常数项，此时
(
)
2
2
8 4 2
3
2 1
8
C
1
2
28
T
T
−
+
=
=
−
=
．
2010-2019
年
1
C
．【解析】
2 5
10 3
1
5
5
2
C (
)
( )
C 2
r
r
r
r
r
r
r
T
x
x
x
−
−
+ =
=
，由
10 3
4
r
−
=
，得
2
r =
，所以
4
x 的系
数为
2
2
5
C
2
40
=
．故选
．
C
2
C
．【解析】
6
2
1
(1
)(1
)x
x
+
+
展开式中含
2
x 的项为
2
2
4
4
2
6
6
2
1
1
30
C x
C x
x
x
+
=
，故
2
x 前系
数为
，选
30
C．
3
C
．【解析】
5
(2
)
x
y
−
的展开式的通项公式为：
5
1
5
C (2 )
(
)
r
r
r
r
T
x
y
−
+ =
−
，
当
3
r = 时，
5
(2
)
x
x
y
−
展开式中
3
3
x y 的系数为
3
2
3
5
C
2
( 1)
40
−
= −
，
当
2
r =
时，
5
(2
)
y
x
y
−
展开式中
3
3
x y 的系数为
2
3
2
5
C
2
( 1)
80
−
=
，
所以
3
3
x y 的系数为
80 40
40
−
=
．选
．
C
4．A【解析】通项
6
1
6
(
0,1,2,
,6)
r
r r
r
T
C x
i r
−
+
=
=
，令
2
r =
，得含
4
x 的项为
2
4 2
4
6
15
C x i
x
= −
，
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故选
．
A
5．D【解析】因为
(1
)n
x
+
的展开式中的第
项与第
项的二项式系数相等，所以
4
8
3
7
C
C
n
n
=
，
解得
10
n =
，所以二项式
10
(1
)x
+
的展开式中奇数项的二项式系数和为
10
9
1
2
2
2
=
．
6
C
．【解析】由
1
2
2
(
1)
(1
)
1
n
n
n
n
n
n
n
x
x
C x
C x
C x
+
=
+
= +
+
++
，知
2
15
n C =
，
∴
(
1)
15
2
n n −
=
，解得
6
n =
或
5
n = −
(舍去)
C
，故选
．
7
D
．【解析】
5
2
1
5 ( 1)
r
r
r
r
r
T
C
a x
−
+ =
−
，令
1
=
r
，可得
5
30
a
−
=
6
a
= −
，故选
．
D
8．C【解析】由题意知
3
0
6
4
(3,0)
C C
f
=
，
2
1
6
4
(2,1)
C C
f
=
，
1
2
6
4
(1,2)
C C
f
=
，
0
3
6
4
(0,3)
C C
f
=
，
因此
(3,0)
(2,1)
(1,2)
(0,3)
120
f
f
f
f
+
+
+
=
．
9．A【解析】由二项展开式的通项可得，第四项
3
2
3
2
3
4
5
1
(
) ( 2 )
20
2
T
C
x
y
x y
=
−
= −
，故
2
3
x y
的系数为－20，选A
．
10．B【解析】通项
5
2
1
(3 )
(
)
3
n
r
r
n r
r
r
n r
n
n
C
x
C
x
x x
−
−
−
=
，常数项满足条件
5
2
n
r
=
，所以
2
r =
时
5
n =
最小．
11．C【解析】
2 5
10 5
1
5
5
3
2
(
)
(
)
( 2)
r
r
r
r
r
r
r
T
C
x
C x
x
−
−
+
=
−
= −
，令
10 5
0
r
−
=
，解得
2
r =
，所
以常数项为
2
2
5
( 2)
40
C
−
=
．
12．D【解析】第一个因式取
2
x ，第二个因式取
2
1
x
得：
1
4
5
1
( 1)
5
C
−
=
，第一个因式取2 ，
第二个因式取
5
( 1)
−
得：
5
2 ( 1)
2
−
= − 展开式的常数项是
5
( 2)
3
+ −
=
．
13．D【解析】∵
2 5-
1
+1
5
=
(2
)
(
)
r
r
r
r
T
C
x
x−
−
=
5-
10-3
5
2 ( 1)
r
r
r
r
C x
−
，∴
10 3 =1
r
−
，即=3
r
，
∴x 的系数为40
−
．
14．B【解析】
5
(1
2 )x
+
的展开式中含
2
x 的系数等于
2
2
2
5
(2 )
40
C
x
x
=
，系数为40.答案选
．
B
15．C【解析】
6
2 (6
)
12
3
1
6
6
6
(4 )
(2 )
2
2
2
r
x
r
x r
r
x
r
xr
r
x
xr
r
T
C
C
C
−
−
−
−
−
+
=
=
=
，
令
12
3
0
x
xr
−
=
，则
4
r =
，所以
4
5
6
15
T
C
=
=
，故选
．
C
16．5
2
【解析】
3
5
5
2
1
5
5
1
1
C
(
)
C
(
)
2
2
r
r
r
r
r
r
r
T
x
x
x
−
−
+
=
−
=
−
，令
3
5
2
2 r
−
=
，得
2
r =
，
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所以
2
x 的系数为
2
2
5
1
5
C (
)
2
2
−
=
．
17．【解析】
7
8
8 4
3
3
1
8
8
1
1
C
(
)
C ( )
2
2
r
r
r
r
r
r
r
T
x
x
x
−
−
+ =
=
，令8
4
0
3
r
−
=
，解得
2
r =
，所以所求
常数项为
2
2
8
1
C
( )
7
2
=
．
18．16,4【解析】将
3
2
(
1) (
2)
x
x
+
+
变换为
3
2
(1
) (2
)
x
x
+
+
，则其通项为
3
2
3
2
C 1
C 2
r
r
r
m
m
m
x
x
−
−
，
取
0,
1
r
m
=
= 和
1,
0
r
m
=
=
可得，
0
1
1
0
2
4
3
2
3
2
C C
2+C C
2
4 12
16
a =
= +
=
，令
0
x =
，得
5
4
a =
．
19．4【解析】
(
)
1
C
3
C
3
r
r
r
r
r
r
n
n
Τ
x
x
+
=
=
，令
2
r =
得：
2
2
C
3
54
n
=
，解得
4
n =
．
20．2
−
【解析】因为
5
10
2 5
5
2
1
5
5
1
(
)
(
)
r
r
r
r
r
r
r
T
C
ax
C a
x
x
−
−
−
+ =
=
，所以由
5
10
5
2
2
r
r
−
=
=
，
因此
2
5 2
5
80
2.
C a
a
−
= −
= −
21．10【解析】由
5
(2
)
x
x
+
得
5
5
5
2
1
5
5
C (2 )
(
)
2
C
r
r
r
r
r
r
r
T
x
x
x
−
−
−
+ =
=
，令5
3
2
r
−
=
得
4
r =
，
此时系数为
．
10
22．40【解析】由通项公式，
5
1
5 2
r
r
r
r
T
C
x
−
+ =
，令
3
r =
，得出
3
x 的系数为
3
2
5
C 2
40
=
．
23．3【解析】
4
(1
)x
+
展开式的通项为
1
4
Cr
r
rT
x
+ =
，由题意可知，
1
3
0
2
4
4
4
4
4
4
(
)
32
a C
C
C
C
C
+
+
+
+
=
，解得
3
a =
．
24．－20【解析】
8
(
)
x
y
+
中
8
1
8
C
r
r
r
r
T
x
y
−
+ =
，令
7
r =
，再令
6
r =
，
得
2
7
x y 的系数为
7
6
8
8
20
C
C
−
= −
．
25．1
2
【解析】二项展开式的通项公式为
10
1
10
r
r
r
r
T
C x
a
−
+ =
，当
10
7
r
−=
时，
3
r =
，
3
3
7
4
10
T
C a x
=
，则
3
3
10
15
C a =
，故
1
2
a =
．
26．2【解析】
2 6
6
12 3
1
6
6
(
)
( )
r
r
r
r
r
r
r
r
b
T
C
ax
C a
b x
x
−
−
−
+ =
=
，令
12 3
0
r
−
=
，得
3
r =
，
故
3
3
3
6
20
C a b =
，∴
2
2
1,
2
2
ab
a
b
ab
=
+
=
≥
，当且仅当
1
a
b
=
= 或
1
a
b
=
= −时等
号成立．
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27．2
1 【解析】通项
2
1
7
,3
4
3
4
8
)
(
3
3
8
3
8
8
3
8
8
=
=
=
=
−
=
=
−
−
a
a
C
r
r
x
a
C
x
a
x
C
r
r
r
r
r
r
r
所以
2
1 ．
28．20【解析】
2
6
1
(
)
x
x
+
的展开式中第 1
k + 项为
2(6
)
12 3
1
6
6
(
0,1,2,
,6)
k
k
k
k
k
k
T
C x x
C x
k
−
−
−
+
=
=
=
令
12 3
3
3
k
k
−
=
=
得：
3
x 的系数为
3
6
20
C =
．
29．10【解析】
由等式两边对应项系数相等．
法一：
法一：
法一：
法一：
法一：
即：
5
4
5
5
4
3
3
1
5
5
4
4
3
1
0
10
0
a
C a
a
a
C a
C a
a
=
+
=
=
+
+
=
．
法二：
法二：
法二：
法二：
法二：对等式：
( )
(
)
(
)
(
)
2
5
5
0
1
2
5
1
1
1
f x
x
a
a
x
a
x
a
x
=
=
+
+
+
+
+
+
+
两边连续对
求导三
x
次得：
2
2
3
4
5
60
6
24
(1
)
60
(1
)
x
a
a
x
a
x
=
+
+
+
+
，再运用赋值法，令
1
x = −
= −
= −
= −
= −得：
3
60
6a
=
，即
3
10
a =
．
法三：
5
5
( )
( 1 1
)
f x
x
x
=
= −+ +
，则
3
2
3
5
( 1)
10
a
C
=
−
=
。
30．2【解析】由题意得
(
)
k
k
k
k
k
k
k
x
C
a
x
a
x
C
T
2
3
6
6
6
6
1
−
−
+
−
=
−
=
，
∴
(
)
2
6
2
C
a
A
−
=
，
(
)
4
6
4
C
a
B
−
=
，又∵
A
B
4
=
，
∴ (
)
4
6
4 C
a
−
(
)
2
6
2
4
C
a
−
=
，解之得
4
2 =
a
，又∵
0
a
，∴
2
=
a
．
31．15【解析】
4
4
2
3
6
(
) (
)
15
x
y
C
x
y
x
=
．
